第三章同步發(fā)電機的基本方程

第3章同步發(fā)電機的基本方程

3.1基本前提3.2同步發(fā)電機的原始方程3.3d、q、0坐標系的同步電機方程※※

3.4同步電機的常用標幺制3.5基本方程的拉氏運算形式3.6同步電機的對稱穩(wěn)態(tài)運行11/14/20231電力系統(tǒng)分析第三章同步發(fā)電機的基本方程同步發(fā)電機的回憶復習現(xiàn)代電力工業(yè)中，無論是火力發(fā)電、水力發(fā)電或核能發(fā)電，幾乎全部采用同步交流發(fā)電機。電機的電樞布置在定子上，勵磁繞組布置在轉子上（旋轉式磁極）。同步發(fā)電機的轉速n(轉/min)、系統(tǒng)頻率(Hz)之間的關系：n=60f/p11/14/20232電力系統(tǒng)分析第三章同步發(fā)電機的基本方程根據(jù)轉子結構形式隱極式發(fā)電機凸極式發(fā)電機氣隙均勻

氣隙不均勻

11/14/20233電力系統(tǒng)分析第三章同步發(fā)電機的基本方程本章內(nèi)容提要在一定前提條件下，提出同步發(fā)電機的原始方程；通過派克變換，實現(xiàn)從a、b、c系統(tǒng)到d、q、0坐標系統(tǒng)的轉換，得到發(fā)電機的基本方程及其標幺制形式；11/14/20234電力系統(tǒng)分析第三章同步發(fā)電機的基本方程一、理想同步電機的假設忽略磁路飽和、磁滯、渦流影響，假設電機鐵心部分導磁系數(shù)為常數(shù)。（即線性元件、疊加原理）電機轉子在結構上對于縱軸（d）和橫軸（q）分別對稱。定子的a、b、c三相繞組的空間位置互差120°，完全對稱而又相同的三個繞組，氣隙中產(chǎn)生正弦分布的磁勢。定子繞組沿定子均勻分布，電機空載，轉子恒速旋轉時，轉子繞組的磁動勢在定子繞組所感應的空載電勢是時間的正弦函數(shù)。電機的定子和轉子具有光滑的表面。（即不考慮定轉子槽、通風溝等）Go:正向選取3.1基本前提11/14/20235電力系統(tǒng)分析第三章同步發(fā)電機的基本方程同步發(fā)電機各繞組軸線正方向示意圖（凸極）n11/14/20236電力系統(tǒng)分析第三章同步發(fā)電機的基本方程正方向確定的描述：定子三相繞組ax、by、cz中心軸線a、b、c彼此相差120°。c相滯后a相軸線120°，b相軸線滯后a相240°。轉子極中心線用d表示，縱（直）軸；極間軸q橫（交）軸。按轉子旋轉方向，q軸滯后d軸90°。勵磁繞組ff軸線與d軸重合；阻尼繞組用相互正交短接線路表示；DD縱軸阻尼繞組軸線與d軸重合；QQ橫軸阻尼繞組與q軸重合。隱極機轉子渦流效應可用阻尼繞組等效，外形不同，凸極機特例。Ψ正方向——i正方向——軸線正方向11/14/20237電力系統(tǒng)分析第三章同步發(fā)電機的基本方程二、假定正向的選取

定子回路定子電流的正方向——繞組中性點流向端點的方向各相感應電勢的正方向與相電流的相同向負荷側看，電壓降落方向與相電流正向一致。轉子各個繞組感應電勢的正方向與本繞組電流的正方向相同向勵磁繞組提供正向勵磁電流的外加勵磁電壓是正的兩個阻尼回路的外加電壓為零Go:正向選取11/14/20238電力系統(tǒng)分析第三章同步發(fā)電機的基本方程同步發(fā)電機的回路圖轉子定子efeDeQeaeceb11/14/20239電力系統(tǒng)分析第三章同步發(fā)電機的基本方程3.2同步發(fā)電機的原始方程

一、電勢方程和磁鏈方程

根據(jù)規(guī)定的正方向，定子和轉子各回路的矩陣電勢方程：v：各繞組端電壓；i:各繞組電流；r:定子每相繞組電阻；ψ:各繞組的總磁鏈；:磁鏈對時間的導數(shù)。定轉11/14/202310電力系統(tǒng)分析第三章同步發(fā)電機的基本方程rs:定子電阻矩陣rR:轉子電阻矩陣各繞組的磁鏈方程矩陣形式Laa:繞組a的自感系數(shù)Lab:繞組a和繞組b之間的互感系數(shù)11/14/202311電力系統(tǒng)分析第三章同步發(fā)電機的基本方程二、電感系數(shù)

定子繞組自感系數(shù)LaaLbbLcc

定子繞組間互感系數(shù)Lab=

LbaLab=

LbaLab=

Lba轉子繞組自感系數(shù)Lff

=LfLDD=LDLQQ=LQ轉子繞組間互感系數(shù)LfD

=

LDfLfQ

=

LQfLDQ=

LQD定轉子繞組間互感系數(shù)Laf

=

Lfa

Lbf

=

Lfb

Lcf=

LfcLaD

=

LDa

LbD

=

LDb

LcD

=

LDcLaQ

=

LQaLbQ

=

LQbLcQ

=

LQc11/14/202312電力系統(tǒng)分析第三章同步發(fā)電機的基本方程二、電感系數(shù)

1．定子各相繞組的自感系數(shù)a相為例a繞組有電流iaFa＝ωaiaωa為a相繞組的等效匝數(shù)λad和λaq分別表示沿d軸和q軸方向氣隙磁通路徑的磁導Fad軸分量Facosαq軸分量Fasinα定子繞組漏磁通λsσ：漏磁通路徑的磁導αω11/14/202313電力系統(tǒng)分析第三章同步發(fā)電機的基本方程電流ia產(chǎn)生的與a相繞組交鏈的磁鏈

Laal0l2Go：定子繞組的自感11/14/202314電力系統(tǒng)分析第三章同步發(fā)電機的基本方程α＝0°、180°a相軸線和d軸重合，只有很小氣隙，磁路磁阻最小，磁導最大→Laa最大α＝90°、270°a相軸線和d軸垂直，氣隙最大，磁路磁阻最大，磁導最小→Laa最小Laa是轉子位置角α的周期偶函數(shù)，Laa(α)＝

Laa(-α)T＝πLaa隨α角的變化還有種思路解釋Laa(更簡單)Go：定子繞組的自感11/14/202315電力系統(tǒng)分析第三章同步發(fā)電機的基本方程Laa是周期為π的偶函數(shù)，按偶函數(shù)分解傅氏級數(shù)（只有余弦項，變化周期為π，只有偶函數(shù)）根據(jù)假設，定子繞組在空間產(chǎn)生正弦分布磁動勢（不計諧波，自感也是正弦形式，忽略四次及以上分量）還有種思路解釋Laa(更簡單)11/14/202316電力系統(tǒng)分析第三章同步發(fā)電機的基本方程定子繞組的自感Laal0l2第二種思路第一種思路11/14/202317電力系統(tǒng)分析第三章同步發(fā)電機的基本方程定子三相繞組對稱，可得b、c相：注意：＝l011/14/202318電力系統(tǒng)分析第三章同步發(fā)電機的基本方程2．定子繞組間的互感系數(shù)

a相電流產(chǎn)生交鏈于b相繞組的磁鏈定子繞組的互感11/14/202319電力系統(tǒng)分析第三章同步發(fā)電機的基本方程ωa=ωb=ωm0m2Lab11/14/202320電力系統(tǒng)分析第三章同步發(fā)電機的基本方程Lab隨α角的變化α＝－30°、150°a相、b相耦合最緊，磁路磁阻最小互感最大，磁導最大→Lab最大α＝60°、240°a相、b相，磁路磁阻最大，磁導最小→Lab最小Lab是轉子位置角(α＋30°)的周期偶函數(shù)T＝π定子繞組的互感還有種思路解釋Lab

11/14/202321電力系統(tǒng)分析第三章同步發(fā)電機的基本方程Lab是周期為π的偶函數(shù)，按偶函數(shù)分解傅氏級數(shù)，根據(jù)假設，定子繞組在空間產(chǎn)生正弦分布磁動勢。11/14/202322電力系統(tǒng)分析第三章同步發(fā)電機的基本方程定子繞組間的電感m0m2LabGo：第二種思路Go：第一種思路11/14/202323電力系統(tǒng)分析第三章同步發(fā)電機的基本方程同理注意：11/14/202324電力系統(tǒng)分析第三章同步發(fā)電機的基本方程3．轉子上各繞組的自感系數(shù)和互感系數(shù)

1)轉子各繞組的自感系數(shù)Lff、LDD和LQQ轉子繞組電流產(chǎn)生的磁通(凸極機、隱極機)，由于磁路的磁導總是不變，因此轉子各繞組的自感系數(shù)都是常數(shù)記為Lf、LD和LQ

以勵磁繞組為例，對本繞組產(chǎn)生的磁鏈為：wf——等效匝數(shù)if——繞組電流λσf——勵磁繞組漏磁磁導11/14/202325電力系統(tǒng)分析第三章同步發(fā)電機的基本方程2)轉子各繞組間的互感系數(shù)為常數(shù)兩個縱軸繞組（勵磁繞組f和阻尼繞組D）之間的互感系數(shù)

LfD=LDf=常數(shù)轉子的縱軸繞組f、D和橫軸繞組Q的軸線互相垂直，它們之間的互感系數(shù)為零即LfQ=LQf=LDQ=LQD=011/14/202326電力系統(tǒng)分析第三章同步發(fā)電機的基本方程4．定子繞組和轉子繞組間的互感系數(shù)（1）定子繞組與勵磁繞組間的互感系數(shù)：以勵磁繞組與定子a相繞組間的互感為例，當勵磁繞組有電流if時，其對a相繞組產(chǎn)生的互感磁鏈。a相d軸α11/14/202327電力系統(tǒng)分析第三章同步發(fā)電機的基本方程ax定子繞組和勵磁繞組間互感11/14/202328電力系統(tǒng)分析第三章同步發(fā)電機的基本方程另一種解釋：α＝0°，d軸和a軸重合，磁導最大，正方向相同，交鏈磁通有最大的正值，互感最大。α＝90°、270°，d軸和a軸垂直，a相繞組和f繞組交鏈的磁鏈正交，互感為零。α＝180°，d軸和a軸反向重合，交鏈磁通有負的最大值，互感為負的最大值。11/14/202329電力系統(tǒng)分析第三章同步發(fā)電機的基本方程（2）定子各相繞組與縱軸阻尼繞組間的互感系數(shù)

LaD＝LDa＝maDcosαLbD＝LDb＝maDcos(α-120°)

LcD＝LDc＝maDcos(α+120°)

（3）轉子橫軸落后縱軸90°,定子繞組和橫軸阻尼繞組間的互感系數(shù)為：

LaQ＝LQa＝maQsinα

LbQ＝LQb＝maQsin(α-120°)

LcQ＝LQc＝maQsin(α+120°)11/14/202330電力系統(tǒng)分析第三章同步發(fā)電機的基本方程小節(jié)在磁鏈方程中許多電感系數(shù)都隨轉子角α而周期變化。轉子角α是時間的函數(shù)。自感系數(shù)和互感系數(shù)隨時間而周期變化。即式3-1、3-3為變系數(shù)的微分方程，求解發(fā)電機的運行狀態(tài)十分不便。美國工程師派克（park）于1929年提出了一種坐標變換的方法，將a、b、c坐標系的量轉換為另一個坐標系統(tǒng)上的量，即派克變換，將變系數(shù)的微分方程變換成常系數(shù)微分方程，然后求解。11/14/202331電力系統(tǒng)分析第三章同步發(fā)電機的基本方程3.3d、q、0坐標系的同步電機方程一、派克變換和d、q、0系統(tǒng)磁鏈方程式中出現(xiàn)變系數(shù)（特別是凸極）轉子繞組相對于定子繞組旋轉；轉子不對稱，僅對d、q軸對稱。造成定、轉子繞組間互感，定子自、互感周期性變化。僅有轉子繞組自感和轉子繞組間互感為常數(shù)。電壓、磁鏈原始方程很難求解。11/14/202332電力系統(tǒng)分析第三章同步發(fā)電機的基本方程1、派克變換PARK定子a,b,c三相繞組對轉子的影響可考慮為其對轉子d,q軸的影響之效應和，為此我們引入一種數(shù)學變換，即：派克變換。從數(shù)學角度考慮，派克變換是一種線性變換；從物理意義上理解，它將觀察者的角度從靜止的定子繞組轉移到隨轉子一同旋轉的轉子上→→定子繞組自、互感，定、轉子繞組間互感變成常數(shù)，簡化同步電機的原始方程。11/14/202333電力系統(tǒng)分析第三章同步發(fā)電機的基本方程圖3-6定子電流通用相量電樞磁勢幅值不變，轉速恒定，對于轉子相對靜止。用一個以同步轉速旋轉的矢量來表示。定子電流用一個同步旋轉的通用相量ì表示（它對于定子各相繞組軸線的投影即是各相電流的瞬時值），那么，相量ì與矢量在任何時刻都同相位，而且在數(shù)值上成比例。把電流相量分解為縱軸分量id和橫軸分量iq。θ表示電流通用相量同a相繞組軸線的夾角abcdqθαiaiqid11/14/202334電力系統(tǒng)分析第三章同步發(fā)電機的基本方程定子三相電流的瞬時值:

ia=Icosθ ib=Icos(θ-120°) ic=Icos(θ+120°)abcdqθαiaiqiq※

總之，掌握park基本思想：定子用通用相量ì代表，ì與轉子同步旋轉。通用相量分別在a、b、c、d、q軸線上進行正交分解。用通用相量研究這時候的park變換，實現(xiàn)定子坐標轉換到旋轉的坐標系下。id=Icos(α-θ)iq=Isin(α-θ)11/14/202335電力系統(tǒng)分析第三章同步發(fā)電機的基本方程利用下面三角恒等式cos(α-θ)=2/3[cosαcosθ+cos(α-120°)cos(θ-120°)+cos(α+120°)cos(θ+120°)]sin(α-θ)=2/3[sinαcosθ+sin(α-120°)cos(θ-120°)+sin(α+120°)cos(θ+120°)]得

id=2/3[iacosα+ibcos(α-120°)+iccos(α+120°)]iq=2/3[iasinα+ibsin(α-120°)+icsin(α+120°)]

i0=1/3（ia+ib+ic）注：i0為定子電流的零軸分量,在三相不平衡時介紹11/14/202336電力系統(tǒng)分析第三章同步發(fā)電機的基本方程將iaibic轉換為idiqi0，需要經(jīng)如下變換:

（3-22）（3-23）P11/14/202337電力系統(tǒng)分析第三章同步發(fā)電機的基本方程矩陣P非奇異，因此存在逆陣P-1，即

（3-26）P-111/14/202338電力系統(tǒng)分析第三章同步發(fā)電機的基本方程2、坐標變化定子電流三相對稱，用通用相量代替三相對稱電流，得到id、iq兩個直流分量。 不存在零軸分量i0。11/14/202339電力系統(tǒng)分析第三章同步發(fā)電機的基本方程三相平衡系統(tǒng)通過三相不對稱電流，ia+ib+ic＝0。id、iq兩個變化的分量。ia，ib，ic三相不平衡時，ia+ib+ic≠0，每相中都含有相同的零軸電流i0：i0=1/3（ia+ib+ic）。三相零軸電流大小一樣，空間互差120°，其在氣隙中的合成磁勢為零，只產(chǎn)生與定子繞組相交鏈的磁通，不產(chǎn)生與轉子繞組交鏈的磁通。ia=i′a+i0ib=i′b+i0ic=i′c+i0i′a+i′b+i′c=0i0=1/3（ia+ib+ic）用通用相量I表示i′a、i′b、i′c，再加上i0，代表定子三相電流。11/14/202340電力系統(tǒng)分析第三章同步發(fā)電機的基本方程11/14/202341電力系統(tǒng)分析第三章同步發(fā)電機的基本方程P55例題3－1（請結合例題記下來）

a,b,c系統(tǒng)中的直流分量和倍頻交流分量對應于d,q,0系統(tǒng)的基頻分量，a,b,c系統(tǒng)中的基頻交流分量對應于d,q,0系統(tǒng)的直流分量。定子三相對稱電流ia，ib，ic旋轉磁場ω′ω′=0ia，ib，ic直流ω′=2ωω′=ωia，ib，ic倍頻交流ia，ib，ic基頻交流id，iq基頻交流Park變換Park變換id，iq直流11/14/202342電力系統(tǒng)分析第三章同步發(fā)電機的基本方程[例]發(fā)電機轉速為ω，定子三相電流分別為

試計算經(jīng)派克變換后的id,iq,i0。

解：（1）依據(jù)式（3-23）知d軸和a軸間的夾角為：α0為t=0時刻d軸和a相軸間的夾角因此上式的結果為：三相不平衡11/14/202343電力系統(tǒng)分析第三章同步發(fā)電機的基本方程11/14/202344電力系統(tǒng)分析第三章同步發(fā)電機的基本方程同理可得定子電壓u、磁鏈Ψ的d、q、0系統(tǒng)的形式：

11/14/202345電力系統(tǒng)分析第三章同步發(fā)電機的基本方程二、d、q、0系統(tǒng)的電勢方程

定子的電勢方程為：全式左乘P，便得：由于上式求導：得到用d、q、0軸分量表示的電勢方程式：原始方程：11/14/202346電力系統(tǒng)分析第三章同步發(fā)電機的基本方程或者展開寫成式中（3-31）11/14/202347電力系統(tǒng)分析第三章同步發(fā)電機的基本方程1、dd和qq繞組中的電勢包含的兩個分量變壓器電勢：磁鏈對時間的導數(shù)發(fā)電機電勢：磁鏈同轉速的乘積d、q軸電壓方程多了ωψ項——靜止abc變到旋轉dq軸第三個方程是獨立的。11/14/202348電力系統(tǒng)分析第三章同步發(fā)電機的基本方程2、穩(wěn)態(tài)dq0坐標下的方程穩(wěn)態(tài)運行，id、iq

、if為常數(shù)。ψd、ψq為常數(shù)三相對稱i0=0,ψ0=011/14/202349電力系統(tǒng)分析第三章同步發(fā)電機的基本方程三、d、q、0系統(tǒng)的磁鏈方程和電感系數(shù)（3-32）（3-33）式（3-32）左乘以P，并利用關系式（3-26），得：通過矩陣演算可得：（3-37）11/14/202350電力系統(tǒng)分析第三章同步發(fā)電機的基本方程變換到d、q、0坐標系的磁鏈方程：

將上述表達式代入（3-34）和（3-35），將其合寫為

（3-37）11/14/202351電力系統(tǒng)分析第三章同步發(fā)電機的基本方程定子、轉子磁鏈方程展開原三相定子繞組用三個假想繞組來代替。其中零序繞組，在轉子空間的合成磁場為零——兩個旋轉繞組代替原固定三相繞組。11/14/202352電力系統(tǒng)分析第三章同步發(fā)電機的基本方程磁鏈方程的解釋1.方程中各項電感系數(shù)都變?yōu)槌?shù)。L－自感m－互感11/14/202353電力系統(tǒng)分析第三章同步發(fā)電機的基本方程等效繞組dd交鏈的磁鏈Ψd：dd繞組電流id產(chǎn)生的磁鏈；勵磁繞組及d軸阻尼繞組產(chǎn)生的互感磁鏈。

dd繞組的軸線和d軸一致；d軸向的導磁系數(shù)為常數(shù)→→Ld為常數(shù)；互感系數(shù)maf、maD也為常數(shù)。同理，Lq為常數(shù)，maQ為常數(shù)。三相電流中含有相等的零軸電流，三相繞組空間對稱分布，三相零軸電流在轉子空間的合成磁場為零，不與轉子繞組交鏈——L0為常數(shù)。11/14/202354電力系統(tǒng)分析第三章同步發(fā)電機的基本方程Ld：包含定子一相繞組的漏自感；兩相繞組間的漏互感；穿過氣隙的電感系數(shù)為一相繞組單獨作用時的3/2倍。Lq：為三相電流共同作用下的一種解耦后的一相等值電感系數(shù)L0：為一相等值的零軸電感系數(shù)，只與漏自感及漏互感有關?？v軸同步電感橫軸同步電感零軸電感進一步分析定子磁鏈方程中的電感11/14/202355電力系統(tǒng)分析第三章同步發(fā)電機的基本方程2.定轉子繞組間的互感系數(shù)不可逆，磁鏈方程變得不對稱。轉子繞組產(chǎn)生的磁鏈，對等效定子繞組dd、qq的互感系數(shù)等效定子繞組dd、qq的電流id、iq產(chǎn)生的磁鏈對轉子繞組的互感系數(shù)11/14/202356電力系統(tǒng)分析第三章同步發(fā)電機的基本方程不對稱的原因：由等效定子繞組電流id、iq產(chǎn)生的磁鏈對轉子繞組的互感磁鏈等于定子三相電流產(chǎn)生的合成旋轉磁勢對轉子繞組的互感磁鏈。mfa、mDa

、mQa——定子一相繞組電流對轉子互感系數(shù)。定子三相合成磁勢F，定子一相磁勢Fm：F＝(3/2)Fm。磁鏈守恒，必須將等效繞組dd、qq對轉子繞組的互感系數(shù)擴大3/2。11/14/202357電力系統(tǒng)分析第三章同步發(fā)電機的基本方程習慣上常將d、q、0系統(tǒng)中的電勢方程和磁鏈方程合稱為同步電機的基本方程，亦稱派克方程。11/14/202358電力系統(tǒng)分析第三章同步發(fā)電機的基本方程3.4同步電機的常用標幺制

1、定子側基準值選取定子額定相電壓、定子額定相電流的幅值分別作為電壓與電流瞬時值的基準值：額定同步轉速為角速度的基值：11/14/202359電力系統(tǒng)分析第三章同步發(fā)電機的基本方程確定其他各物理量基值：

發(fā)電機三相功率基準值：基準角速度轉過一弧度所需的時間11/14/202360電力系統(tǒng)分析第三章同步發(fā)電機的基本方程2、轉子側基準值（書上方法）

轉子側基值選擇關鍵：確定轉子和定子繞組基值之間的關系。方法：把同步電動機看作等效變壓器——轉子基準電流值產(chǎn)生的磁勢應同定子三相對稱電流產(chǎn)生的磁勢相等?；虮硎径ㄗ优c轉子繞組的有效匝數(shù)比。11/14/202361電力系統(tǒng)分析第三章同步發(fā)電機的基本方程轉子繞組中阻抗、電感、磁鏈的基準值同可以由前面選定的基準值求出。按這樣選出的基準值，在標幺制的磁連方程中，轉子對定子和定子對轉子的互感系數(shù)變?yōu)橄嗟取６ㄗ优c轉子繞組作為磁耦合電路，應有相同的功率基準值和時間基準值，于是有：得：11/14/202362電力系統(tǒng)分析第三章同步發(fā)電機的基本方程定子、轉子各物理量都用標幺值表示的同步電機的基本方程為：11/14/202363電力系統(tǒng)分析第三章同步發(fā)電機的基本方程3.6同步電機的對稱穩(wěn)態(tài)運行一、基本方程的實用化假定：（1）轉子轉速不變并等于額定轉速。（2）電機縱軸向三個繞組只有一個公共磁通，不存在只同兩個繞組交鏈的漏磁通。（3）略去定子電勢方程中的變壓器電勢，即

（4）定子回路的電阻只在計算定子電流非周期分量衰減時予以計及，而在其他計算中則略去不計。11/14/202364電力系統(tǒng)分析第三章同步發(fā)電機的基本方程q軸d軸圖3-10各變量實用正