2022-2023學(xué)年江蘇省常州市教育學(xué)會(huì)高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江蘇省常州市教育學(xué)會(huì)2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題〖答案〗后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的〖答案〗標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他〖答案〗標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將〖答案〗寫在答題卡上.寫在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，將答題卡交回.一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知為復(fù)數(shù)，為的共軛復(fù)數(shù)，且，則的虛部是（）A. B. C.5 D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)榕c互為共軛復(fù)數(shù)，所以的虛部與的虛部互為相反數(shù).因?yàn)榈奶摬繛?，所以的虛部?故選：D.2.設(shè)a，b是兩條不同的直線，，是兩個(gè)不同的平面，則下列選項(xiàng)中能得出的是（）A.，， B.，，C.，， D.，，〖答案〗A〖解析〗A.若，，，則，那么，故A正確；B.若，，，則，故B錯(cuò)誤；C.若，，則，或，又，則與有可能垂直，平行，或既不垂直也不平行，故C錯(cuò)誤；D.若，，，則與有可能垂直，平行，或既不垂直也不平行，故D錯(cuò)誤.故選：A.3.投擲3枚質(zhì)地均勻的正方體骰子，觀察正面向上的點(diǎn)數(shù)，則對(duì)于這3個(gè)點(diǎn)數(shù)，下列說(shuō)法正確的是（）A.有且只有1個(gè)奇數(shù)的概率為B.事件“都是奇數(shù)”和事件“都是偶數(shù)”是對(duì)立事件C.在已知有奇數(shù)的條件下，至少有2個(gè)奇數(shù)的概率為D.事件“至少有1個(gè)是奇數(shù)”和事件“至少有1個(gè)是偶數(shù)”是互斥事件〖答案〗C〖解析〗A．每個(gè)骰子奇數(shù)點(diǎn)向上的概率為，則三個(gè)骰子有且只有1個(gè)奇數(shù)的概率，故A錯(cuò)誤；B．事件“都是奇數(shù)”和事件“都是偶數(shù)”不能構(gòu)成樣本空間，這兩個(gè)事件是互斥事件，不是對(duì)立事件，故B錯(cuò)誤；C．有奇數(shù)的對(duì)立事件是沒有奇數(shù)，即三個(gè)都是偶數(shù)，概率為，所以有奇數(shù)的概率,至少有2個(gè)奇數(shù)的概率,所以在已知有奇數(shù)的條件下，至少有2個(gè)奇數(shù)的概率，故C正確；D．事件“至少有1個(gè)是奇數(shù)”包含事件：1個(gè)奇數(shù)，2個(gè)偶數(shù)，或2個(gè)奇數(shù)，1個(gè)偶數(shù)，或3個(gè)奇數(shù)，事件“至少有1個(gè)是偶數(shù)”包含事件：1個(gè)偶數(shù)，2個(gè)奇數(shù)，或2個(gè)偶數(shù)，1個(gè)奇數(shù)，或3個(gè)偶數(shù)，兩個(gè)事件有公共事件：1個(gè)奇數(shù)，2個(gè)偶數(shù)，或2個(gè)奇數(shù)，1個(gè)偶數(shù)，所以不是互斥事件，故D錯(cuò)誤.故選：C.4.已知平面上的三點(diǎn)A，B，C滿足，，向量與的夾角為，且，則實(shí)數(shù)（）A.0 B.1 C.－2 D.2〖答案〗D〖解析〗因?yàn)椋?，因?yàn)?，，向量與的夾角為，所以，所以，所以.故選：D.5.一個(gè)不透明的盒子里裝有10個(gè)大小形狀都相同的小球，其中3個(gè)黑色、7個(gè)白色，現(xiàn)在3個(gè)人依次從中隨機(jī)地各取一個(gè)小球，前一個(gè)人取出一個(gè)小球記錄顏色后放回盒子，后一個(gè)人接著取球，則這3個(gè)人中恰有一人取到黑球的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)槭怯蟹呕氐厝∏?，所以每個(gè)人取到黑球的概率相同，且每個(gè)人取到黑球的概率為，所以3個(gè)人中恰有一人取到黑球的概率為：.故選：D.6.已知圓錐的高為1，體積為，則過(guò)圓錐頂點(diǎn)作圓錐截面的面積最大值為（）A. B.2 C. D.〖答案〗B〖解析〗設(shè)圓錐的底面半徑為，高為，母線為，則，得，，如圖，下圖為圓錐的軸截面，等腰三角形，，則，則等腰三角形的頂角為，所以過(guò)圓錐頂點(diǎn)作圓錐截面，設(shè)頂角為，面積，當(dāng)頂角為時(shí)，面積最大，最大值為.故選：B.7.對(duì)一個(gè)十位數(shù)1234567890，現(xiàn)將其中3個(gè)數(shù)位上的數(shù)字進(jìn)行調(diào)換，使得這3個(gè)數(shù)字都不在原來(lái)的數(shù)位上，其他數(shù)位上的數(shù)字不變，則可以得到不同的十位數(shù)（首位不為0）的個(gè)數(shù)為（）A.120 B.232 C.240 D.360〖答案〗B〖解析〗第一種情況，若這3個(gè)數(shù)位沒有0，則在其它9位任選3個(gè)數(shù)位，每個(gè)數(shù)位都不是原來(lái)的數(shù)位有2種方法，則有，第二種情況，若這3個(gè)數(shù)位有個(gè)位0，和首位1，其它8位任選1個(gè)數(shù)位，每個(gè)數(shù)位都不是原來(lái)的數(shù)位有1種方法，有種方法，第三種情況，若這3個(gè)數(shù)位有個(gè)位0，除首位之外的其它8位任選2個(gè)數(shù)位，有種方法，則得到不同的十位數(shù)有.故選：B.8.正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為，各側(cè)棱長(zhǎng)為2，各頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則過(guò)球心與底面平行的平面截得的臺(tái)體體積是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗設(shè)底面正方形的中心為，正四棱錐的外接球的球心為，過(guò)球心與底面平行的平面與棱錐的側(cè)面交于正方形，因?yàn)檎叫蔚倪呴L(zhǎng)為，所以，因?yàn)?，所以，設(shè)正四棱錐的外接球的半徑為，則，在中，，因?yàn)?，所以，解得，所以，因?yàn)椤?，所以，所以，得，因?yàn)樗倪呅螢檎叫危?，所以，所以所求臺(tái)體的體積為，故選：C.二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知復(fù)數(shù)，，，則下列說(shuō)法正確的有（）A. B.C.若，則 D.若，則〖答案〗AB〖解析〗設(shè)，對(duì)于A，因?yàn)?，則，且，所以，故正確；對(duì)于B，因?yàn)?，所以，，所以，故正確；對(duì)于C，因?yàn)?，，所以，，且，所以，所以，因?yàn)椴灰欢ǖ扔?，所以錯(cuò)誤；對(duì)于D，若和為實(shí)數(shù)，但是和不一定為實(shí)數(shù)，故錯(cuò)誤；故選：AB.10.下列說(shuō)法正確的有（）A.在中，，則為銳角三角形B.已知O為的內(nèi)心，且，，則C.已知非零向量，滿足：，，則的最小值為D.已知，，且與的夾角為鈍角，則實(shí)數(shù)的取值范圍是〖答案〗BD〖解析〗對(duì)于A，在中，，說(shuō)明角C是銳角，不能判斷角A、B是否為銳角，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，不妨記，建系如圖，，記，由的面積得，，可得，所以，故，，，滿足，故B正確；對(duì)于C，記與夾角為，由，，可得，即，又，即，又，即，，所以，記，則研究，，令，則，可得，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，的最小值為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)?，，且與的夾角為鈍角，所以，且與不共線，即，可得，當(dāng)與共線時(shí)，，可得，所以的取值范圍是，故D正確.故選：BD.11.某課外興趣小組在探究學(xué)習(xí)活動(dòng)中，測(cè)得的10組數(shù)據(jù)如下表所示：x165168170172173174175177179182y55896165677075757880由最小二乘法計(jì)算得到線性回歸方程為，相關(guān)系數(shù)為；經(jīng)過(guò)觀察散點(diǎn)圖，分析殘差，把數(shù)據(jù)去掉后，再用剩下的9組數(shù)據(jù)計(jì)算得到線性回歸方程為，相關(guān)系數(shù)為.則（）A. B. C. D.，〖答案〗BCD〖解析〗身高的平均數(shù)為，因?yàn)殡x群點(diǎn)的橫坐標(biāo)168小于平均值173.5，縱坐標(biāo)89相對(duì)過(guò)大，所以去掉離群點(diǎn)后經(jīng)驗(yàn)回歸直線的截距變小而斜率變大，所以，，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，選項(xiàng)B正確，去掉離群點(diǎn)后成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度更強(qiáng)，擬合效果會(huì)更好，所以，由表格可知，隨著的增大，變大，所以，，，所以，故選項(xiàng)C正確，選項(xiàng)D正確.故選：BCD.12.已知在棱長(zhǎng)為4的正方體中，點(diǎn)O為正方形的中心，點(diǎn)P在棱上，下列說(shuō)法正確的有（）A.B.當(dāng)直線AP與平面所成角的正切值為時(shí)，C.當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到平面的距離是D.當(dāng)時(shí)，以O(shè)為球心，OP為半徑的球面與側(cè)面的交線長(zhǎng)為〖答案〗ABD〖解析〗對(duì)于選項(xiàng)A，由正方體得平面，所以,又.又,所以,因?yàn)槠矫?,所以平面,所以.所以該選項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)B，連接,則就是直線AP與平面所成角，所以，所以該選項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)C,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則,設(shè)平面的法向量為，所以，又.所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，取的中點(diǎn)，由題得,則截面圓的半徑為.由題得截面圓的圓心為點(diǎn),在平面內(nèi)作，且.以點(diǎn)為圓心，以為半徑作圓與棱分別交于.所以.所以，以O(shè)為球心，OP為半徑的球面與側(cè)面的交線為以點(diǎn)E為圓心，以為半徑，圓心角為的扇形的弧長(zhǎng)，所以以O(shè)為球心，OP為半徑的球面與側(cè)面的交線長(zhǎng).所以該選項(xiàng)正確.故選：ABD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)的系數(shù)是______.（用數(shù)字作答）〖答案〗252〖解析〗因?yàn)?，所以展開式中最大的二項(xiàng)式系數(shù)為，對(duì)應(yīng)的是第6項(xiàng)，第6項(xiàng)的系數(shù)是.故〖答案〗為：252.14.在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，以為旋轉(zhuǎn)中心，將線段按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，得到線段，則向量在向量上的投影向量的坐標(biāo)是______.〖答案〗〖解析〗如圖，因?yàn)?，，所以，則，所以，，過(guò)點(diǎn)作軸，交軸于點(diǎn)，則，，所以，則，，所以，所以向量在向量上的投影向量為.故〖答案〗為：.15.已知平面四邊形ABCD，，，，則______.〖答案〗〖解析〗以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立平面直角坐標(biāo)系.設(shè)，則由題意知.則.所以.因?yàn)?所以,整理化簡(jiǎn)得.故.故〖答案〗為：.16.已知在矩形中，，，P為AB的中點(diǎn)，將沿DP翻折，得到四棱錐，則二面角的余弦值最小是______.〖答案〗〖解析〗矩形，連接，與相交于點(diǎn)，因?yàn)椋?，P為AB的中點(diǎn)，所以，則∽，所以，則，故⊥，將將沿DP翻折，則由⊥，⊥，因?yàn)椋矫?，所以⊥平面，過(guò)點(diǎn)作⊥于點(diǎn)，則⊥，又，平面，所以⊥平面，過(guò)點(diǎn)作⊥于點(diǎn)，連接，因?yàn)槠矫?，所以⊥，因?yàn)?，平面，所以⊥平面，因?yàn)槠矫?，所以⊥，故即為二面角的平面角，顯然為銳角，在矩形中，，故，，設(shè)，則，，故，因?yàn)椋?，則，設(shè)，，則，所以，即，解得，即，因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以，故，時(shí)，等號(hào)成立，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以二面角的余弦值最小值為.故〖答案〗為：.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.設(shè)z是虛數(shù)，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，z，，對(duì)應(yīng)的向量分別為，，.（1）證明：O，B，C三點(diǎn)共線；（2）若，求向量的坐標(biāo).（1）證明；設(shè)，，則，a，，所以.，所以，所以.又因?yàn)镺為公共點(diǎn)，所以O(shè)，B，C三點(diǎn)共線.（2）解：因?yàn)?，則，又因?yàn)閦是虛數(shù)，所以.，所以.18.如圖，在六面體中，，平面菱形ABCD.證明：（1）B，，，D四點(diǎn)共面；（2）.證明：（1）由，平面，平面，所以平面.又因?yàn)槠矫妫矫嫫矫?，所?同理：，所以，所以B，，，D四點(diǎn)共面.（2）菱形ABCD中，又因?yàn)槠矫嫫矫鍭BCD，且平面平面，平面ABCD，所以平面.因?yàn)槠矫?，所以，由?）有，所以.19.在平面直角坐標(biāo)系中三點(diǎn)A，B，C滿足，，D，E分別是線段BC，AC上的點(diǎn)，滿足，，AD與BE的交點(diǎn)為G.（1）求的余弦值；（2）求向量的坐標(biāo).解：（1）由題意，在平面直角坐標(biāo)系中，將，平移到以原點(diǎn)為起點(diǎn)，如圖，因?yàn)?，，，，所以，又，所?（2）由題意及（1）得，在平面直角坐標(biāo)系中，A，G，D三點(diǎn)共線，所以，，所以由平面向量基本定理，得，解得：，故.20.某種季節(jié)性疾病可分為輕癥、重癥兩種類型，為了解該疾病癥狀輕重與年齡的關(guān)系，在某地隨機(jī)抽取了患該疾病的位病人進(jìn)行調(diào)查，其中年齡不超過(guò)50歲的患者人數(shù)為，輕癥占；年齡超過(guò)50歲的患者人數(shù)為，輕癥占.（1）完成下面的列聯(lián)表.若要有99%以上的把握認(rèn)為“該疾病癥狀輕重”與“年齡”有關(guān)，則抽取的年齡不超過(guò)50歲的患者至少有多少人？輕癥重癥合計(jì)不超過(guò)50歲s超過(guò)50歲2s合計(jì)3s附：（其中），.（2）某藥品研發(fā)公司安排甲、乙兩個(gè)研發(fā)團(tuán)隊(duì)分別研發(fā)預(yù)防此疾病的疫苗，兩個(gè)團(tuán)隊(duì)各至多安排2個(gè)周期進(jìn)行疫苗接種試驗(yàn)，每人每次疫苗接種花費(fèi)元.甲團(tuán)隊(duì)研發(fā)的藥物每次疫苗接種后產(chǎn)生抗體的概率為，根據(jù)以往試驗(yàn)統(tǒng)計(jì)，甲團(tuán)隊(duì)平均花費(fèi)為.乙團(tuán)隊(duì)研發(fā)的藥物每次疫苗接種后產(chǎn)生抗體的概率為，每個(gè)周期必須完成3次疫苗接種，若第一個(gè)周期內(nèi)至少出現(xiàn)2次抗體，則該周期結(jié)束后終止試驗(yàn)，否則進(jìn)入第二個(gè)疫苗接種周期.假設(shè)兩個(gè)研發(fā)團(tuán)隊(duì)每次疫苗接種后產(chǎn)生抗體與否均相互獨(dú)立.若，從兩個(gè)團(tuán)隊(duì)試驗(yàn)的平均花費(fèi)考慮，該公司應(yīng)如何選擇團(tuán)隊(duì)進(jìn)行藥品研發(fā)？解：（1）列聯(lián)表如下：輕癥重癥合計(jì)不超過(guò)50歲s超過(guò)50歲2s合計(jì)3s要有99%以上的把握認(rèn)為“該疾病癥狀輕重”與“年齡”有關(guān)，則.解得，由題意知是6的倍數(shù)，所以s的最小整數(shù)值為12.所以抽取的年齡不超過(guò)50歲的患者至少有12人.（2）甲研發(fā)團(tuán)隊(duì)試驗(yàn)總花費(fèi)為X元，根據(jù)以往試驗(yàn)統(tǒng)計(jì)得，設(shè)乙研發(fā)團(tuán)隊(duì)試驗(yàn)總花費(fèi)為Y元，則Y的可能取值為3t，6t，所以，，所以.因?yàn)?，所以，所以乙團(tuán)隊(duì)試驗(yàn)的平均花費(fèi)較少，所以該公司應(yīng)選擇乙團(tuán)隊(duì)進(jìn)行研發(fā).21.記，.（1）化簡(jiǎn)：；（2）證明：的展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為.（1）解：因?yàn)?，的二?xiàng)展開式為，所以，所以，則，又，所以，故.（2）證明：因?yàn)榈恼归_式中含項(xiàng)的系數(shù)為，而.所以含項(xiàng)的系數(shù)為：.22.如圖，在多面體中，底面ABCD是菱形，且底面ABCD，，，點(diǎn)M在線段EF上.（1）若M為EF的中點(diǎn)，求直線AM和平面BDE的距離；（2）試確定M點(diǎn)位置，使二面角的余弦值為.解：（1）連接BD交AC于O，取EF中點(diǎn)G，因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，所以，O為AC中點(diǎn).因?yàn)?，，所以四邊形ACEF為平行四邊形.因?yàn)镺，G分別為AC，EF中點(diǎn)，所以.因?yàn)槠矫鍭BCD，AC，平面ABCD，所以，，所以，.以O(shè)為原點(diǎn)，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，所以，，設(shè)平面BDE的法向量，，所以，所以，.，所以平面BDE.設(shè)A到平面BDE距離為d，，，所以直線AM和平面BDE的距離為.（2）設(shè)，，因?yàn)?，，，所以，，，設(shè)平面ADM，平面ABM的法向量分別為，，，所以，所以，，所以.因?yàn)槎娼堑挠嘞抑禐?，所?解得或（舍），即，所以點(diǎn)是線段上靠近點(diǎn)的四等分點(diǎn).江蘇省常州市教育學(xué)會(huì)2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題〖答案〗后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的〖答案〗標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他〖答案〗標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將〖答案〗寫在答題卡上.寫在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，將答題卡交回.一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知為復(fù)數(shù)，為的共軛復(fù)數(shù)，且，則的虛部是（）A. B. C.5 D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)榕c互為共軛復(fù)數(shù)，所以的虛部與的虛部互為相反數(shù).因?yàn)榈奶摬繛?，所以的虛部?故選：D.2.設(shè)a，b是兩條不同的直線，，是兩個(gè)不同的平面，則下列選項(xiàng)中能得出的是（）A.，， B.，，C.，， D.，，〖答案〗A〖解析〗A.若，，，則，那么，故A正確；B.若，，，則，故B錯(cuò)誤；C.若，，則，或，又，則與有可能垂直，平行，或既不垂直也不平行，故C錯(cuò)誤；D.若，，，則與有可能垂直，平行，或既不垂直也不平行，故D錯(cuò)誤.故選：A.3.投擲3枚質(zhì)地均勻的正方體骰子，觀察正面向上的點(diǎn)數(shù)，則對(duì)于這3個(gè)點(diǎn)數(shù)，下列說(shuō)法正確的是（）A.有且只有1個(gè)奇數(shù)的概率為B.事件“都是奇數(shù)”和事件“都是偶數(shù)”是對(duì)立事件C.在已知有奇數(shù)的條件下，至少有2個(gè)奇數(shù)的概率為D.事件“至少有1個(gè)是奇數(shù)”和事件“至少有1個(gè)是偶數(shù)”是互斥事件〖答案〗C〖解析〗A．每個(gè)骰子奇數(shù)點(diǎn)向上的概率為，則三個(gè)骰子有且只有1個(gè)奇數(shù)的概率，故A錯(cuò)誤；B．事件“都是奇數(shù)”和事件“都是偶數(shù)”不能構(gòu)成樣本空間，這兩個(gè)事件是互斥事件，不是對(duì)立事件，故B錯(cuò)誤；C．有奇數(shù)的對(duì)立事件是沒有奇數(shù)，即三個(gè)都是偶數(shù)，概率為，所以有奇數(shù)的概率,至少有2個(gè)奇數(shù)的概率,所以在已知有奇數(shù)的條件下，至少有2個(gè)奇數(shù)的概率，故C正確；D．事件“至少有1個(gè)是奇數(shù)”包含事件：1個(gè)奇數(shù)，2個(gè)偶數(shù)，或2個(gè)奇數(shù)，1個(gè)偶數(shù)，或3個(gè)奇數(shù)，事件“至少有1個(gè)是偶數(shù)”包含事件：1個(gè)偶數(shù)，2個(gè)奇數(shù)，或2個(gè)偶數(shù)，1個(gè)奇數(shù)，或3個(gè)偶數(shù)，兩個(gè)事件有公共事件：1個(gè)奇數(shù)，2個(gè)偶數(shù)，或2個(gè)奇數(shù)，1個(gè)偶數(shù)，所以不是互斥事件，故D錯(cuò)誤.故選：C.4.已知平面上的三點(diǎn)A，B，C滿足，，向量與的夾角為，且，則實(shí)數(shù)（）A.0 B.1 C.－2 D.2〖答案〗D〖解析〗因?yàn)?，所以，因?yàn)?，，向量與的夾角為，所以，所以，所以.故選：D.5.一個(gè)不透明的盒子里裝有10個(gè)大小形狀都相同的小球，其中3個(gè)黑色、7個(gè)白色，現(xiàn)在3個(gè)人依次從中隨機(jī)地各取一個(gè)小球，前一個(gè)人取出一個(gè)小球記錄顏色后放回盒子，后一個(gè)人接著取球，則這3個(gè)人中恰有一人取到黑球的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)槭怯蟹呕氐厝∏?，所以每個(gè)人取到黑球的概率相同，且每個(gè)人取到黑球的概率為，所以3個(gè)人中恰有一人取到黑球的概率為：.故選：D.6.已知圓錐的高為1，體積為，則過(guò)圓錐頂點(diǎn)作圓錐截面的面積最大值為（）A. B.2 C. D.〖答案〗B〖解析〗設(shè)圓錐的底面半徑為，高為，母線為，則，得，，如圖，下圖為圓錐的軸截面，等腰三角形，，則，則等腰三角形的頂角為，所以過(guò)圓錐頂點(diǎn)作圓錐截面，設(shè)頂角為，面積，當(dāng)頂角為時(shí)，面積最大，最大值為.故選：B.7.對(duì)一個(gè)十位數(shù)1234567890，現(xiàn)將其中3個(gè)數(shù)位上的數(shù)字進(jìn)行調(diào)換，使得這3個(gè)數(shù)字都不在原來(lái)的數(shù)位上，其他數(shù)位上的數(shù)字不變，則可以得到不同的十位數(shù)（首位不為0）的個(gè)數(shù)為（）A.120 B.232 C.240 D.360〖答案〗B〖解析〗第一種情況，若這3個(gè)數(shù)位沒有0，則在其它9位任選3個(gè)數(shù)位，每個(gè)數(shù)位都不是原來(lái)的數(shù)位有2種方法，則有，第二種情況，若這3個(gè)數(shù)位有個(gè)位0，和首位1，其它8位任選1個(gè)數(shù)位，每個(gè)數(shù)位都不是原來(lái)的數(shù)位有1種方法，有種方法，第三種情況，若這3個(gè)數(shù)位有個(gè)位0，除首位之外的其它8位任選2個(gè)數(shù)位，有種方法，則得到不同的十位數(shù)有.故選：B.8.正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為，各側(cè)棱長(zhǎng)為2，各頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則過(guò)球心與底面平行的平面截得的臺(tái)體體積是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗設(shè)底面正方形的中心為，正四棱錐的外接球的球心為，過(guò)球心與底面平行的平面與棱錐的側(cè)面交于正方形，因?yàn)檎叫蔚倪呴L(zhǎng)為，所以，因?yàn)?，所以，設(shè)正四棱錐的外接球的半徑為，則，在中，，因?yàn)椋?，解得，所以，因?yàn)椤?，所以，所以，得，因?yàn)樗倪呅螢檎叫危?，所以，所以所求臺(tái)體的體積為，故選：C.二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知復(fù)數(shù)，，，則下列說(shuō)法正確的有（）A. B.C.若，則 D.若，則〖答案〗AB〖解析〗設(shè)，對(duì)于A，因?yàn)?，則，且，所以，故正確；對(duì)于B，因?yàn)椋?，，所以，故正確；對(duì)于C，因?yàn)?，，所以，，且，所以，所以，因?yàn)椴灰欢ǖ扔?，所以錯(cuò)誤；對(duì)于D，若和為實(shí)數(shù)，但是和不一定為實(shí)數(shù)，故錯(cuò)誤；故選：AB.10.下列說(shuō)法正確的有（）A.在中，，則為銳角三角形B.已知O為的內(nèi)心，且，，則C.已知非零向量，滿足：，，則的最小值為D.已知，，且與的夾角為鈍角，則實(shí)數(shù)的取值范圍是〖答案〗BD〖解析〗對(duì)于A，在中，，說(shuō)明角C是銳角，不能判斷角A、B是否為銳角，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，不妨記，建系如圖，，記，由的面積得，，可得，所以，故，，，滿足，故B正確；對(duì)于C，記與夾角為，由，，可得，即，又，即，又，即，，所以，記，則研究，，令，則，可得，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，的最小值為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)?，，且與的夾角為鈍角，所以，且與不共線，即，可得，當(dāng)與共線時(shí)，，可得，所以的取值范圍是，故D正確.故選：BD.11.某課外興趣小組在探究學(xué)習(xí)活動(dòng)中，測(cè)得的10組數(shù)據(jù)如下表所示：x165168170172173174175177179182y55896165677075757880由最小二乘法計(jì)算得到線性回歸方程為，相關(guān)系數(shù)為；經(jīng)過(guò)觀察散點(diǎn)圖，分析殘差，把數(shù)據(jù)去掉后，再用剩下的9組數(shù)據(jù)計(jì)算得到線性回歸方程為，相關(guān)系數(shù)為.則（）A. B. C. D.，〖答案〗BCD〖解析〗身高的平均數(shù)為，因?yàn)殡x群點(diǎn)的橫坐標(biāo)168小于平均值173.5，縱坐標(biāo)89相對(duì)過(guò)大，所以去掉離群點(diǎn)后經(jīng)驗(yàn)回歸直線的截距變小而斜率變大，所以，，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，選項(xiàng)B正確，去掉離群點(diǎn)后成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度更強(qiáng)，擬合效果會(huì)更好，所以，由表格可知，隨著的增大，變大，所以，，，所以，故選項(xiàng)C正確，選項(xiàng)D正確.故選：BCD.12.已知在棱長(zhǎng)為4的正方體中，點(diǎn)O為正方形的中心，點(diǎn)P在棱上，下列說(shuō)法正確的有（）A.B.當(dāng)直線AP與平面所成角的正切值為時(shí)，C.當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到平面的距離是D.當(dāng)時(shí)，以O(shè)為球心，OP為半徑的球面與側(cè)面的交線長(zhǎng)為〖答案〗ABD〖解析〗對(duì)于選項(xiàng)A，由正方體得平面，所以,又.又,所以,因?yàn)槠矫?,所以平面,所以.所以該選項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)B，連接,則就是直線AP與平面所成角，所以，所以該選項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)C,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則,設(shè)平面的法向量為，所以，又.所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，取的中點(diǎn)，由題得,則截面圓的半徑為.由題得截面圓的圓心為點(diǎn),在平面內(nèi)作，且.以點(diǎn)為圓心，以為半徑作圓與棱分別交于.所以.所以，以O(shè)為球心，OP為半徑的球面與側(cè)面的交線為以點(diǎn)E為圓心，以為半徑，圓心角為的扇形的弧長(zhǎng)，所以以O(shè)為球心，OP為半徑的球面與側(cè)面的交線長(zhǎng).所以該選項(xiàng)正確.故選：ABD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)的系數(shù)是______.（用數(shù)字作答）〖答案〗252〖解析〗因?yàn)?，所以展開式中最大的二項(xiàng)式系數(shù)為，對(duì)應(yīng)的是第6項(xiàng)，第6項(xiàng)的系數(shù)是.故〖答案〗為：252.14.在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，以為旋轉(zhuǎn)中心，將線段按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，得到線段，則向量在向量上的投影向量的坐標(biāo)是______.〖答案〗〖解析〗如圖，因?yàn)?，，所以，則，所以，，過(guò)點(diǎn)作軸，交軸于點(diǎn)，則，，所以，則，，所以，所以向量在向量上的投影向量為.故〖答案〗為：.15.已知平面四邊形ABCD，，，，則______.〖答案〗〖解析〗以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立平面直角坐標(biāo)系.設(shè)，則由題意知.則.所以.因?yàn)?所以,整理化簡(jiǎn)得.故.故〖答案〗為：.16.已知在矩形中，，，P為AB的中點(diǎn)，將沿DP翻折，得到四棱錐，則二面角的余弦值最小是______.〖答案〗〖解析〗矩形，連接，與相交于點(diǎn)，因?yàn)?，，P為AB的中點(diǎn)，所以，則∽，所以，則，故⊥，將將沿DP翻折，則由⊥，⊥，因?yàn)椋矫?，所以⊥平面，過(guò)點(diǎn)作⊥于點(diǎn)，則⊥，又，平面，所以⊥平面，過(guò)點(diǎn)作⊥于點(diǎn)，連接，因?yàn)槠矫?，所以⊥，因?yàn)?，平面，所以⊥平面，因?yàn)槠矫?，所以⊥，故即為二面角的平面角，顯然為銳角，在矩形中，，故，，設(shè)，則，，故，因?yàn)?，所以，則，設(shè)，，則，所以，即，解得，即，因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以，故，時(shí)，等號(hào)成立，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以二面角的余弦值最小值為.故〖答案〗為：.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.設(shè)z是虛數(shù)，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，z，，對(duì)應(yīng)的向量分別為，，.（1）證明：O，B，C三點(diǎn)共線；（2）若，求向量的坐標(biāo).（1）證明；設(shè)，，則，a，，所以.，所以，所以.又因?yàn)镺為公共點(diǎn)，所以O(shè)，B，C三點(diǎn)共線.（2）解：因?yàn)?，則，又因?yàn)閦是虛數(shù)，所以.，所以.18.如圖，在六面體中，，平面菱形ABCD.證明：（1）B，，，D四點(diǎn)共面；（2）.證明：（1）由，平面，平面，所以平面.又因?yàn)槠矫?，平面平面，所?同理：，所以，所以B，，，D四點(diǎn)共面.（2）菱形ABCD中，又因?yàn)槠矫嫫矫鍭BCD，且平面平面，平面ABCD，所以平面.因?yàn)槠矫妫?，由?）有，所以.19.在平面直角坐標(biāo)系中三點(diǎn)A，B，C滿足，，D，E分別是線段BC，AC上的點(diǎn)，滿足，，AD與BE的交點(diǎn)為G.（1）求的余弦值；（2）求向量的坐標(biāo).解：（1）由題意，在平面直角坐標(biāo)系中，將，平移到以原點(diǎn)為起點(diǎn)，如圖，因?yàn)?，，，，所以，又，所?（2）由題意及（1）得，在平面直角坐標(biāo)系中，A，G，D三點(diǎn)共線，所以，，所以由平面向量基本定理，得，解得：，故.20.某種季節(jié)性疾病可分為輕癥