2023屆新高考高三核心模擬數(shù)學試卷（中）（二）（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE12023屆新高考高三核心模擬卷（中）（二）數(shù)學一、選擇題1.若，其中，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗.故選：C.2.設集合或，若，則的取值范圍是（）A.或 B.或C. D.〖答案〗B〖解析〗由集合或，得，又集合且，則2或，即或.故選：B.3.已知函數(shù)且的圖象過定點，若拋物線也過點，則拋物線的準線方程為（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗因為對于，當，即時，恒有，因此函數(shù)的圖象過定點，而點在拋物線上，則，解得，所以拋物線的準線方程為.故選：B.4.若兩個向量、的夾角是，是單位向量，，，則向量與的夾角為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意，又由，所以，所以，設向量與的夾角為，其中，則，可得.故選：D.5.一種高產新品種水稻單株穗粒數(shù)和土壤鋅含量有關，現(xiàn)整理并收集了6組試驗數(shù)據(jù)，（單位：粒）與土壤鋅含量（單位：）得到樣本數(shù)據(jù)，令，并將繪制成如圖所示的散點圖.若用方程對與的關系進行擬合，則（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗因為，，令，則與的回歸方程為，根據(jù)散點圖可知與正相關，因此，又回歸直線的縱截距小于0，即，得，所以，.故詵：C6.展開式中常數(shù)項為（）A. B. C.1 D.481〖答案〗C〖解析〗根據(jù)二項式定理，表示個相乘，所以，展開式中常數(shù)項的情況有以下三種情況：①個中全部選項展開；②個中有1個選擇項，2個選擇項，3個選擇項展開；③個中有2個選擇項，4個選擇項展開.所以，其常數(shù)項為：.故選：C.7.已知是定義域為的奇函數(shù)，當時，，則不等式的解集為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意，可知且，當時，，則，即，可得，當時，，則，即單調遞增，由，則在上單調遞增，易知，則不等式等價于，可得，解得.故選：D.8.在三棱錐中，和都是邊長為的正三角形，當三棱錐的表面積最大時，其內切球的半徑是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗設三棱錐的表面積為，則，當，即時，表面積最大為.此時,過作的垂線，垂足為，連接，因為和都是正三角形，所以為中點，，因為平面,所以平面為三棱錐的高，為三棱錐的高，設三棱錐的體積為，則設內切球的半徑為，因為，所以，故選：A.二、選擇題9.設，且，那么（）A.有最小值B.有最小值C.有最小值D.有最小值〖答案〗ABC〖解析〗因為且，所以，解得或（舍），即（當且僅當時取等號），正確.，當且僅當時取等號，正確；因為，所以，解得（當且僅當時取等號），正確；（當且僅當時取等號），D錯誤.故選:.10.已知函數(shù)，則（）A.是偶函數(shù) B.在區(qū)間上單調遞增C.在上有4個零點 D.的值域是〖答案〗AB〖解析〗對于A，函數(shù)的定義域為，且，所以函數(shù)是偶函數(shù)，A正確；對于B，當時，.令，由于函數(shù)在時單調遞減，函數(shù)在時單調遞增，所以函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，故函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，B正確；對于C，當時，由，得或，所以或或，所以偶函數(shù)在上有6個零點，C不正確；對于D，當時，.因為，所以當時，，當時，.由于函數(shù)是偶函數(shù)，因此，函數(shù)的值域為，D不正確.故選：AB.11.已知曲線的方程為，曲線關于點的對稱曲線為，若以曲線與兩坐標軸的交點為頂點的四邊形面積為，則的值可能為（）A. B.1 C. D.0〖答案〗CD〖解析〗根據(jù)已知得曲線的方程為，設曲線上任意一點坐標為，它關于點的對稱點坐標為，則…①，依據(jù)中點坐標公式得到則代入①得到的方程為，如圖，由題意圓與兩坐標軸的交點為，則有，令得：，令得：，，曲線與坐標軸圍成的四邊形面積為，所以，解得或；故選：CD.12.如圖所示，在長方體中，是的中點，直線交平面于點，則（）A.三點共線B.的長度為1C.直線與平面所成角的正切值為D.的面積為〖答案〗ABD〖解析〗對于A，連結，則四點共面，平面平面，又平面在平面與平面的交線上，同理也在平面與平面的交線上.三點共線，故A正確：對于B，設直線與平面的交點為，易證平面平面，從而得到，因為為中點，所以為中點，同理可得為中點，所以，故B正確；對于C，取中點，連接，因為平面平面，則即為直線與平面所成角，，故C錯誤；對于D，因為，所以?，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知雙曲線的一個焦點到直線的距離為，則的離心率為__________.〖答案〗〖解析〗由已知得，雙曲線的焦點在軸上，且焦點坐標為，不妨取，它到直線的距離為，解得，所以雙曲線C的離心率為.故〖答案〗為：14.已知為銳角，且，則_______．〖答案〗〖解析〗由為銳角，且，所以，所以．故〖答案〗為：15.已知等比數(shù)列的公比為，前項和為，且滿足.若對一切正整數(shù)，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為__________.〖答案〗〖解析〗若，則，即，此時，與題意不符，舍去；若，由，可得，即，解得，則.對一切正整數(shù)，不等式恒成立，化簡得，分離可得，設，則，當時，，即；當時，，即，所以的最小值為，故〖答案〗為：.16.在銳角中，，則中線的取值范圍是__________.〖答案〗〖解析〗設，對運用正弦定理，得到，所以，因為該三角形為銳角三角形，所以根據(jù)余弦定理，可得，則，解得，由，得到，運用向量得到，所以，結合的范圍，代入，得到的范圍為.故〖答案〗為：.四、解答題17.已知數(shù)列的前項和為，且.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列滿足，設，求.（1）解：由，得，兩式相減，得，所以，即.又因為時，，所以，因為，所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列.所以.（2）解：由（1）得，.當時，，當時，綜上，18.如圖，在四邊形中，已知.（1）若，求的值；（2）若，四邊形的面積為4，求的值.（1）解：在中，∵，則∴．在中，由正弦定理得，，∴．∵，∴，∴．（2）解：在、中，由余弦定理得，，，從而①，由得，②，得，，∴．19.如圖所示，正方形與矩形所在平面互相垂直，為線段上一點.（1）求證：；（2）在線段上是否存在點，使二面角的大小為？若存在，求出的長；若不存在，說明理由.（1）證明：連接交于，連接，因為四邊形為正方形，所以，.因為正方形與矩形所在平面互相垂直，交線為平面，所以平面，.又平面，所以，又平面，所以平面，又平面，所以.（2）解：存在滿足條件的點.解法一：因為為正方形，所以，因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，因為平面，所以，，因為矩形中，所以，以為坐標原點，所在直線分別為軸?軸?軸建立空間直角坐標系，如圖.因為，則，所以.易知為平面的法向量，設，所以.設平面法向量，所以，即，取，得，又二面角大小為，所以，即，解得.又因為，所以，即.解法二：假設存在滿足條件的點，過點作于點，連接，因為為正方形，所以，因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，因為平面，所以，因為平面所以，所以為二面角的平面角，所以.在中，，所以，又在中，，，所以，因為，所以，所以，在中，，所以.20.現(xiàn)有甲、乙兩名運動員爭奪某項比賽的獎金，規(guī)定兩名運動員誰先贏局，誰便贏得全部獎金a元.假設每局甲贏的概率為，乙贏的概率為，且每場比賽相互獨立.在甲贏了局，乙贏了局時，比賽意外終止，獎金如何分配才合理？評委給出的方案是：甲、乙按照比賽再繼續(xù)進行下去各自贏得全部獎金的概率之比分配獎金.（1）若，求；（2）記事件A為“比賽繼續(xù)進行下去乙贏得全部獎金”，試求當時，比賽繼續(xù)進行下去甲贏得全部獎金的概率，并判斷當時，事件A是否為小概率事件，并說明理由.規(guī)定：若隨機事件發(fā)生的概率小于0.06，則稱該隨機事件為小概率事件.解：（1）設比賽再繼續(xù)進行局甲贏得全部獎金，則最后一局必然是甲贏，依題意，最多再進行2局，當時，甲以贏，，當時，甲以贏，，因此甲贏的概率為，則乙贏的概率為，所以.（2）設比賽再繼續(xù)進行局乙贏得全部獎金，則最后一局必然是乙贏，當時，乙以贏，，當時，乙以贏，，于是得乙贏得全部獎金的概率，甲贏得全部獎金的概率，，，即函數(shù)在上單調遞增，則有，因此乙贏的概率最大值為，所以事件A是小概率事件.21.已知橢圓過點，直線與交于兩點，且線段的中點為為坐標原點，直線的斜率為.（1）求的標準方程；（2）已知直線與有兩個不同的交點為軸上一點.是否存在實數(shù)，使得是以點為直角頂點的等腰直角三角形？若存在，求出的值及點的坐標；若不存在，請說明理由.（1）解：設，則，所以，由題知直線的斜率.因為在橢圓上，所以，兩式相減得，即，又，所以，即.又因為橢圓過點，所以，解得，所以橢圓的標準方程為.（2）解：聯(lián)立消整理得：.因為直線與橢圓交于兩點，故，解得.設，則.設中點，則，故.假設存在和點，使得是以為直角頂點的等腰直角三角形，則，故，所以，解得，故.又因為，所以，所以，即，整理得.所以，代入，整理得，即，所以或，即存在使得是以為頂點的等腰直角三角形.當時，點坐標；當時，點坐標為.此時，是以為直角頂點的等腰直角三角形.22.已知函數(shù).（1）討論的單調性；（2）若有兩個零點，證明：.（1）解：函數(shù)的定義域為，時，恒成立，所以在上單調遞減；時，令得，當時，；當時，，所以在上單調遞減，在上單調遞增.（2）證明：時，由（1）知至多有一個零點.時，由（1）知當時，取得最小值，最小值為.①當時，由于，故只有一個零點；②當時，即，故沒有零點；③當時，即，又，由（1）知在上有一個零點.又，由（1）知在有一個零點，所以在上有兩個零點，的取值范圍為不妨設，則，且，令，則，由于（且僅當?shù)忍柍闪?，所以當時，在單調遞減，又，所以，即，又，所以，又由于，且在上單調遞增，所以即.2023屆新高考高三核心模擬卷（中）（二）數(shù)學一、選擇題1.若，其中，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗.故選：C.2.設集合或，若，則的取值范圍是（）A.或 B.或C. D.〖答案〗B〖解析〗由集合或，得，又集合且，則2或，即或.故選：B.3.已知函數(shù)且的圖象過定點，若拋物線也過點，則拋物線的準線方程為（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗因為對于，當，即時，恒有，因此函數(shù)的圖象過定點，而點在拋物線上，則，解得，所以拋物線的準線方程為.故選：B.4.若兩個向量、的夾角是，是單位向量，，，則向量與的夾角為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意，又由，所以，所以，設向量與的夾角為，其中，則，可得.故選：D.5.一種高產新品種水稻單株穗粒數(shù)和土壤鋅含量有關，現(xiàn)整理并收集了6組試驗數(shù)據(jù)，（單位：粒）與土壤鋅含量（單位：）得到樣本數(shù)據(jù)，令，并將繪制成如圖所示的散點圖.若用方程對與的關系進行擬合，則（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗因為，，令，則與的回歸方程為，根據(jù)散點圖可知與正相關，因此，又回歸直線的縱截距小于0，即，得，所以，.故詵：C6.展開式中常數(shù)項為（）A. B. C.1 D.481〖答案〗C〖解析〗根據(jù)二項式定理，表示個相乘，所以，展開式中常數(shù)項的情況有以下三種情況：①個中全部選項展開；②個中有1個選擇項，2個選擇項，3個選擇項展開；③個中有2個選擇項，4個選擇項展開.所以，其常數(shù)項為：.故選：C.7.已知是定義域為的奇函數(shù)，當時，，則不等式的解集為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意，可知且，當時，，則，即，可得，當時，，則，即單調遞增，由，則在上單調遞增，易知，則不等式等價于，可得，解得.故選：D.8.在三棱錐中，和都是邊長為的正三角形，當三棱錐的表面積最大時，其內切球的半徑是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗設三棱錐的表面積為，則，當，即時，表面積最大為.此時,過作的垂線，垂足為，連接，因為和都是正三角形，所以為中點，，因為平面,所以平面為三棱錐的高，為三棱錐的高，設三棱錐的體積為，則設內切球的半徑為，因為，所以，故選：A.二、選擇題9.設，且，那么（）A.有最小值B.有最小值C.有最小值D.有最小值〖答案〗ABC〖解析〗因為且，所以，解得或（舍），即（當且僅當時取等號），正確.，當且僅當時取等號，正確；因為，所以，解得（當且僅當時取等號），正確；（當且僅當時取等號），D錯誤.故選:.10.已知函數(shù)，則（）A.是偶函數(shù) B.在區(qū)間上單調遞增C.在上有4個零點 D.的值域是〖答案〗AB〖解析〗對于A，函數(shù)的定義域為，且，所以函數(shù)是偶函數(shù)，A正確；對于B，當時，.令，由于函數(shù)在時單調遞減，函數(shù)在時單調遞增，所以函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，故函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，B正確；對于C，當時，由，得或，所以或或，所以偶函數(shù)在上有6個零點，C不正確；對于D，當時，.因為，所以當時，，當時，.由于函數(shù)是偶函數(shù)，因此，函數(shù)的值域為，D不正確.故選：AB.11.已知曲線的方程為，曲線關于點的對稱曲線為，若以曲線與兩坐標軸的交點為頂點的四邊形面積為，則的值可能為（）A. B.1 C. D.0〖答案〗CD〖解析〗根據(jù)已知得曲線的方程為，設曲線上任意一點坐標為，它關于點的對稱點坐標為，則…①，依據(jù)中點坐標公式得到則代入①得到的方程為，如圖，由題意圓與兩坐標軸的交點為，則有，令得：，令得：，，曲線與坐標軸圍成的四邊形面積為，所以，解得或；故選：CD.12.如圖所示，在長方體中，是的中點，直線交平面于點，則（）A.三點共線B.的長度為1C.直線與平面所成角的正切值為D.的面積為〖答案〗ABD〖解析〗對于A，連結，則四點共面，平面平面，又平面在平面與平面的交線上，同理也在平面與平面的交線上.三點共線，故A正確：對于B，設直線與平面的交點為，易證平面平面，從而得到，因為為中點，所以為中點，同理可得為中點，所以，故B正確；對于C，取中點，連接，因為平面平面，則即為直線與平面所成角，，故C錯誤；對于D，因為，所以?，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知雙曲線的一個焦點到直線的距離為，則的離心率為__________.〖答案〗〖解析〗由已知得，雙曲線的焦點在軸上，且焦點坐標為，不妨取，它到直線的距離為，解得，所以雙曲線C的離心率為.故〖答案〗為：14.已知為銳角，且，則_______．〖答案〗〖解析〗由為銳角，且，所以，所以．故〖答案〗為：15.已知等比數(shù)列的公比為，前項和為，且滿足.若對一切正整數(shù)，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為__________.〖答案〗〖解析〗若，則，即，此時，與題意不符，舍去；若，由，可得，即，解得，則.對一切正整數(shù)，不等式恒成立，化簡得，分離可得，設，則，當時，，即；當時，，即，所以的最小值為，故〖答案〗為：.16.在銳角中，，則中線的取值范圍是__________.〖答案〗〖解析〗設，對運用正弦定理，得到，所以，因為該三角形為銳角三角形，所以根據(jù)余弦定理，可得，則，解得，由，得到，運用向量得到，所以，結合的范圍，代入，得到的范圍為.故〖答案〗為：.四、解答題17.已知數(shù)列的前項和為，且.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列滿足，設，求.（1）解：由，得，兩式相減，得，所以，即.又因為時，，所以，因為，所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列.所以.（2）解：由（1）得，.當時，，當時，綜上，18.如圖，在四邊形中，已知.（1）若，求的值；（2）若，四邊形的面積為4，求的值.（1）解：在中，∵，則∴．在中，由正弦定理得，，∴．∵，∴，∴．（2）解：在、中，由余弦定理得，，，從而①，由得，②，得，，∴．19.如圖所示，正方形與矩形所在平面互相垂直，為線段上一點.（1）求證：；（2）在線段上是否存在點，使二面角的大小為？若存在，求出的長；若不存在，說明理由.（1）證明：連接交于，連接，因為四邊形為正方形，所以，.因為正方形與矩形所在平面互相垂直，交線為平面，所以平面，.又平面，所以，又平面，所以平面，又平面，所以.（2）解：存在滿足條件的點.解法一：因為為正方形，所以，因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，因為平面，所以，，因為矩形中，所以，以為坐標原點，所在直線分別為軸?軸?軸建立空間直角坐標系，如圖.因為，則，所以.易知為平面的法向量，設，所以.設平面法向量，所以，即，取，得，又二面角大小為，所以，即，解得.又因為，所以，即.解法二：假設存在滿足條件的點，過點作于點，連接，因為為正方形，所以，因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，因為平面，所以，因為平面所以，所以為二面角的平面角，所以.在中，，所以，又在中，，，所以，因為，所以，所以，在中，，所以.20.現(xiàn)有甲、乙兩名運動員爭奪某項比賽的獎金，規(guī)定兩名運動員誰先贏局，誰便贏得全部獎金a元.假設每局甲贏的概率為，乙贏的概率為，且每場比賽相互獨立.在甲贏了局，乙贏了局時，比賽意外終止，獎金如何分配才合理？評委給出的方案是：甲、乙按照比賽再繼續(xù)進行下去各自贏得全部獎金的概率之比分配獎金.（1）若，求；（2）記事件A為“比賽繼續(xù)進行下去乙贏得全部獎金”，試求當時，比賽繼續(xù)進行下去甲贏得全部獎金的概率，并判斷當時，事件A是否為小概率事件，并說明理由.規(guī)定：若隨機事件發(fā)生的概率小于0.06，則稱該隨機事件為小概率事件.解：（1）