初中數(shù)學練習題（含答案）

第1頁（共1頁）一．選擇題（共10小題）1．（2019?瀘州）已知二次函數(shù)y＝（x﹣a﹣1）（x﹣a+1）﹣3a+7（其中x是自變量）的圖象與x軸沒有公共點，且當x＜﹣1時，y隨x的增大而減小，則實數(shù)a的取值范圍是（）A．a(chǎn)＜2 B．a(chǎn)＞﹣1 C．﹣1＜a≤2 D．﹣1≤a＜22．（2019?婁底）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象如圖所示，下列結(jié)論中正確的是（）①abc＜0②b2﹣4ac＜0③2a＞b④（a+c）2＜b2A．1個 B．2個 C．3個 D．4個3．（2019?眉山）如圖，一束光線從點A（4，4）出發(fā)，經(jīng)y軸上的點C反射后經(jīng)過點B（1，0），則點C的坐標是（）A．（0，） B．（0，） C．（0，1） D．（0，2）4．（2019?眉山）如圖，在菱形ABCD中，已知AB＝4，∠ABC＝60°，∠EAF＝60°，點E在CB的延長線上，點F在DC的延長線上，有下列結(jié)論：①BE＝CF；②∠EAB＝∠CEF；③△ABE∽△EFC；④若∠BAE＝15°，則點F到BC的距離為2﹣2．則其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個5．（2019?舟山）小飛研究二次函數(shù)y＝﹣（x﹣m）2﹣m+1（m為常數(shù)）性質(zhì)時如下結(jié)論：①這個函數(shù)圖象的頂點始終在直線y＝﹣x+1上；②存在一個m的值，使得函數(shù)圖象的頂點與x軸的兩個交點構(gòu)成等腰直角三角形；③點A（x1，y1）與點B（x2，y2）在函數(shù)圖象上，若x1＜x2，x1+x2＞2m，則y1＜y2；④當﹣1＜x＜2時，y隨x的增大而增大，則m的取值范圍為m≥2．其中錯誤結(jié)論的序號是（）A．① B．② C．③ D．④6．（2019?大慶）如圖，在正方形ABCD中，邊長AB＝1，將正方形ABCD繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)180°至正方形AB1C1D1，則線段CD掃過的面積為（）A． B． C．π D．2π7．（2019?荊門）如圖，Rt△OCB的斜邊在y軸上，OC＝，含30°角的頂點與原點重合，直角頂點C在第二象限，將Rt△OCB繞原點順時針旋轉(zhuǎn)120°后得到△OC′B'，則B點的對應(yīng)點B′的坐標是（）A．（，﹣1） B．（1，﹣） C．（2，0） D．（，0）8．（2019?荊門）如圖，△ABC內(nèi)心為I，連接AI并延長交△ABC的外接圓于D，則線段DI與DB的關(guān)系是（）A．DI＝DB B．DI＞DB C．DI＜DB D．不確定9．（2019?貴港）如圖，E是正方形ABCD的邊AB的中點，點H與B關(guān)于CE對稱，EH的延長線與AD交于點F，與CD的延長線交于點N，點P在AD的延長線上，作正方形DPMN，連接CP，記正方形ABCD，DPMN的面積分別為S1，S2，則下列結(jié)論錯誤的是（）A．S1+S2＝CP2 B．AF＝2FD C．CD＝4PD D．cos∠HCD＝10．（2019?廣西）如圖，AB為⊙O的直徑，BC、CD是⊙O的切線，切點分別為點B、D，點E為線段OB上的一個動點，連接OD，CE，DE，已知AB＝2，BC＝2，當CE+DE的值最小時，則的值為（）A． B． C． D．二．填空題（共14小題）11．（2019?畢節(jié)市）三角板是我們學習數(shù)學的好幫手．將一對直角三角板如圖放置，點C在FD的延長線上，點B在ED上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，AC＝10，則CD的長度是．12．（2019?畢節(jié)市）如圖，在平面直角坐標中，一次函數(shù)y＝﹣4x+4的圖象與x軸、y軸分別交于A、B兩點．正方形ABCD的頂點C、D在第一象限，頂點D在反比例函數(shù)y＝（k≠0）的圖象上．若正方形ABCD向左平移n個單位后，頂點C恰好落在反比例函數(shù)的圖象上，則n的值是．13．（2019?瀘州）如圖，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝15，點E在邊CB上，CE＝2EB，點D在邊AB上，CD⊥AE，垂足為F，則AD的長為．14．（2019?十堰）如圖，AB為半圓的直徑，且AB＝6，將半圓繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°，點B旋轉(zhuǎn)到點C的位置，則圖中陰影部分的面積為．15．（2019?十堰）如圖，正方形ABCD和Rt△AEF，AB＝5，AE＝AF＝4，連接BF，DE．若△AEF繞點A旋轉(zhuǎn)，當∠ABF最大時，S△ADE＝．16．（2019?眉山）如圖，反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象經(jīng)過矩形OABC對角線的交點M，分別交AB，BC于點D、E．若四邊形ODBE的面積為12，則k的值為．17．（2019?眉山）如圖，在Rt△AOB中，OA＝OB＝4．⊙O的半徑為2，點P是AB邊上的動點，過點P作⊙O的一條切線PQ（點Q為切點），則線段PQ長的最小值為．18．（2019?舟山）如圖，在△ABC中，若∠A＝45°，AC2﹣BC2＝AB2，則tanC＝．19．（2019?舟山）如圖，一副含30°和45°角的三角板ABC和EDF拼合在個平面上，邊AC與EF重合，AC＝12cm．當點E從點A出發(fā)沿AC方向滑動時，點F同時從點C出發(fā)沿射線BC方向滑動．當點E從點A滑動到點C時，點D運動的路徑長為cm；連接BD，則△ABD的面積最大值為cm2．20．（2019?大慶）如圖，拋物線y＝x2（p＞0），點F（0，p），直線l：y＝﹣p，已知拋物線上的點到點F的距離與到直線l的距離相等，過點F的直線與拋物線交于A，B兩點，AA1⊥l，BB1⊥l，垂足分別為A1、B1，連接A1F，B1F，A1O，B1O．若A1F＝a，B1F＝b、則△A1OB1的面積＝．（只用a，b表示）．21．（2019?荊門）拋物線y＝ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)）的頂點為P，且拋物線經(jīng)過點A（﹣1，0），B（m，0），C（﹣2，n）（1＜m＜3，n＜0），下列結(jié)論：①abc＞0，②3a+c＜0，③a（m﹣1）+2b＞0，④a＝﹣1時，存在點P使△PAB為直角三角形．其中正確結(jié)論的序號為．22．（2019?荊門）如圖，等邊三角形ABC的邊長為2，以A為圓心，1為半徑作圓分別交AB，AC邊于D，E，再以點C為圓心，CD長為半徑作圓交BC邊于F，連接E，F(xiàn)，那么圖中陰影部分的面積為．23．（2019?荊門）如圖，在平面直角坐標系中，函數(shù)y＝（k＞0，x＞0）的圖象與等邊三角形OAB的邊OA，AB分別交于點M，N，且OM＝2MA，若AB＝3，那么點N的橫坐標為．24．（2019?貴港）我們定義一種新函數(shù)：形如y＝|ax2+bx+c|（a≠0，且b2﹣4ac＞0）的函數(shù)叫做“鵲橋”函數(shù)．小麗同學畫出了“鵲橋”函數(shù)y＝|x2﹣2x﹣3|的圖象（如圖所示），并寫出下列五個結(jié)論：①圖象與坐標軸的交點為（﹣1，0），（3，0）和（0，3）；②圖象具有對稱性，對稱軸是直線x＝1；③當﹣1≤x≤1或x≥3時，函數(shù)值y隨x值的增大而增大；④當x＝﹣1或x＝3時，函數(shù)的最小值是0；⑤當x＝1時，函數(shù)的最大值是4．其中正確結(jié)論的個數(shù)是．三．解答題（共16小題）25．（2019?畢節(jié)市）已知拋物線y＝ax2+bx+3經(jīng)過點A（1，0）和點B（﹣3，0），與y軸交于點C，點P為第二象限內(nèi)拋物線上的動點．（1）拋物線的解析式為，拋物線的頂點坐標為；（2）如圖1，連接OP交BC于點D，當S△CPD：S△BPD＝1：2時，請求出點D的坐標；（3）如圖2，點E的坐標為（0，﹣1），點G為x軸負半軸上的一點，∠OGE＝15°，連接PE，若∠PEG＝2∠OGE，請求出點P的坐標；（4）如圖3，是否存在點P，使四邊形BOCP的面積為8？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．26．（2019?瀘州）如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點A（﹣2，0），C（0，﹣6），其對稱軸為直線x＝2．（1）求該二次函數(shù)的解析式；（2）若直線y＝﹣x+m將△AOC的面積分成相等的兩部分，求m的值；（3）點B是該二次函數(shù)圖象與x軸的另一個交點，點D是直線x＝2上位于x軸下方的動點，點E是第四象限內(nèi)該二次函數(shù)圖象上的動點，且位于直線x＝2右側(cè)．若以點E為直角頂點的△BED與△AOC相似，求點E的坐標．27．（2019?婁底）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于點A（﹣1，0），點B（3，0），與y軸交于點C，且過點D（2，﹣3）．點P、Q是拋物線y＝ax2+bx+c上的動點．（1）求拋物線的解析式；（2）當點P在直線OD下方時，求△POD面積的最大值．（3）直線OQ與線段BC相交于點E，當△OBE與△ABC相似時，求點Q的坐標．28．（2019?婁底）如圖，點E、F、G、H分別在矩形ABCD的邊AB、BC、CD、DA（不包括端點）上運動，且滿足AE＝CG，AH＝CF．（1）求證：△AEH≌△CGF；（2）試判斷四邊形EFGH的形狀，并說明理由．（3）請?zhí)骄克倪呅蜤FGH的周長一半與矩形ABCD一條對角線長的大小關(guān)系，并說明理由．29．（2019?十堰）已知拋物線y＝a（x﹣2）2+c經(jīng)過點A（﹣2，0）和C（0，），與x軸交于另一點B，頂點為D．（1）求拋物線的解析式，并寫出D點的坐標；（2）如圖，點E，F(xiàn)分別在線段AB，BD上（E點不與A，B重合），且∠DEF＝∠A，則△DEF能否為等腰三角形？若能，求出BE的長；若不能，請說明理由；（3）若點P在拋物線上，且＝m，試確定滿足條件的點P的個數(shù)．30．（2019?十堰）如圖1，△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝α，D為△ABC內(nèi)一點，將△CAD繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)角α得到△CBE，點A，D的對應(yīng)點分別為點B，E，且A，D，E三點在同一直線上．（1）填空：∠CDE＝（用含α的代數(shù)式表示）；（2）如圖2，若α＝60°，請補全圖形，再過點C作CF⊥AE于點F，然后探究線段CF，AE，BE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（3）若α＝90°，AC＝5，且點G滿足∠AGB＝90°，BG＝6，直接寫出點C到AG的距離．31．（2019?眉山）如圖1，在正方形ABCD中，AE平分∠CAB，交BC于點E，過點C作CF⊥AE，交AE的延長線于點G，交AB的延長線于點F．（1）求證：BE＝BF；（2）如圖2，連接BG、BD，求證：BG平分∠DBF；（3）如圖3，連接DG交AC于點M，求的值．32．（2019?眉山）如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過點A（﹣5，0）和點B（1，0）．（1）求拋物線的解析式及頂點D的坐標；（2）點P是拋物線上A、D之間的一點，過點P作PE⊥x軸于點E，PG⊥y軸，交拋物線于點G，過點G作GF⊥x軸于點F，當矩形PEFG的周長最大時，求點P的橫坐標；（3）如圖2，連接AD、BD，點M在線段AB上（不與A、B重合），作∠DMN＝∠DBA，MN交線段AD于點N，是否存在這樣點M，使得△DMN為等腰三角形？若存在，求出AN的長；若不存在，請說明理由．33．（2019?寧夏）如圖，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，點M，Q分別是邊AB，BC上的動點（點M不與A，B重合），且MQ⊥BC，過點M作BC的平行線MN，交AC于點N，連接NQ，設(shè)BQ為x．（1）試說明不論x為何值時，總有△QBM∽△ABC；（2）是否存在一點Q，使得四邊形BMNQ為平行四邊形，試說明理由；（3）當x為何值時，四邊形BMNQ的面積最大，并求出最大值．34．（2019?益陽）如圖，在平面直角坐標系xOy中，矩形ABCD的邊AB＝4，BC＝6．若不改變矩形ABCD的形狀和大小，當矩形頂點A在x軸的正半軸上左右移動時，矩形的另一個頂點D始終在y軸的正半軸上隨之上下移動．（1）當∠OAD＝30°時，求點C的坐標；（2）設(shè)AD的中點為M，連接OM、MC，當四邊形OMCD的面積為時，求OA的長；（3）當點A移動到某一位置時，點C到點O的距離有最大值，請直接寫出最大值，并求此時cos∠OAD的值．35．（2019?益陽）在平面直角坐標系xOy中，頂點為A的拋物線與x軸交于B、C兩點，與y軸交于點D，已知A（1，4），B（3，0）．（1）求拋物線對應(yīng)的二次函數(shù)表達式；（2）探究：如圖1，連接OA，作DE∥OA交BA的延長線于點E，連接OE交AD于點F，M是BE的中點，則OM是否將四邊形OBAD分成面積相等的兩部分？請說明理由；（3）應(yīng)用：如圖2，P（m，n）是拋物線在第四象限的圖象上的點，且m+n＝﹣1，連接PA、PC，在線段PC上確定一點M，使AN平分四邊形ADCP的面積，求點N的坐標．提示：若點A、B的坐標分別為（x1，y1）、（x2，y2），則線段AB的中點坐標為（，）．36．（2019?大慶）如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°．AB＝8cm，AC＝6cm，若動點D從B出發(fā)，沿線段BA運動到點A為止（不考慮D與B，A重合的情況），運動速度為2cm/s，過點D作DE∥BC交AC于點E，連接BE，設(shè)動點D運動的時間為x（s），AE的長為y（cm）．（1）求y關(guān)于x的函數(shù)表達式，并寫出自變量x的取值范圍；（2）當x為何值時，△BDE的面積S有最大值？最大值為多少？37．（2019?大慶）如圖，拋物線y＝x2+bx+c的對稱軸為直線x＝2，拋物線與x軸交于點A和點B，與y軸交于點C，且點A的坐標為（﹣1，0）．（1）求拋物線的函數(shù)表達式；（2）將拋物線y＝x2+bx+c圖象x軸下方部分沿x軸向上翻折，保留拋物線在x軸上的點和x軸上方圖象，得到的新圖象與直線y＝t恒有四個交點，從左到右四個交點依次記為D，E，F(xiàn)，G．當以EF為直徑的圓過點Q（2，1）時，求t的值；（3）在拋物線y＝x2+bx+c上，當m≤x≤n時，y的取值范圍是m≤y≤7，請直接寫出x的取值范圍．38．（2019?荊門）已知拋物線y＝ax2+bx+c頂點（2，﹣1），經(jīng)過點（0，3），且與直線y＝x﹣1交于A，B兩點．（1）求拋物線的解析式；（2）若在拋物線上恰好存在三點Q，M，N，滿足S△QAB＝S△MAB＝S△NAB＝S，求S的值；（3）在A，B之間的拋物線弧上是否存在點P滿足∠APB＝90°？若存在，求點P的橫坐標；若不存在，請說明理由．（坐標平面內(nèi)兩點M（x1，y1），N（x2，y2）之間的距離MN＝）39．（2019?貴港）如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+c的頂點為A（4，3），與y軸相交于點B（0，﹣5），對稱軸為直線l，點M是線段AB的中點．（1）求拋物線的表達式；（2）寫出點M的坐標并求直線AB的表達式；（3）設(shè)動點P，Q分別在拋物線和對稱軸l上，當以A，P，Q，M為頂點的四邊形是平行四邊形時，求P，Q兩點的坐標．40．（2019?貴港）已知：△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，將△ABC繞點C順時針方向旋轉(zhuǎn)得到△A′B′C，記旋轉(zhuǎn)角為α，當90°＜α＜180°時，作A′D⊥AC，垂足為D，A′D與B′C交于點E．（1）如圖1，當∠CA′D＝15°時，作∠A′EC的平分線EF交BC于點F．①寫出旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)；②求證：EA′+EC＝EF；（2）如圖2，在（1）的條件下，設(shè)P是直線A′D上的一個動點，連接PA，PF，若AB＝，求線段PA+PF的最小值．（結(jié)果保留根號）

2019年各省市壓軸題5參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）1．（2019?瀘州）已知二次函數(shù)y＝（x﹣a﹣1）（x﹣a+1）﹣3a+7（其中x是自變量）的圖象與x軸沒有公共點，且當x＜﹣1時，y隨x的增大而減小，則實數(shù)a的取值范圍是（）A．a(chǎn)＜2 B．a(chǎn)＞﹣1 C．﹣1＜a≤2 D．﹣1≤a＜2【解答】解：y＝（x﹣a﹣1）（x﹣a+1）﹣3a+7＝x2﹣2ax+a2﹣3a+6，∵拋物線與x軸沒有公共點，∴△＝（﹣2a）2﹣4（a2﹣3a+6）＜0，解得a＜2，∵拋物線的對稱軸為直線x＝﹣＝a，拋物線開口向上，而當x＜﹣1時，y隨x的增大而減小，∴a≥﹣1，∴實數(shù)a的取值范圍是﹣1≤a＜2．故選：D．2．（2019?婁底）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象如圖所示，下列結(jié)論中正確的是（）①abc＜0②b2﹣4ac＜0③2a＞b④（a+c）2＜b2A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【解答】解：由函數(shù)圖象可知a＜0，對稱軸﹣1＜x＜0，圖象與y軸的交點c＞0，函數(shù)與x軸有兩個不同的交點，∴b﹣2a＞0，b＜0；△＝b2﹣4ac＞0；abc＞0；當x＝1時，y＜0，即a+b+c＜0；當x＝﹣1時，y＞0，即a﹣b+c＞0；∴（a+b+c）（a﹣b+c）＜0，即（a+c）2＜b2；∴只有④是正確的；故選：A．3．（2019?眉山）如圖，一束光線從點A（4，4）出發(fā)，經(jīng)y軸上的點C反射后經(jīng)過點B（1，0），則點C的坐標是（）A．（0，） B．（0，） C．（0，1） D．（0，2）【解答】解：如圖所示，延長AC交x軸于點D．∵這束光線從點A（4，4）出發(fā)，經(jīng)y軸上的點C反射后經(jīng)過點B（1，0），∴設(shè)C（0，c），由反射定律可知，∠1＝∠OCD∴∠OCB＝∠OCD∵CO⊥DB于O∴∠COD＝∠BOC∴在△COD和△COB中∴△COD≌△COB（ASA）∴OD＝OB＝1∴D（﹣1，0）設(shè)直線AD的解析式為y＝kx+b，則將點A（4，4），點D（﹣1，0）代入得∴∴直線AD為y＝∴點C坐標為（0，）．故選：B．4．（2019?眉山）如圖，在菱形ABCD中，已知AB＝4，∠ABC＝60°，∠EAF＝60°，點E在CB的延長線上，點F在DC的延長線上，有下列結(jié)論：①BE＝CF；②∠EAB＝∠CEF；③△ABE∽△EFC；④若∠BAE＝15°，則點F到BC的距離為2﹣2．則其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∠ACB＝∠ACD，∵∠BAC＝∠EAF＝60°，∴∠BAE＝∠CAF，△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∴∠ACD＝∠ACB＝60°，∴∠ABE＝∠ACF，在△BAE和△CAF中，，∴△BAE≌△CAF（SAS），∴AE＝AF，BE＝CF．故①正確；∵∠EAF＝60°，∴△AEF是等邊三角形，∴∠AEF＝60°，∵∠AEB+∠CEF＝∠AEB+∠EAB＝60°，∴∠EAB＝∠CEF，故②正確；∵∠ACD＝∠ACB＝60°，∴∠ECF＝60°，∵∠AEB＜60°，∴△ABE和△EFC不會相似，故③不正確；過點A作AG⊥BC于點G，過點F作FH⊥EC于點H，∵∠EAB＝15°，∠ABC＝60°，∴∠AEB＝45°，在Rt△AGB中，∵∠ABC＝60°，AB＝4，∴BG＝2，AG＝2，在Rt△AEG中，∵∠AEG＝∠EAG＝45°，∴AG＝GE＝2，∴EB＝EG﹣BG＝2﹣2，∵△AEB≌△AFC，∴∠ABE＝∠ACF＝120°，EB＝CF＝2﹣2，∴∠FCE＝60°，在Rt△CHF中，∵∠CFH＝30°，CF＝2﹣2，∴CH＝﹣1．∴FH＝（﹣1）＝3﹣．∴點F到BC的距離為3﹣，故④不正確．綜上，正確結(jié)論的個數(shù)是2個，故選：B．5．（2019?舟山）小飛研究二次函數(shù)y＝﹣（x﹣m）2﹣m+1（m為常數(shù)）性質(zhì)時如下結(jié)論：①這個函數(shù)圖象的頂點始終在直線y＝﹣x+1上；②存在一個m的值，使得函數(shù)圖象的頂點與x軸的兩個交點構(gòu)成等腰直角三角形；③點A（x1，y1）與點B（x2，y2）在函數(shù)圖象上，若x1＜x2，x1+x2＞2m，則y1＜y2；④當﹣1＜x＜2時，y隨x的增大而增大，則m的取值范圍為m≥2．其中錯誤結(jié)論的序號是（）A．① B．② C．③ D．④【解答】解：二次函數(shù)y＝﹣（x﹣m）2﹣m+1（m為常數(shù)）①∵頂點坐標為（m，﹣m+1）且當x＝m時，y＝﹣m+1∴這個函數(shù)圖象的頂點始終在直線y＝﹣x+1上故結(jié)論①正確；②假設(shè)存在一個m的值，使得函數(shù)圖象的頂點與x軸的兩個交點構(gòu)成等腰直角三角形令y＝0，得﹣（x﹣m）2﹣m+1＝0，其中m≤1解得：x1＝m﹣，x2＝m+∵頂點坐標為（m，﹣m+1），且頂點與x軸的兩個交點構(gòu)成等腰直角三角形∴|﹣m+1|＝|m﹣（m﹣）|解得：m＝0或1∴存在m＝0或1，使得函數(shù)圖象的頂點與x軸的兩個交點構(gòu)成等腰直角三角形故結(jié)論②正確；③∵x1+x2＞2m∴∵二次函數(shù)y＝﹣（x﹣m）2﹣m+1（m為常數(shù)）的對稱軸為直線x＝m∴點A離對稱軸的距離小于點B離對稱軸的距離∵x1＜x2，且﹣1＜0∴y1＞y2故結(jié)論③錯誤；④當﹣1＜x＜2時，y隨x的增大而增大，且﹣1＜0∴m的取值范圍為m≥2．故結(jié)論④正確．故選：C．6．（2019?大慶）如圖，在正方形ABCD中，邊長AB＝1，將正方形ABCD繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)180°至正方形AB1C1D1，則線段CD掃過的面積為（）A． B． C．π D．2π【解答】解：∵將正方形ABCD繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)180°至正方形AB1C1D1，∴CC1＝2AC＝2×AB＝2，∴線段CD掃過的面積＝×（）2?π﹣×π＝，故選：B．7．（2019?荊門）如圖，Rt△OCB的斜邊在y軸上，OC＝，含30°角的頂點與原點重合，直角頂點C在第二象限，將Rt△OCB繞原點順時針旋轉(zhuǎn)120°后得到△OC′B'，則B點的對應(yīng)點B′的坐標是（）A．（，﹣1） B．（1，﹣） C．（2，0） D．（，0）【解答】解：如圖，在Rt△OCB中，∵∠BOC＝30°，∴BC＝OC＝×＝1，∵Rt△OCB繞原點順時針旋轉(zhuǎn)120°后得到△OC′B'，∴OC′＝OC＝，B′C′＝BC＝1，∠B′C′O＝∠BCO＝90°，∴點B′的坐標為（，﹣1）．故選：A．8．（2019?荊門）如圖，△ABC內(nèi)心為I，連接AI并延長交△ABC的外接圓于D，則線段DI與DB的關(guān)系是（）A．DI＝DB B．DI＞DB C．DI＜DB D．不確定【解答】解：連接BI，如圖，∵△ABC內(nèi)心為I，∴∠1＝∠2，∠5＝∠6，∵∠3＝∠1，∴∠3＝∠2，∵∠4＝∠2+∠6＝∠3+∠5，即∠4＝∠DBI，∴DI＝DB．故選：A．9．（2019?貴港）如圖，E是正方形ABCD的邊AB的中點，點H與B關(guān)于CE對稱，EH的延長線與AD交于點F，與CD的延長線交于點N，點P在AD的延長線上，作正方形DPMN，連接CP，記正方形ABCD，DPMN的面積分別為S1，S2，則下列結(jié)論錯誤的是（）A．S1+S2＝CP2 B．AF＝2FD C．CD＝4PD D．cos∠HCD＝【解答】解：∵正方形ABCD，DPMN的面積分別為S1，S2，∴S1＝CD2，S2＝PD2，在Rt△PCD中，PC2＝CD2+PD2，∴S1+S2＝CP2，故A結(jié)論正確；連接CF，∵點H與B關(guān)于CE對稱，∴CH＝CB，∠BCE＝∠ECH，在△BCE和△HCE中，∴△BCE≌△HCE（SAS），∴BE＝EH，∠EHC＝∠B＝90°，∠BEC＝∠HEC，∴CH＝CD，在Rt△FCH和Rt△FCD中∴Rt△FCH≌Rt△FCD（HL），∴∠FCH＝∠FCD，F(xiàn)H＝FD，∴∠ECH+∠FCH＝∠BCD＝45°，即∠ECF＝45°，作FG⊥EC于G，∴△CFG是等腰直角三角形，∴FG＝CG，∵∠BEC＝∠HEC，∠B＝∠FGE＝90°，∴△FEG∽△CEB，∴＝＝，∴FG＝2EG，設(shè)EG＝x，則FG＝2x，∴CG＝2x，CF＝2x，∴EC＝3x，∵EB2+BC2＝EC2，∴BC2＝9x2，∴BC2＝x2，∴BC＝x，在Rt△FDC中，F(xiàn)D＝＝＝x，∴3FD＝AD，∴AF＝2FD，故B結(jié)論正確；∵AB∥CN，∴＝，∵PD＝ND，AE＝CD，∴CD＝4PD，故C結(jié)論正確；∵EG＝x，F(xiàn)G＝2x，∴EF＝x，∵FH＝FD＝x，∵BC＝x，∴AE＝x，作HQ⊥AD于Q，HS⊥CD于S，∴HQ∥AB，∴＝，即＝，∴HQ＝x，∴HS＝CD﹣HQ＝x﹣x＝x∴cos∠HCD＝＝＝，故結(jié)論D錯誤，故選：D．10．（2019?廣西）如圖，AB為⊙O的直徑，BC、CD是⊙O的切線，切點分別為點B、D，點E為線段OB上的一個動點，連接OD，CE，DE，已知AB＝2，BC＝2，當CE+DE的值最小時，則的值為（）A． B． C． D．【解答】解：延長CB到F使得BF＝BC，則C與F關(guān)于OB對稱，連接DF與OB相交于點E，此時CE+DE＝DF值最小，連接OC，BD，兩線相交于點G，過D作DH⊥OB于H，則OC⊥BD，OC＝，∵OB?BC＝OC?BG，∴，∴BD＝2BG＝，∵OD2﹣OH2＝DH2＝BD2﹣BH2，∴，∴BH＝，∴，∵DH∥BF，∴，∴，故選：A．二．填空題（共14小題）11．（2019?畢節(jié)市）三角板是我們學習數(shù)學的好幫手．將一對直角三角板如圖放置，點C在FD的延長線上，點B在ED上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，AC＝10，則CD的長度是15﹣5．【解答】解：過點B作BM⊥FD于點M，在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝10，∴∠ABC＝30°，BC＝10×tan60°＝10，∵AB∥CF，∴BM＝BC×sin30°＝＝5，CM＝BC×cos30°＝15，在△EFD中，∠F＝90°，∠E＝45°，∴∠EDF＝45°，∴MD＝BM＝5，∴CD＝CM﹣MD＝15﹣5．故答案是：15﹣5．12．（2019?畢節(jié)市）如圖，在平面直角坐標中，一次函數(shù)y＝﹣4x+4的圖象與x軸、y軸分別交于A、B兩點．正方形ABCD的頂點C、D在第一象限，頂點D在反比例函數(shù)y＝（k≠0）的圖象上．若正方形ABCD向左平移n個單位后，頂點C恰好落在反比例函數(shù)的圖象上，則n的值是3．【解答】解：過點D作DE⊥x軸，過點C作CF⊥y軸，∵AB⊥AD，∴∠BAO＝∠DAE，∵AB＝AD，∠BOA＝∠DEA，∴△ABO≌△DAE（AAS），∴AE＝BO，DE＝OA，易求A（1，0），B（0，4），∴D（5，1），∵頂點D在反比例函數(shù)y＝上，∴k＝5，∴y＝，易證△CBF≌△BAO（AAS），∴CF＝4，BF＝1，∴C（4，5），∵C向左移動n個單位后為（4﹣n，5），∴5（4﹣n）＝5，∴n＝3，故答案為3；13．（2019?瀘州）如圖，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝15，點E在邊CB上，CE＝2EB，點D在邊AB上，CD⊥AE，垂足為F，則AD的長為．【解答】解：過D作DH⊥AC于H，∵在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝15，∴AC＝BC＝15，∴∠CAD＝45°，∴AH＝DH，∴CH＝15﹣DH，∵CF⊥AE，∴∠DHA＝∠DFA＝90°，∴∠HAF＝∠HDF，∴△ACE∽△DHC，∴＝，∵CE＝2EB，∴CE＝10，∴＝，∴DH＝9，∴AD＝9，故答案為：9．14．（2019?十堰）如圖，AB為半圓的直徑，且AB＝6，將半圓繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°，點B旋轉(zhuǎn)到點C的位置，則圖中陰影部分的面積為6π．【解答】解：由圖可得，圖中陰影部分的面積為：＝6π，故答案為：6π．15．（2019?十堰）如圖，正方形ABCD和Rt△AEF，AB＝5，AE＝AF＝4，連接BF，DE．若△AEF繞點A旋轉(zhuǎn)，當∠ABF最大時，S△ADE＝6．【解答】解：作DH⊥AE于H，如圖，∵AF＝4，當△AEF繞點A旋轉(zhuǎn)時，點F在以A為圓心，4為半徑的圓上，∴當BF為此圓的切線時，∠ABF最大，即BF⊥AF，在Rt△ABF中，BF＝＝3，∵∠EAF＝90°，∴∠BAF+∠BAH＝90°，∵∠DAH+∠BAH＝90°，∴∠DAH＝∠BAF，在△ADH和△ABF中，∴△ADH≌△ABF（AAS），∴DH＝BF＝3，∴S△ADE＝AE?DH＝×3×4＝6．故答案為6．16．（2019?眉山）如圖，反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象經(jīng)過矩形OABC對角線的交點M，分別交AB，BC于點D、E．若四邊形ODBE的面積為12，則k的值為4．【解答】解：由題意得：E、M、D位于反比例函數(shù)圖象上，則S△OCE＝|k|，S△OAD＝|k|，過點M作MG⊥y軸于點G，作MN⊥x軸于點N，則S?ONMG＝|k|，又∵M為矩形ABCO對角線的交點，則S矩形ABCO＝4S?ONMG＝4|k|，由于函數(shù)圖象在第一象限，∴k＞0，則++12＝4k，∴k＝4．17．（2019?眉山）如圖，在Rt△AOB中，OA＝OB＝4．⊙O的半徑為2，點P是AB邊上的動點，過點P作⊙O的一條切線PQ（點Q為切點），則線段PQ長的最小值為2．【解答】解：連接OQ．∵PQ是⊙O的切線，∴OQ⊥PQ；根據(jù)勾股定理知PQ2＝OP2﹣OQ2，∴當PO⊥AB時，線段PQ最短，∵在Rt△AOB中，OA＝OB＝4，∴AB＝OA＝8，∴OP＝＝4，∴PQ＝＝2．故答案為2．18．（2019?舟山）如圖，在△ABC中，若∠A＝45°，AC2﹣BC2＝AB2，則tanC＝．【解答】解：如圖，過B作BD⊥AC于D，∵∠A＝45°，∴∠ABD＝∠A＝45°，∴AD＝BD．∵∠ADB＝∠CDB＝90°，∴AB2＝AD2+DB2＝2BD2，BC2＝DC2+BD2，∴AC2﹣BC2＝（AD+DC）2﹣（DC2+BD2）＝AD2+DC2+2AD?DC﹣DC2﹣BD2＝2AD?DC＝2BD?DC，∵AC2﹣BC2＝AB2，∴2BD?DC＝×2BD2，∴DC＝BD，∴tanC＝＝＝．故答案為．19．（2019?舟山）如圖，一副含30°和45°角的三角板ABC和EDF拼合在個平面上，邊AC與EF重合，AC＝12cm．當點E從點A出發(fā)沿AC方向滑動時，點F同時從點C出發(fā)沿射線BC方向滑動．當點E從點A滑動到點C時，點D運動的路徑長為（24﹣12）cm；連接BD，則△ABD的面積最大值為（24+36﹣12）cm2．【解答】解：∵AC＝12cm，∠A＝30°，∠DEF＝45°∴BC＝4cm，AB＝8cm，ED＝DF＝6cm如圖，當點E沿AC方向下滑時，得△E'D'F'，過點D'作D'N⊥AC于點N，作D'M⊥BC于點M∴∠MD'N＝90°，且∠E'D'F'＝90°∴∠E'D'N＝∠F'D'M，且∠D'NE'＝∠D'MF'＝90°，E'D'＝D'F'∴△D'NE'≌△D'MF'（AAS）∴D'N＝D'M，且D'N⊥AC，D'M⊥CM∴CD'平分∠ACM即點E沿AC方向下滑時，點D'在射線CD上移動，∴當E'D'⊥AC時，DD'值最大，最大值＝ED﹣CD＝（12﹣6）cm∴當點E從點A滑動到點C時，點D運動的路徑長＝2×（12﹣6）＝（24﹣12）cm如圖，連接BD'，AD'，∵S△AD'B＝S△ABC+S△AD'C﹣S△BD'C∴S△AD'B＝BC×AC+×AC×D'N﹣×BC×D'M＝24+（12﹣4）×D'N當E'D'⊥AC時，S△AD'B有最大值，∴S△AD'B最大值＝24+（12﹣4）×6＝（24+36﹣12）cm2．故答案為：（24﹣12），（24+36﹣12）20．（2019?大慶）如圖，拋物線y＝x2（p＞0），點F（0，p），直線l：y＝﹣p，已知拋物線上的點到點F的距離與到直線l的距離相等，過點F的直線與拋物線交于A，B兩點，AA1⊥l，BB1⊥l，垂足分別為A1、B1，連接A1F，B1F，A1O，B1O．若A1F＝a，B1F＝b、則△A1OB1的面積＝．（只用a，b表示）．【解答】解：∵AA1＝AF，B1B＝BF，∴∠AFA1＝∠AA1F，∠BFB1＝∠BB1F，∵AA1⊥l，BB1⊥l，∴AA1∥BB1，∴∠BAA1+∠ABB1＝180°，∴180°﹣2∠AFA1+180°﹣∠BFB1＝180°，∴∠AFA1+∠BFB1＝90°，∴∠A1FB1＝90°，∴△A1OB1的面積＝△A1FB1的面積＝ab；故答案為ab．21．（2019?荊門）拋物線y＝ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)）的頂點為P，且拋物線經(jīng)過點A（﹣1，0），B（m，0），C（﹣2，n）（1＜m＜3，n＜0），下列結(jié)論：①abc＞0，②3a+c＜0，③a（m﹣1）+2b＞0，④a＝﹣1時，存在點P使△PAB為直角三角形．其中正確結(jié)論的序號為②③．【解答】解：將A（﹣1，0），B（m，0），C（﹣2，n）代入解析式y(tǒng)＝ax2+bx+c，∴對稱軸x＝，∴﹣＝m﹣1，∵1＜m＜3，∴ab＜0，∵n＜0，∴a＜0，∴b＞0，∵a﹣b+c＝0，∴c＝b﹣a＞0①abc＜0；錯誤；②當x＝3時，y＜0，∴9a+3b+c＝9a+3（a+c）+c＝12a+4c＝4（3a+c）＜0，②正確；③a（m﹣1）+2b＝﹣b+2b＝b＞0，③正確；④a＝﹣1時，y＝﹣x2+bx+c，∴P（，b+1+），若△PAB為直角三角形，則△PAB為等腰直角三角形，∴AP的直線解析式的k＝1，∴b+1+＝+1，∴b＝﹣2，∵b＞0，∴不存在點P使△PAB為直角三角形．④錯誤；故答案為②③；22．（2019?荊門）如圖，等邊三角形ABC的邊長為2，以A為圓心，1為半徑作圓分別交AB，AC邊于D，E，再以點C為圓心，CD長為半徑作圓交BC邊于F，連接E，F(xiàn)，那么圖中陰影部分的面積為+﹣．【解答】解：過A作AM⊥BC于M，EN⊥BC于N，∵等邊三角形ABC的邊長為2，∠BAC＝∠B＝∠ACB＝60°，∴AM＝BC＝×2＝，∵AD＝AE＝1，∴AD＝BD，AE＝CE，∴EN＝AM＝，∴圖中陰影部分的面積＝S△ABC﹣S扇形ADE﹣S△CEF﹣（S△BCD﹣S扇形DCF）＝×2×﹣﹣×﹣（×﹣）＝+﹣，故答案為：+﹣．23．（2019?荊門）如圖，在平面直角坐標系中，函數(shù)y＝（k＞0，x＞0）的圖象與等邊三角形OAB的邊OA，AB分別交于點M，N，且OM＝2MA，若AB＝3，那么點N的橫坐標為．【解答】解：過點A、M分別作AC⊥OB，MD⊥OB，垂足為C、D，∵△AOB是等邊三角形，∴AB＝OA＝OB＝3，∠AOB＝60°∵又OM＝2MA，∴OM＝2，MA＝1，在Rt△MOD中，OD＝OM＝1，MD＝，∴M（1，）；∴反比例函數(shù)的關(guān)系式為：y＝在Rt△MOD中，OC＝OA＝，AC＝，∴A（，），設(shè)直線AB的關(guān)系式為y＝kx+b，把A（，），B（3，0）代入得：解得：k＝﹣，b＝，∴y＝x+；由題意得：解得：x＝，∵x＞，∴x＝，故點N的橫坐標為：24．（2019?貴港）我們定義一種新函數(shù)：形如y＝|ax2+bx+c|（a≠0，且b2﹣4ac＞0）的函數(shù)叫做“鵲橋”函數(shù)．小麗同學畫出了“鵲橋”函數(shù)y＝|x2﹣2x﹣3|的圖象（如圖所示），并寫出下列五個結(jié)論：①圖象與坐標軸的交點為（﹣1，0），（3，0）和（0，3）；②圖象具有對稱性，對稱軸是直線x＝1；③當﹣1≤x≤1或x≥3時，函數(shù)值y隨x值的增大而增大；④當x＝﹣1或x＝3時，函數(shù)的最小值是0；⑤當x＝1時，函數(shù)的最大值是4．其中正確結(jié)論的個數(shù)是4．【解答】解：①∵（﹣1，0），（3，0）和（0，3）坐標都滿足函數(shù)y＝|x2﹣2x﹣3|，∴①是正確的；②從圖象可知圖象具有對稱性，對稱軸可用對稱軸公式求得是直線x＝1，因此②也是正確的；③根據(jù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，發(fā)現(xiàn)當﹣1≤x≤1或x≥3時，函數(shù)值y隨x值的增大而增大，因此③也是正確的；④函數(shù)圖象的最低點就是與x軸的兩個交點，根據(jù)y＝0，求出相應(yīng)的x的值為x＝﹣1或x＝3，因此④也是正確的；⑤從圖象上看，當x＜﹣1或x＞3，函數(shù)值要大于當x＝1時的y＝|x2﹣2x﹣3|＝4，因此⑤時不正確的；故答案是：4三．解答題（共16小題）25．（2019?畢節(jié)市）已知拋物線y＝ax2+bx+3經(jīng)過點A（1，0）和點B（﹣3，0），與y軸交于點C，點P為第二象限內(nèi)拋物線上的動點．（1）拋物線的解析式為y＝﹣x2﹣2x+3，拋物線的頂點坐標為（﹣1，4）；（2）如圖1，連接OP交BC于點D，當S△CPD：S△BPD＝1：2時，請求出點D的坐標；（3）如圖2，點E的坐標為（0，﹣1），點G為x軸負半軸上的一點，∠OGE＝15°，連接PE，若∠PEG＝2∠OGE，請求出點P的坐標；（4）如圖3，是否存在點P，使四邊形BOCP的面積為8？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．【解答】解：（1）函數(shù)的表達式為：y＝a（x﹣1）（x+3）＝a（x2+2x﹣3），即：﹣3a＝3，解得：a＝﹣1，故拋物線的表達式為：y＝﹣x2﹣2x+3…①，頂點坐標為（﹣1，4）；（2）∵OB＝OC，∴∠CBO＝45°，∵S△CPD：S△BPD＝1：2，∴BD＝BC＝×＝2，yD＝BDsin∠CBO＝2，則點D（﹣1，2）；（3）如圖2，設(shè)直線PE交x軸于點H，∵∠OGE＝15°，∠PEG＝2∠OGE＝30°，∴∠OHE＝45°，∴OH＝OE＝1，則直線HE的表達式為：y＝﹣x﹣1…②，聯(lián)立①②并解得：x＝（舍去正值），故點P（，）；（4）不存在，理由：連接BC，過點P作y軸的平行線交BC于點H，直線BC的表達式為：y＝x+3，設(shè)點P（x，﹣x2﹣2x+3），點H（x，x+3），則S四邊形BOCP＝S△OBC+S△PBC＝×3×3+（﹣x2﹣2x+3﹣x﹣3）×3＝8，整理得：3x2+9x+7＝0，解得：△＜0，故方程無解，則不存在滿足條件的點P．26．（2019?瀘州）如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點A（﹣2，0），C（0，﹣6），其對稱軸為直線x＝2．（1）求該二次函數(shù)的解析式；（2）若直線y＝﹣x+m將△AOC的面積分成相等的兩部分，求m的值；（3）點B是該二次函數(shù)圖象與x軸的另一個交點，點D是直線x＝2上位于x軸下方的動點，點E是第四象限內(nèi)該二次函數(shù)圖象上的動點，且位于直線x＝2右側(cè)．若以點E為直角頂點的△BED與△AOC相似，求點E的坐標．【解答】解：（1）由已知得：，解得：，故拋物線的表達式為：y＝x2﹣2x﹣6，同理可得直線AC的表達式為：y＝﹣3x﹣6；（2）聯(lián)立，解得：x＝﹣，直線y＝﹣x+m與y軸的交點為（0，m），S△AOC＝＝6，由題意得：×＝3，解得：m＝﹣2或﹣10（舍去﹣10），∴m＝﹣2；（3）∵OA＝2，OC＝6，∴，①當△DEB∽△AOC時，則，如圖1，過點E作EF⊥直線x＝2，垂足為F，過點B作BG⊥EF，垂足為G，則Rt△BEG∽Rt△EDF，則，則BG＝3EF，設(shè)點E（h，k），則BG＝﹣k，F(xiàn)E＝h﹣2，則﹣k＝3（h﹣2），即k＝6﹣3h，∵點E在二次函數(shù)上，故：h2﹣2h﹣6＝6﹣3h，解得：h＝4或﹣6（舍去﹣6），則點E（4，﹣6）；②當△BED∽△AOC時，，過點E作ME⊥直線x＝2，垂足為M，過點B作BN⊥ME，垂足為N，則Rt△BEN∽Rt△EDM，則，則NB＝EM，設(shè)點E（p，q），則BN＝﹣q，EM＝p﹣2，則﹣q＝（p﹣2），解得：p＝或（舍去）；故點E坐標為（4，﹣6）或（，）．27．（2019?婁底）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于點A（﹣1，0），點B（3，0），與y軸交于點C，且過點D（2，﹣3）．點P、Q是拋物線y＝ax2+bx+c上的動點．（1）求拋物線的解析式；（2）當點P在直線OD下方時，求△POD面積的最大值．（3）直線OQ與線段BC相交于點E，當△OBE與△ABC相似時，求點Q的坐標．【解答】解：（1）函數(shù)的表達式為：y＝a（x+1）（x﹣3），將點D坐標代入上式并解得：a＝1，故拋物線的表達式為：y＝x2﹣2x﹣3…①；（2）設(shè)直線PD與y軸交于點G，設(shè)點P（m，m2﹣2m﹣3），將點P、D的坐標代入一次函數(shù)表達式：y＝sx+t并解得：直線PD的表達式為：y＝mx﹣3﹣2m，則OG＝3+2m，S△POD＝×OG（xD﹣xP）＝（3+2m）（2﹣m）＝﹣m2+m+3，∵﹣1＜0，故S△POD有最大值，當m＝時，其最大值為；（3）∵OB＝OC＝3，∴∠OCB＝∠OBC＝45°，∵∠ABC＝∠OBE，故△OBE與△ABC相似時，分為兩種情況：①當∠ACB＝∠BOQ時，AB＝4，BC＝3，AC＝，過點A作AH⊥BC于點H，S△ABC＝×AH×BC＝AB×OC，解得：AH＝2，則sin∠ACB＝＝，則tan∠ACB＝2，則直線OQ的表達式為：y＝﹣2x…②，聯(lián)立①②并解得：x＝，故點Q1（，﹣2），Q2（﹣，2）②∠BAC＝∠BOQ時，tan∠BAC＝＝3＝tan∠BOQ，則點Q（n，3n），則直線OQ的表達式為：y＝﹣3x…③，聯(lián)立①③并解得：x＝，故點Q3（，），Q4（，）；綜上，當△OBE與△ABC相似時，Q1（，﹣2），Q2（﹣，2），Q3（，），Q4（，）．28．（2019?婁底）如圖，點E、F、G、H分別在矩形ABCD的邊AB、BC、CD、DA（不包括端點）上運動，且滿足AE＝CG，AH＝CF．（1）求證：△AEH≌△CGF；（2）試判斷四邊形EFGH的形狀，并說明理由．（3）請?zhí)骄克倪呅蜤FGH的周長一半與矩形ABCD一條對角線長的大小關(guān)系，并說明理由．【解答】證明：（1）∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝∠C．∴在△AEH與△CGF中，，∴△AEH≌△CGF（SAS）；（2）∵由（1）知，△AEH≌△CGF，則EH＝GF，同理證得△EBF≌△GDH，則EF＝GH，∴四邊形EFGH是平行四邊形；（3）四邊形EFGH的周長一半大于或等于矩形ABCD一條對角線長度．理由如下：作G關(guān)于BC的對稱點G′，連接EG′，可得EG′的長度就是EF+FG的最小值．連接AC，∵CG′＝CG＝AE，AB∥CG′，∴四邊形AEG′C為平行四邊形，∴EG′＝AC．在△EFG′中，∵EF+FG′≥EG′＝AC，∴四邊形EFGH的周長一半大于或等于矩形ABCD一條對角線長度．29．（2019?十堰）已知拋物線y＝a（x﹣2）2+c經(jīng)過點A（﹣2，0）和C（0，），與x軸交于另一點B，頂點為D．（1）求拋物線的解析式，并寫出D點的坐標；（2）如圖，點E，F(xiàn)分別在線段AB，BD上（E點不與A，B重合），且∠DEF＝∠A，則△DEF能否為等腰三角形？若能，求出BE的長；若不能，請說明理由；（3）若點P在拋物線上，且＝m，試確定滿足條件的點P的個數(shù)．【解答】解：（1）由題意：，解得，∴拋物線的解析式為y＝﹣（x﹣2）2+3，∴頂點D坐標（2，3）．（2）可能．如圖1，∵A（﹣2，0），D（2，3），B（6，0），∴AB＝8，AD＝BD＝5，①當DE＝DF時，∠DFE＝∠DEF＝∠ABD，∴EF∥AB，此時E與B重合，與條件矛盾，不成立．②當DE＝EF時，又∵△BEF∽△AED，∴△BEF≌△AED，∴BE＝AD＝5③當DF＝EF時，∠EDF＝∠DEF＝∠DAB＝∠DBA，△FDE∽△DAB，∴＝，∴＝＝，∵△BEF∽△ADE∴＝＝，∴EB＝AD＝，答：當BE的長為5或時，△CFE為等腰三角形．（3）如圖2中，連接BD，當點P在線段BD的右側(cè)時，作DH⊥AB于H，連接PD，PH，PB．設(shè)P[n，﹣（n﹣2）2+3]，則S△PBD＝S△PBH+S△PDH﹣S△BDH＝×4×[﹣（n﹣2）2+3]+×3×（n﹣2）﹣×4×3＝﹣（n﹣4）2+，∵﹣＜0，∴n＝4時，△PBD的面積的最大值為，∵＝m，∴當點P在BD的右側(cè)時，m的最大值＝＝，觀察圖象可知：當0＜m＜時，滿足條件的點P的個數(shù)有4個，當m＝時，滿足條件的點P的個數(shù)有3個，當m＞時，滿足條件的點P的個數(shù)有2個（此時點P在BD的左側(cè)）．30．（2019?十堰）如圖1，△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝α，D為△ABC內(nèi)一點，將△CAD繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)角α得到△CBE，點A，D的對應(yīng)點分別為點B，E，且A，D，E三點在同一直線上．（1）填空：∠CDE＝（用含α的代數(shù)式表示）；（2）如圖2，若α＝60°，請補全圖形，再過點C作CF⊥AE于點F，然后探究線段CF，AE，BE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（3）若α＝90°，AC＝5，且點G滿足∠AGB＝90°，BG＝6，直接寫出點C到AG的距離．【解答】解：（1）∵將△CAD繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)角α得到△CBE∴△ACD≌△BCE，∠DCE＝α∴CD＝CE∴∠CDE＝故答案為：（2）AE＝BE+CF理由如下：如圖，∵將△CAD繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)角60°得到△CBE∴△ACD≌△BCE∴AD＝BE，CD＝CE，∠DCE＝60°∴△CDE是等邊三角形，且CF⊥DE∴DF＝EF＝∵AE＝AD+DF+EF∴AE＝BE+CF（3）如圖，當點G在AB上方時，連接CG，過點C作CE⊥AG于點E，∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝5，∴∠CAB＝∠ABC＝45°，AB＝10∵∠ACB＝90°＝∠AGB∴點C，點G，點B，點A四點共圓∴∠AGC＝∠ABC＝45°，且CE⊥AG∴∠AGC＝∠ECG＝45°∴CE＝GE∵AB＝10，GB＝6，∠AGB＝90°∴AG＝＝8∵AC2＝AE2+CE2，∴（5）2＝（8﹣CE）2+CE2，∴CE＝7（不合題意舍去），CE＝1若點G在AB的下方，過點C作CF⊥AG'于F，連接CG’∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝5，∴∠CAB＝∠ABC＝45°，AB＝10∵∠ACB＝90°＝∠AGB∴點C，點G'，點B，點A四點共圓∴∠AG'C＝∠ABC＝45°，且CE⊥AG'∴∠AG'C＝∠ECG'＝45°∴CF＝G'F∵AB＝10，G'B＝6，∠AG'B＝90°∴AG'＝＝8∵AC2＝AF2+CF2，∴（5）2＝（8﹣CF）2+CF2，∴CF＝7或CF＝1（不合題意舍去），∴點C到AG的距離為1或7．31．（2019?眉山）如圖1，在正方形ABCD中，AE平分∠CAB，交BC于點E，過點C作CF⊥AE，交AE的延長線于點G，交AB的延長線于點F．（1）求證：BE＝BF；（2）如圖2，連接BG、BD，求證：BG平分∠DBF；（3）如圖3，連接DG交AC于點M，求的值．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，AB＝BC，∴∠EAB+∠AEB＝90°，∵AG⊥CF，∴∠FCB+∠CEG＝90°，∵∠AEB＝∠CEG，∴∠EAB＝∠FCB，在△ABE和△CBF中，，∴△ABE≌△CBF（ASA），∴BE＝BF；（2）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABD＝∠CAB＝45°，∵AE平分∠CAB，∴∠CAG＝∠FAG＝22.5°，在△AGC和△AGF中，，∴△AGC≌△AGF（ASA），∴CG＝GF，∵∠CBF＝90°，∴GB＝GC＝GF，∴∠GBF＝∠GFB＝90°﹣∠FCB＝90°﹣∠GAF＝90°﹣22.5°＝67.5°，∴∠DBG＝180°﹣∠ABD﹣∠GBF＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°，∴∠DBG＝∠GBF，∴BG平分∠DBF；（3）解：連接BG，如圖3所示：∵四邊形ABCD是正方形，∴DC＝AB，∠DCA＝∠ACB＝45°，∠DCB＝90°，∴AC＝DC，∵∠DCG＝∠DCB+∠BCF＝∠DCB+∠GAF＝90°+22.5°＝112.5°，∠ABG＝180°﹣∠GBF＝180°﹣67.5°＝112.5°，∴∠DCG＝∠ABG，在△DCG和△ABG中，，∴△DCG≌△ABG（SAS），∴∠CDG＝∠GAB＝22.5°，∴∠CDG＝∠CAG，∵∠DCM＝∠ACE＝45°，∴△DCM∽△ACE，∴＝＝．32．（2019?眉山）如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過點A（﹣5，0）和點B（1，0）．（1）求拋物線的解析式及頂點D的坐標；（2）點P是拋物線上A、D之間的一點，過點P作PE⊥x軸于點E，PG⊥y軸，交拋物線于點G，過點G作GF⊥x軸于點F，當矩形PEFG的周長最大時，求點P的橫坐標；（3）如圖2，連接AD、BD，點M在線段AB上（不與A、B重合），作∠DMN＝∠DBA，MN交線段AD于點N，是否存在這樣點M，使得△DMN為等腰三角形？若存在，求出AN的長；若不存在，請說明理由．【解答】解：（1）拋物線的表達式為：y＝﹣（x+5）（x﹣1）＝﹣x2﹣x+，則點D（﹣2，4）；（2）設(shè)點P（m，﹣m2﹣m+），則PE＝﹣m2﹣m+，PG＝2（﹣2﹣m）＝﹣4﹣2m，矩形PEFG的周長＝2（PE+PG）＝2（﹣m2﹣m+﹣4﹣2m）＝﹣（m+）2+，∵﹣＜0，故當m＝﹣時，矩形PEFG周長最大，此時，點P的橫坐標為﹣；（3）∵∠DMN＝∠DBA，∠BMD+∠BDM＝180°﹣∠ADB，∠NMA+∠DMB＝180°﹣∠DMN，∴∠NMA＝∠MDB，∴△BDM∽△AMN，，而AB＝6，AD＝BD＝5，①當MN＝DM時，∴△BDM≌△AMN，即：AM＝BD＝5，則AN＝MB＝1；②當NM＝DN時，則∠NDM＝∠NMD，∴△AMD∽△ADB，∴AD2＝AB×AM，即：25＝6×AM，則AM＝，而，即＝，解得：AN＝；③當DN＝DM時，∵∠DNM＞∠DAB，而∠DAB＝∠DMN，∴∠DNM＞∠DMN，∴DN≠DM；故AN＝1或．33．（2019?寧夏）如圖，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，點M，Q分別是邊AB，BC上的動點（點M不與A，B重合），且MQ⊥BC，過點M作BC的平行線MN，交AC于點N，連接NQ，設(shè)BQ為x．（1）試說明不論x為何值時，總有△QBM∽△ABC；（2）是否存在一點Q，使得四邊形BMNQ為平行四邊形，試說明理由；（3）當x為何值時，四邊形BMNQ的面積最大，并求出最大值．【解答】解：（1）∵MQ⊥BC，∴∠MQB＝90°，∴∠MQB＝∠CAB，又∠QBM＝∠ABC，∴△QBM∽△ABC；（2）當BQ＝MN時，四邊形BMNQ為平行四邊形，∵MN∥BQ，BQ＝MN，∴四邊形BMNQ為平行四邊形；（3）∵∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，∴BC＝＝5，∵△QBM∽△ABC，∴＝＝，即＝＝，解得，QM＝x，BM＝x，∵MN∥BC，∴＝，即＝，解得，MN＝5﹣x，則四邊形BMNQ的面積＝×（5﹣x+x）×x＝﹣（x﹣）2+，∴當x＝時，四邊形BMNQ的面積最大，最大值為．34．（2019?益陽）如圖，在平面直角坐標系xOy中，矩形ABCD的邊AB＝4，BC＝6．若不改變矩形ABCD的形狀和大小，當矩形頂點A在x軸的正半軸上左右移動時，矩形的另一個頂點D始終在y軸的正半軸上隨之上下移動．（1）當∠OAD＝30°時，求點C的坐標；（2）設(shè)AD的中點為M，連接OM、MC，當四邊形OMCD的面積為時，求OA的長；（3）當點A移動到某一位置時，點C到點O的距離有最大值，請直接寫出最大值，并求此時cos∠OAD的值．【解答】解：（1）如圖1，過點C作CE⊥y軸于點E，∵矩形ABCD中，CD⊥AD，∴∠CDE+∠ADO＝90°，又∵∠OAD+∠ADO＝90°，∴∠CDE＝∠OAD＝30°，∴在Rt△CED中，CE＝CD＝2，DE＝＝2，在Rt△OAD中，∠OAD＝30°，∴OD＝AD＝3，∴點C的坐標為（2，3+2）；（2）∵M為AD的中點，∴DM＝3，S△DCM＝6，又S四邊形OMCD＝，∴S△ODM＝，∴S△OAD＝9，設(shè)OA＝x、OD＝y(tǒng)，則x2+y2＝36，xy＝9，∴x2+y2＝2xy，即x＝y(tǒng)，將x＝y(tǒng)代入x2+y2＝36得x2＝18，解得x＝3（負值舍去），∴OA＝3；（3）OC的最大值為8，如圖2，M為AD的中點，∴OM＝3，CM＝＝5，∴OC≤OM+CM＝8，當O、M、C三點在同一直線時，OC有最大值8，連接OC，則此時OC與AD的交點為M，過點O作ON⊥AD，垂足為N，∵∠CDM＝∠ONM＝90°，∠CMD＝∠OMN，∴△CMD∽△OMN，∴＝＝，即＝＝，解得MN＝，ON＝，∴AN＝AM﹣MN＝，在Rt△OAN中，OA＝＝，∴cos∠OAD＝＝．35．（2019?益陽）在平面直角坐標系xOy中，頂點為A的拋物線與x軸交于B、C兩點，與y軸交于點D，已知A（1，4），B（3，0）．（1）求拋物線對應(yīng)的二次函數(shù)表達式；（2）探究：如圖1，連接OA，作DE∥OA交BA的延長線于點E，連接OE交AD于點F，M是BE的中點，則OM是否將四邊形OBAD分成面積相等的兩部分？請說明理由；（3）應(yīng)用：如圖2，P（m，n）是拋物線在第四象限的圖象上的點，且m+n＝﹣1，連接PA、PC，在線段PC上確定一點M，使AN平分四邊形ADCP的面積，求點N的坐標．提示：若點A、B的坐標分別為（x1，y1）、（x2，y2），則線段AB的中點坐標為（，）．【解答】解：（1）函數(shù)表達式為：y＝a（x﹣1）2+4，將點B坐標的坐標代入上式得：0＝a（3﹣1）2+4，解得：a＝﹣1，故拋物線的表達式為：y＝﹣x2+2x﹣3；（2）OM將四邊形OBAD分成面積相等的兩部分，理由：如圖1，∵DE∥AO，S△ODA＝S△OEA，S△ODA+S△AOM＝S△OEA+S△AOM，即：S四邊形OMAD＝S△OBM，∴S△OME＝S△OBM，∴S四邊形OMAD＝S△OBM；（3）設(shè)點P（m，n），n＝﹣m2+2m+3，而m+n＝﹣1，解得：m＝﹣1或4，故點P（4，﹣5）；如圖2，故點D作QD∥AC交PC的延長線于點Q，由（2）知：點N是PQ的中點，將點C（﹣1，0）、P（4，﹣5）的坐標代入一次函數(shù)表達式并解得：直線PC的表達式為：y＝﹣x﹣1…①，同理直線AC的表達式為：y＝2x+2，直線DQ∥CA，且直線DQ經(jīng)過點D（0，3），同理可得直線DQ的表達式為：y＝2x+3…②，聯(lián)立①②并解得：x＝﹣，即點Q（﹣，），∵點N是PQ的中點，由中點公式得：點N（，﹣）．36．（2019?大慶）如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°．AB＝8cm，AC＝6cm，若動點D從B出發(fā)，沿線段BA運動到點A為止（不考慮D與B，A重合的情況），運動速度為2cm/s，過點D作DE∥BC交AC于點E，連接BE，設(shè)動點D運動的時間為x（s），AE的長為y（cm）．（1）求y關(guān)于x的函數(shù)表達式，并寫出自變量x的取值范圍；（2）當x為何值時，△BDE的面積S有最大值？最大值為多少？【解答】解：（1）動點D運動x秒后，BD＝2x．又∵AB＝8，∴AD＝8﹣2x．∵DE∥BC，∴，∴，∴y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y＝（0＜x＜4）．（2）解：S△BDE＝＝＝（0＜x＜4）．當時，S△BDE最大，最大值為6cm2．37．（2019?大慶）如圖，拋物線y＝x2+bx+c的對稱軸為直線x＝2，拋物線與x軸交于點A和點B，與y軸交于點C，且點A的坐標為（﹣1，0）．（1）求拋物線的函數(shù)表達式；（2）將拋物線y＝x2+bx+c圖象x軸下方部分沿x軸向上翻折，保留拋物線在x軸上的點和x軸上方圖象，得到的新圖象與直線y＝t恒有四個交點，從左到右四個交點依次記為D，E，F(xiàn)，G．當以EF為直徑的圓過點Q（2，1）時，求t的值；（3）在拋物線y＝x2+bx+c上，當m≤x≤n時，y的取值范圍是m≤y≤7，請直接寫出x的取值范圍．【解答】解：（1）拋物線的對稱軸是x＝2，且過點A（﹣1，0）點，∴，解得：，∴拋物線的函數(shù)表達式為：y＝x2﹣4x﹣5；（2）y＝x2﹣4x﹣5＝（x﹣2）2﹣9，則x軸下方圖象翻折后得到的部分函數(shù)解析式為：y＝﹣（x﹣2）2+9＝﹣x2+4x+5，（﹣1＜x＜5），其頂點為（2，9）．∵新圖象與直線y＝t恒有四個交點，∴0＜t＜9，設(shè)E（x1，y1），F(xiàn)（x2，y2）．由解得：x＝2，∵以EF為直徑的圓過點Q（2，1），∴EF＝2|t﹣1|＝x2﹣x1，即2＝2|t﹣1|，解得t＝，又∵0＜t＜9，∴t的值為；（3）①當m、n在函數(shù)對稱軸左側(cè)時，m≤n≤2，由題意得：x＝m時，y≤7，x＝n時，y≥m，即：，解得：﹣2≤x；②當m、n在對稱軸兩側(cè)時，x＝2時，y的最小值為﹣9，不合題意；③當m、n在對稱軸右側(cè)時，同理可得：≤x≤6；故x的取值范圍是：﹣2≤x或≤x≤6．38．（2019?荊門）已知拋物線y＝ax2+bx+c頂點（2，﹣1），經(jīng)過點（0，3）