北師大版七年級數(shù)學(xué)上冊專題3.3 圖形變化類規(guī)律問題（重點(diǎn)題專項(xiàng)講練）（教師版）

專題3.3圖形變化類規(guī)律問題【典例1】下列圖形是用五角星擺成的，如果按照此規(guī)律繼續(xù)擺下去：（1）第4個圖形需要用個五角星；第5個圖形需要用個五角星；（2）第n個圖形需要用個五角星；（3）用6064個五角星擺出的圖案應(yīng)該是第個圖形；（4）現(xiàn)有1059個五角星，能否擺成符合以上規(guī)律的圖形（1059個五角星要求全部用上），請說明理由．【思路點(diǎn)撥】（1）不難看出后一個圖形比前一個圖形多3個五角星，據(jù)此進(jìn)行求解即可；（2）結(jié)合（1）進(jìn)行分析即可得出結(jié)果；（3）利用（2）中的結(jié)論進(jìn)行求解即可；（4）利用（2）進(jìn)行求解即可．【解題過程】解：（1）由題意得：第1個圖形需要用五角星的個數(shù)為：4，第2個圖形需要用五角星的個數(shù)為：7＝4+3＝4+3×1，第3個圖形需要用五角星的個數(shù)為：10＝4+3+3＝4+3×2，第4個圖形需要用五角星的個數(shù)為：13＝4+3+3+3＝4+3×3，第5個圖形需要用五角星的個數(shù)為：16＝4+3+3+3+3＝4+3×4，故答案為：13，16；（2）由（1）得：第n個圖形需要用五角星的個數(shù)為：4+3（n﹣1）＝3n+1，故答案為：（3n+1）；（3）由題意得：3n+1＝6064，解得：n＝2021，故答案為：2021；（4）不能，理由如下：由題意得：3n+1＝1059，解得：n=1058∴1059個五角星不能擺成符合以上規(guī)律的圖形．1．（2022?沙坪壩區(qū)校級二模）把黑色圓點(diǎn)按如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第①個圖案中有4個黑色圓點(diǎn)，第②個圖案中有6個黑色圓點(diǎn)，第③個圖案中有8個黑色圓點(diǎn)，…，按此規(guī)律排列下去，則第⑦個圖案中黑色圓點(diǎn)的個數(shù)為（）A．12 B．14 C．16 D．18【思路點(diǎn)撥】第①個圖案中有4個黑色圓點(diǎn)，第②個圖案中有（4+2）個黑色圓點(diǎn)，第③個圖案中有（4+2+2）個黑色圓點(diǎn)，則可以總結(jié)出第n個圖形中黑色圓點(diǎn)的個數(shù)，代入n＝7計(jì)算即可．【解題過程】解：第①個圖案中有4個黑色圓點(diǎn)，第②個圖案中有（4+2）個黑色圓點(diǎn)，第③個圖案中有（4+2+2）個黑色圓點(diǎn)，第④個圖案中有（4+2+2+2）個黑色圓點(diǎn)，……則第n個圖形中黑色圓點(diǎn)的個數(shù)為4+2（n﹣1）＝2n+2，當(dāng)n＝7時，2n+2＝2×7+2＝16，∴第⑦個圖案中黑色圓點(diǎn)的個數(shù)為16．故選：C．2．（2022?桐梓縣模擬）觀察下列樹枝分叉的規(guī)律圖，若第n個圖樹枝數(shù)用Yn表示，則Y9﹣Y4＝（）A．55個 B．65個 C．75個 D．496個【思路點(diǎn)撥】第n個圖形樹枝數(shù)為Y，Y隨n的變化而變化，則Y＝2n﹣1，代入n＝9和n＝4求代數(shù)式的值即可．【解題過程】解：第n個圖形樹枝數(shù)為Y，Y隨n的變化而變化，當(dāng)n＝1時，Y＝21﹣1＝1，當(dāng)n＝2時，Y＝22﹣1＝3，當(dāng)n＝3時，Y＝23﹣1＝7，當(dāng)n＝4時，Y＝24﹣1＝15，所以第n個圖形中樹枝的個數(shù)Y＝2n﹣1，Y9﹣Y4＝29﹣1﹣（24﹣1）＝496．故選：D．3．（2022?沙坪壩區(qū)校級開學(xué)）將一些完全相同的梅花按如圖所示的規(guī)律擺放，第1個圖形有5朵梅花，第2個圖形有8朵梅花，第3個圖形有13朵梅花，…按此規(guī)律，則第7個圖形中共有梅花的朵數(shù)是（）A．39 B．40 C．53 D．68【思路點(diǎn)撥】由題意可知：第1個圖形有1+4＝5朵梅花，第2個圖形有1+2+1+4＝8朵梅花，第3個圖形有1+2+3+2+1+4＝13朵梅花，…由此得出第n個圖形中共有梅花的朵數(shù)是1+2+3+4+…+n+n﹣1+…+4+3+2+1+4＝n2+4，由此代入求得答案即可．【解題過程】解：∵第1個圖形有1+4＝5朵梅花，第2個圖形有1+2+1+4＝8朵梅花，第3個圖形有1+2+3+2+1+4＝13朵梅花，…∴第n個圖形中共有梅花的朵數(shù)是1+2+3+4+…+n+n﹣1+…+4+3+2+1+4＝n2+4，則第7個圖形中共有梅花的朵數(shù)是72+4＝53．故選：C．4．（2022?西山區(qū)二模）觀察下列圖形：它們是按一定規(guī)律排列的，依照此規(guī)律，第100個圖形中共有（）個點(diǎn)．A．297 B．300 C．303 D．306【思路點(diǎn)撥】觀察圖形特點(diǎn)，從中找出規(guī)律，它們的點(diǎn)數(shù)分別是6，9，12，15，…，總結(jié)出其規(guī)律，根據(jù)規(guī)律即可求解．【解題過程】解：通過觀察，得到點(diǎn)的個數(shù)分別是6，9，12，15，…，第一個圖形為：1+2+3＝6，第二個圖形為：1+3+5＝9，第三個圖形為：1+4+7＝12，第四個圖形為：1+5+9＝15，…，所以第n個圖形為：（3n+3）個點(diǎn)，當(dāng)n＝100時，3n+3＝303．故選：C．5．（2022春?九龍坡區(qū)期末）觀察下列一組圖形中點(diǎn)的個數(shù)，其中第1個圖中共有4個點(diǎn)，第2個圖中共有10個點(diǎn)，第3個圖中共有19個點(diǎn)，……按此規(guī)律，則第5個圖中共有點(diǎn)的個數(shù)是（）A．31 B．46 C．51 D．66【思路點(diǎn)撥】由圖可知：其中第1個圖中共有1+1×3＝4個點(diǎn)，第2個圖中共有1+1×3+2×3＝10個點(diǎn)，第3個圖中共有1+1×3+2×3+3×3＝19個點(diǎn)，…由此規(guī)律得出第n個圖有1+1×3+2×3+3×3+…+3n個點(diǎn)．【解題過程】解：第1個圖中共有1+1×3＝4個點(diǎn)，第2個圖中共有1+1×3+2×3＝10個點(diǎn)，第3個圖中共有1+1×3+2×3+3×3＝19個點(diǎn)，第4個圖中共有1+1×3+2×3+3×3+3×4＝31個點(diǎn)，…第n個圖有1+1×3+2×3+3×3+…+3n個點(diǎn)．所以第5個圖中共有點(diǎn)的個數(shù)是1+1×3+2×3+3×3+4×3+5×3＝46．故選：B．6．（2022?慶陽二模）如圖，小明依次畫了一組有規(guī)律的圖案，其中第①個圖由4個◆組成的，第②個圖圖案由7個◆組成的，那么圖案n是由3n+1個◆組成的．【思路點(diǎn)撥】觀察不難發(fā)現(xiàn)，后一個圖案比前一個圖案多3個◆，然后寫出第n個圖案的◆的個數(shù)是4+3（n﹣1）＝3n+1．【解題過程】解：第1個圖案◆的個數(shù)為4，第2個圖案◆的個數(shù)為7，7＝4+3，第3個圖案◆的個數(shù)為10，10＝4+3×2，…，第n個圖案◆的個數(shù)為：4+3（n﹣1）＝3n+1，故答案為：3n+1．7．（2022?青海）木材加工廠將一批木料按如圖所示的規(guī)律依次擺放，則第n個圖中共有木料n(n+1)2【思路點(diǎn)撥】觀察圖形可得：第n個圖形最底層有n根木料，據(jù)此可得答案．【解題過程】解：由圖可知：第一個圖形有木料1根，第二個圖形有木料1+2＝3（根），第三個圖形有木料1+2+3＝6（根），第四個圖形有木料1+2+3+4＝10（根），.....．第n個圖有木料1+2+3+4+......+n=n(n+1)故答案為：n(n+1)28．（2022?綏化二模）用同樣大小的黑色棋子按如圖所示的規(guī)律擺放，則第2022個圖形中有6069顆黑色棋子．【思路點(diǎn)撥】由圖形可知：第1個圖形的黑色棋子的個數(shù)為6，第2個圖形的黑色棋子的個數(shù)為6+3＝9，第3個圖形的黑色棋子的個數(shù)為6+3×2＝12，…由此得出第n個圖形的黑色棋子的個數(shù)為6+3（n﹣1）＝3n+3，從而可求解．【解題過程】解：∵第1個圖形的黑色棋子的個數(shù)為6，第2個圖形的黑色棋子的個數(shù)為6+3＝9，第3個圖形的黑色棋子的個數(shù)6+3×2＝12，…，∴第n個圖形的黑色棋子的個數(shù)為6+3（n﹣1）＝3n+3，∴第2022個圖形中黑色棋子的個數(shù)為：3×2022+3＝6069．故答案為：6069．9．（2022?大慶模擬）如圖，第1個圖形中有1個三角形，第2個圖形中有5個三角形，第3個圖形中有9個三角形……則第2022個圖形中有8085個三角形．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題目中的圖形，可以發(fā)現(xiàn)三角形個數(shù)的變化規(guī)律：4n﹣3，從而可以解答本題．【解題過程】解：第1個圖形中一共有1個三角形，第2個圖形中一共有1+4＝5個三角形，第3個圖形中一共有1+4+4＝9個三角形，…第n個圖形中三角形的個數(shù)是1+4（n﹣1）＝4n﹣3，當(dāng)n＝2022時，4×2022﹣3＝8085，∴第2022個圖形中有8085個三角形．故答案為：8085．10．（2022?大東區(qū)一模）將一些相同的“〇”按如圖所示的規(guī)律依次擺放，觀察每個“龜圖”的“〇”的個數(shù)，則第10個“龜圖”中有95個“〇”．【思路點(diǎn)撥】分析數(shù)據(jù)可得：第1個圖形中小圓的個數(shù)為1+4＝5；第2個圖形中小圓的個數(shù)為1+5+1＝7；第3個圖形中小圓的個數(shù)為1+6+4＝11；第4個圖形中小圓的個數(shù)為1+7+9＝17；…由此得出第n個圖形中小圓的個數(shù)為1+（n+3）+（n﹣1）2．據(jù)此可以求得答案．【解題過程】解：∵第1個圖形中小圓的個數(shù)為1+4＝5；第2個圖形中小圓的個數(shù)為1+5+1＝7；第3個圖形中小圓的個數(shù)為1+6+4＝11；第4個圖形中小圓的個數(shù)為1+7+9＝17；…∴第n個圖形中小圓的個數(shù)為1+（n+3）+（n﹣1）2．∴第30個“龜圖”中的“〇”的個數(shù)為1+（30+3）+（30﹣1）2＝1+33+841＝875．另一種解法：∵第1個圖形中小圓的個數(shù)為0+5＝5；第2個圖形中小圓的個數(shù)為2+5＝1×2+5＝7；第3個圖形中小圓的個數(shù)為6+5＝2×3+5＝11；第4個圖形中小圓的個數(shù)為12+5＝3×4+5＝17；…∴第n個圖形中小圓的個數(shù)為n（n﹣1）+5．∴第10個“龜圖”中的“〇”的個數(shù)為10×（10﹣1）+5＝95．故答案為：95．11．（2022?樂陵市模擬）如圖所示，將形狀大小完全相同的“?”按照一定規(guī)律擺成下列圖形，第1幅圖中“?”的個數(shù)為a1，第2幅圖中“?”的個數(shù)為a2，第3幅圖中“?”的個數(shù)為a3，…，以此類推，2022a1+2022a【思路點(diǎn)撥】認(rèn)真讀題，由圖可知a1＝1×2，a2＝2×3，a3＝3×4，a4＝4×5，......，由此可知an＝n（n+1），問題可求解．【解題過程】解：由題意可知圖可知a1＝1×2，a2＝2×3，a3＝3×4，a4＝4×5，......，∴an＝n（n+1），∴1a∴2022a1＝2022×（1a1+＝2022×（1?12+＝2022×（1?1＝2022﹣1＝2021．故答案為：2021．12．（2023秋?安慶期末）如圖，自行車每節(jié)鏈條的長度為2.5cm，交叉重疊部分的圓的直徑為0.8cm．（1）4節(jié)鏈條拉直后長度為7.6cm；（2）n節(jié)鏈條拉直后長度為（1.7n+0.8）cm；（3）如果一輛自行車的鏈條由50節(jié)這樣的鏈條首尾環(huán)形相連組成，那么該自行車鏈條環(huán)的長度是多少？【思路點(diǎn)撥】（1）結(jié)合圖形直接計(jì)算；（2）從特殊到一般，找到規(guī)律列式即可；（3）在（2）的基礎(chǔ)上，注意到環(huán)型鏈條比直線型鏈條多一個連接的接頭，因此長度要少一個圓的直徑，即可求解．【解題過程】解：（1）根據(jù)圖形可得，2節(jié)鏈條的長度為：2.5×2﹣0.8＝4.2cm，3節(jié)鏈條的長度為：2.5×3﹣0.8×2＝5.9cm，4節(jié)鏈條的長度為：2.5×4﹣0.8×3＝7.6cm．故答案為：7.6cm．（2）由（1）可知，n節(jié)鏈條拉直后的長度為：2.5×n﹣0.8×（n﹣1）＝（1.7n+0.8）cm．故答案為：（1.7n+0.8）cm．（3）自行車的鏈條為環(huán)形，比拉直的鏈條多重疊一個圓的接頭，所以50節(jié)自行車鏈條的長度為：1.7×50+0.8﹣0.8＝85cm．13．（2023秋?新昌縣期末）某學(xué)校食堂新購進(jìn)了一批梯形餐桌，如圖1所示，每張桌子可坐5人．（1）七（2）班41名學(xué)生同時就餐，當(dāng)餐桌按如圖2擺放時，至少需要多少張?zhí)菪尾妥?？?）現(xiàn)班級要舉辦一個活動，計(jì)劃用4張餐桌無縫拼接，剛好能坐滿10個人，請?jiān)O(shè)計(jì)一個餐桌擺放的方案，并畫出方案示意圖．【思路點(diǎn)撥】（1）由題意不難得出每增加1張桌子，可坐人數(shù)增加3人，據(jù)此求解；（2）根據(jù)題意進(jìn)行設(shè)計(jì)即可．【解題過程】解：（1）由題意得：1張桌子可坐的人數(shù)為：5；2張桌子可坐的人數(shù)為：8＝5+3＝5+3×1；3張桌子可坐的人數(shù)為：11＝5+3+3＝5+3×2；..．則n張桌子可坐的人數(shù)為：5+3（n﹣1）＝3n+2，∴3n+2＝41，解得：n＝13，答：至少需要13張?zhí)菪尾妥?；?）因?yàn)橛?張餐桌無縫拼接，剛好能坐滿10個人，則其設(shè)計(jì)方案如圖所示：．14．（2023秋?金水區(qū)校級期末）用火柴棒按如圖的方式搭圖形．（1）按圖示規(guī)律完成下表：圖形標(biāo)號①②③④⑤…火柴棒根數(shù)59131721…（2）按照這種方式搭下去，搭第n個圖形需要多少根火柴棒？（3）搭第2022個圖形需要多少根火柴棒？【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)所給的圖形進(jìn)行分析即可得出結(jié)果；（2）由（1）進(jìn)行總結(jié)即可；（3）根據(jù)（2）所得的式子進(jìn)行解答即可．【解題過程】解：（1）第1個圖形的火柴棒根數(shù)為：5，第2個圖形的火柴棒根數(shù)為：9＝5+4＝5+4×1，第3個圖形的火柴棒根數(shù)為：13＝5+4+4＝5+4×2，第4個圖形的火柴棒根數(shù)為：17＝5+4+4+4＝5+4×3，第5個圖形的火柴棒根數(shù)為：21＝5+4+4+4+4＝5+4×4，……故答案為：13，17，21；（2）由（1）得：搭第n個圖形需要火柴棒根數(shù)為：5+4（n﹣1）＝4n+1．答：第n個圖形需要火柴棒根數(shù)為：4n+1；（3）當(dāng)n＝2022時，4n+1＝4×2022+1＝8089，所以搭第2022個圖形需要8089根火柴棒．15．（2023秋?肥西縣月考）數(shù)學(xué)興趣小組活動上，宇陽同學(xué)用圍棋棋子按照某種規(guī)律擺成如圖所示的“100”字樣．（1）按照這種規(guī)律，第5個“100”字樣的棋子個數(shù)是31，第n個“100”字樣的棋子個數(shù)是（5n+6）；（2）若有2022個這樣的棋子，按這種擺法是否正好擺成一個“100”，若能，求擺出是第幾個“100”？若不能，說明理由．【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)圖形的變化可知，每個圖形都比前一個多5個棋子，根據(jù)此規(guī)律得出第6個圖形的棋子數(shù)即可；（2）由（1）的規(guī)律歸納出的第n個圖形棋子數(shù)，列式求解即可判斷．【解題過程】解：（1）由圖知，第1個“100”字樣圖案的棋子個數(shù)是11＝5+6，第2個“100”字樣圖案的棋子個數(shù)是16＝5×2+6；第3個“100”字樣圖案的棋子個數(shù)是21＝5×3+6；…，第5個“100”字樣圖案的棋子個數(shù)是5×5+6＝31；第n個“100”字樣圖案的棋子個數(shù)是5n+6；故答案為：31；（5n+6）；（2）不能，理由如下：令5n+6＝2022，解得n=2016因?yàn)?0165所以不能．16．（2023秋?長安區(qū)期末）將邊長相等的黑、白兩色小正方形按如圖所示的方式拼接起來，第1個圖由5個白色小正方形和1個黑色小正方形拼接起來，第2個圖由8個白色小正方形和2個黑色小正方形拼接起來，第3個圖由11個白色小正方形和3個黑色小正方形拼接起來，依此規(guī)律拼接．（1）第4個圖白色小正方形的個數(shù)為14；（2）第10個圖白色小正方形的個數(shù)為32；（3）第n個圖白色小正方形的個數(shù)為3n+2（用含n的代數(shù)式表示，結(jié)果應(yīng)化簡）；（4）是否存在某個圖形，其白色小正方形的個數(shù)為2021個，若存在，求出是第幾個圖形；若不存在，請說明理由．【思路點(diǎn)撥】（1）不難看出，后一個圖中的白色小正方形的個數(shù)比前一個圖中的白色小正方形的個數(shù)多3個，據(jù)此即可求第4個圖中白色小正方形的個數(shù)；（2）根據(jù)（1）可先表示出第n個圖中白色小正方形的個數(shù)，再求第10個圖中小正方形的個數(shù)即可；（3）由（2）即可得解；（4）根據(jù)所得到的規(guī)律進(jìn)行求解即可．【解題過程】解：（1）由題意得：第4個圖中白色小正方形的個數(shù)為：11+3＝14（個），故答案為：14；（2）∵第1個圖有5個白色小小正方形，第2個圖有8個白色小正方形，即8＝5+3＝5+3×1，第3個圖有11個白色小正方形，即11＝5+3+3＝5+3×2，..．∴第n個圖有白色小正方形的個數(shù)為：5+3（n﹣1）＝3n+2，∴第10個圖中小正方形的個數(shù)為：3×10+2＝32（個），故答案為：32；（3）由（2）得：第n個圖有白色小正方形的個數(shù)為3n+2，故答案為：3n+2；（4）存在，設(shè)第n個圖白色小正方形的個數(shù)為2021，則3n+2＝2021，解得n＝673，所以第673個圖白色小正方形的個數(shù)為2021．17．（2023秋?樂平市期中）如圖是用棋子擺成的“上”字圖案，按照這種規(guī)律繼續(xù)擺下去，通過觀察、對比、總結(jié)，找出規(guī)律，解答下列問題．（1）擺成圖1需要6枚棋子，擺成圖2需要10枚棋子，擺成圖3需要14枚棋子；（2）擺成圖n需要（4n+2）枚棋子；（3）七（1）班有46名同學(xué)，把每名同學(xué)當(dāng)成一枚“棋子”，能否讓這46枚“棋子”按照以上規(guī)律恰好站成一“上”字？若能，請問能站成圖幾？并計(jì)算最下面一“橫”的學(xué)生數(shù)；若不能，請說明理由．【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)圖形直接數(shù)出來即可；（2）根據(jù)（1）得到的規(guī)律計(jì)算即可；（3）讓（2）得到的代數(shù)式等于62求值，求得整數(shù)解，進(jìn)而看在1的基礎(chǔ)上增加幾個2即可．【解題過程】解：（1）第①個圖形中有6個棋子；第②個圖形中有6+4＝10個棋子；第③個圖形中有6+2×4＝14個棋子；故答案為：6，10，14；（2）∵第①個圖形中有6個棋子，6＝6+4×0；第②個圖形中有10個棋子，10＝6+4×1；第③個圖形中有14個棋子，14＝6+4×2；∴第n個圖形中有6+（n﹣1）×4＝4n+2．故答案為：（4n+2）．（3）能，理由如下：4n+2＝46，解得n＝11．最下一橫人數(shù)為2n+1＝23．18．（2023秋?連云港月考）下列是用火柴棒拼出的一列圖形．仔細(xì)觀察，找出規(guī)律，解答下列各題：（1）第6個圖中共有19根火柴；（2）第n個圖形中共有（3n+1）根火柴；（用含n的式子表示）（3）第2021個圖形中共有多少根火柴？【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)圖形的變化直接得出第6個圖中火柴棒的數(shù)量即可；（2）根據(jù)圖形的變化規(guī)律得出第n個圖形中有3n+1根火柴即可；（3）根據(jù)（2）的規(guī)律直接計(jì)算即可．【解題過程】解：（1）由圖知，第1個圖中火柴棒的數(shù)量為3+1＝4（根），第2個圖中火柴棒的數(shù)量為2×3+1＝7（根），第3個圖中火柴棒的數(shù)量為3×3+1＝10（根），第4個圖中火柴棒的數(shù)量為4×3+1＝13（根），第5個圖中火柴棒的數(shù)量為5×3+1＝16（根），第6個圖中火柴棒的數(shù)量為6×3+1＝19（根），故答案為：19；（2）由（1）可得，第n個圖中火柴棒的數(shù)量為（3n+1）根，故答案為：（3n+1）；（3）由（2）知，第2021個圖形中火柴棒的數(shù)量為2021×3+1＝6064（根），∴第2021個圖形中共有6064根火柴．19．（2023秋?安次區(qū)校級期中）如圖是用長度相等的小棒按一定規(guī)律擺成的一組圖案．（1）第1個圖案中有6根小棒；第2個圖案中有11根小棒；第3個圖案中有16根小棒；（2）第n個圖案中有（5n+1）根小棒；（3）第45個圖案中有226根小棒；（4）是否存在某個符合上述規(guī)律的圖案，由2032根小棒擺成？如果有，指出是第幾個圖案；如果沒有，請說明理由．【思路點(diǎn)撥】（1）由圖可知：第①個圖案中有5+1＝6根小棒，第②個圖案中有2×5+2﹣1＝11根小棒，第③個圖案中有3×5+3﹣2＝16根小棒；（2）由此得出第n個圖案中有5n+n﹣（n﹣1）＝5n+1根小棒；（3）把數(shù)據(jù)代入（2）中的規(guī)律求得答案即可；（4）利用（2）中的規(guī)律建立方程求得答案即可．【解題過程】解：（1）第②個圖案中有11根小棒；第③個圖案中有16根小棒，故答案為：11、16；（2）由圖可知：第①個圖案中有5+1＝6根小棒，第②個圖案中有2×5+2﹣1＝11根小棒，第③個圖案中有3×5+3﹣2＝16根小棒，…，因此第n個圖案中有小棒的根數(shù)為：5n+n﹣（n﹣1）＝5n+1．故答案為：（5n+1）；（3）當(dāng)n＝45時，5n+1＝5×45+1＝226，所以第25個圖案中有126根小棒；故答案為：226；（4）不存在，理由如下：∵5n+1＝2032，∴n＝406.2；所以不存在由2032根小棒擺成的圖案．20．（2023秋?金水區(qū)校級期末）下圖是由邊長相同的小正方形組成的，其中部分小正方形涂有陰影，依此規(guī)律完成此題．圖形標(biāo)號第一個第二個第三個第四個涂有陰影的小正方形的個數(shù)5a13b（1）a＝9，b＝17；（2）按照這種規(guī)律繼續(xù)下去，則第n個圖形中涂有陰影的小正方形的個數(shù)為4n+1；（用含n的代數(shù)式來表示）；（3）按照這種規(guī)律繼續(xù)下去，用（2）中的代數(shù)式求第2021個圖形中涂有陰影的小正方形的個數(shù)．【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)所給的圖形進(jìn)行分析即可求解；（2）根據(jù)所給的圖形分析出規(guī)律即可；（3）利用（2）中的規(guī)律進(jìn)行求解即可．【解題過程】解：（1）第1個圖形中涂有陰影的小正方形的個數(shù)為：5，第2個圖形中涂有陰影的小正方形的個數(shù)為：9，第3個圖形中涂有陰影的小正方形的個數(shù)為：13，第4個圖形中涂有陰影的小正方形的個數(shù)為：17，故a＝9，b＝17，故答案為：9，17；（2）∵第1個圖形中涂有陰影的小正方形的個數(shù)為：5，第2個圖形中涂有陰影的小正方形的個數(shù)為：9＝5+4＝5+4×1，第3個圖形中涂有陰影的小正方形的個數(shù)為：13＝5+4+4＝5+4×2，第4個圖形中涂有陰影的小正方形的個數(shù)為：17＝5+4+4+4＝5+4×3，...，∴第n圖形中涂有陰影的小正方形的個數(shù)為：5+4（n﹣1）＝4n+1，故答案為：4n+1；（3）第2021個圖形中涂有陰影的小正方形的個數(shù)為：4×2021+1＝4084+1＝4085（個）．21．（2022?馬鞍山二模）觀察圖：下列每一幅圖都是由一些單位長度均為1的黑方格和白方格按一定的規(guī)律組成（下面所有方格均指的單位為1的小方格）．（1）根據(jù)規(guī)律，第4個圖中共有45個方格，其中黑方格12個．（2）第n個圖形中，白方格共有（7n+5）個．（用n表示，n為正整數(shù)）（3）有沒有可能黑方格比白方格恰好少2022個，如果有，求出是第幾個圖形；如果沒有，請說明理由．【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)題意歸納出本題第n個圖中共有（5+10n）個方格，其中黑方格3n塊，再將n＝4代入計(jì)算即可；（2）根據(jù)題意歸納出本題第n個圖形中共有白方格個數(shù)為7n+5．【解題過程】解：（1）∵第1個圖中共有15＝5+10×1個方格，其中黑方格3＝3×1塊，第2個圖中共有25＝5+10×2個方格，其中黑方格6＝3×2塊，第3個圖中共有35＝5+10×3個方格，其中黑方格9＝3×3塊，……，∴第n個圖中共有5+10n個方格，其中黑方格3n塊，∴第4個圖中共有5+10×4＝45個方格，其中黑方格3×4＝12塊，故答案為：45，12；（2）∵第1個圖形中白方格個數(shù)共有：12＝5（1+2×1）﹣3×1，第2個圖形中白方格個數(shù)共有：19＝5（1+2×2）﹣3×2，第3個圖形中白方格個數(shù)共有：26＝5（1+2×3）﹣3×3，……，∴第n個圖形中白方格個數(shù)共有：5（1+2n）﹣3n＝7n+5，故答案為：（7n+5）；（3）沒有可能黑方格比白方格恰好少2022個，設(shè)第n個圖形黑方格比白方格恰好少2022個，得3n+2022＝7n+5，解得n＝504.25