高中物理：萬有引力與宇宙航行-必考知識點+例題詳解

【下載后獲高清完整版-獨家】高中物理：萬有引力與宇宙航行-必考知識點+例題詳解1.開普勒行星運動定律⑴開普勒第一定律（軌道定律）：行星的軌道都是橢圓，太陽位于橢圓的焦點上。當速度方向永遠與行星太陽的連線垂直時，軌跡為圓，實際上太空中的干擾因素很多，垂直條件稍微破壞一點，軌跡就變?yōu)闄E圓。⑵開普勒第二定律（面積定律）：行星與太陽的連線在相等時間內(nèi)掃過相等的面積。*角動量：質(zhì)點動量p對O點的動量矩稱為角動量，，r為質(zhì)點相對O點的位置矢量，x為叉乘符號，兩個矢量叉乘的結(jié)果依然是矢量，大小等于L=rp·sinθ，方向由右手定則確定，叉乘的幾何意義就是以兩個矢量為相鄰邊的平行四邊形的面積。*角動量守恒：當對某一固定點的合外力矩等于0時物體的角動量守恒。比如對太陽、行星系統(tǒng)，可以把太陽看做O點，某一時刻行星離太陽的距離為、動量為，下一時刻距離變?yōu)椤恿孔優(yōu)?，則有，因為行星只受到太陽的引力作用，而太陽的引力對太陽的力矩為0，故行星的角動量不變。面積定律：在?t足夠小的時間內(nèi)，行星掃過的面積等于以和矢徑r所圍平行四邊形面積的一半，實質(zhì)上就是角動量守恒。⑶開普特第三定律（周期定律）：行星軌道半長軸的三次方與公轉(zhuǎn)周期的二次方的比值為常數(shù)。[例1]太陽系各行星幾乎在同一平面內(nèi)沿同一方向繞太陽做圓周運動，當?shù)厍蚯『眠\行到某地外行星和太陽之間，且三者幾乎排場一條直線的現(xiàn)象，天文學(xué)稱為行星沖日，據(jù)報道，2014年各行星沖日時間分別是：1月6日木星沖日；4月9日火星沖日；5月11日土星沖日；8月29日海王星沖日；10月8日天王星沖日。已知地球及各地外行星繞太陽運動的軌道半徑如下表所示，則下列判斷正確的是（）地球火星木星土星天王星海王星軌道半徑（AU）1.01.55.29.51930A.各地外行星每年都會出現(xiàn)沖日現(xiàn)象B.在2015年內(nèi)一定會出現(xiàn)木星沖日C.天王星相鄰兩次沖日的時間間隔為土星的一半D.地外行星中，海王星相鄰兩次沖日的時間間隔最短解析：本題實際上考察開普勒周期定律，即公轉(zhuǎn)周期與軌道半徑的關(guān)系。代入數(shù)據(jù)算出各地外行星的公轉(zhuǎn)周期：對火星，設(shè)兩次沖日的間隔為t，則有解得t=1.84年，即1年10個月左右，火星2014年4月9日沖日，將在2016年2月左右再次沖日，A錯誤；對木星，設(shè)兩次沖日的間隔為t，同樣可解得t=1.09年，即1年1個月左右，木星2014年1月6日沖日，將在2015年2月左右再次沖日，B正確；對土星，沖日的時間間隔t=1.04年，對天王星，沖日的時間間隔為t=1.01年，所以C錯；對海王星，t=1.006年，所以D正確。2.萬有引力定律⑴任何兩個有質(zhì)量的物體之間都存在引力。G為引力常數(shù)，G=6.67（近似計算時可取

）⑵引力通過“場”發(fā)生作用，任何一個有質(zhì)量的物體，都會在周圍產(chǎn)生引力場，可以認為“場”是該物體的一部分，物體通過場對其它有質(zhì)量的物體產(chǎn)生引力的作用。⑶引力場強：引力場強描述了一個物體產(chǎn)生的引力場中力的特性，是矢量，用E表示，單位是N/kg，當另一個質(zhì)量為m的物體放在該點時，其所受到的引力F=mE，方向指向產(chǎn)生引力場的物體，也稱場源物體。如果物體受到多個引力場的作用，各個引力可以按照矢量運算規(guī)則進行疊加。地球是一個具有很大質(zhì)量的物體，它在周圍空間產(chǎn)生強大的引力場，每個有質(zhì)量的物體在其周圍都會受到地球的引力作用，引力大小為mE，E為物體所在位置的地球引力場強，方向指向地心。距離場源物體不同距離位置的場強是不同的，引力場強E的大小與距離r成平方反比關(guān)系，即隨著距離r增加，場強E以的速度減小。由萬有引力公式，可知引力場強的表達式是M為場源物體的質(zhì)量，r為某點與場源的距離。注意，引力場強E的單位N/kg=,和加速度的單位是一樣的，這是巧合嗎？不是，某點的引力場強就是該點的自由落體加速度，所以也把引力場強E稱為引力加速度。⑷重力與引力的關(guān)系我們知道，地球上的物體受到重力的作用，如果物體的質(zhì)量為m，則重力G的大小G=mg，方向豎直向下，那么重力G和引力F是什么關(guān)系呢？與又是什么關(guān)系呢？實際上重力G和引力F有著密切的關(guān)系。如果地球是不轉(zhuǎn)動的，重力G就是引力F，那如果地球自轉(zhuǎn)呢？這時重力G是引力F的一個分力，如圖物體處于地球的引力場中，會受到地球的引力F==，方向指向地心，因地球自轉(zhuǎn)，物體必須同時繞地軸隨地球一起轉(zhuǎn)動，這個向心力指向地軸，由引力的分力充當。由力的合成法則，必然存在另一個分力，而這個分力才是我們常說的重力G。由于地球自轉(zhuǎn)速度相對很慢，遠遠小于F（千分之一量級），圖中為了表示清楚，做了放大，實際上F和G基本是重合的。所以通常我們說的重力加速度g與引力加速度是不一樣的，但在不考慮地球自轉(zhuǎn)的影響的情況下，二者是等價的，所以G=mg=F=的成立是有前提條件的。具體到地球上的不同位置，兩極處：無，G有最大值，G=F，g=a；赤道處：最大，G有最小值，G=F-，g=-=-，T為地球自轉(zhuǎn)周期，R為地球半徑；其它處：介于中間，G介于最大值和最小值之間，g介于最大值和最小值之間。了解了以上知識，我們可以根據(jù)實際情況去判斷與的大小關(guān)系。3.常用天體物理量⑴空間某點的引力場強E，也叫引力加速度引力場強E是場的性質(zhì)，場是場源產(chǎn)生的，所以場強由場源和距離中心天體的位置矢量r決定。⑵中心天體質(zhì)量M中心天體（場源）的質(zhì)量往往很大，無法直接測量，只能通過間接法去計算。我們知道，中心天體的質(zhì)量和空間距離決定了引力場強，所以如果可以知道空間某點的引力場強再測出該點與中心天體的距離就可以反過來去計算中心天體的質(zhì)量。比如，我們要測量地球的質(zhì)量M，可以通過測量地球表面附近的引力加速度和地球半徑R獲得。而引力加速度和重力加速度g在精度要求不高的情況下是可以認為相等的，重力加速度的測量非常簡單，這樣我們只要知道地球的半徑R，通過公式即可很容易地求出地球的質(zhì)量M。注意：如果由于中心天體的自轉(zhuǎn)導(dǎo)致向心加速度不能被忽略時，則不能用重力加速度g直接代入公式計算，必須由g和算出引力場加速度才可以。⑶軌道環(huán)繞線速度衛(wèi)星或者飛船在環(huán)繞中心天體運行時，大部分時間是不需要動力的，由萬有引力充當向心力做圓周運動（實際上是近似圓周運動），動力方程為：所以

說明對于一個確定的中心天體，環(huán)繞速度由軌道半徑r唯一確定。⑷軌道環(huán)繞角速度ω說明對于一個確定的中心天體，環(huán)繞角速度由軌道半徑r唯一確定。⑸軌道環(huán)繞周期T·說明對于一個確定的中心天體，環(huán)繞周期由軌道半徑r唯一確定。小結(jié)：加速度、線速度、角速度ω、周期T，對于確定的天體M和確定的距離r，這些物理量都是確定的，它們反映的是中心天體本身的性質(zhì)，與環(huán)繞物體沒有關(guān)系。反之，知道了上述四個物理量中任意一個，結(jié)合半徑r也可以反過來推算出中心天體的質(zhì)量M。⑹中心天體密度ρ如果知道中心天體的半徑R，則可得天體的體積從而可知當處于天體表面附近時，軌道半徑r=天體半徑R，則如果忽略天體自轉(zhuǎn)的影響，可以用重力加速度g代替，即如果把周期代入，則得即測出靠近星球表面的環(huán)繞周期，就可以得出星球密度。（可作為二級結(jié)論記住，其實質(zhì)是周期T的平方與軌道半徑r的三次方成正比，也就是與體積成正比，這與開普勒第三定律是一致的）注意，由上式可以得到星球的密度是有最大值的，因為自轉(zhuǎn)周期是有最小值的，比如地球的自轉(zhuǎn)周期最小值是84.7分鐘，所以星球密度也會有最大值，對地球來講，這個密度的極限值是，稱作地球的瓦解密度。[例2]一艘宇宙飛船沿著未知天體表面附近的圓形軌道飛行，航天員只用一塊停表能測量出的物理量有（）A.飛船的線速度B.飛船的角速度C.未知天體的質(zhì)量D.未知天體的密度解析：用停表可測出周期T，進而可知道角速度ω，在天體表面飛行時可認為軌道半徑等于天體半徑，所以可以求出天體密度（M與V可以消去半徑的3次方項），選B、D。4.航天科學(xué)中的幾個速度⑴第一宇宙速度：航天器圍繞地球運動的最大速度，此時g可認為與相等，將地球半徑R=6400km代入思考：當?shù)厍虻淖赞D(zhuǎn)速度等于第一宇宙速度時，會發(fā)生什么？（地球上的物體都會漂浮起來）當自轉(zhuǎn)速度如果繼續(xù)增大，超過第一宇宙速度呢？（地球?qū)⒔怏w）求任何星球的第一宇宙速度只需知道星球的質(zhì)量M（或者星球表面的引力加速度）和半徑R即可。*⑵第二宇宙速度：航天器脫離地球引力運動的最小發(fā)射速度。設(shè)航天器在軌道半徑r處的速度為，則航天器具有的動能令無窮遠處（脫離地球引力處）的勢能為0，則航天器在軌道半徑r處的勢能負號說明勢能低于無窮遠處勢能。則總的機械能航天器在無窮遠處的最小機械能為0，所以要想航天器能飛到無窮遠處，需要給航天器再提供額外的能量?E，滿足E+?E=0，即

,剛好等于航天器做環(huán)繞飛行時的動能。這部分額外的能量如果是通過增加航天器的動能來實現(xiàn)的話，則加速后的速度必須滿足這意味著對于正在圍繞地球運動的航天器，當速度增加到原來的

倍時，航天器將脫離地球引力束縛。第二宇宙速度是指從地球表面發(fā)射的速度，我們知道貼近地球表面運行的航天器其繞行速度是第一宇宙速度，依據(jù)上述結(jié)論，第二宇宙速度等于第一宇宙速度的倍，即⑶第三宇宙速度：第三宇宙速度是指航天器脫離太陽引力束縛的最小發(fā)射速度，需要考慮到地球的引力作用和太陽的引力作用，高中不做要求，5.同步衛(wèi)星地球同步衛(wèi)星的“五定”：①定周期：T=24h=86400s②定軌道平面：必須在赤道平面內(nèi)，否則引力的分力將拉回赤道平面；③定高度：；（不包括地球半徑）④定速率：⑤定點：同步衛(wèi)星必須定點在世界衛(wèi)星組織規(guī)定的位置上。[例3]利用三顆位置適當?shù)牡厍蛲叫l(wèi)星，可使地球赤道上任意兩點之間保持無線電通訊，目前，地球同步衛(wèi)星的軌道半徑約為地球半徑的6.6倍，假設(shè)地球的自轉(zhuǎn)周期變小，若仍用三顆同步衛(wèi)星來實現(xiàn)上述目的，則地球自轉(zhuǎn)周期的最小值是多少？解析：三顆同步衛(wèi)星覆蓋整個赤道，最極端的情況下是每個衛(wèi)星覆蓋三分之一赤道，由幾何知識可知，此時衛(wèi)星軌道的最小半徑為2R，由開普勒第三定律，有解得6.宇宙飛船變軌問題同一軌道上的兩個飛船對接，后面的飛船必須先減速降軌道提升速度后再在適當?shù)臅r機加速升軌道與前面的飛船對接。7.雙星問題雙星及多星問題的求解，關(guān)鍵在于根據(jù)幾何條件確定軌道圓的圓心、半徑和向心力。⑴雙星系統(tǒng)的半徑關(guān)系：設(shè)雙星之間的距離為r，它們做圓周運動的半徑分別為、，則，⑵質(zhì)量關(guān)系：由于有,所以⑶周期T:⑷由于力的相互作用，雙星是普遍存在的，比如地球繞太陽旋轉(zhuǎn)，太陽的中心點也會受地球引力的影響而做變動，只不過變動較小而已。⑸拉格朗日點：位于地球和月球之間，由于受到兩個星體的引力，相對月球靜止而共同圍繞地球轉(zhuǎn)動的點。[例4]雙星系統(tǒng)由兩顆恒星組成，兩恒星在相互引力的作用下，分別圍繞其連線上的某一點做周期相同的勻速圓周運動，研究發(fā)現(xiàn)，雙星系統(tǒng)演化過程中，兩星的總質(zhì)量、距離和周期均有可能發(fā)生變化，若某雙星系統(tǒng)中兩星做圓周運動的周期為T，經(jīng)過一段時間演化后，兩星總質(zhì)量變?yōu)樵瓉淼膋倍，兩星之間的距離變?yōu)樵瓉淼膎倍，則此時周期變?yōu)槎嗌?？解析：需要找出雙星系統(tǒng)周期與總質(zhì)量的關(guān)系表達式，將題目中數(shù)據(jù)代入得。[例1]

我們可以觀察到月亮27天繞地球一圈，地球半徑R=6400km，可以估算出月地距離r嗎？解析：對于一個給定的引力場，加速度a、線速度ν、角速度ω和周期T是等價的；本題還需要分析出一個隱含條件，就是地球表面的引力加速度a，可以用重力加速度g代替，并且已知。有了加速度a和半徑R，就可以唯一確定一個引力場。GM=

（確定場源參數(shù)M）兩式聯(lián)立，可解得所以月地距離r’=r-R[例2]設(shè)想人類開發(fā)月球，不斷把月球上的礦藏搬運到地球上，假定經(jīng)過長時間開采后，地球仍可看成均勻球體，月球仍沿開采前的圓周軌道運行，則與開采前相比（）A.地球與月球間的萬有引力將變大B.地球與月球間的萬有引力將變小C.月球繞地球運動的周期將變長D.月球繞地球運動的周期將變短解析：幾何平均數(shù)，Mm乘積將變小，所以萬有引力變小，B正確，A錯誤；同理可推出運動周期也變短，D正確。[例3]根據(jù)天文觀測，銀河系中心可能有一黑洞，距該黑洞m遠的星體正以m/s的速度繞它旋轉(zhuǎn)，請估算黑洞的最大半徑R可能是多少？（保留1位數(shù)字）解析：已知速度和半徑，就可唯一確定場源參數(shù)，即黑洞的質(zhì)量M。黑洞的邊界即為光線以光速圍繞場源運動的半徑，兩式聯(lián)立，可得R=[例4]嫦娥三號探月衛(wèi)星在月球上方100km的圓形軌道上運行，已知衛(wèi)星的運行周期、月球半徑、引力常數(shù)G，根據(jù)以上信息可求出（）A.衛(wèi)星所在處的加速度B.月球的平均密度C.衛(wèi)星線速度D.衛(wèi)星的向心力解析：已知軌道半徑和周期，可求出所有場源和引力場參數(shù)，但牽涉到力、功、能則必須知道衛(wèi)星自身的質(zhì)量，所以選A、B、C。[例5]如圖，飛行器P繞某星球做勻速圓周運動，周期為T，星球相對飛行器的張角為θ，則能否求出星球的平均密度？解析：求密度需要知道星球的質(zhì)量M和星球的半徑R。周期T已知，還需要知道軌道半徑r，才能確定星球質(zhì)量M，通過張角θ可以得到軌道半徑r與星球半徑的比值。三式聯(lián)立，可得[例6]偵查衛(wèi)星在通過地球兩極上空的圓軌道上運行，它的運行軌跡距地面高度為h，要使衛(wèi)星在一天內(nèi)將地面上赤道各處在日照條件下的情況全部拍下來，衛(wèi)星在通過赤道上空時，衛(wèi)星上的攝像機應(yīng)拍攝地面上赤道圓周的弧長是多少？（設(shè)地球半徑為R，地面處的重力加速度為g，地球的自轉(zhuǎn)周期為T）解析：假設(shè)衛(wèi)星處于赤道上空，開始拍攝，經(jīng)過一個周期再回到赤道上空，再次拍攝，要求兩次拍攝的弧線應(yīng)該完美連接而不能有空白。所以拍攝的弧長即為地球經(jīng)過一個衛(wèi)星周期轉(zhuǎn)過的弧長。對地球表面，有設(shè)衛(wèi)星的周期為，則兩式聯(lián)立，得在此期間內(nèi)地球轉(zhuǎn)過的角度θ==則弧長L=Rθ=[例7]質(zhì)量為m的登月器與航天飛機連接在一起，隨航天飛機繞月球做半徑為3R（R為月球半徑）的圓周運動，當它們運動到軌道的A點時，登月器被彈離，航天飛機速度變大，登月器速度變小仍沿原方向運動，隨后登月器沿橢圓軌道登上月球表面的B點，在月球表面逗留一段時間后