江西省吉安市六校聯(lián)考2022-2023學(xué)年八年級上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷

2022-2023學(xué)年江西省吉安市六校聯(lián)考八年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷一．選擇題（共6小題，滿分18分，每小題3分）1．下列交通標(biāo)志圖形中，軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．2．若下列各組數(shù)值代表三根木棒的長度，則不能用它們擺成三角形的是（）A．3cm，4cm，5cm B．8cm，8cm，14cm C．6cm，7cm，11cm D．1cm，2cm，4cm3．下列各點(diǎn)中，點(diǎn)M（1，﹣2）關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A．（1，2） B．（﹣1，2） C．（﹣1，﹣2） D．（1，﹣2）4．如圖，△ABC≌△AEF，則∠EAC等于（）A．∠BAF B．∠C C．∠F D．∠CAF5．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，若∠BCD＝30°，BD＝1，則AB的長是（）A．2 B．3 C．4 D．56．將一張正方形按圖1，圖2方式折疊，然后用剪刀沿圖3中虛線剪掉一角，再將紙片展開鋪平后得到的圖形是（）A． B． C． D．二．填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）7．如圖，在正六邊形ABCDEF中，連接BF，DF，則∠BFD的度數(shù)為．8．如圖，△ABC中，若AC＝AD＝DB，且∠BAC＝108°，則∠ADC＝．9．如圖，AB與CD相交于點(diǎn)O，OC＝OD．若要得到△AOC≌△BOD，則應(yīng)添加的條件是．（寫出一種情況即可）10．斜邊和一條分別對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等（可以簡寫成“”或“”）．11．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在BC邊上，連接AD，且CD＝5，AD＝13，直線EF是邊AC的垂直平分線，若點(diǎn)M在EF上運(yùn)動，則△CDM周長的最小值為．12．△ABC中，AB＝AC，D為AC上一點(diǎn)，△ABD和△BCD是等腰三角形，那么∠BAC的度數(shù)是．三．解答題（共11小題，滿分84分）13．如圖，在△ABC中，D為AB上一點(diǎn)，∠A＝∠2，∠1＝∠B．（1）判斷△ABC的形狀；（2）判斷CD是否與AB垂直．14．如圖，在△ABC中，∠B＝∠C，D，E分別是線段BC、AC上的一點(diǎn)，且AD＝AE．（1）如圖1，若∠BAC＝90°，D為BC中點(diǎn)，則∠2的度數(shù)為；（2）如圖2，用等式表示∠1與∠2之間的數(shù)量關(guān)系，并給予證明．15．A，B兩所學(xué)校在一條東西走向公路的同旁，以公路所在直線為x軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，且點(diǎn)A的坐標(biāo)是（2，2），點(diǎn)B的坐標(biāo)是（7，3），根據(jù)下列要求作圖（保留作圖痕跡，不用寫作法）．（1）一輛汽車由西向東行駛，在行駛過程中是否存在一點(diǎn)C，使C點(diǎn)到A，B兩校的距離相等？如果有，請用尺規(guī)作圖找出該點(diǎn)；（2）若在公路邊建一游樂場P，使游樂場到兩校距離之和最小，通過作圖在圖中找出建游樂場P的位置．16．如圖，等腰三角形ABC和等腰三角形ADE中，∠BAC＝∠DAE＝40°，連接BD、CE．（1）求證：BD＝CE；（2）延長BD、CE交于點(diǎn)P．求∠BPC的度數(shù)．17．平面直角坐標(biāo)系中，A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為（﹣4，0）、（0，2），以AB為邊在第二象限內(nèi)作正方形ABCD．①AB的長為；②點(diǎn)C的坐標(biāo)為；②你能否在x軸上找一點(diǎn)M，使△MDB的周長最??？如果能，請畫出M點(diǎn)，并求出M的坐標(biāo)，并直接寫出△MDB周長的最小值；如果不能，說明理由．18．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝BD，DA＝DC，求∠B的度數(shù)．19．如圖，在△ABC中，∠A＝60°，∠ABC、∠ACB的平分線分別交AC、AB于點(diǎn)D、E，CE、BD相交于點(diǎn)F，連接DE．（1）若AC＝BC＝6，求DE的長；（2）求證：BE+CD＝BC．20．（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，△ABC和△DCE均為等邊三角形，當(dāng)△DCA應(yīng)轉(zhuǎn)至點(diǎn)A，D，E在同一直線上，連接BE，易證△BCE≌△ACD，則①∠BEC＝；②線段AD，BE之間的數(shù)量關(guān)系；（2）拓展研究：如圖2，△ACB和△DCE均為等腰三角形，且∠ACB＝∠DCE＝90°，點(diǎn)A，D，E在同一直線上，若AE＝12，DE＝7，求AB的長度；（3）如圖3，P為等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，且∠APC＝150°，∠APD＝30°，AP＝4，CP＝3，DP＝7，求BD的長．21．如圖，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，D在線段BC上，E是線段AD上一點(diǎn)．現(xiàn)以CE為直角邊，C為直角頂點(diǎn)，在CE的下方作等腰直角△ECF，連接BF．（1）如圖1，求證：∠CAE＝∠CBF；（2）當(dāng)A、E、F三點(diǎn)共線時，如圖2，若BF＝2，求AF的長；（3）如圖3，若∠BAD＝15°，連接DF，當(dāng)E運(yùn)動到使得∠ACE＝30°時，求△DEF的面積．22．如圖，等邊△ABC的邊長為6cm，現(xiàn)有兩動點(diǎn)M、N分別從點(diǎn)A、B同時出發(fā)，沿三角形的邊運(yùn)動，已知點(diǎn)M的速度為1cm/s，點(diǎn)N的速度為2cm/s，當(dāng)點(diǎn)N第一次到達(dá)點(diǎn)B時，點(diǎn)M、N同時停止運(yùn)動．（1）點(diǎn)M、N運(yùn)動幾秒后，M、N兩點(diǎn)重合？（2）點(diǎn)M、N運(yùn)動幾秒后，以點(diǎn)A、M、N為頂點(diǎn)的三角形是等邊三角形？（3）當(dāng)點(diǎn)M、N在邊BC上運(yùn)動時，連接AM、AN，能否得到以MN為底邊的等腰三角形AMN？如能，請求出此時點(diǎn)M、N運(yùn)動的時間．23．【問題發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1所示，△ABC和△ADE均為正三角形，B、D、E三點(diǎn)共線．猜想線段BD、CE之間的數(shù)量關(guān)系為；∠BEC＝°；【類比探究】（2）如圖2所示，△ABC和△ADE均為等腰直角三角形，∠ACB＝∠AED＝90°，AC＝BC，AE＝DE，其他條件同（1），請問（1）中的結(jié)論還成立嗎？說明你的理由；【拓展延伸】（3）如圖3所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝4，DE為△ABC的中位線，將△CDE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，當(dāng)DE所在直線經(jīng)過點(diǎn)A時，求BE的長．（直接寫出答案）

2022-2023學(xué)年江西省吉安市六校聯(lián)考八年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一．選擇題（共6小題）1．下列交通標(biāo)志圖形中，軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】利用軸對稱圖形的概念可得答案．【解答】解：A、不是軸對稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；B、是軸對稱圖形，故此選項(xiàng)符合題意；C、不是軸對稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；D、不是軸對稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；故選：B．2．若下列各組數(shù)值代表三根木棒的長度，則不能用它們擺成三角形的是（）A．3cm，4cm，5cm B．8cm，8cm，14cm C．6cm，7cm，11cm D．1cm，2cm，4cm【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，兩邊之和大于第三邊，即兩短邊的和大于最長的邊，即可作出判斷．【解答】解：A、3+4＞5，能擺成三角形，不符合題意；B、8+8＞14，能擺成三角形，不符合題意；C、6+7＞11，能擺成三角形，不符合題意；D、1+2＜4，不能擺成三角形，符合題意．故選：D．3．下列各點(diǎn)中，點(diǎn)M（1，﹣2）關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A．（1，2） B．（﹣1，2） C．（﹣1，﹣2） D．（1，﹣2）【分析】根據(jù)“關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)，橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)”解答．【解答】解：點(diǎn)M（1，﹣2）關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，2）．故選：A．4．如圖，△ABC≌△AEF，則∠EAC等于（）A．∠BAF B．∠C C．∠F D．∠CAF【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得∠CAB＝∠FAE，再利用等式的性質(zhì)可得∠CAE＝∠FAB．【解答】解：∵△ABC≌△AEF，∴∠CAB＝∠FAE，∴∠EAF﹣∠CAF＝∠BAC﹣∠CAF，∴∠CAE＝∠FAB，故選：A．5．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，若∠BCD＝30°，BD＝1，則AB的長是（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】根據(jù)高定義求出∠CDB＝90°，根據(jù)直角三角形的兩銳角互余求出∠B，再根據(jù)直角三角形的兩銳角互余求出∠A，根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)得出BC＝2BD，AB＝2BC，再把BD＝1代入求出即可．【解答】解：∵CD是高，∴∠CDB＝90°，∵∠BCD＝30°，BD＝1，∴BC＝2BD＝2，∠B＝90°﹣∠BCD＝60°，∵∠ACB＝90°，∴∠A＝90°﹣∠B＝30°，∴AB＝2BC＝2×2＝4，故選：C．6．將一張正方形按圖1，圖2方式折疊，然后用剪刀沿圖3中虛線剪掉一角，再將紙片展開鋪平后得到的圖形是（）A． B． C． D．【分析】可以動手具體操作一下看看，可以直觀形象的得到答案．【解答】解：由于圖3的虛線平行于底邊，剪去的三角形后，展開的是矩形，故選：B．二．填空題（共6小題）7．如圖，在正六邊形ABCDEF中，連接BF，DF，則∠BFD的度數(shù)為60°．【分析】根據(jù)正多邊形的性質(zhì)，由六邊形ABCDEF是正六邊形ABCDEF，得∠A＝∠AFE＝120°，AB＝AF，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理推斷出∠ABF＝∠AFB＝30°，進(jìn)而解決此題．【解答】解：∵六邊形ABCDEF是正六邊形，∴∠A＝∠AFE＝120°，AB＝AF．∴∠ABF＝∠AFB．∴∠ABF+∠AFB＝180°﹣∠A＝60°．∴∠ABF＝∠AFB＝30°．同理，∠EFD＝30°．∴∠BFD＝∠AFE﹣（∠AFB+∠EFD）＝120°﹣（30°+30°）＝60°．故答案為：60°．8．如圖，△ABC中，若AC＝AD＝DB，且∠BAC＝108°，則∠ADC＝48°．【分析】設(shè)∠ADC＝α，然后根據(jù)AC＝AD＝DB，∠BAC＝108°，表示出∠B和∠BAD的度數(shù)，最后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠ADC的度數(shù)．【解答】解：∵AC＝AD＝DB，∴∠B＝∠BAD，∠ADC＝∠C，設(shè)∠ADC＝α，∴∠B＝∠BAD＝，∵∠BAC＝108°，∴∠DAC＝108°﹣，在△ADC中，∵∠ADC+∠C+∠DAC＝180°，∴2α+108°﹣＝180°，解得：α＝48°．故答案為：48°．9．如圖，AB與CD相交于點(diǎn)O，OC＝OD．若要得到△AOC≌△BOD，則應(yīng)添加的條件是OA＝OB（或∠A＝∠B或∠C＝∠D）．（寫出一種情況即可）【分析】全等三角形的判定方法有SAS，ASA，AAS，SSS，只要添加一個符合的條件即可．【解答】解：已知OC＝OD，∠AOC＝∠BOD，添加OA＝OB，利用SAS可得△AOC≌△BOD，添加∠A＝∠B，利用AAS可得△AOC≌△BOD，添加∠C＝∠D，利用ASA可得△AOC≌△BOD，故答案為：OA＝OB（或∠A＝∠B或∠C＝∠D）．10．斜邊和一條直角邊分別對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等（可以簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）．【分析】根據(jù)直角三角形的判定定理即可得到結(jié)論．【解答】解：斜邊和一條直角邊分別對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等（可以簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）．故答案為：直角邊；斜邊、直角邊；HL．11．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在BC邊上，連接AD，且CD＝5，AD＝13，直線EF是邊AC的垂直平分線，若點(diǎn)M在EF上運(yùn)動，則△CDM周長的最小值為18．【分析】由EF垂直平分線段AC，推出MA＝MC，推出DM+MC＝AM+MD，可得當(dāng)A、D、M共線時，DM+MC的值最小，最小值就是線段AD的長，即可求解．【解答】解：連接MA，∵EF垂直平分線段AC，∴MA＝MC，∴DM+MC＝AM+MD，∴當(dāng)A、D、M共線時，DM+MC的值最小，∵AD＝13，∴DM+MC的最小值就是線段AD的長，∴△CDM周長的最小值為DM+MC+CD＝13+5＝18，故答案為：18．12．△ABC中，AB＝AC，D為AC上一點(diǎn)，△ABD和△BCD是等腰三角形，那么∠BAC的度數(shù)是36°或（）°．．【分析】分為兩種情況：當(dāng)AD＝BD，BD＝BC時，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠ABC＝∠C，∠A＝∠ABD，∠C＝∠BDC，推出∠BDC＝∠A+∠ABD＝2∠A，求出∠C＝∠ABC＝2∠A，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出即可；當(dāng)AD＝BD，BC＝DC時，設(shè)∠A＝x°，則∠ABD＝∠A＝x°，∠DBC＝∠BDC＝x°+x°＝2x°，∠C＝∠ABC＝3x°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出即可．【解答】解：當(dāng)AD＝BD，BD＝BC時，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∵△ABD和△BCD是等腰三角形，∴AD＝BD，BD＝BC，∴∠A＝∠ABD，∠C＝∠BDC，∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝2∠A，即∠C＝∠ABC＝∠BDC＝2∠A，∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，∴∠A+2∠A+2∠A＝180°，∴∠BAC＝36°；當(dāng)AD＝BD，BC＝DC時，設(shè)∠A＝x°，則∠ABD＝∠A＝x°，∠DBC＝∠∠BDC＝x°+x°＝2x°，∠C＝∠ABC＝3x°，在△BDC中，2x+2x+3x＝180，x＝，則∠BAC＝（）°，故答案為：36°或（）°．三．解答題（共11小題）13．如圖，在△ABC中，D為AB上一點(diǎn)，∠A＝∠2，∠1＝∠B．（1）判斷△ABC的形狀；（2）判斷CD是否與AB垂直．【分析】（1）證出∠ACB＝90°，則可得出結(jié)論；（2）求出∠CDB＝90°，可得出CD⊥AB．【解答】解：（1）△ABC是直角三角形．∵∠A＝∠2，∠1＝∠B，∴∠A+∠2+∠1+∠B＝180°，∴∠A+∠B＝90°，∴∠ACB＝90°，∴△ABC是直角三角形；（2）CD⊥AB．∵∠A+∠B＝90°，∠A＝∠2，∴∠2+∠B＝90°，∴∠CDB＝90°，∴CD⊥AB．14．如圖，在△ABC中，∠B＝∠C，D，E分別是線段BC、AC上的一點(diǎn)，且AD＝AE．（1）如圖1，若∠BAC＝90°，D為BC中點(diǎn)，則∠2的度數(shù)為22.5°；（2）如圖2，用等式表示∠1與∠2之間的數(shù)量關(guān)系，并給予證明．【分析】（1）根據(jù)三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和，∠AED＝∠EDC+∠C，∠ADC＝∠B+∠BAD，再根據(jù)等邊對等角的性質(zhì)∠B＝∠C，∠ADE＝∠AED，進(jìn)而得出∠BAD＝2∠CDE．（2）根據(jù)三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和，∠AED＝∠EDC+∠C，∠ADC＝∠B+∠BAD，再根據(jù)等邊對等角的性質(zhì)∠B＝∠C，∠ADE＝∠AED，進(jìn)而得出∠BAD＝2∠CDE．【解答】解：（1）∠AED＝∠CDE+∠C，∠ADC＝∠B+∠BAD，∵AD＝AE，∴∠AED＝∠ADE，∵∠B＝∠C，∠BAC＝90°，D是BC中點(diǎn)，∴∠BAD＝45°，∴∠B+∠BAD＝∠EDC+∠C+∠CDE，即∠BAD＝2∠CDE，∴∠2＝22.5°；故答案為：22.5°．（2）∠AED＝∠CDE+∠C，∠ADC＝∠B+∠BAD，∵AD＝AE，∴∠AED＝∠ADE，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠B+∠BAD＝∠EDC+∠C+∠CDE，即∠BAD＝2∠CDE，∠1＝2∠2．15．A，B兩所學(xué)校在一條東西走向公路的同旁，以公路所在直線為x軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，且點(diǎn)A的坐標(biāo)是（2，2），點(diǎn)B的坐標(biāo)是（7，3），根據(jù)下列要求作圖（保留作圖痕跡，不用寫作法）．（1）一輛汽車由西向東行駛，在行駛過程中是否存在一點(diǎn)C，使C點(diǎn)到A，B兩校的距離相等？如果有，請用尺規(guī)作圖找出該點(diǎn)；（2）若在公路邊建一游樂場P，使游樂場到兩校距離之和最小，通過作圖在圖中找出建游樂場P的位置．【分析】（1）連接AB，作出線段AB的垂直平分線，與x軸的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)；（2）找到點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)，連接對稱點(diǎn)與點(diǎn)B與x軸交點(diǎn)即為所求作的點(diǎn)．【解答】解：（1）存在滿足條件的點(diǎn)C，如圖所示，C就是所要求的點(diǎn)；（2）如圖所示，P就是所要求的點(diǎn)．16．如圖，等腰三角形ABC和等腰三角形ADE中，∠BAC＝∠DAE＝40°，連接BD、CE．（1）求證：BD＝CE；（2）延長BD、CE交于點(diǎn)P．求∠BPC的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)證明△BAD≌△CAE，即可解決問題；（2）結(jié)合（1）根據(jù)對頂角相等即可得∠BPC的度數(shù)．【解答】（1）證明：∵△ABC和△ADE是等腰三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE；（2）解：∵△BAD≌△CAE，∴∠ABD＝∠ACE，∵∠AMB＝∠PMC，∴∠BPC＝∠BAC＝40°．17．平面直角坐標(biāo)系中，A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為（﹣4，0）、（0，2），以AB為邊在第二象限內(nèi)作正方形ABCD．①AB的長為2；②點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣2，6）；②你能否在x軸上找一點(diǎn)M，使△MDB的周長最小？如果能，請畫出M點(diǎn)，并求出M的坐標(biāo)，并直接寫出△MDB周長的最小值；如果不能，說明理由．【分析】①過C點(diǎn)作CE⊥y軸于E點(diǎn)，如圖，利用點(diǎn)A、B的坐標(biāo)得到OA＝4，OB＝2，則利用勾股定理可計算出AB＝2，再證明△BCE≌△ABO得到CE＝OB＝2，BE＝OA＝4，從而得到C點(diǎn)坐標(biāo)；②作B點(diǎn)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)F，則F（0，﹣2），連接DF交x軸于M，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短得到此時MD+MB的值最小，△MBD的周長最小，過DH⊥x軸于H點(diǎn)，如圖，與①中的證明方法一樣證明△ADH≌△BAO得到DH＝OA＝4，AH＝OB＝2，則D（﹣6，4），接著利用待定系數(shù)法求出直線DF的解析式為y＝﹣x﹣2，則可確定M點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣2，0），利用計算出DF和BD，從而得到△MDB周長的最小值．【解答】解：①過C點(diǎn)作CE⊥y軸于E點(diǎn)，如圖，∵A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為（﹣4，0）、（0，2），∴OA＝4，OB＝2，∴AB＝＝2，∵四邊形ABCD為正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝90°，∵∠CBE+∠ABO＝90°，∠CBE+∠BCE＝90°，∴∠BCE＝∠ABO，在△BCE和△ABO中，，∴△BCE≌△ABO（AAS），∴CE＝OB＝2，BE＝OA＝4，∴C（﹣2，6）；故答案為：2；（﹣2，6）；②作B點(diǎn)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)F，則F（0，﹣2），連接DF交x軸于M，此時MD+MB的值最小，△MBD的周長最小，過DH⊥x軸于H點(diǎn)，如圖，與①中的證明方法一樣證明△ADH≌△BAO，∴DH＝OA＝4，AH＝OB＝2，∴D（﹣6，4），設(shè)直線DF的解析式為y＝kx+b，把D（﹣6，4），F(xiàn)（0，﹣2）分別代入得，解得，∴直線DF的解析式為y＝﹣x﹣2，當(dāng)y＝0時，﹣x﹣2＝0，解得x＝2，∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣2，0），∵DF＝＝6，DB＝AB＝×2＝2，∴△MDB周長的最小值為6+2．18．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝BD，DA＝DC，求∠B的度數(shù)．【分析】通過“等邊對等角”的性質(zhì)，可以找出各角之間的關(guān)系，利用三角形內(nèi)角和為180°求解即可．【解答】解：設(shè)∠B＝x°，∵AB＝AC，∴∠C＝∠B＝x°，∵DA＝DC，∴∠C＝∠DAC＝x°，∴∠ADB＝∠C+∠DAC＝2x°，∵AB＝BD，∴∠ADB＝∠BAD＝2x°，在△ABD中，∠B＝x°，∠ADB＝∠BAD＝2x°，∴x°+2x°+2x°＝180°，解得x°＝36°，∴∠B＝36°．19．如圖，在△ABC中，∠A＝60°，∠ABC、∠ACB的平分線分別交AC、AB于點(diǎn)D、E，CE、BD相交于點(diǎn)F，連接DE．（1）若AC＝BC＝6，求DE的長；（2）求證：BE+CD＝BC．【分析】（1）證明△ADE為等邊三角形，可得結(jié)論；（2）在BC上截取BH＝BE，證明兩對三角形全等：△EBF≌△HBF，△CDF≌△CHF，可得結(jié)論．【解答】解：（1）∵AC＝BC，∠A＝60°，∴△ABC為等邊三角形，∴AC＝AB，又∵BD、CE分別是∠ABC、∠ACB的平分線，∴D、E分別是AC、AB的中點(diǎn)，∴AD＝AE，∴△ADE為等邊三角形，∴DE＝AE＝3；（2）證明：在BC上截取BH＝BE，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∵BF＝BF∴△EBF≌△HBF（SAS），∴∠EFB＝∠HFB＝60°．∵∠A＝60°，∴∠ABC+∠ACB＝120°，∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，∴∠ABD＝∠CBD，∠ACE＝∠BCE，∴∠CBD+∠BCE＝60°，∴∠BFE＝60°，∴∠CFB＝120°，∴∠CFH＝60°，∴∠CFH＝∠CFD＝60°，∵CF＝CF，∴△CDF≌△CHF（ASA）．∴CD＝CH，∵CH+BH＝BC，∴BE+CD＝BC．20．（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，△ABC和△DCE均為等邊三角形，當(dāng)△DCA應(yīng)轉(zhuǎn)至點(diǎn)A，D，E在同一直線上，連接BE，易證△BCE≌△ACD，則①∠BEC＝120°；②線段AD，BE之間的數(shù)量關(guān)系A(chǔ)D＝BE；（2）拓展研究：如圖2，△ACB和△DCE均為等腰三角形，且∠ACB＝∠DCE＝90°，點(diǎn)A，D，E在同一直線上，若AE＝12，DE＝7，求AB的長度；（3）如圖3，P為等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，且∠APC＝150°，∠APD＝30°，AP＝4，CP＝3，DP＝7，求BD的長．【分析】（1）由條件易證△ACD≌△BCE，從而得到：AD＝BE，∠ADC＝∠BEC．由點(diǎn)A，D，E在同一直線上可求出∠ADC，從而可以求出∠BEC的度數(shù)；（2）同（1）證出△ACD≌△BCE，得出AD＝BE＝AE﹣DE＝5，∠ADC＝∠BEC，求出∠BEC＝135°，得出∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝90°．由勾股定理求出AB即可；（3）把△APC繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)60°得△BEC，連接PE，則△BEC≌△APC，得出CE＝CP，∠PCE＝60°，BE＝AP＝4，∠BEC＝∠APC＝150°，證出△PCE是等邊三角形，得出∠EPC＝∠PEC＝60°，PE＝CP＝3，求出∠BED＝∠BEC﹣∠PEC＝90°，證明D、P、E在同一條直線上，得出DE＝DP+PE＝10，再由勾股定理求出BD即可．【解答】解：（1）①∵△ACB和△DCE均為等邊三角形，∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°．∴∠ACD＝∠BCE．在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS）．∴∠ADC＝∠BEC．∵△DCE為等邊三角形，∴∠CDE＝∠CED＝60°．∵點(diǎn)A，D，E在同一直線上，∴∠ADC＝120°．∴∠BEC＝120°．故答案為：120°；②由①得：△ACD≌△BCE，∴AD＝BE；故答案為：AD＝BE．（2）∵△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°．∴∠ACD＝∠BCE．在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE＝AE﹣DE＝12﹣7＝5，∠ADC＝∠BEC，∵△DCE為等腰直角三角形∴∠CDE＝∠CED＝45°．∵點(diǎn)A，D，E在同一直線上，∴∠ADC＝135°．∴∠BEC＝135°．∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝90°．∴AB＝＝＝13；（3）把△APC繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)60°得△BEC，連接PE，如圖所示：AP＝4，CP＝3，DP＝7則△BEC≌△APC，∴CE＝CP，∠PCE＝60°，BE＝AP＝4，∠BEC＝∠APC＝150°，∴△PCE是等邊三角形，∴∠EPC＝∠PEC＝60°，PE＝CP＝3，∴∠BED＝∠BEC﹣∠PEC＝90°，∵∠APD＝30°，∴∠DPC＝150°﹣30°＝120°，又∵∠DPE＝∠DPC+∠EPC＝120°+60°＝180°，即D、P、E在同一條直線上，∴DE＝DP+PE＝7+3＝10，在Rt△BDE中，BD＝＝＝2，即BD的長為2．21．如圖，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，D在線段BC上，E是線段AD上一點(diǎn)．現(xiàn)以CE為直角邊，C為直角頂點(diǎn)，在CE的下方作等腰直角△ECF，連接BF．（1）如圖1，求證：∠CAE＝∠CBF；（2）當(dāng)A、E、F三點(diǎn)共線時，如圖2，若BF＝2，求AF的長；（3）如圖3，若∠BAD＝15°，連接DF，當(dāng)E運(yùn)動到使得∠ACE＝30°時，求△DEF的面積．【分析】（1）證明△ACE≌△BCF（SAS），即可解決問題；（2）先由全等三角形的性質(zhì)和三角形的外角性質(zhì)，證出∠ACD＝∠DFB＝90°，再由勾股定理即可解決問題；（3）作FH⊥BC于H．先證明△BCF是底角為30°的等腰三角形，再求出CF，F(xiàn)B，F(xiàn)H的長，然后根據(jù)S△DEF＝S△ECD+S△CDF﹣S△ECF計算即可．【解答】（1）證明：∵△ABC，△ECF都是等腰直角三角形，∴CA＝CB，CE＝CF，∠ACB＝∠ECF＝90°，∴∠ACE＝∠BCF，∴△ACE≌△BCF（SAS），∴∠CAE＝∠CBF；（2）解：∵AC＝BC＝3，∠ACB＝90°，∴AB＝AC＝3，由（1）得：∠CAD＝∠DBF，∵∠ADB＝∠CAD+∠ACD＝∠DBF+∠DFB，∴∠DFB＝∠ACD＝90°，∴AF＝＝＝5；（3）解：過點(diǎn)F作FH⊥BC于H，如圖3所示：∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠BAC＝∠ABC＝45°，∵∠BAD＝15°，∴∠CAE＝45°﹣15°＝30°，∴∠ACE＝∠CAE＝30°，∴AE＝CE＝CF，同（1）得：△ACE≌△BCF（SAS），∴BF＝AE，∠ACE＝∠BCF＝30°，∴CF＝BF，∴∠BCF＝∠CBF＝30°，∵FC＝FB，F(xiàn)H⊥BC，∴CH＝BH＝BC＝，F(xiàn)H＝CH＝，CF＝BF＝2FH＝3，∵∠CED＝∠CAE+∠ACE＝60°，∠ECD＝90°﹣30°＝60°，∴△ECD是等邊三角形，∴EC＝CF＝CD＝3，∴S△DEF＝S△ECD+S△CDF﹣S△ECF＝×32+×3×﹣×3×3＝．22．如圖，等邊△ABC的邊長為6cm，現(xiàn)有兩動點(diǎn)M、N分別從點(diǎn)A、B同時出發(fā)，沿三角形的邊運(yùn)動，已知點(diǎn)M的速度為1cm/s，點(diǎn)N的速度為2cm/s，當(dāng)點(diǎn)N第一次到達(dá)點(diǎn)B時，點(diǎn)M、N同時停止運(yùn)動．（1）點(diǎn)M、N運(yùn)動幾秒后，M、N兩點(diǎn)重合？（2）點(diǎn)M、N運(yùn)動幾秒后，以點(diǎn)A、M、N為頂點(diǎn)的三角形是等邊三角形？（3）當(dāng)點(diǎn)M、N在邊BC上運(yùn)動時，連接AM、AN，能否得到以MN為底邊的等腰三角形AMN？如能，請求出此時點(diǎn)M、N運(yùn)動的時間．【分析】（1）首先設(shè)點(diǎn)M、N運(yùn)動t秒后，M、N兩點(diǎn)重合，表示出M，N的運(yùn)動路程，N的運(yùn)動路程比M的運(yùn)動路程多6cm，列出方程求解即可；（2）根據(jù)題意設(shè)點(diǎn)M、N運(yùn)動t秒后，可得到等邊三角形△AMN，然后表示出AM，AN的長，由于∠A等于60°，所以只要AM＝AN三角形ANM就是等邊三角形；（3）首先假設(shè)△AMN是等腰三角形，可證出△ANC≌△AMB（AAS），可得CN＝BM，設(shè)出運(yùn)動時間，表示出CN，MB的長，列出方程，可解出未知數(shù)的值．【解答】解：（1）設(shè)點(diǎn)M、N運(yùn)動t秒后重合，則t+6＝2t，解得t＝6，∴點(diǎn)M、N運(yùn)動6秒后重合；（2）設(shè)點(diǎn)M、N運(yùn)動t秒后，△AMN是等邊三角形，如圖1，AM＝tcm，AN＝（6﹣2t）（cm），當(dāng)AM＝AN時，△AMN是等邊三角形，即t＝6﹣2t，解得t＝2，∴當(dāng)點(diǎn)M、N運(yùn)動2秒時，△AMN是等邊三角形；（3）如圖2，設(shè)點(diǎn)M、N運(yùn)動t秒，則CN＝（t﹣6）（cm），BM＝（18﹣2t）（cm），假設(shè)△AMN是等腰三角形，則AN＝AM，∠ANM＝∠AMN，∴∠ANC＝∠AMB，又∵∠B＝∠C，∴△ANC≌△AMB（AAS），∴CN＝BM，即t﹣6＝18﹣2t，解得t＝8，∴當(dāng)點(diǎn)M、N運(yùn)動8秒時，△AMN是等腰三角形．23．【問題發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1所示，△ABC和△ADE均為正三角形，B、D、E三點(diǎn)共線．猜想線段BD、CE之間的數(shù)量關(guān)