中學數(shù)學 利用導數(shù)研究函數(shù)的極值和最值（含答案）

專題4利用導數(shù)研究函數(shù)的極值和最值專題知識梳理1.函數(shù)的極值（1）函數(shù)極值定義:一般地，設函數(shù)在點附近有定義，如果對附近的所有的點，都有，就說是函數(shù)的一個極大值，記作y極大值=,是極大值點。如果對附近的所有的點，都有.就說是函數(shù)的一個極小值，記作y極小值=，是極小值點。極大值與極小值統(tǒng)稱為極值.(2)判別f(x0)是極大、極小值的方法:若滿足，且在的兩側的導數(shù)異號，則是的極值點，是極值，并且如果在兩側滿足“左正右負”，則是的極大值點，是極大值；如果在兩側滿足“左負右正”，則是的極小值點，是極小值.(3)求可導函數(shù)f(x)的極值的步驟:①確定函數(shù)的定義區(qū)間，求導數(shù);②求出方程的定義域內的所有實數(shù)根；③用函數(shù)的導數(shù)為的點，順次將函數(shù)的定義域分成若干小開區(qū)間，并列成表格.標出在方程根左右的值的符號，如果左正右負，那么f(x)在這個根處取得極大值；如果左負右正，那么f(x)在這個根處取得極小值；如果左右不改變符號，那么f(x)在這個根處無極值。④根據(jù)表格下結論并求出需要的極值。2.函數(shù)的最值（1）定義：若在函數(shù)的定義域內存在,使得對于任意的,都有,則稱為函數(shù)的最大值，記作;若在函數(shù)的定義域內存在,使得對于任意的,都有,則稱為函數(shù)的最小值，記作;（2）在閉區(qū)間上圖像連續(xù)不斷的函數(shù)在上必有最大值與最小值．（3）求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：①求在內的極值；②將的各極值與比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值,從而得出函數(shù)在上的最值?？键c探究考向1利用導數(shù)研究函數(shù)的極值【例】已知函數(shù)，求函數(shù)的極值.【解析】因為，所以,令，得，列表:-0+單調遞減極小值單調遞增所以是的極小值1，無極大值。題組訓練1.函數(shù)的極大值是________，極小值是________．【解析】，令，解得.當變化時，，的變化情況如下表：－2(－2,2)2＋0－0＋單調遞增極大值單調遞減極小值單調遞增因此，當x＝－2時，f(x)有極大值f(－2)＝eq\f(17,3)；當x＝2時，f(x)有極小值f(2)＝－5.2.已知函數(shù)在處有極值10，求的值?！窘馕觥?或．①當時,在處不存在極值．②當時，，；,符合題意．所以．．3.（易錯題）若函數(shù)SKIPIF1<0在其定義域內的一個子區(qū)間SKIPIF1<0內有極值，則實數(shù)的取值范圍_____.【解析】因為函數(shù)SKIPIF1<0的定義域為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0；知函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是增函數(shù)，在SKIPIF1<0上是減函數(shù)．因此要使函數(shù)SKIPIF1<0在其定義域內的一個子區(qū)間SKIPIF1<0內不是單調函數(shù)，必須且只需SKIPIF1<0．4.已知函數(shù)的極大值點和極小值點都在區(qū)間內,則實數(shù)的取值范圍是．【解析】考向2利用導數(shù)研究函數(shù)的最值【例】已知函數(shù).(1)求函數(shù)在上的最值；(2)若函數(shù)在上的最小值為，求實數(shù)的值．【解析】(1)因為f′(x)＝lnx＋1，令，得，列表：-0+單調遞減極小值單調遞增所以f(x)min＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)))＝eq\f(1,e)lneq\f(1,e)＝－eq\f(1,e).又因為,所以(2)由題知F(x)＝lnx－eq\f(a,x)，F(xiàn)′(x)＝eq\f(x＋a,x2).①當時，在上恒成立，F(xiàn)(x)在[1，e]上單調遞增，F(xiàn)(x)min＝F(1)＝－a＝eq\f(3,2)，解得：(舍去)．②當時，在上恒成立，F(xiàn)(x)在[1，e]上單調遞減，，解得：(舍去)．③時，令,解得,列表：-0+單調遞減極小值單調遞增,解得：綜上所述，.題組訓練1.函數(shù)在區(qū)間上的最小值為______．【解析】，．令，解得，當x變化時，f(x)，f′(x)的變化情況如下表：＋－單調遞增極大值單調遞減極小值π由上表可知，函數(shù)在區(qū)間上的極小值為,又因為，所以在區(qū)間上的最小值為0.2.設函數(shù)．（1）若在上遞增，求實數(shù)的取值范圍；（2）求在上的最小值．【解析】（1）由已知在上恒成立，則，又，.(2)，①當時，，單調遞增，則；②當時，在上單調遞減，在上單調遞增，則；③當時，，單調遞減，則；綜上：考向3最（極）值的綜合問題【例】已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調區(qū)間和極值點；(2)若在恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【解析】：（1）函數(shù)的定義域為,①即時，恒成立，所以在上單調遞增，無極值點 ②即時，令，解得,列表＋－+單調遞增極大值單調遞減極小值單調遞增所以函數(shù)的增區(qū)間是，減區(qū)間是,極大值點是，極小值點是。（2）即,因為,所以令,則,在上恒成立，所以在上遞增，,即,故在上為增函數(shù),所以.題組訓練1.已知函數(shù)的定義域為為的導函數(shù)．（1）求方程的解集；（2）求函數(shù)的最大值與最小值；（3）若函數(shù)在定義域上恰有2個極值點，求實數(shù)的取值范圍.【解析】（1）因為,令,解得：或（2）因為令，解得或0001所以的最大值為，所以的最小值為（3）因為，所以函數(shù)在定義域上恰有2個極值點，等價于在定義域上恰有2個零點且在零點處異號，即與的圖象恰有兩個交點。由（2）知，，若，則，所以至多只有1個零點，不成立。所以只有若,則，所以只有1個零點，不成立。所以若，即,在處同號，不成立，若，則有3個零點，不成立，所以只有.所以滿足條件：解得：或2.設函數(shù)，若對任意的，都有，則實數(shù)的取值范圍是____________．【解析】f′(x)＝3x2－x－2，令f′(x)＝0，得3x2－x－2＝0，解得x＝1或x＝－eq\f(2,3)，又f(1)＝eq\f(7,2)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))＝eq\f(157,27)，f(－1)＝eq\f(11,2)，f(2)＝7，故f(x)min＝eq\f(7,2)，所以a<eq\f(7,2).3.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)在區(qū)間上的最小值；（2）若，使成立，求實數(shù)的最大值．【解析】（1），令，則，當時，在上單調遞增，的最小值為；當時，在區(qū)間上為減函數(shù)，在區(qū)間上為增函數(shù)，的最小值為.綜上，.（2），.，，使得成立.令，則，令，則由可得或（舍）當時，則在上單調遞減；當時，則在上單調遞增.在上恒成立.在上單調遞增.，即.實數(shù)a的最大值為1.4.已知函數(shù)（為實數(shù)），（其中為常數(shù)