新教材人教A版高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)第五章三角函數(shù)-2022新高考一輪復(fù)習(xí)課件

1、任意角和弧度制、三角函數(shù)的概念2、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及誘導(dǎo)公式P343、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)P644、三角恒等變換P1065、函數(shù)y=Asin(ωx+φ)P1516、解三角形P1857、三角函數(shù)模型的應(yīng)用P229第五章三角函數(shù)課標(biāo)要求1.了解任意角的概念和弧度制,能進(jìn)行弧度與角度的互化,體會(huì)引入弧度制的必要性.2.借助單位圓理解三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義.備考指導(dǎo)本節(jié)內(nèi)容是三角函數(shù)的基礎(chǔ),復(fù)習(xí)時(shí)要熟記三角函數(shù)的定義、各象限符號(hào)值特點(diǎn)以及特殊角的三角函數(shù)值,注意角度與弧度的互化.特別地,理解并掌握終邊相同的角的集合對(duì)于記憶后面三角函數(shù)的性質(zhì)大有好處.【知識(shí)篩查】

1.任意角(1)定義:角可以看成一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)所成的圖形.(2)分類:我們規(guī)定,一條射線繞其端點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)形成的角叫做正角,按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)形成的角叫做負(fù)角.如果一條射線沒(méi)有做任何旋轉(zhuǎn),就稱它形成了一個(gè)零角.這樣,我們就把角的概念推廣到了任意角,包括正角、負(fù)角和零角.(3)終邊相同的角:所有與角α終邊相同的角,連同角α在內(nèi),可構(gòu)成一個(gè)集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z},即任一與角α終邊相同的角,都可以表示成角α與整數(shù)個(gè)周角的和.2.弧度制(1)定義:長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的圓弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角,弧度單位用符號(hào)rad表示.(2)公式3.任意角的三角函數(shù)

溫馨提示1.各象限三角函數(shù)值符號(hào)的記憶口訣:一全正、二正弦、三正切、四余弦.即第一象限正弦函數(shù)值、余弦函數(shù)值和正切函數(shù)值均為正,第二象限正弦函數(shù)值為正,第三象限正切函數(shù)值為正,第四象限余弦函數(shù)值為正.2.利用角的終邊上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)定義三角函數(shù):設(shè)點(diǎn)Q(x,y)是角α終邊上任一點(diǎn),則1.象限角

2.軸線角

4.特殊角的三角函數(shù)值

【知識(shí)鞏固】

1.下列說(shuō)法正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”.(1)小于90°的角是銳角.(

)(2)若sinα>0,則α是第一、第二象限的角.(

)(3)相等的角的終邊一定相同,終邊相同的角也一定相等.(

)(4)銳角是第一象限角,反之亦然.(

)(5)三角形的內(nèi)角必是第一、二象限角.(

)×××××DB4.已知角θ的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(12,-5),則cosθ的值為

.

5.若角θ同時(shí)滿足sinθ<0,且tanθ<0,則角θ的終邊一定落在第

象限.

四

由sin

θ<0,可知θ的終邊可能位于第三或第四象限,也可能與y軸的非正半軸重合.由tan

θ<0,可知θ的終邊可能位于第二象限或第四象限,故θ的終邊只能位于第四象限.能力形成點(diǎn)1角的表示及象限的判定(3)已知角α為第三象限角,則2α的終邊在

.

第一或第二象限或y軸的非負(fù)半軸

由α是第三象限角,得則2π+4kπ<2α<3π+4kπ(k∈Z).故角2α的終邊在第一或第二象限或y軸的非負(fù)半軸.拓展延伸例1(1)改為求“終邊在射線”上的角α的集合.解題心得1.角的終邊在一條直線上比在一條射線上多一種情況.2.判斷角β所在的象限,先把β表示為β=2kπ+α,α∈[0,2π),k∈Z,再判斷角α所在的象限即可.CC二或第四

能力形成點(diǎn)2利用三角函數(shù)定義求三角函數(shù)值D(2)已知角α的終邊在直線3x+4y=0上,則5sinα+5cosα+4tanα=

.-2或-4解題心得用定義法求三角函數(shù)值的兩種情況:(1)已知角α終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo),則直接用三角函數(shù)的定義求三角函數(shù)值;(2)已知角α的終邊所在的直線方程,注意角α的終邊位置有兩個(gè),對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)值有兩組.B<能力形成點(diǎn)3扇形弧長(zhǎng)、面積公式的應(yīng)用例3

(1)已知扇形的半徑為10cm,圓心角為120°,則扇形的弧長(zhǎng)為

,面積為

.

(2)已知扇形的周長(zhǎng)為c,則當(dāng)扇形的圓心角α=

弧度時(shí),其面積最大,最大面積是

.

2解題心得求扇形面積的最值常用的思想方法是轉(zhuǎn)化法.一般從扇形面積公式出發(fā),在弧度制下先使問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于α的函數(shù),再利用基本不等式或二次函數(shù)求最值.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3(1)一個(gè)半徑為r的扇形,若它的周長(zhǎng)等于弧所在的半圓的弧長(zhǎng),則扇形的圓心角是

弧度,扇形的面積是

.

π-2設(shè)扇形的圓心角為θ,則扇形的周長(zhǎng)是2r+rθ.依題意,2r+rθ=πr,所以θ=π-2.故扇形的面積(2)已知在半徑為10的圓O中,弦AB的長(zhǎng)為10,則弦AB所對(duì)的圓心角α的大小為

,α所在的扇形弧長(zhǎng)l為

,弧所在的弓形的面積S為

.

審題線路圖——挖掘隱含條件尋找等量關(guān)系

典例

如圖,在平面直角坐標(biāo)系Oxy中,某單位圓的圓心的初始位置在點(diǎn)(0,1)處,此時(shí)圓上一點(diǎn)P的位置在點(diǎn)(0,0)處,圓在x軸上沿正向滾動(dòng),當(dāng)圓滾動(dòng)到圓心位于(2,1)時(shí),的坐標(biāo)為

.

審題要點(diǎn)1.已知條件:滾動(dòng)后的圓心坐標(biāo)為(2,1)和圓的半徑為1.2.隱含條件:點(diǎn)P轉(zhuǎn)動(dòng)的弧長(zhǎng)是2.3.等量關(guān)系:P轉(zhuǎn)動(dòng)的弧長(zhǎng)等于弧長(zhǎng)所對(duì)的圓心角.4.解題思路:求點(diǎn)P坐標(biāo)可借助已知的坐標(biāo)(2,1),通過(guò)構(gòu)造直角三角形,并在直角三角形中利用三角函數(shù)定義可求出.答案:(2-sin2,1-cos2)解析:如圖,作CQ∥x軸,PQ⊥CQ,Q為垂足.反思提升1.解決本例應(yīng)抓住在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中角的變化,結(jié)合弧長(zhǎng)公式、解三角形等知識(shí)來(lái)解決.2.審題的關(guān)鍵是在明確已知條件的基礎(chǔ)上,尋找出隱含條件;解題的關(guān)鍵是依據(jù)已知量尋求未知量,通過(guò)未知量的轉(zhuǎn)化探索解題突破口.2、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及誘導(dǎo)公式課標(biāo)要求備考指導(dǎo)本節(jié)的重點(diǎn)是同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式及誘導(dǎo)公式的記憶與應(yīng)用,復(fù)習(xí)時(shí)在理解的基礎(chǔ)上熟記公式,注意訓(xùn)練它的直接或變形應(yīng)用,提升數(shù)學(xué)運(yùn)算的素養(yǎng).【知識(shí)篩查】

2.三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式

同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的幾種變形(1)sin2α=1-cos2α=(1+cosα)(1-cosα);cos2α=1-sin2α=(1+sinα)(1-sinα);(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα.【知識(shí)鞏固】

××××DCDD6.已知tanθ=2,則sinθcosθ=

.

能力形成點(diǎn)1同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用C能力形成點(diǎn)2利用sinα±cosα與sinαcosα的關(guān)系求值2.利用上述關(guān)系,對(duì)于sin

α+cos

α,sin

α-cos

α,sin

αcos

α這三個(gè)式子,可以知一求二.DC能力形成點(diǎn)3誘導(dǎo)公式的應(yīng)用命題角度1利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)三角函數(shù)式例3

(1)sin(-1200°)cos1290°+cos(-1020°)·sin(-1050°)=

.1命題角度2利用誘導(dǎo)公式求值解題心得1.利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)三角函數(shù)的基本思路:(1)分析結(jié)構(gòu)特點(diǎn),選擇恰當(dāng)公式化大角為小角;(2)利用公式化成單角三角函數(shù);(3)整理得最簡(jiǎn)形式.2.化簡(jiǎn)要求:(1)化簡(jiǎn)過(guò)程是恒等變形;(2)結(jié)果要求項(xiàng)數(shù)盡可能少,次數(shù)盡可能低,結(jié)構(gòu)盡可能簡(jiǎn)單,能求值的要求出值.C(2)sin600°+tan240°的值等于

.

邏輯推理素養(yǎng)——三角恒等式的證明1.非條件等式的證明證明三角恒等式的過(guò)程就是通過(guò)轉(zhuǎn)化和消去等式兩邊的差異來(lái)促成統(tǒng)一的過(guò)程,證明方法有以下幾種(1)由繁到簡(jiǎn),當(dāng)恒等式的一邊較繁而另一邊較簡(jiǎn)時(shí),一般以較繁的一邊恒等變形到另一邊.(2)左右歸一,當(dāng)恒等式的兩邊都較繁時(shí),可將兩邊分別化簡(jiǎn)為同一個(gè)式子.(3)作差為零,即比較法的應(yīng)用,當(dāng)恒等式的兩邊都較簡(jiǎn)時(shí)常使用此法.(4)綜合證明,利用已知的恒等式或公式,經(jīng)過(guò)推理得到所要證明的等式.2.條件等式的證明含有條件的三角恒等式的證明的基本方法同前所述,但應(yīng)注意條件的利用,常用方法有以下三種(1)直接法:從條件直接推到結(jié)論.(2)代入法:將條件代入到結(jié)論中,轉(zhuǎn)化為非條件恒等式證明.(3)換元法:通過(guò)換元轉(zhuǎn)化為代數(shù)恒等式證明.典例2

已知tan2α=2tan2β+1,求證:sin2β=2sin2α-1.證明:由tan2α=2tan2β+1,得tan2α+1=2(tan2β+1),即cos2β=2cos2α,即1-sin2β=2(1-sin2α),故sin2β=2sin2α-1.原式得證.3、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)課標(biāo)要求1.能畫出三角函數(shù)y=sin

x,y=cos

x,y=tan

x的圖象,了解三角函數(shù)的周期性、單調(diào)性、奇偶性、最大(小)值.2.借助圖象理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在區(qū)間[0,2π]上,正切函數(shù)在區(qū)間

上的性質(zhì).備考指導(dǎo)本節(jié)重點(diǎn)是三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的應(yīng)用,尤其是周期性、單調(diào)性和對(duì)稱性,是高考的熱點(diǎn).復(fù)習(xí)時(shí)要熟記正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)圖象的特點(diǎn)及其性質(zhì),注意整體思想在三角函數(shù)性質(zhì)問(wèn)題中的應(yīng)用,提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng),注重?cái)?shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用.【知識(shí)篩查】

2.正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)

問(wèn)題思考正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的最值是多少?在何處取得?(2)余弦函數(shù)當(dāng)x∈[2kπ-π,2kπ](k∈Z)時(shí),余弦函數(shù)y=cos

x單調(diào)遞增,函數(shù)值由-1增大到1;當(dāng)x∈[2kπ,(2k+1)π](k∈Z)時(shí),余弦函數(shù)y=cos

x單調(diào)遞減,函數(shù)值由1減小到-1.當(dāng)且僅當(dāng)x=2kπ(k∈Z)時(shí),y=cos

x取得最大值1;當(dāng)且僅當(dāng)x=(2k+1)π(k∈Z)時(shí),y=cos

x取得最小值-1.溫馨提示1.周期函數(shù)的周期不止一個(gè).例如,2π,4π,6π,…以及-2π,-4π,-6π,…都是正弦函數(shù)的周期.事實(shí)上,?k∈Z,且k≠0,常數(shù)2kπ都是它的周期.2.如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù),那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期.1.對(duì)稱與周期(1)正弦曲線、余弦曲線相鄰兩對(duì)稱中心、相鄰兩對(duì)稱軸之間的距離是半個(gè)周期,相鄰的對(duì)稱中心與對(duì)稱軸之間的距離是

個(gè)周期.(2)正切曲線相鄰兩對(duì)稱中心之間的距離是半個(gè)周期.2.奇偶性若f(x)=Asin(ωx+φ)(A≠0,ω≠0),則(1)f(x)為偶函數(shù)的充要條件是(2)f(x)為奇函數(shù)的充要條件是φ=kπ(k∈Z).【知識(shí)鞏固】

1.下列說(shuō)法正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”.(1)y=cosx是減函數(shù).(

)(2)若y=ksinx+1,x∈R,則y的最大值是k+1.(

)(3)若非零實(shí)數(shù)T是函數(shù)f(x)的周期,則kT(k是非零整數(shù))也是函數(shù)f(x)的周期.(

)(4)函數(shù)y=sinx圖象的對(duì)稱軸方程為

.(

)(5)函數(shù)y=tanx在整個(gè)定義域上是增函數(shù).(

)××√××DC能力形成點(diǎn)1三角函數(shù)的定義域、值域BBCy=sin2x+sin

x-1,令sin

x=t,則有y=t2+t-1,t∈[-1,1],作出函數(shù)圖象,如圖所示,從圖象可以看出,解題心得1.求與三角函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的定義域通常要解三角不等式(組),解三角不等式(組)常借助三角函數(shù)的圖象.2.求三角函數(shù)值域、最值的方法(1)利用sin

x和cos

x的值域直接求.(2)形如y=asin

x+bcos

x的三角函數(shù)化為y=Asin(ωx+φ)的形式求值域;形如y=asin2x+bsin

x+c的三角函數(shù),可先設(shè)sin

x=t,化為關(guān)于t的二次函數(shù)求值域(最值).(3)利用sin

x±cos

x和sin

xcos

x的關(guān)系轉(zhuǎn)換成二次函數(shù)求值域.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1(1)已知f(x)的定義域?yàn)閇0,1],則f(cosx)的定義域?yàn)?/p>

.(2)函數(shù)y=sinx-cosx+sinxcosx(x∈[0,π])的值域?yàn)?/p>

.

[-1,1]2能力形成點(diǎn)2三角函數(shù)的單調(diào)性CA解題心得1.三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法(1)將函數(shù)化為y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(A≠0,ω>0)的形式,根據(jù)y=sin

x與y=cos

x的單調(diào)區(qū)間列不等式的方法去解答.列不等式的原則是:①一般當(dāng)ω為負(fù)值時(shí),應(yīng)用誘導(dǎo)公式化為正值;②把“ωx+φ(ω>0)”視為一個(gè)“整體”;③當(dāng)A>0(A<0)時(shí),所列不等式的方向與y=sin

x(x∈R),y=cos

x(x∈R)的單調(diào)區(qū)間對(duì)應(yīng)的不等式方向相同(反).(3)求含有絕對(duì)值的三角函數(shù)的單調(diào)性及周期時(shí),通常要作出圖象,結(jié)合圖象判定.注意:求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間首先要求函數(shù)的定義域,單調(diào)區(qū)間是定義域的一個(gè)子集.2.已知函數(shù)在某區(qū)間上單調(diào)求參數(shù)ω的范圍的解法:先確定出已知函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,再利用已知的單調(diào)區(qū)間為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的子集的關(guān)系求解.B能力形成點(diǎn)3三角函數(shù)的周期性、奇偶性、圖象的對(duì)稱性命題角度1三角函數(shù)的周期性

A2或3命題角度2三角函數(shù)的奇偶性例4

已知函數(shù)

是偶函數(shù),則θ的值為

.命題角度3三角函數(shù)圖象的對(duì)稱性B

ACB數(shù)形結(jié)合思想在三角函數(shù)中的應(yīng)用

1.判斷方程的解(函數(shù)的零點(diǎn))的個(gè)數(shù)典例1

求方程

的解的個(gè)數(shù).解題心得此類含有三角式、指數(shù)式、對(duì)數(shù)式的方程,用初等方法不能求它的解.通常把這類方程分解成兩個(gè)函數(shù)相等,把求方程的解轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題,利用函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)來(lái)確定方程的解的個(gè)數(shù).變式訓(xùn)練1已知x∈(0,π],函數(shù)

在區(qū)間(0,π]上有兩個(gè)不同的零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍為

.

解題心得對(duì)于可化為形如sin(ωx+φ)≥a或sin(ωx+φ)<a(ω>0)的正弦函數(shù)不等式,可把(ωx+φ)視為一個(gè)整體,借助于y=sin

x(x∈R)的圖象,首先在長(zhǎng)度為2π的一個(gè)周期上找出適合條件的區(qū)間,然后兩邊加上2kπ(k∈Z),把它擴(kuò)展到整個(gè)定義域上,最后解關(guān)于x的不等式,便可求出x的解.4、三角恒等變換課標(biāo)要求1.經(jīng)歷推導(dǎo)兩角差的余弦公式的過(guò)程,知道兩角差余弦公式的意義.2.能從兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角和與差的正弦、余弦、正切公式,二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它們的內(nèi)在聯(lián)系.3.能運(yùn)用上述公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的恒等變換(包括推導(dǎo)出積化和差、和差化積、半角公式,這三組公式不要求記憶).備考指導(dǎo)三角恒等變換是求解三角函數(shù)問(wèn)題的重要工具,很多問(wèn)題都需要先對(duì)已知函數(shù)進(jìn)行恒等變形,化為適合于解答的形式,變形的方向是關(guān)鍵.復(fù)習(xí)時(shí)要牢記各個(gè)公式及公式的變形,理解公式之間的關(guān)聯(lián),會(huì)應(yīng)用公式轉(zhuǎn)化和解決問(wèn)題,提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).【知識(shí)篩查】

1.兩角和與差的正弦、余弦和正切公式

2.二倍角的正弦、余弦和正切公式(1)sin2α=2sinαcosα;

(2)cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α;溫馨提示1.二倍角公式就是兩角和的正弦、余弦、正切中α=β的特殊情況.3.輔助角公式

【知識(shí)鞏固】

××√√×Dsin

20°sin

80°-cos

160°cos

80°=sin

20°cos

10°+cos

20°sin

10°=sin(10°+20°)=sin

30°=D4.函數(shù)f(x)=sin(x+2φ)-2sinφcos(x+φ)的最大值為

.

1∵f(x)=sin(x+2φ)-2sin

φcos(x+φ)=sin

[(x+φ)+φ]-2sin

φcos(x+φ)=sin(x+φ)cos

φ+cos(x+φ)sin

φ-2sin

φcos(x+φ)=sin(x+φ)cos

φ-cos(x+φ)sin

φ=sin

[(x+φ)-φ]=sin

x,∴f(x)max=1.能力形成點(diǎn)1三角函數(shù)公式的直接應(yīng)用解題心得三角函數(shù)公式對(duì)使公式有意義的任意角都成立.使用中要注意觀察角之間的和、差、倍、互補(bǔ)、互余等關(guān)系.能力形成點(diǎn)2三角函數(shù)公式的逆用及變形應(yīng)用B

BB解題心得運(yùn)用兩角和與差的三角函數(shù)公式時(shí),不但要熟悉公式的直接應(yīng)用,還要熟悉公式的逆用及變形應(yīng)用,如tan

α+tan

β=tan(α+β)(1-tan

αtan

β)和二倍角的余弦公式的多種變形等.公式的逆用和變形應(yīng)用更能開拓思路,培養(yǎng)從正向思維向逆向思維轉(zhuǎn)化的能力.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2(1)已知sinα+cosβ=1,cosα+sinβ=0,則sin(α+β)=

.

因?yàn)?sin

α+cos

β)2+(cos

α+sin

β)2=1,所以sin2α+cos2β+cos2α+sin2β+2sin

αcos

β+2sin

βcos

α=1+1+2sin(α+β)=1.所以sin(α+β)=能力形成點(diǎn)3三角函數(shù)公式運(yùn)用中角的變換C解題心得求角的三角函數(shù)值的一般思路是把“所求角”用“已知角”表示.(1)當(dāng)“已知角”有兩個(gè)時(shí),“所求角”一般表示為兩個(gè)“已知角”的和或差的形式;(2)當(dāng)“已知角”有一個(gè)時(shí),此時(shí)應(yīng)著眼于“所求角”與“已知角”的和或差的關(guān)系,應(yīng)用誘導(dǎo)公式把“所求角”變成“已知角”.cos(30°-2α)=cos(180°-150°-2α)=-cos(150°+2α)=-2cos2(75°+α)+1能力形成點(diǎn)4三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)-cosθ解題心得1.三角函數(shù)式化簡(jiǎn)的方法弦切互化,異名化同名,異角化同角,降冪或升冪,“1”的代換,輔助角公式等.2.三角函數(shù)式化簡(jiǎn)的基本思路“一角二名三結(jié)構(gòu)”,即:一看“角”,這是最重要的一環(huán),通過(guò)角之間的差別與聯(lián)系,把角進(jìn)行合理地拆分,從而正確使用公式;二看“函數(shù)名稱”,看函數(shù)名稱之間的差異,從而確定使用的公式,常見的有“切化弦”,關(guān)于sin

αcos

α的齊次分式化切等;三看“結(jié)構(gòu)特征”,分析結(jié)構(gòu)特征,找到變形的方向,常見的有“遇到分式要通分”,“遇根式化被開方式為完全平方式”等.3.三角函數(shù)式化簡(jiǎn)的主要技巧(1)尋求角與角之間的關(guān)系,化非特殊角為特殊角;(2)正確靈活地運(yùn)用公式,通過(guò)三角變換消去或約去一些非特殊角的三角函數(shù)值.能力形成點(diǎn)5三角函數(shù)的求值命題角度1給角求值問(wèn)題例5

求值:1命題角度2給值求值問(wèn)題命題角度3給值求角問(wèn)題解題心得1.“給角求值”:解決給角求值問(wèn)題的關(guān)鍵是兩種變換:一是角的變換,注意各角之間是否具有和差關(guān)系、互補(bǔ)(余)關(guān)系、倍半關(guān)系,從而選擇相應(yīng)公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化,把非特殊角的三角函數(shù)相約或相消,從而轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù);二是結(jié)構(gòu)變換,在熟悉各種公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)、符號(hào)特征的基礎(chǔ)上,結(jié)合所求式子的特點(diǎn)合理地進(jìn)行變形.2.“給值求值”:給值求值的關(guān)鍵是找出已知式與待求式之間的聯(lián)系及函數(shù)的差異,一般可以適當(dāng)變換已知式,求得另外某些函數(shù)式的值,以備應(yīng)用.同時(shí)也要注意變換待求式,便于將由已知式求得的函數(shù)值代入,從而達(dá)到解題的目的.3.“給值求角”:實(shí)質(zhì)上也可轉(zhuǎn)化為“給值求值”,關(guān)鍵是變角,把所求角用含已知角的式子表示,由所得的函數(shù)值結(jié)合該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求得角,有時(shí)要壓縮角的取值范圍.半角公式及其應(yīng)用

1.半角公式及其推導(dǎo)

溫馨提示應(yīng)用半角公式時(shí),(1)若沒(méi)有給出決定符號(hào)的條件,則在根號(hào)前保留正、負(fù)兩個(gè)符號(hào);答案:D5、函數(shù)y=Asin(ωx+φ)課標(biāo)要求1.結(jié)合具體實(shí)例,了解函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的實(shí)際意義.2.能借助函數(shù)的圖象理解參數(shù)ω,φ,A的意義,了解參數(shù)的變化對(duì)函數(shù)圖象的影響.備考指導(dǎo)復(fù)習(xí)本節(jié)時(shí),要掌握正弦函數(shù)、余弦函數(shù)圖象平移、伸縮變換的規(guī)律,能根據(jù)已知的部分函數(shù)圖象確定函數(shù)的解析式,并與前面三角恒等變換綜合,能準(zhǔn)確解答y=Asin(ωx+φ)型函數(shù)的性質(zhì)問(wèn)題.通過(guò)滲透數(shù)形結(jié)合思想和整體思想,提升數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理素養(yǎng).【知識(shí)篩查】

1.φ對(duì)y=sin(x+φ)圖象的影響把正弦曲線y=sinx上的所有點(diǎn)向左(當(dāng)φ>0時(shí))或向右(當(dāng)φ<0時(shí))平移|φ|個(gè)單位長(zhǎng)度,就得到函數(shù)y=sin(x+φ)的圖象.2.ω(ω>0)對(duì)y=sin(ωx+φ)圖象的影響3.A(A>0)對(duì)y=Asin(ωx+φ)圖象的影響一般地,函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象,可以看作是把y=sin(ωx+φ)圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)(當(dāng)A>1時(shí))或縮短(當(dāng)0<A<1時(shí))到原來(lái)的A倍(橫坐標(biāo)不變)而得到.從而,函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的值域是[-A,A],最大值是A,最小值是-A.4.由函數(shù)y=sinx的圖象變換到函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象一般地,函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的圖象,可以用下面的方法得到:先畫出函數(shù)y=sinx的圖象;再把正弦曲線向左(或右)平移|φ|個(gè)單位長(zhǎng)度,得到函數(shù)

y=sin(x+φ)的圖象;然后把曲線上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的

倍(縱坐標(biāo)不變),得到函數(shù)y=sin(ωx+φ)的圖象;最后把曲線上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的

A倍(橫坐標(biāo)不變),這時(shí)的曲線就是函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象.溫馨提示函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的圖象也可以由函數(shù)y=sin

x的圖象這樣變換得到:問(wèn)題思考如何使用“五點(diǎn)(畫圖)法”作函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的簡(jiǎn)圖?①列表:即三行六列表(如下表).②描點(diǎn)、連線,即得其在一個(gè)周期內(nèi)的簡(jiǎn)圖.③利用函數(shù)的周期性,將其向左、右平移周期的整數(shù)倍個(gè)單位長(zhǎng)度,即得函數(shù)在R上的簡(jiǎn)圖.類比正弦函數(shù)的性質(zhì)得函數(shù)y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0)的性質(zhì)【知識(shí)鞏固】

×××√×AAB能力形成點(diǎn)1函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象及變換解題心得1.函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的圖象的兩種作法(1)五點(diǎn)法:用“五點(diǎn)法”作y=Asin(ωx+φ)的簡(jiǎn)圖,主要是通過(guò)變量代換,設(shè)z=ωx+φ,由z取

來(lái)求出相應(yīng)的x,通過(guò)列表,計(jì)算得出五點(diǎn)坐標(biāo),描點(diǎn)后得出圖象.(2)圖象變換法:由函數(shù)y=sin

x的圖象通過(guò)變換得到y(tǒng)=Asin(ωx+φ)的圖象,有兩種主要途徑,“先平移后伸縮”與“先伸縮后平移”.2.變換法作圖象的關(guān)鍵是看x軸上是先平移后伸縮還是先伸縮后平移,對(duì)于后者可利用

來(lái)確定平移長(zhǎng)度.D能力形成點(diǎn)2求函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的解析式命題角度1由函數(shù)的圖象求函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的解析式例2

(多選)(2020山東,10)如圖是函數(shù)y=sin(ωx+φ)的部分圖象,則sin(ωx+φ)=(

)BC命題角度2由函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的性質(zhì)求解析式2.由函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的性質(zhì)確定其解析式的方法由函數(shù)的最值確定A,由函數(shù)的周期性確定ω,由函數(shù)的奇偶性或?qū)ΨQ性確定φ,要注意φ的取值范圍.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2(1)若函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的部分圖象如圖所示,則(

)A能力形成點(diǎn)3函數(shù)y=Asin(ωx+φ)性質(zhì)的應(yīng)用解題心得解決三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)綜合問(wèn)題的方法先將y=f(x)化為y=asin

x+bcos

x的形式,再用輔助角公式化為y=Asin(ωx+φ)的形式,最后借助y=Asin(ωx+φ)的性質(zhì)(周期性、對(duì)稱性、單調(diào)性等)解決相關(guān)問(wèn)題.D一題多解——根據(jù)函數(shù)的圖象確定解析式6、解三角形課標(biāo)要求1.借助向量的運(yùn)算,探索三角形邊長(zhǎng)與角度的關(guān)系,掌握余弦定理、正弦定理.2.能用余弦定理、正弦定理解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.備考指導(dǎo)應(yīng)用正弦定理、余弦定理解三角形問(wèn)題是高考必考考點(diǎn)之一,一般作為解答題出現(xiàn),且常具有一定的開放性.此外,應(yīng)用正弦定理、余弦定理解決生活中的一些實(shí)際問(wèn)題也是新高考的熱點(diǎn),復(fù)習(xí)時(shí)要注意與三角恒等變換的綜合應(yīng)用,提升邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).【知識(shí)篩查】

1.余弦定理(1)余弦定理(2)余弦定理的推論

2.正弦定理

3.三角形的元素與解三角形(1)三角形的元素三角形的三個(gè)角A,B,C和它們的對(duì)邊a,b,c叫做三角形的元素.(2)解三角形已知三角形的幾個(gè)元素求其他元素的過(guò)程叫做解三角形.問(wèn)題思考在△ABC中,已知a,b和A時(shí),三角形解的個(gè)數(shù)是否確定?不確定,解的情況如下:三角形解的個(gè)數(shù)也可由三角形中“大邊對(duì)大角”來(lái)判定.5.余弦定理、正弦定理的實(shí)際應(yīng)用(1)基線在測(cè)量過(guò)程中,我們把根據(jù)測(cè)量的需要而確定的線段叫做基線.在測(cè)量過(guò)程中,要根據(jù)實(shí)際需要選取合適的基線長(zhǎng)度,使測(cè)量具有較高的精確度.一般來(lái)說(shuō),基線越長(zhǎng),測(cè)量的精確度越高.(2)實(shí)際測(cè)量中的有關(guān)名稱、術(shù)語(yǔ)三角形中常用的結(jié)論(1)三角形中的三角函數(shù)關(guān)系sin(A+B)=sinC;cos(A+B)=-cosC;(2)在△ABC中,兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊,A>B?a>b?sinA>sinB?cosA<cosB.【知識(shí)鞏固】

1.下列說(shuō)法正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”.(1)在△ABC中,已知a,b和角B,能用正弦定理求角A;已知a,b和角C,能用余弦定理求邊c.(

)(2)在三角形中,已知兩角和一邊或已知兩邊和一角都能解三角形.(

)(3)在△ABC中,sinA>sinB的充分不必要條件是A>B.(

)(4)在△ABC中,a2+b2<c2是△ABC為鈍角三角形的充分不必要條件.(

)(5)在△ABC的角A,B,C,邊長(zhǎng)a,b,c中,已知任意三個(gè)可求其他三個(gè).(

)√√×√×2.在△ABC中,化簡(jiǎn)bcosC+ccosB的結(jié)果為(

)A.a B.b C.c D.A由正弦定理得bcos

C+ccos

B=2R(sin

Bcos

C+cos

Bsin

C)=2Rsin(B+C)=2Rsin

A=a(R為△ABC外接圓的半徑).D由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos

A,即3b2-8b-3=0,又b>0,解得b=3,故選D.4.一船以15km/h的速度向東航行,船在A處看到一個(gè)燈塔M在北偏東60°方向,行駛4h后,船到B處,看到這個(gè)燈塔在北偏東15°方向,這時(shí)船與燈塔的距離為

km.

5.在△ABC中,若acosA=bcosB,則這個(gè)三角形的形狀為

.等腰三角形或直角三角形

由正弦定理,得sin

Acos

A=sin

Bcos

B,即sin

2A=sin

2B,所以2A=2B或2A=π-2B,即A=B或

故△ABC為等腰三角形或直角三角形.能力形成點(diǎn)1利用正弦定理、余弦定理解三角形解題心得1.已知兩邊和一邊的對(duì)角或已知兩角和一邊都能用正弦定理解三角形.正弦定理的形式多樣,其中a=2Rsin

A,b=2Rsin

B,c=2Rsin

C(R為△ABC的外接圓的半徑)能夠?qū)崿F(xiàn)邊角互化.2.已知兩邊和它們的夾角、已知兩邊和一邊的對(duì)角或已知三邊都能直接運(yùn)用余弦定理解三角形,在運(yùn)用余弦定理時(shí),要注意整體思想的運(yùn)用.3.已知兩角和一邊,該三角形是確定的,其解是唯一的;已知兩邊和一邊的對(duì)角,該三角形具有不唯一性,通常根據(jù)三角函數(shù)值的有界性和大邊對(duì)大角進(jìn)行判斷.4能力形成點(diǎn)2與三角形面積有關(guān)的問(wèn)題(1)若是求多邊形的面積,則可通過(guò)作輔助線或其他途徑構(gòu)造三角形,轉(zhuǎn)化為求三角形的面積.(2)若所給條件為邊角關(guān)系,則需要運(yùn)用正弦定理、余弦定理求出某兩邊及其夾角,利用三角形的面積公式進(jìn)行求解.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且(2b-c)(b2-a2+c2)=2abccosC.(1)求角A的大小.解

(1)因?yàn)?2b-c)(b2-a2+c2)=2abccos

C,由余弦定理,可得(2b-c)cos

A=acos

C,由正弦定理,可得2sin

Bcos

A-sin

Ccos

A=sin

Acos

C,因?yàn)锳+B+C=π,所以2sin

Bcos

A=sin

Ccos

A+cos

Csin

A=sin(C+A)=sin

B,能力形成點(diǎn)3判斷三角形的形狀例3

在△ABC中,a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊,且2asinA=(2b-c)sinB+(2c-b)sinC.(1)求角A的大小;(2)若,試判斷△ABC的形狀.解

(1)由2asin

A=(2b-c)sin

B+(2c-b)sin

C及正弦定理,得2a2=(2b-c)b+(2c-b)c,即bc=b2+c2-a2,∵0°<A<180°,∴A=60°.解題心得要判斷三角形的形狀,應(yīng)圍繞三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行思考.主要有以下兩條途徑(1)“角化邊”:把已知條件(一般是邊的一次式,角的正弦、余弦)轉(zhuǎn)化為只含邊的關(guān)系,通過(guò)因式分解、配方等得到邊的對(duì)應(yīng)關(guān)系,從而判斷三角形形狀.(2)“邊化角”:把已知條件(邊的二次式、兩邊的積、角的余弦)轉(zhuǎn)化為內(nèi)角的三角函數(shù)間的關(guān)系,通過(guò)三角恒等變換,得出內(nèi)角的關(guān)系,從而判斷三角形形狀,此時(shí)要注意A+B+C=π這個(gè)結(jié)論.注意:(1)在兩種解法的等式變形中,一般兩邊不要約去公因式,以免漏解.(2)要特別注意“等腰直角三角形”與“等腰三角形或直角三角形”的區(qū)別.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c.(2)若sinC+sin(B-A)=sin2A,試判斷△ABC的形狀.能力形成點(diǎn)4正弦定理、余弦定理與三角變換的綜合問(wèn)題解題心得1.在三角形中進(jìn)行三角變換要注意隱含條件A+B+C=π,使用這個(gè)隱含條件可以減少未知數(shù)的個(gè)數(shù).2.在解三角形問(wèn)題中,因?yàn)槊娣e公式

中既有邊又有角,所以要和正弦定理、余弦定理聯(lián)系起來(lái);要靈活運(yùn)用正弦定理、余弦定理實(shí)現(xiàn)邊角互化,為三角變換提供條件.能力形成點(diǎn)5正弦定理、余弦定理在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用例5

如圖,一輛汽車在一條水平的公路上向正西方向行駛,到A處時(shí)測(cè)得公路北側(cè)一山腳C在西偏北30°的方向上,行駛600m后到達(dá)B處,測(cè)得此山腳C在西偏北75°的方向上,山頂D的仰角為30°,則此山的高度CD=

m.

解題心得利用正弦定理、余弦定理解決實(shí)際問(wèn)題的一般思路(1)實(shí)際問(wèn)題經(jīng)抽象概括后,已知量與未知量全部集中在一個(gè)三角形中,可用正弦定理或余弦定理求解;(2)實(shí)際問(wèn)題經(jīng)抽象概括后,已知量與未知量涉及兩個(gè)或兩個(gè)以上的三角形,這時(shí)需作出這些三角形,先解夠條件的三角形,再逐步求解其他三角形,有時(shí)需設(shè)出未知量,從幾個(gè)三角形中列出方程(組),解方程(組)得出所要求的解.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練5某漁船在航行中不幸遇險(xiǎn),發(fā)出求救信號(hào),海軍艦艇在A處獲悉后,立即測(cè)出該漁船在方位角為45°、距離為10km的C處,并測(cè)得漁船正沿方位角為105°的方向,以10km/h的速度行駛,海軍艦艇立即以

的速度前去營(yíng)救,求艦艇的航向和靠近漁船所需的時(shí)間.三角形中的邊角關(guān)系設(shè)△ABC的三邊是a,b,c,它們所對(duì)的角分別是A,B,C,則有a=bcosC+ccosB;b=ccosA+acosC;c=acosB+bcosA.證明:如圖,在△ABC中,AD⊥BC,則bcosC=CD,ccosB=BD,故bcosC+ccosB=CD+BD=BC=a,即a=bcosC+ccosB,同理可證b=ccosA+acosC,c=acosB+bcosA.典例1

在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.若△ABC為銳角三角形,且滿足sinB(1+2cosC)=2sinAcosC+cosAsinC,則下列等式成立的是(

)A.a=2b B.b=2a

C.A=2B D.B=2A答案:A解析:(方法一)因?yàn)閟in

B(1+2cos

C)=2sin

Acos

C+cos

Asin

C,所以sin

B+2sin

Bcos

C=sin

Acos

C+sin(A+C),所以sin

B+2sin

Bcos

C=sin

Acos

C+sin

B,即cos

C(2sin

B-sin

A)=0,所以cos

C=0或2sin

B=sin

A,即C=90°或2b=a.因?yàn)椤鰽BC為銳角三角形,所以0°<C<90°,故2b=a.故選A.(方法三)由正弦定理及sin

B(1+2cos

C)=2sin

Acos

C+cos

Asin

C,得b+2bcos

C=2acos

C+ccos

A=acos

C+(acos

C+ccos

A)=acos

C+b,即2bcos

C=acos

C.因?yàn)椤鰽BC為銳角三角形,所以cos

C≠0,則2b=a.典例2

已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若2bcosB=acosC+ccosA,則B=

.

解析:(方法一)由2bcos

B=acos

C+ccos

A及正弦定理,得2sin

Bcos

B=sin

Acos

C+sin

Ccos

A,則2sin

Bcos

B=sin(A+C).∵A+B+C=π,∴A+C=π-B,∴2sin

Bcos

B=sin(π-B)=sin

B.答案:B解析:由sin

B+sin

A(sin

C-cos

C)=0及正弦定理,得b+asin

C-acos

C=0.由三角形的邊角關(guān)系,得b=acos

C+ccos

A,可得asin

C+ccos

A=0,即sin

Asin

C+sin

Ccos

A=0.因?yàn)閟in

C≠0,得sin

A+cos

A=0,所以tan

A=-1.7、三角函數(shù)模型的應(yīng)用課標(biāo)要求會(huì)用三角函數(shù)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題,體會(huì)可以利用三角函數(shù)構(gòu)建刻畫事物周期變化的數(shù)學(xué)模型.備考指導(dǎo)現(xiàn)在高考越來(lái)越重視情境應(yīng)用題,故三角函數(shù)模型在實(shí)際中的應(yīng)用也會(huì)是命題的熱點(diǎn).復(fù)習(xí)時(shí)要理解實(shí)際問(wèn)題的本質(zhì),通過(guò)題目已知條件建模,轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)問(wèn)題.主要考查數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運(yùn)算的素養(yǎng),對(duì)數(shù)形結(jié)合思想滲透較多.【知識(shí)篩查】

1.函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的物理意義y=Asin(ωx+φ),x∈[0,+∞),其中A>0,ω>0.物理中,描述簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物理量,如振幅、周期和頻率等都與這個(gè)解析式中的常數(shù)有關(guān):(1)A就是這個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振幅,它是做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物體離開平衡位置的最大距離;(2)這個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期是,這是做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物體往復(fù)運(yùn)動(dòng)一次所需要的時(shí)間;(3)這個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的頻率由公式

給出,它是做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物體在單位時(shí)間內(nèi)往復(fù)運(yùn)動(dòng)的次數(shù);(4)ωx+φ稱為相位;x=0時(shí)的相位φ稱為初相.2.三角函數(shù)模型的建立

【知識(shí)鞏固】

×√√√×2.已知某人的血壓滿足函數(shù)解析式f(t)=24sin160πt+115,其中f(t)為血壓,t為時(shí)間,則此人每分鐘心跳的次數(shù)為(

)A.60 B.70 C.80 D.90C能力形成點(diǎn)1三角函數(shù)模型在物理中的應(yīng)用例1

已知彈簧上掛著的小球做上下振動(dòng)時(shí),小球離開平衡位置的位移s(單位:cm)隨時(shí)間t(單位:s)的變化規(guī)律為(1)用“五點(diǎn)法”作出這個(gè)函數(shù)的簡(jiǎn)圖;(2)小球在開始振動(dòng)(t=0)時(shí)的位移是多少?(3)經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間小球往復(fù)振動(dòng)一次?解

(1)列表如下:描點(diǎn)、連線,圖象如圖所示.解題心得三角函數(shù)模型在物理中的應(yīng)用主要體現(xiàn)在簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)中,其中對(duì)彈簧振子和單擺的運(yùn)動(dòng)等有關(guān)問(wèn)題考查最多,解決這類問(wèn)題時(shí)尤其要弄清振幅、頻率、周期、平衡位置等物理概念的意義和表示方法.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1單擺從某點(diǎn)開始來(lái)回?cái)[動(dòng),離開平衡位置的距離s(單位:cm)和時(shí)間t(單位:s)的函數(shù)關(guān)系為(1)作出它的圖象;(2)單擺開始擺動(dòng)(t=0)時(shí),離開平衡位置多少厘米?(3)單擺擺動(dòng)到最右邊時(shí),離開平衡位置多少厘米?(4)單擺來(lái)回?cái)[動(dòng)一次需要多長(zhǎng)時(shí)間?解

(1)列表如下:能力形成點(diǎn)2三角函數(shù)模型在生活中的應(yīng)用例2

某風(fēng)景區(qū)賓館的工作人員為了控制經(jīng)營(yíng)成本