2021-2022學(xué)年新教材湘教版高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)第四章 冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù) 課時(shí)練習(xí)題

第四章幕函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)

4.1實(shí)數(shù)指數(shù)基和基函數(shù)..................................................1

1、有理數(shù)指數(shù)幕.....................................................1

2、無(wú)理數(shù)指數(shù)累.....................................................5

3、基函數(shù)...........................................................7

4.2指數(shù)函數(shù)...........................................................13

1、指數(shù)爆炸和指數(shù)衰減..............................................13

2、指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)...........................................17

3、指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用（習(xí)題課）......................................23

4.3對(duì)數(shù)函數(shù)...........................................................29

1、對(duì)數(shù)的概念......................................................29

2、對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則..................................................32

3、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)...........................................36

4、對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用（習(xí)題課）......................................41

4.4函數(shù)與方程.........................................................48

1、方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)...........................................48

2、計(jì)算函數(shù)零點(diǎn)的二分法...........................................53

4.5函數(shù)模型及其應(yīng)用..................................................60

1、幾種函數(shù)增長(zhǎng)快慢的比較.........................................60

2、形形色色的函數(shù)模型..............................................66

4.1實(shí)數(shù)指數(shù)塞和塞函數(shù)

1、有理數(shù)指數(shù)塞

1.若后3+（。一4）。有意義，則。的取值范圍是（）

A.[2,+8)

B.[2,4)U(4,+8)

C.(—8,2)U(2,+8)

D.(一8,4)U(4,+8)

解析：選B由題意可知，。-220且a—4W0,二。的取值范圍是且

aW4,故選B.

2.化簡(jiǎn)相Mw<0）的結(jié)果為（

)

A.nr\[mB.-m

D.y[--m

解析：選Dm<Q,I.—m3=—―，一相,故選D.

_3

3.若（1-2%）一］有意義，則x的取值范圍是（）

_31.

解析：選DV(l-2x)4=------------,.?.1一級(jí)>0,得尤<：.

4/----------2

V(1一2x)3

_2_5

4.計(jì)算(233。3>(—3a")+(4a4b3)得()

1

解析：選A原式=--------：

4晨4廠&

5.（多選）下列各式中一定成立的有（)

=〃7〃?7

B7(-3)4=七

c.=(x+>')4

D.血牛

解析：選BDA中應(yīng)為（"）=〃7m-7；為（―3）4=1編^=如,B正確;

C中當(dāng)x=y=1時(shí)，等式不成立；D正確.故選D.

6.有下列說(shuō)法:

①"一125=5；②16的4次方根是±2；

③?7^1=±3；④7(x+y)2=&+死

其中，正確的有.(填序號(hào))

解析：〃為奇數(shù)時(shí)，負(fù)數(shù)的“次方根是一個(gè)負(fù)數(shù)，4-125=—5,故①錯(cuò)誤:

16的4次方根有兩個(gè)，為±2,故②正確：力麗=3,故③錯(cuò)誤；N(x+y)2是正

數(shù)，故，(x+y)2=|x+y],故④正確.

答案：②④

7.若N(2aT)2=%(1—2。)3,則實(shí)數(shù)。的取值范圍為______.

解析：V(2?-1)2=|2?-1|,

V(l-2a)3=1-2a.

因?yàn)閨2a—1|=1—2a,

故2a—1WO,所以aW；.

答案：(_8,g

8.已知。＞0,將產(chǎn)—表示成分?jǐn)?shù)指數(shù)毒，其結(jié)果是______.

4.30

9.求下列各式的值：

(1)13+2啦+他一2啦;

(2)75+2乖一勺6-4啦+砧-4s.

解：⑴法一：原式=N(@2+2他+1+1(短)2-2啦+1=

N(啦+1)2+7(由-1)2=啦+1+啦一1=2啦.

法二：令尤=434司1+、3-2近兩邊平方得x2=6+2\/^M=8.因?yàn)?/p>

x>0,所以x=2啦.

(2)原式=N(3+啦)2-N(2一啦)2+7(2-仍)2=3+^一(2

一曲+2-仍=2也

」_1

10.計(jì)算：⑴(弓)3+0.0025-10(近一2廠1+“。；

2-0—3

⑵8As+喏)“一(3-1)。.

」

解:⑴得)3+0.0023-10(3—2)-1+n。=-3+10*—10#-20+1

=-22.

22_2_3

3)5=22=4,&=22=4,既)4=

(2)根據(jù)分?jǐn)?shù)指數(shù)寐的定義，得8§=(2

「q1一

?1=?從而原式=4-4427,19

『=后

11.如果a=3,匕=384,那么a(§1；'n—3

—__.

解棉榔TH(端r

=3[(128)力-3=3X2「3.

答案：3X2廠3

12.化簡(jiǎn)下列各式：

⑴而(x>0,y>0)；

隊(duì)5,

212_1

(2)(x3,y4*?y4?z3)3(x>0,y>0,z>0).

1211

-

x3v3W---丘

解：⑴原式一$3—E6y34—x

X6y4

2_[!]-!

34

⑵原式=(￡4-1>(￡廠/1)=*3?y4.Z-I-I=XZ-2.

2、無(wú)理數(shù)指數(shù)累

1.設(shè)應(yīng)一。2=機(jī)，則土口等于（）

a

A.〃於一2B.2—m2

C.m2+2D.m2

1—（］、2

2

解析：選C將〃2—。2=加兩邊平方，得1—萬(wàn)=mf

\a2~a乙）

即〃一2+〃-1=m2,所以=/?/2+2,

2

即a+-=m+29所以"+1=m2+2.

aa

2(03I-屹---J￥等于()

A.〃6B.。8

3.若。+。=機(jī)3，ab=-mi/(m>0),則。3+。3=()

6

A.0B.-

解析：選B足+〃=(〃+b)(a2—〃〃+〃)=(〃+b)[(a+/?)2—3ab]=

1(21211

"?3?[加3-產(chǎn)3)2m'

3

4.已知/U)是奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí),兀。="2'+。-1,若八一1)=?則a等于()

A.-3B.—2

C.-1D.0

333

解析：選AV,A-1)=-,.力(1)=-/(-1)=一「即2|+。-1=一7即1+

a=-2,得a=-3.

_1

6.若10』31Q'=^27,則102c=

解析：102c=(i(y)24-io.y=(38)24-^27=3-^4-34=1.

答案4

[1

7.已知x+y=12,xy—9,Kx<y,求-j—1的值.

x2+y2

解：Vx4-y=12,xy=9,

(無(wú)一y)2=(x+y)2—4xy=122—4X9=108.

"'x<y,.\x-y=

ii-riivin

x2+y2l%2+y2人v2~yl)

1\

(x+y)—2(xy)212—2X923

x-y-6而3.

8.已知2。?3^=2。?3"=6,求證：(a~1)(J—1)=(/?—l)-(c—1).

證明：???2。?36=6,：.2a~1?3fo-1=l.

；.(2a~],3叱1)"-1=1,即2(f,-|)(</-1),3(廠1)("-1)=].①

又?.?2。?3"=6,?351=1.

.3"-1)"-1=1,即2(「1)(/1)?3(/1)°一|)=1.②

由①②知2(a-i)3F=2(「i)SF,

：.{a-\\d-1)=3—l)(c-1).

9.已知於"+"=2-2,〃"一"=28(。>0,且aWl),則於k"的值為

1a2m+"=2?①

解析：因?yàn)橐?‘小

[a'nn=28,②

所以①X②得a3,n=26,所以a'"=22.

將a"'=22代入②,得22?底"=28,所以。"=2一6,

所以a4m+n=a4m,an=(a"1')4,an=(22)4X2~6=22=4.

答案：4

10.已知a>l,h>0,對(duì)任意的實(shí)數(shù)〃，求證a""-a"""9"—

證明：'：au+h,all+2h,a",都是正數(shù)，且a>l,

.4"+/1—/2/1(]—〃)a""

,,al,—all+hau(1—a")a11

又,：au+h~au+2h<0,au-au+h<0,

：.a,,+h—au+2h<au—au+h.

3、幕函數(shù)

i.若兀0是幕函數(shù)，且滿足焉1=4,則/8)=()

A.-4B.4

解析:選D設(shè)外)=x°,則穴4)=40=22、彤)=2:

??￡^__竺_2。一4一22

a2

?于（2）~2~—4—2,

，a=2,：.f（x}=x2,

21

=不故選D.

m

2.（多選）已知惠函數(shù)/（x）=x〃（〃z,/1GN+,m,〃互質(zhì)），下列關(guān)于/（x）的結(jié)論

正確的是（）

A.〃?，〃是奇數(shù)時(shí)，/（x）是奇函數(shù)

B.機(jī)是偶數(shù)，〃是奇數(shù)時(shí)，./U）是偶函數(shù)

c.〃?是奇數(shù)，〃是偶數(shù)時(shí)，/U）是偶函數(shù)

D.0<-<1時(shí)，段）在（0,+8）上是減函數(shù)

解析：選ABf（x）=xn=y/x"',當(dāng)m,n是奇數(shù)時(shí)，/（九）是奇函數(shù)，故A中

的結(jié)論正確；當(dāng)根是偶數(shù)，〃是奇數(shù)時(shí)，/U）是偶函數(shù)，故B中的結(jié)論正確；當(dāng)

m是奇數(shù)，n是偶數(shù)時(shí)，於）在x<0時(shí)無(wú)意義，故C中的結(jié)論錯(cuò)誤；當(dāng)0<-<1時(shí),

n

/U）在（0,+8）上是增函數(shù)，故D中的結(jié)論錯(cuò)誤.故選A、B.

3.若幕函數(shù)y=/（x）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-2,4）,則/（x）在定義域內(nèi)（）

A.為增函數(shù)B.為減函數(shù)

C.有最小值D.有最大值

解析：選C設(shè)賽函數(shù)外）=*',由八-2）=4,得（一2）"=4,所以a=2,即

兀r）=N,所以函數(shù)於）在定義域內(nèi)有最小值0.故選C.

4.如圖所示，曲線Ci和C2分別是函數(shù)了=/和丁=產(chǎn)在第一象限內(nèi)的圖象,

則下列結(jié)論正確的是（）

A.n<m<0

B.m〈幾<0

C.n>m>0

D.m>n>0

解析：選A由題中圖象可知，兩函數(shù)在第一象限內(nèi)單調(diào)遞減，故相<0,〃<0.

由賽函數(shù)圖象的特點(diǎn)知n<m,故n<m<0.

5.已知當(dāng)x￡[0,1]時(shí)，函數(shù)y=(,找x—的圖象與y=4+〃z的圖象有且只

有一個(gè)交點(diǎn)，則正實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是()

A.(0,1]U[2A/3,+0°)B.(0,1]U[3,+°°)

C.(0,啦]U[2A/3,4-oo)D.(0,/]U[3,+8)

解析：選B當(dāng)0</”Wl時(shí)，,21,y=(mx—在[0,1]上單調(diào)遞減，值域

m

為[(m-1)2,1]；y={+m在[0,1]上單調(diào)遞增，值域?yàn)閇m,此時(shí)兩個(gè)

函數(shù)圖象有且僅有一個(gè)交點(diǎn).當(dāng)m>l時(shí)，0<^<1,y=(mx—在，1上單調(diào)

遞增，所以要與y=G+m的圖象有且僅有一^個(gè)交點(diǎn)，需(加一1)221+機(jī)，即加23.

綜上所述，0〈mW1或機(jī)23.故選B.

6.已知哥函數(shù)於)=/的部分對(duì)應(yīng)值如表：

1

X1

2

於)1也

2

則八”)的單調(diào)遞增區(qū)間是.

解析：因?yàn)?￡|=?所以=興即a=；，所以/)=￡的單調(diào)遞增

區(qū)間是[0,+°°).

答案：[0,+°°)

7.已知y=(2a+b)x"%+(a—2份是基函數(shù)，則。=,b=.

(2

[2a+/?=l,a~5,

解析：由題意得解得《

a—28=0,,1

1?=于

Z221

答案遍5

8.已知事函數(shù)?￥)=(>2—3機(jī)+1W”2—4m+1的圖象不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，則實(shí)數(shù)加

的值為.

解析：依題意得加2—3加+1=1,解得機(jī)=0或加=3.當(dāng)機(jī)=0時(shí)，用:)=x,

其圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)m=3時(shí)，f(x)=x~2,其圖象不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，符

合題意，因此實(shí)數(shù)加的值為3.

答案：3

9.已知函數(shù)外）=（〃22+2相比〃於十〃?—1,加為何值時(shí)，函數(shù)火X）是：（1）正比

例函數(shù)；（2）反比例函數(shù)；（3）幕函數(shù).

解：（1）若函數(shù)作）為正比例函數(shù)，則

〃，2+加一1=1,

I-,**?m=\.

〃2+2%WO,

（2）若函數(shù)外）為反比例函數(shù)，則

m2+m—1=—1,

1cm=—\.

.加+為WO,

（3）若函數(shù)/（x）為賽函數(shù)，則"，+2"?=1,

/.m=—1±啦.

10.比較下列各組數(shù)的大小：

7,7

（1）3-］和3.2—-；

(3)4.15>15=1,0<3.83<13=1,

2_4

所以4.得>3.8一

11.已知基函數(shù)_/(x)=x",當(dāng)x>l時(shí)，恒有段)4,則a的取值范圍是()

A.(0,1)B.(—8,1)

C.(0,+8)D.(一8,0)

解析：選B當(dāng)X>1時(shí)，恒有/（x）a,即X>1時(shí)，函數(shù)加）=/的圖象在曠=

x的圖象的下方，作出緊函數(shù)段）=/在第一象限的圖象（圖略）.由圖象可知a<l

時(shí)滿足題意，故選B.

12.（多選）（2021?山東日照高一校際聯(lián)考）已知函數(shù)於）=廿的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（4,

2）,則（）

A.函數(shù)段）在定義域內(nèi)為增函數(shù)

B.函數(shù)/（x）為偶函數(shù)

C.當(dāng)x>l時(shí)，段）>1

D.當(dāng)y時(shí)，仆）

411廠

解析：選ACD由題意得4"=2,解得。=5，所以於）=*2=/.易得函數(shù)外）

在［0,+8）上單調(diào)遞增，且為非奇非偶函數(shù)，故A正確，B錯(cuò)誤；當(dāng)x>l時(shí)，於）

=3>1,故C正確；由函數(shù)圖象（圖略），易知f（x）=｛為"上凸函數(shù)"，故D正

確.故選A、C、D.

!

13.有四個(gè)幕函數(shù)：①Ax）=xF；②/）=/2；領(lǐng)x）=R；④穴x）=x3.某同學(xué)

研究了其中的一個(gè)函數(shù)，并給出這個(gè)函數(shù)的三個(gè)性質(zhì)：

（1）是偶函數(shù)；（2）值域是｛ylyGR,且yWO｝；（3）在（一8,0）上單調(diào)遞增.

如果給出的三個(gè)性質(zhì)中，有兩個(gè)正確，一個(gè)錯(cuò)誤，則他研究的函數(shù)是

________（填序號(hào)）.

解析：對(duì)于函數(shù)①,段）=日是一個(gè)奇函數(shù)，值域是｛y|yWR,且yWO｝,在（一

8,0）上單調(diào)遞減，所以三個(gè)性質(zhì)中有兩個(gè)不正確；對(duì)于函數(shù)②，人》）=》-2是一

個(gè)偶函數(shù)，其值域是｛y|yWR,且y>0｝,在（一8,0）上單調(diào)遞增，所以三個(gè)性質(zhì)

中有兩個(gè)正確，符合條件；同理可判斷③④中函數(shù)不符合條件.

答案：②

14.已知事函數(shù)兀￥）=（2/找2—6加+5比"’"為偶函數(shù).

（1）求於）的解析式；

（2）若函數(shù)y=/（x）—2（a—l）x+l在區(qū)間（2,3）上為單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)。的取值

范圍.

解：(1)由.於)為幕函數(shù)知2加2—6利+5=1,即，“2—3〃?+2=0,得〃2=1或相

=2,當(dāng)m=1時(shí)，?x)=x2,是偶函數(shù)，符合題意；

當(dāng)m=2時(shí)，/(x)=x3,為奇函數(shù)，不合題意，舍去.

故y(x)=x2.

(2)由(1)得y=x2—2(a—l)x+1,函數(shù)的對(duì)稱軸為x=a—1,由題意知函數(shù)在

區(qū)間(2,3)上為單調(diào)函數(shù)，

.,.a—1W2或a—123,相應(yīng)解得a<3或a24.

故實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-8,3]U[4,+°°).

15.已知幕函數(shù)外)=A-—(加WN-).

(1)試確定該函數(shù)的定義域，并指明該函數(shù)在其定義域上的單調(diào)性；

(2)若函數(shù)加:)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,曲,試確定〃？的值，并求滿足了(2-a)?a

一1)的實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解：⑴,.,〃zeN+,

m2+1)為偶數(shù).

令機(jī)2+加=2女，A6N+,

2k「

則於)=Qx,

.?JU)的定義域?yàn)閇0,+8),且八%)在[0,+8)上為增函數(shù).

(2)由題意可得啦=22=2m2+"?,.?."[2+〃?=2,解得機(jī)=1或加=—2(舍去)，

：.f(x)=x2,

由(1)知外)在定義域[0,+8)上為增函數(shù)，

3

a)：次a—*1)等價(jià)于2-a>a—120,解得lWa<],故實(shí)數(shù)a的取值范圍

4.2指數(shù)函數(shù)

1、指數(shù)爆炸和指數(shù)衰減

1.下列函數(shù)中，指數(shù)函數(shù)的個(gè)數(shù)為()

①;②y=a%a>0,且aWl)；③y=l*；④y=?—1.

A.0個(gè)B.1個(gè)

C.3個(gè)D.4個(gè)

解析：選B由指數(shù)函數(shù)的定義可判定，只有②正確.

「[a?2”,xNO,#,

2.已知函數(shù)/)=cic若川(-1))=1,則4=()

、2"，x<0,

11

A

4-21

C.1D.2

解析：選A根據(jù)題意可得八—l)=2i=2,

-V(A-D)=/(2)=?-22=l,解得。=最故選A.

3.若指數(shù)函數(shù)y=/(x)的圖象過(guò)點(diǎn)(2,4),則/(3)的值為()

A.4B.8

C.16D.1

解析：選B設(shè)指數(shù)函數(shù)的解析式為人犬)=爐3〉0,。右1),又由函數(shù)的圖象

經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,4),則出=4,解得&=2或a=—2(舍)，即?x)=2*,所以式3)=23=

8,故選B.

4.已知危)=〃+公3>0,且aWl),且川)=3,則用)+川)+八2)的值是()

A.14B.13

C.12D.11

解析：選C由人￥)=〃+/*得./iXOnaO+aOnZ.

又人1)=3,即。+晨|=3,：.(a+a~i)2=a2+2+a~2=9,：.c^+a~2=l,即

式2)=7.

因此，人0)+大1)+五2)=2+3+7=12,故選C.

5.（多選）設(shè)指數(shù)函數(shù)/）="3>0,且aWl）,則下列等式中正確的是（）

A.fix+y）=fix）f（y）

、f（%）

RB-於f-r

C.

D.大小）=[/U）]"（〃wQ）

解析：選ABDf（x+y）=ax+y=axay=f（x）f（y）,故A中的等式正確；f（.x-y）

於f（.xy）fx\—A

=小，="%->'===/（V）,故B中的等式正確；人,=盯=（出加夫x）—外）=〃

1

—a>=#（a'）y,故C中的等式錯(cuò)誤；./（/a）=〃"=（F>=欣》）]",故D中的等式正確.

6.若函數(shù)/（x）=（“2—2a+2）（a+l尸是指數(shù)函數(shù)，則。=.

fa2—2。+2=1,

解析：由指數(shù)函數(shù)的定義得<。+1>0,

Q+1W1,

解得a=L

答案：1

7.已知函數(shù)/U）=m+0（a>0,且aWl）,其圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（一1,5）,（0,4）,則

八-2）的值為.

r（1

Q1+Z?=5q=-/1y

解析：由已知得皿，‘解得2'所以外）=彳+3,所以八-2）=

[a°+〃=4,,「②

3=3.

（32+3=4+3=7.

答案：7

8.由于電子技術(shù)的飛速發(fā)展，計(jì)算機(jī)的成本不斷降低，若每隔5年計(jì)算機(jī)

的價(jià)格降低：，則現(xiàn)在價(jià)格為8100元的計(jì)算機(jī)經(jīng)過(guò)15年價(jià)格應(yīng)降為.

解析：5年后價(jià)格為8100x（1—；）；10年后價(jià)格為8100x（1—；）2；15年后

價(jià)格為8100X（l-f=2400（元）.

答案：2400兀

9.某生態(tài)文明小鎮(zhèn)2018年底人口為20萬(wàn)人，人均住房面積為8m2,計(jì)劃

2022年底人均住房達(dá)到10而，如果該鎮(zhèn)將每年人口平均增長(zhǎng)率控制在1%,那

么要實(shí)現(xiàn)上述計(jì)劃，這個(gè)城市平均每年至少要新增住房多少萬(wàn)平方米？(精確到1

萬(wàn)平方米)

解：設(shè)這個(gè)城市平均每年要新增住房x萬(wàn)m2,

據(jù)題意可得20X8+4X=20(1+1%)4」0,所以x=50X1.014-40心12.

所以這個(gè)城市平均每年至少需新增住房12萬(wàn)m2.

10.已知函數(shù)於)=(4+〃-5)出是指數(shù)函數(shù).

(1)求於)的表達(dá)式；

(2)判斷F(x)=/(x)-A—x)的奇偶性，并加以證明.

解：(1)由層+。-5=1,a>0,且qWl,

可得a=2或a=-3(舍去)，'.f(x)=2x.

(2)F(x)=2x-2~x,

：.F(~x)=~F(x),；.F(x)是奇函數(shù).

11.池塘里浮萍的生長(zhǎng)速度極快，它覆蓋池塘的面積，每天可增加原來(lái)的一

倍.若一個(gè)池塘在第30天時(shí)剛好被浮萍蓋滿，則浮萍覆蓋池塘一半的面積是

()

A.第15天B.第20天

C.第25天D.第29天

解析：選D因?yàn)楦∑几采w池塘的面積，每天可增加原來(lái)的一倍，且第30

天時(shí)剛好被浮萍蓋滿，所以可知第29天時(shí)剛好覆蓋池塘的一半.故選D.

12.已知函數(shù),a為常數(shù)，且函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)(-1,2),則a=

，若gCx)=4r—2,且g(x)=yq),則％=.

解析：因?yàn)楹瘮?shù)的圖象過(guò)點(diǎn)(一1,2),

所以(9=2，所以。=1，

所以大對(duì)=(9\g(x)=/(x)可變形為4r-2：—2=0,

解得2-'=2,所以x=-l.

答案：1—1

13.已知函數(shù)兀r)滿足:對(duì)任意實(shí)數(shù)xi<￥2,有f(X\)<f(X2),且於I+工2)=/(*1)於2),

若寫出一個(gè)滿足這些條件的函數(shù)，則這個(gè)函數(shù)可以寫為.

解析：?.”1令2時(shí)，4X1)</(X2),

.,./(X)為增函數(shù).

,//(XI+也)=/I)負(fù)及)符合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，

滿足條件的函數(shù)可以是)，=〃(a>1).

答案：y=2%底數(shù)大于1的指數(shù)函數(shù)即可)

14.有一種樹栽植5年后可成材.在栽植后5年內(nèi)，該種樹的產(chǎn)量年增長(zhǎng)率

為20%,如果不砍伐，從第6年到第10年，該種樹的產(chǎn)量年增長(zhǎng)率為10%,現(xiàn)

有兩種砍伐方案：

甲方案：栽植5年后不砍伐，等到10年后砍伐.

乙方案：栽植5年后砍伐重栽，然后過(guò)5年再砍伐一次.

請(qǐng)計(jì)算后回答：10年內(nèi)哪一個(gè)方案可以得到較多的木材？

解：設(shè)該種樹的最初栽植量為。，甲方案在10年后的木材產(chǎn)量為yi=a(l+

20%)5(1+10%)5=a(1.2X1.1戶比4.01a.

乙方案在10年后的木材產(chǎn)量為

>2=2a(1+20%)5=2a10=4.98a

Va>0,.,.4.98a>4.01a,即”>yi,

...乙方案能獲得更多的木材.

15.已知函數(shù)y=/(x),xeR,且-0)=3,，：；；…,『((，)、

j(U)2j(1)2j\n-1)

=g,〃eN+,求函數(shù)y=/(x)的一個(gè)解析式.

解：當(dāng)尤增加1時(shí)函數(shù)值都以;的衰減率衰減，

所以函數(shù)/U)為指數(shù)型函數(shù)，

令/)=kg(AW0),

又式0)=3,所以％=3,

所以於)=3X

2、指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)

1.函數(shù)/0)=笠￥■的定義域?yàn)?)

2—1

A.[-L0)U(0,4-oo)B.(-1,+0°)

C.f-1,+0°)D.(0,+8)

x+120,—1

解析：選A依題意得即＜

2」IWO,U#=o.

故函數(shù)兀r)的定義域?yàn)椋?1,0)U(0,+8),故選A.

2.已知。>0且aWl,則函數(shù)>=以的值域?yàn)?)

A.(0,+°°)B.(一8,1)U(1,+00)

C.(0,1)U(1,+c°)D.(1,+8)

解析：選C設(shè)，=’,則y=屋，其中岸0.?.丁#0,；.屋手濟(jì)，即辦于1,又

x

\

a'>0,...)，>0且戶勺，即函數(shù)y=式的值域?yàn)?0,1)U(1,+~),故選C.

3.在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)y=ox+a與>=凝的圖象大致是()

解析：選B函數(shù)y=ov+a的圖象經(jīng)過(guò)(-1,0)和(0,a)兩點(diǎn)，選項(xiàng)D錯(cuò)誤；

在圖A中，由指數(shù)函數(shù)y=m的圖象得a>l,由y=ar+a的圖象得0<a<l,選項(xiàng)

A錯(cuò)誤；在圖B中，由指數(shù)函數(shù)y=a'.的圖象得a>l,由>=依+〃的圖象得a>l,

選項(xiàng)B正確：在圖C中，由指數(shù)函數(shù)y=a?，的圖象得0<。<1,由y=ar+a的圖

象得。>1,選項(xiàng)C錯(cuò)誤.故選B.

4.（多選）下列說(shuō)法正確的是（）

A.函數(shù)＞=3*與的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱

B.函數(shù)＞=3￡與尸取了的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱

C.函數(shù)y=3'與＞=一（；丫的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

D.函數(shù)y=3'與y=-3'的圖象關(guān)于光軸對(duì)稱

解析：選ACD易知函數(shù)y=&r與=。七的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，且函

一（：了的圖象關(guān)

數(shù)y=ax與y=-ax的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱,所以函數(shù)y=ax與y=

于原點(diǎn)對(duì)稱，所以B說(shuō)法錯(cuò)誤.

5.（2021?湖南衡陽(yáng)八中高一月考）設(shè)a,b,c,d均大于0,且均不等于1,y

=ax,y=b\y=cSy=在在同一坐標(biāo)系中的圖象如圖，則a,b,c,d的大小順

序?yàn)椋ǎ?/p>

A.a<b<c<dB.a<b<d<c

C.b<a<d<cD.b<a<c<d

解析：選C作出直線x=l,如圖所示.

直線x=l與四個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)從下到上依次為（1,/?）,（1,a）,（1,d）,（1,

c）,因此a,b,c,d的大小順序是〃＜Q＜d＜c,故選C.

6.已知函數(shù)“r）=（x—a）（x—Z?）（其中。＞份的圖象如圖所示，則函數(shù)以工）="

+人的圖象是（）

解析：選C由函數(shù)7U)的圖象可知，-1V0V0,a>i,則g(x)=ax+b為

增函數(shù)，當(dāng)x=0時(shí)，g(0)=l+/?>0,故選C.

7.函數(shù)>=出3+3(°>0,且&W1)的圖象過(guò)定點(diǎn).

解析：因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)y=ax(a>0,且a#l)的圖象過(guò)定點(diǎn)(0,1),所以在函數(shù)

y=a「3+3中，令8—3=0,得x=3,此時(shí))>=1+3=4,即函數(shù)的圖

象過(guò)定點(diǎn)(3,4).

答案：(3,4)

2-r,1<0,

；八則函數(shù)/(X)的值域是________.

(—2%,x>0,

解析：由xVO,得0V2XV1；Vx>0,：.-x<0,0<2~x<\,

Y0.?.函數(shù)於)的值域?yàn)?一1,0)U(0,1).

答案：(一1,0)U(0,1)

9.求下列函數(shù)的定義域、值域：

1

⑴尸0.3E；

(2)y=3y[^~].

解：(1)由x-IWO得xf1,所以函數(shù)定義域?yàn)閧x|xWl}.由士于。得yWl,

所以函數(shù)值域?yàn)閧y|y>0且yW1}.

(2)由5x—120得xN：,所以函數(shù)定義域?yàn)椴饭?'.由，\/5無(wú)一120得yel,

所以函數(shù)值域?yàn)閧y|y21}.

10.已知函數(shù)於)=不1(x20)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,9，其中。>0且aWl.

⑴求a的值；

(2)求函數(shù)y=Hx)(x?O)的值域.

解：⑴函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,3,所以Qi總則

(2)由(1)知函數(shù)為/(x)=(J1x20),由尤20,得x—lN-l.于是Ovg"1

W?=2,所以函數(shù)的值域?yàn)?0,2].

11.(2021?廣東珠海高一月考)已知函數(shù)/(x)滿足/U+1)的定義域是[0,31),

則八2，)的定義域是()

A.[1,32)B.[-1,30)

C.[0,5)D.(-8,30]

解析：選C；/&+1)的定義域是[0,31),即0Wx<31,l〈x+l<32,Z.

於)的定義域是[1,32),

.\A2X)有意義必須滿足2。=1<2y32=25,.?.o〈x<5.

12.(多選)下列說(shuō)法正確的是()

A.函數(shù)外)=：在定義域上是減函數(shù)

B.函數(shù)/(x)=2x—7與*軸有且只有兩個(gè)交點(diǎn)

C.函數(shù)》=2館的最小值是1

D.在同一坐標(biāo)系中函數(shù)y=2，與y=2「的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱

解析：選CD對(duì)于A,段)=：在定義域上不具有單調(diào)性；對(duì)

于B,在同一坐標(biāo)系中，畫出)，=2工與y=N的圖象，有三個(gè)交點(diǎn)，

故函數(shù)/(x)=2'-'X2與x軸有三個(gè)交點(diǎn)，一個(gè)負(fù)值，兩個(gè)正值；對(duì)

于C,因?yàn)棰?0,所以加22。=1,所以函數(shù)y=2因的最小值是1,

正確；對(duì)于D,在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)y=2'與曠=2-，的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，正

確.故選C、D.

nW一.

13.若函數(shù)+m的圖象與x軸有公共點(diǎn)，則m的取值范圍是

解析：作出函數(shù)g(x)=R

Y1

'的圖象如圖所示.

2廠1,x<l

y

2

1

-2-101234%

-1

由圖象可知0<g(x)Wl,則m<g(x)+m1+/?/,

即，”勺(x)W1+m,

(1、口一川1+機(jī)三0,

要使函數(shù)y=R+"?的圖象與X軸有公共點(diǎn)，則”解得一

m<Q,

1W〃?<0.

答案：［T，0)

14.設(shè)於)=3Lg(x)=&f.

(1)在同一平面直角坐標(biāo)系中作出/U),gj)的圖象；

(2)計(jì)算川)與g(—1),一?)與g(—n),/(⑼與g(一附的值，從中你能得到什

么結(jié)論？

解：(1)函數(shù)於)，g(x)的圖象如圖所示:

(2MD=31=3,以-1)=

#兀)=3n,g(—n)=?=3";

m

0)=3'”,g(-m)==3m.

從以上計(jì)算的結(jié)果看，兩個(gè)函數(shù)當(dāng)自變量取值互為相反數(shù)時(shí)，其函數(shù)值相等,

即當(dāng)指數(shù)函數(shù)的底數(shù)互為倒數(shù)時(shí)，它們的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱.

、門ctx~\~ax謨一cTx=

15.設(shè)式》)=---,g(x)=-~-(其中。>。且。#1).

⑴由5=2+3,請(qǐng)你探究g(5)能否用人2),f(3),g(2),g(3)來(lái)表示;

⑵如果你在⑴中獲得了一個(gè)結(jié)論，請(qǐng)?zhí)骄磕芊駥⑵渫茝V.

〃5—/75

W：(1)*.>(5)=―--,

/(2)g(3)+g(2加3)

a2+a_2a3~a~3.a2~a_2a3+a-3

--?-f-?

2222

=^a5-\-a~a~1—cr5+a5—a-\-a~'~a~5)

1<-<

=-(C/5-6Z5),

.?.g(5)=A3)g(2)+g(3?(2)?

(2)探究(1)中的等式，可以得ga+y)=/U)g0)+g(x次v)恒成立.

證明：/(x)g(y)+g(x次V)

ax+a~xa>'-a~y,ax~a~xa>+a~y

=-----------------------H----------?-----------

2222

=:⑷+ay~x-ax~y-a~x~y+a^y-d>^x+ax~y-a~x~y}

1-、

=^y+-axy).

,、ax+y-a~x~y

?g(x+y)=--------------,

?*-g。+>)=/U)g。)+g(x)f(y).

3、指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用(習(xí)題課)

1.函數(shù)外)=(出尸在區(qū)間”，2］上的最大值是()

A.yB.而

C.3D.2小

解析：選C因?yàn)?>1,所以指數(shù)函數(shù)外)=(,小》為增函數(shù)，所以當(dāng)x=2

時(shí)，函數(shù)取得最大值，且最大值為3.

2.已知°=而5,b=20-3,c=0.3°-2,則a,b,c三者的大小關(guān)系是()

A.b>c>aB.b>a>c

C.a>b>cD.c>h>a

解析：選A。=而5=0.3。-5.

；/&)=0.3，在R上單調(diào)遞減，

0.3°-5<0.3O-2<0.3Ma<c<l.

又。=20-3>2°=1,/.a<c<b,故選A.

3./U）=2H,尤eR,那么段）是（）

A.奇函數(shù)且在(0,+8)上是增函數(shù)

B.偶函數(shù)且在(0,+8)上是增函數(shù)

C.奇函數(shù)且在(0,+8)上是減函數(shù)

D.偶函數(shù)且在(0,+8)上是減函數(shù)

解析：選B由xCR且八一》)=危)知光)是偶函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，./(x)=2x是

增函數(shù).

4.指數(shù)函數(shù)/(*)=以4>0,aWl)在R上是減函數(shù)，則函數(shù)g(x)=(a—2)R在

R上的單調(diào)性為()

A.單調(diào)遞增

B.在(0,+8)上遞減，在(-8,0)上遞增

C.單調(diào)遞減

D.在(0,+8)上遞增，在(-8,0)上遞減

解析：選C?.?指數(shù)函數(shù)/）=。％7〉0,aHl）在R上是減函數(shù),

.,.a—2<0,

.,.g（x）=（a—2）*3在R上是減函數(shù)，故選C.

5.（多選）若於）=3，+1,則（）

A./）在［-1,1］上單調(diào)遞增

B.y=3*+l與y=Rf+l的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱

C./）的圖象過(guò)點(diǎn)（0,1）

D./）的值域?yàn)椋?,+°°）

解析：選AB八%）=3'+1在R上單調(diào)遞增，則A正確；y=3*+l與y=3）

+1的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則B正確；由/（0）=2,得加）的圖象過(guò)點(diǎn)（0,2）,則

C錯(cuò)誤；由3、〉0,可得人*）>1,則D錯(cuò)誤.故選A、B.

6.函數(shù)y=3］的單調(diào)遞減區(qū)間是

解析：設(shè)貝|y=3",

因?yàn)樵冢?8,0）和（0,十8）上是減函數(shù),

且），=3"在R上是增函數(shù),

所以函數(shù)y=3x的單調(diào)遞減區(qū)間是（一8,0）和（0,4-oo）.

答案：（一8,0）和（0,+8）

—x+3a,X〈0,

7.函數(shù)危）=<（a>0,且是R上的減函數(shù)，則a的取

(f,x20

值范圍是.

解析：由單調(diào)性定義，/）為減函數(shù)應(yīng)滿足:

答案:

“、一|x|+l

8.函數(shù)產(chǎn)舊的單調(diào)遞增區(qū)間