2021高中數(shù)學(xué)人教A版必修二（第二單元 點、直線、平面之間的位置關(guān)系）章節(jié)練習(xí)試題（含詳細解析）

一、單選題（共20題；共0分）

如圖，在長方體ABCD-K|CiD1中，AB=BC=2,AA^l,則4。與平面4公的，所成

角的正弦值為

A.VB.|C.qD-

2、（0分）已知a,b為兩條不同直線，a,夕為兩個不同平面，且a_La,bl0,則下列命

題中不正確的是（）

A.若a\\b,貝！Ja_L0B.若a_L/?,貝！Jalb

C.若a,b相交，則a,/?相交D.若a4相交，則a,b相交

3、（0分）在正方體ABCD-AjB,C,Di中，下列幾種說法正確的是)

A.1ADB.5G14B

C.ACi與DC成45。角I).AWi與BiC成60。角

4、（0分）有兩條不同的直線m,n與兩個不同的平面a,B,下列命題正確的是（）.

A.m〃an//B且a〃B,貝ljm〃n

B.m±an±B且a_LB,則m〃n

C.m〃an±B且aJ_B,則m〃n

D.m±a,n〃B,且?！?,則m_Ln

5、（0分）過平行六面體ABCD——A,B,C,D?任意兩條棱的中點作直線，其

中與平面DBB,D?平行的直線共有（）

A.4條B.6條C.8條D.12條

6、（0分）如圖，小于90。的二面角a-1-3中，。€，，A.Bea,且4OB為鈍角，"‘OB'是

N40B在夕內(nèi)的射影，則下列結(jié)論錯誤的是（）

A.NA'OB'為鈍角B.Z-A'OB'>AAOB

C.Z.AOB+Z.AOA'<nD.Z-B'OB+Z.BOA+Z.AOA'>n

7、（0分）如圖，在棱長為1的正方體4BCD-4B1C1D1中，點E、F是棱BC、CG的中點，P是底

面4BCD上（含邊界）一動點，滿足為P1EF,則線段aP長度的取值范圍是（）

A-[4]B.惇|]

C.[1,V3]D.[V2,V3]

8、（0分）已知兩異面直線a,b所成的角為80°,過空間一點P作直線，使得嗚a,b的夾

角均為50°,那么這樣的直線有（）條

A.1B.2C.3D.4

9、（0分）下列結(jié)論中：

（1）過不在平面內(nèi)的一點，有且只有一個平面與這個平面平行；

（2）過不在平面內(nèi)的一條直線，有且只有一個平面與這個平面平行;

（3）過不在直線上的一點，有且只有一條直線與這條直線平行；

（4）過不在直線上的一點，有且僅有一個平面與這條直線平行.

正確的序號為（）

A.(1)(2)B.(3)(4)C.(1)(3)D.(2)(4)

10、（0分）在空間中，可以確定一個平面的條件是

A.兩兩相交的三條直線

B.三條直線，其中的一條與另外兩條分別相交

C.三個點

D.三條直線，它們兩兩相交，但不交于同一點

11、（0分）設(shè)a和夕是兩個不重合的平面，給出下列命題：

①若a外一條直線1與a內(nèi)一條直線平行，則/||a：

②若a內(nèi)兩條相交直線分別平行于口內(nèi)的兩條直線,則a||由

③設(shè)aC0=I,若a內(nèi)有一條直線垂直于I,貝ijal伙

④若直線I與平面a內(nèi)的無數(shù)條直線垂直，則Zla?.

上面的命題中，真命題的序號是（）

A.①③B.②④C.①②D.③④

12、（0分）某三棱錐的三視圖如圖所示，該三棱錐的表面積是（)

*t*3-*iK-4―?i

正住濯圖值（左）視圖

幅帽

A.28+6V5B.30+6V5C.56+1275D.60+12V5

13、（0分）關(guān)于直線a,b及平面a/,下列命題中正確的是（)

A.若a||a,an夕=b,則a\\b

B.若a\\a,bIIa,則aIIb

C.若a1a,a||，，則aL0

D.若aIIa,b1a,則b1a

14、（0分）已知m、n是兩條不同的直線，a、p是兩個不同的平面，給出下列命題：

①若a10，m||a,則m1伙②若m1a,n1S，且m1n,則al八③若m1夕，m||

a,則al￡；④若m||a,n||￡,且mIIn,則a||/?.其中正確命題的序號是（）

A.①④B.②③C.②④D.①③

15、（0分）設(shè)a,￡,y是三個不重合的平面，/是直線，給出下列命題：

①若a_LS，4ly,則aly；②若21a1||夕則a_L/?

③若/上存在兩點到a的距離相等，則I||a：④若a||°』不在。內(nèi)，且?||a,則

III/?

其中正確的命題是（）

A.①②B.②③C.②④D.③④

16、（0分）（2015秋?隨州期末）已知正方體ABCD-ABCD中，E、F分別為棱BC和棱

CC的中點，則異面直線AC和EF所成的角為（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

17、（0分）已知平面a與平面B相交于直線1,L在平面a內(nèi)，12在平面B內(nèi)，若直

線L和12是異面直線，則下列說法正確的是（）

A.1與都相交li，12

B.1至少與11，12中的一條相交

C.1至多與11，12中的一條相交

D.1與11,12都不相交

18、（0分）有4個命題：

1）三點確定一個平面；

2）梯形一定是平面圖形；

3）平行于同一條直線的兩直線平行；

4）垂直于同一直線的兩直線互相平行.

其中正確命題的個數(shù)為（）

A.0B.1C.2D.3

19、（0分）已知正四棱柱ABCD—AHCD中，AA|=2AB,E為AA|中點，則異面直線BE與

CD,所成角的余弦值為

A.叵B.iC.迪D.I

105105

20、（0分）下列命題中正確的個數(shù)是（）

①過異面直線a,b外一點P有且只有一個平面與a,b都平行；

②異面直線a,b在平面內(nèi)的射影相互垂直，則a_Lb；

③底面是等邊三角形，側(cè)面都是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐；

④直線a,b分別在平面a,夕內(nèi)，且a_Lb,則al￡.

A.0B.1C.2D.3

二、填空題（共10題；共0分）

21、（0分）兩條異面直線所成的角的取值范圍是.22、（0分）如圖，已

知PA,平面ABC,BC±AC,則圖中直角三角形的個數(shù)為_________

23、（0分）在直三棱柱ABC—4/16中，底面為等腰直角三角形，4B=BC=2,441=1,若

E、F、。別是棱AB、CB、4cl的中點，則下列四個命題：

①1FD；

②三棱錐A-BCG的外接球的表面積為9兀；

③三棱錐4-CEF的體積為點

④直線GE與平面4BC所成角為g

其中正確的命題有.（把所有正確命題的序號填在答題卡上）

24、（0分）如圖，等腰△P48所在平面為a,PA1PB,4B=6.G是4P48的重心.平面a內(nèi)經(jīng)過

點G的直線，將△P4B分成兩部分，把點P所在的部分沿直線I翻折，使點P到達點P'（P'C平面

a）.若P'在平面a內(nèi)的射影”恰好在翻折前的線段AB上，則線段P'H的長度的取值范圍

是________________________.

25、（0分）已知線段AD〃平面a,且與平面a的距離等于4,點B是平面a內(nèi)動點，且

滿足AB=5,AD=10.則B、D兩點之間的距離的最大值為________________26、（0分）已知

正四面體ABCD的棱長為1,E是AB的中點，過E作其外接球的截面，則此截面面積的最

小值為________________

27、（0分）不同直線m、n和不同平面a、0.給出下列命題：

①{3=B；

mca

4rn||n

②"f="/B；

_mca

③{九u/?=m，n異面；

④Ca=m_LB.

其中假命題的個數(shù)為_________.

28、（0分）已知a、b、c是直線，a是平面，給出下列命題：

①若a〃b,b1c,則a_Lc；②若alb,blc,則a〃c；

③若”/a,bua,貝！|a〃b；④若aJ.a,bua,則a_Lb；⑤若a與b異面，則至多有一條直

線與a、b都垂直.

⑥若aua,bua,ale,b1c,則a〃b。

其中真命題是（把符合條件的序號都填上）

29、（0分）如圖，正方體4BCD—4B1GD1的棱長為1,M是&&的中點，則下列四個命

題：

①直線BC與平面ABGDi所成的角等于45°：

②四面體4BCD］在正方體六個面內(nèi)的投影圖形面積的最小值為|；

③點M到平面ABC也的距離是

④BM與CD1所成的角為arcsin^.

其中真命題的序號是______________.

30、（0分）（2016?浙江）如圖，已知平面四邊形ABCD,AB=BC=3,CD=1,AD=V5,

ZADC=90°,沿直線AC將4ACD翻折成aACD',直線AC與BD'所成角的余弦的最大值

是_______________.

三、解答題（共5題；共0分）

31、（0分）如圖，四棱柱ABCD-A出儲4?中，側(cè)面AA）D）D為矩形，AB_L平面AA,D

iD,CD_L平面AAiDiD,E、F分別為A）B八CC?的中點，且AA產(chǎn)CD=2,AB=AD=1.

（1）求證：EF〃平面AiBC；

(2)求Di到平面A,BCi的距離.

32、(0分)如圖，在四棱錐A—CDFE中，四邊形CDFE為直角梯形，CE“DF,EF，

FD.AFCEFD,P為AD的中點，EC=^FD.

(1)求證：CP〃平面AEF-,

(2)設(shè)EF=2,AF=3,FD=4,求點F到平面ACD的距離.

33、(0分)如圖所示，四邊形2MNC為等腰梯形，44BC為直角三角形，平面4MNC與平面

4BC垂直，AB=BC,AM=CN,點。、D、E分別是4C、MN、48的中點.過點E作平行于平面

4MNC的截面分別交B。、BC于點F、G,”是FG的中點.

(I)證明：OBJ.EH；

(II)若直線BH與平面EFG所成的角的正弦值為手，求二面角D-AC-H的余弦值.

34、(0分)如圖，AB為圓0的直徑，點E,F在圓0上，且AB//EF,AB=2EF,矩形ABCD

所在的平面和圓0所在的平面互相垂直.

(I)證明：0F//平面BEC；

(II)證明：平面ADFL平面BCF.

35、(0分)如圖，星氯垂直于矩形,屈勰海所在的平面，.融=理容肆分別是布霸的中點.

(I)求證：,鰥糕平面那窗售；

(II)求證：平面藏黑』平面霰:渺.

試卷答案

1.【答案】D

【解析】由題意連接A￡1,則NAC1A】為所求的角，在4ACm】計算.

；連接A&1,在長方體ABCD-A簿）Di中，

A|AJ,平面AiB]C)Di則NAC]Ai為AC?與平面AiBiCiDi所成角.

21

在AACiAi中，sinZACiAkdu磐#蕾=3

故選D.

2.【答案】D

【解析】視a,b為正方體中的線，a,B為正方體中的面，觀察正方體解決.

對于A,根據(jù)面面平行的判定定理可知其正確；

對于B,根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理可知“aJ.b”，故正確；

對于C,根據(jù)反證法思想可知該命題正確；

對于D,若a,B相交，則a,b可能相交，也可能異面，故D為假命題.

故選D.

3.【答案】D

【解析】【解答】畫出如圖所示的正方體，易知域殿與辛:成4鏟角，所以A不正

確；踽周部’/嗡，所以B不正確；為噩與函所成的角，顯然不是4T，

所以C不正確；雕諭1,離甥，所以他與眼所成的角，顯然為6方所

以D正確.

要求兩條異面直線所成的角，關(guān)鍵是通過做平行線，把兩條異面直線所成的角做出來，然

后再計算.

4.【答案】D

【解析】期內(nèi)存在直線甘口??；

倒JJL".蝴_1_.潦。選D。

【點評】題目考查的是空間線面位置關(guān)系的判定和性質(zhì)，難度不大，要求學(xué)生熟記掌握

5.【答案】D

【解析】【解答】如圖，過平行六面體ABCD-A,B￡,D?任意兩條棱的中點作直線，

其中與平面DBB?平行的直線共有12條，

故選D.

解題的關(guān)鍵是畫出圖形，然后數(shù)出來，基礎(chǔ)題。

6.【答案】D

【解析】

如圖，過點B作BCJ.。垂足為C,過點A作4。1垂足為I).

在直角△BCO中，sin^BOC=罵在直角三角形8。夕中，sin^BOB1=槳

B080

因為是銳角二面角，

所以BC>BB1sin^BOC>sin^BOB1:.ABOC>乙BOB]

同理/.AOD>乙404]，因為乙B'OB+/.BOA+/.AOA'</.BOC+乙BOA+/.AOD=n

故選D.

點睛：本題的關(guān)鍵是證明利用什么方法來判斷選項，由于選項判斷的是角的大小關(guān)系，所

以一般要構(gòu)造直角三角形，再利用三角函數(shù)分析解析.

7.【答案】D

【解析】因為CD1平面BB1CG,EFu平面BBiCG,所以CD1EF,又因為EF||BG，BCi1

BC：.EF工B?所以可得EFJ■平面4B1DC,當點P在線段CD上時，總有&P_LEF,所以

&P的最大值為,4P的最小值為&D=&，可得線段&P長度的取值范圍是

[V2,V3],故選D.

【方法點晴】本題主要考查正方體的性質(zhì)、線面垂直的判定定理的應(yīng)用，屬于難題.解答

空間幾何體中垂直關(guān)系時，一般要根據(jù)已知條件把空間中的線線、線面、面面之間垂直關(guān)

系進行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化時要正確運用有關(guān)的定理，找出足夠的條件進行推理；證明直線和平面

垂直的常用方法有：(1)利用判定定理；(2)利用判定定理的推論(a||b,a_La=b_La)；

(3)利用面面平行的性質(zhì)(aJLa,可但na_L0)；(4)利用面面垂直的性質(zhì)，當兩個平面垂

直時，在一個平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一個平面.

8.【答案】C

【解析】分析：如圖所示，把a,b平移到點P處，則與a,b所成的角都為50。的直線有3條.

詳解：過P作與a,b平行的直線a',",

如圖,乙CPD=80°,

直線4G過點P且乙4PC=4AP0=50。，這樣的直線有兩條.

又4FPC=100°,直線PE為乙FPC的平分線，則NFPE=4EPC=50。，

綜上，滿足條件的直線的條數(shù)為3.

點睛：一般地，如果兩條異面直線所成的角為。(0<。w］，過空間一點P作直線，與a,b所

成的均為a,即直線，的條數(shù)為則

(1)若0<a<g,則zn=0；

(2)若a=g,則m=1；

(3)若g<a<三，則m=2；

(4)若a=l，則zn=3；

(5)若則m=4

（6）若a=],則m=1.

9.【答案】C

【解析】對于（1）,過不在平面內(nèi)的一點，有且只有一個平面與這個平面平行，正確；

對于（2）,當已知直線與平面相交時，不存在平面與已知平面平行，錯誤；

對于（3）,過不在直線上的一點，有且只有一條直線與這條直線平行，正確；

對于（4）,過不在直線上的一點，有無數(shù)個平面與已知直線平行，正確；

故選C.

10.【答案】D

【解析】兩兩相交的三條直線，它們可能相交于同一點，也可能不相交于同一點，當三條直

線相交于同一點時，這三條直線可能不在同一個平面內(nèi)，A錯；條件中另外兩條直線可能共

面，也可能不共面，當另外兩條直線不共面時，三條直線不能確定一個平面，B錯；空間三個

點可能不在同一條直線上，也可能在同一條直線上.當三個點在同一條直線上時，經(jīng)過這三

個點的平面有無數(shù)個，C錯；因為三條直線兩兩相交于不同的點，所以三個交點不在同一條

直線上，由公理2知，這三條直線可以確定一個平面，D正確.故選D.

11.【答案】C

【解析】【解答】根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知①是真命題；由平面與平面平行的

判定定理可知是②真命題；若在婚內(nèi)有一條直線垂直于交線y,不一

定垂直平面，髀，故③時假命題；根據(jù)已知條件可知，這無數(shù)條直線是平行的，由直線

與平面垂直的判定定理可得④是假命題.故選C.

12.【答案】B

【解析】因為三棱錐的表面積是3發(fā)二聞黃二次浜-*百刀+就號.由題意易知

.又因為統(tǒng)_L平面魂醺所以

又因C.^.3C機所以故

13.【答案】C

【解析】【解答】A是錯誤的，因為溺不一定在平面視內(nèi)，故寓施可能為異面直線;

B是錯誤的，同平行于一個平面的兩條直線位置關(guān)系不確定；D是錯誤的，直線與平面垂

直，需直線與平面內(nèi)兩條相交直線垂直；C是正確的，直線與平面垂直的判斷定理.

14.【答案】B

【解析】【解答】當雄?！■好,時，有解1.鼾、解$卻縱輟憶理等多種可能情況，所

以①不正確；

當阿=比陽1?目且題』陽時，由平面垂直的判定定理知凌.f所以②正確;

因為\mqB所以夠」.尊,③正確；

④若除斑視，且漏點，，則或情廊相交，其不正確，故選B.

15.【答案】C

【解析】【解答】對于①若圾一.曜…了則嬤，，*兩個平面可能平行，因此錯

誤。

對于②若凄展闔融則謹詞根據(jù)面面垂直的判定定理可知成立。

對于③若/上存在兩點到第的距離相等，則;也可能是相交，錯誤。

對于④若窿篦樹上匠畿1且/赭嗨則濾.樹’.，符合面面平行的性質(zhì)定理，故成立，故選C.

本題考查的知識點是空間中直線與平面之間的位置關(guān)系，其中熟練掌握空間直線與平面，

平面與平面位置關(guān)系的定義及判定方法，是解答本題的關(guān)鍵.

16.【答案】C

【解析】試題分析：連接BCi，A1C1，A.B,根據(jù)正方體的幾何特征，我們能得到NAiCiB

即為異面直線AC和EF所成的角，判斷三角形AiCiB的形狀，即可得到異面直線AC和EF

所成的角.

解：連接BCi，AiC1；AjB,如圖所示:

根據(jù)正方體的結(jié)構(gòu)特征，可得

EF〃BCi，AC:〃AC，

則/A1C1B即為異面直線AC和EF所成的角

BC1=A1C1=A1B,

二△AICIB為等邊三角形

故NA|CiB=60°

故選C

考點：異面直線及其所成的角.

17.【答案】B

【解析】試題分析：可以畫出圖形來說明1與11,12的位置關(guān)系，從而可判斷出A,C,D

是錯誤的，而對于B,可假設(shè)不正確，這樣1便和L,12都不相交，這樣可退出和L,12

異面矛盾，這樣便說明B正確.

解：A.1可以和上都相交，如下圖：

該選項錯誤；

B.“1至少與11,12中的一條相交”正確，假如1和3，12都不相交;

1和12都共面；

，1和1I,12都平行；

11和12共面，這樣便不符合已知的L和12異面；

.?.該選項正確.

C.1與11,12可以相交，如圖：

...該選項錯誤；

D.1可以和L,I2中的一個平行，如上圖，,該選項錯誤；

故選：B.

考點：空間中直線與直線之間的位置關(guān)系.

18.【答案】C

【解析】試題分析：由立體幾何公理可知：不共線的三點確定一個平面，故1）錯；梯形

中有一組對邊平行，故梯形是平面圖形，2）對；根據(jù)平行的傳遞性可知3）對；垂直于

同于條直線的兩條直線可能異面也可能平行，4）錯；因此只有2個命題正確；

考點：立體幾何的公理；

19.【答案】C

【解析】試題分析：連接AXB,則有AXB//CD1,乙4$E就是異面直線BE與CD1所成

角，

設(shè)AB=1,則&E=4E=1,，BE=V2,ArB=V5.由余弦定理可知：cos^BE=

2+5-1_3所

2V2-V5110

考點：異面直線所成角

20.【答案】A

【解析】試題分析：①此命題不正確，當過點P與兩條異面直線中的一條的平面與另一條

直線平行時，此時找不到一個過P的平面與兩條異面直線都平行，不正確；②本命題用圖

形說明，如圖，三棱錐P-4BC中，側(cè)棱PB垂直于底面，P4PC兩線在底面上的投影垂直,

。為棱PB上一點，而異面直線P4DC兩線不垂直，不正確；③四邊相等的四邊形也可以是

空間四邊形，不正確；④直線a,b分別在平面a,0內(nèi)，且a_Lb,貝不一定垂直，不正

確.故選A.

考點：空間中直線與直線之間的位置關(guān)系.

【方法點睛】通過列舉反例說明命題不正確.本題考查命題真假的判斷，考查了空間中直

線與直線之間的位置關(guān)系，線面位置關(guān)系，兩異面直線的關(guān)系，面面位置關(guān)系等，正確解

答本題，關(guān)鍵是要有著較好的空間立體感知能力，能對命題所涉及的問題找到恰當?shù)哪Ｐ?/p>

做教體進行判斷.本題是訓(xùn)練空間感知能力的一道好題，屬于中檔題.

21.【答案】（0°,90°]

【解析】【解答】解：由異面直線所成角的定義可知：

過空間一點，分別作相應(yīng)直線的平行線，兩條相交直線所成的直角或銳角為異面直線所成

的角

故兩條異面直線所成的角的取值范圍是（0°,90°]

故答案為：（0°,90°]

由異面直線所成角的定義求解.

22.【答案】4

【解析】

由在Rt^ABC中，ZACB=90°,P為△ABC所在平面外一點，PAL平面ABC,能推導(dǎo)出

BCJ.平面PAC.由此能求出多少個直角三角形.

在Rtz^ABC中，/ACB=90°,P為△ABC所在平面外一點，PAJ.平面ABC,

ABC±PA,BC±AC,VPAAAC=A,BC_L平面PAC.

...四面體P-ABC中直角三角形有APAC,APAB,AABC,APBC.4個.

故答案為：4.

【點睛】

本題考查直線與平面垂直的性質(zhì)的應(yīng)用，解題時要認真審題，仔細解答，注意等價轉(zhuǎn)化思

想的靈活運用，是基礎(chǔ)題.

23.【答案】①②③

【解析】根據(jù)題意畫出如圖所示的直三棱柱ABC-aB1G：

其中，底面為等腰直角三角形，AB=BC=2,44i=l,E、尸、。別是棱48、CB、4cl的中

點.

對于①，取4/1中點G,連接EG,BG交BiE于點0,連接DG.

：E為4B中點，AB=2,=1

.??四邊形BEGB］為正方形，則BG1B1E

在AA/iCi中，D,G分別為4G的中點，則DG〃B】G，且DG=；BIG.

：F為BC的中點，且BC//BiQ

，BF//DGS.BF=DG

二四邊形DFBG為平行四邊形

二DF//BG

；.BiE1FD,故正確；

對于②，易得BC】=遮，則4爐+BG2=4+5=9.

■:AC12=AC2+CCi2=8+1=9

2

/.AB+BC12=AC12)即NABCI=]

?.zcq=|

.?.三棱錐a-BCG的外接球的球心在線段4G的中點處，則外接球的半徑為|

...三棱錐4-BCG的外接球的表面積為47rx(|)2=9〃，故正確；

對于③，易得當。=近，EF=也.

在RtADGE^,DG=洱5=1,EG==1,DE=y/DG2+GE2=夜，同理可得。F=V2,則

三棱錐Bi-OEF為正四面體，其體積為了=""魚x&xfx乎x&=],故正確；

對于④，直線QE在平面4BC上的投影為直線CE,則aEG為直線&E與平面ABC所成的角，

在RtZCiCE中，taMCEG=繪=癰￡葩=個手6,故不正確.

故答案為①②③.

24.【答案】，問

【解析】因為等腰APAB所在平面為a,PA1PB,4B=6.G是"48的重心，所以可得24=

3&,PG=2,連接P'G,"G,在RMP'HG中，P'G=2,P'H='JP'G2-HG2=V4-WG2,當H與A重

合時HG最大為2,此時P'H最小，P'H=0,（P'與力重合）作GHJ.4B于H,此時GH最小為1,P'H

最大為=g，的長度的取值范圍是（0,遮］,故答案為（0,遮］.

25.【答案】［"VI麗”］

【解析】【解答】解：記A、D在面a內(nèi)的射影分別為A1、D1,

VAB=5,AAi=4,，A［B=3,

即B在面a內(nèi)以Ai為圓心、3為半徑的圓周上，

又A1Di=10,故D1最大為13,最小為7,而DD1=4,

由勾股定理得BB、D兩點之間的距離的最大值為：V132+42=A<185.

故答案為：V185.

記A、D在面a內(nèi)的射影分別為A|、D1,由AB=5,可得出B在面a內(nèi)以Ai為圓

心、3為半徑的圓周上，由勾股定理能求出B、D兩點之間的距離的最大值.

26.【答案】

【解析】【解答】解：將正四面體放入正方體中，則

正方體的中心即為其外接球的球心，AB為過E的最小截面圓的直徑，

如圖所示:

2

則所求截面圓的面積為n-（J=E.

故答案為：.

4

將正四面體放入正方體中，正方體的中心即為其外接球的球心，AB為過E的最小截面圓

的直徑，求出截面圓的面積即可.

27.【答案】3

【解析】試題分析：①=m與平面B沒有公共點，所以是正確的.

mca

②直線n可能在B內(nèi)，所以不正確?

③{:n異面，可能兩條直線相交，所以不正確.

④m與平面B可能平行，不正確

m||a

考點：空間中直線與直線之間的位置關(guān)系；空間中直線與平面之間的位置關(guān)系

28.【答案】①④

【解析】①???a〃b,b_Lc,，a_Lc（一條直線垂直于兩條平行線中的一條，也垂直于另一

條），故①正確；②a、c可能異面，不正確；③a、b也可能異面，不正確；

④由線面垂直的性質(zhì)，若a_La,bua,則alb,故④正確；⑤不正確，只要有一條直線，

和a、b垂直，則與］平行的直線都滿足；⑥不正確，若aua,bua,ale,61c,則除

Ta//b,亦可能a與b相交；故答案為①④.

點睛：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，著重考查直線與平面間的位置關(guān)系，考查線面平

行的性質(zhì)定理，采用逐一判定，①②⑤⑥空間三條直線關(guān)系的判定，③④線面平行、垂直

關(guān)系的判定.

29.【答案】①②④

【解析】試題分析：①懿：與面魂爵畫1所成的角即為之儂僦產(chǎn)嘴，...①正確；②在四個

面上的投影或為正方形或為三角形，最小為三角形面積為公，...②正確；③嬲七晶福J,

埼陶群面段鳴聞，到面跳離的距離等于編到面絲靄離的距離為獸糊啊一豆,.??③

不正確；④聯(lián)監(jiān)與領(lǐng)所成的角即為魅?與蹈?所成的角，即貶漓髀，域瞳

..*尸：獺，故BM與CD1所成的角為

arcsin^,...④正確.故答案為：

①②④.

考點：點、線、面間的距離關(guān)系.

30.【答案】

O

【解析】【解答】解：如圖所示,取AC的中點0,VAB=BC=3,AB01AC,在RtZ\ACD'

中，AC=712+（V5）2一捉作D'E±AC,垂足為E,D'E=1XA/5=屈.C0=

~7TT

娓，CE=D'A=近,/.E0=C0-CE=娓■

~2CAFTT

過點B作BF〃B0,作FE〃B0交BF于點F,則EF_LAC.連接D'F.ZFBDZ為直線AC與

BD'所成的角.

則四邊形BOEF為矩形，BF=EO=近.EF=BO=！2_（捉）2=730.則NFED'為

二面角D'-CA-B的平面角，設(shè)為9.

則D'F2=2+（75^）2-2X730V30cos。=25~5cos?！芬玻?/p>

cos。=1時取等號.二D，B的最小值==2..??直線AC與BD，所成角的余

弦的最大值=_BF_=近=述.故答案為：V6.

7^ATT

2

如圖所示，取AC的中點0,AB=BC=3,可得BOLAC,在Rt^ACD'中，AC=加.作

D'E±AC,垂足為E,D'E=730,C0=遍，CE=D'C2=&，EO=CO-CE=

"V~2CAT

76?過點B作BF〃BO,作FE〃BO交BF于點F,則EF_LAC.連接D'F.ZFBDZ為直線

T_

AC與BD'所成的角.則四邊形BOEF為矩形，BF=EO=近.EF=BO=返.則/FED'為

T

二面角D'-CA-B的平面角，設(shè)為o.利用余弦定理求出D'F2的最小值即可得

出.本題考查了空間位置關(guān)系、空間角，考查了空間想象能力、推理能力與計算能力，屬

于難題.

31.【答案】證明：（1）取AiB的中點0,連接0E,0C,則0E平行且等于|BBI,

?.?F為CCi的中點，；.CF平行且等于|CC1,

/.0E平行且等于CF,

二四邊形OECF是平行四邊形，

EF〃0C,

,.?EFQ平面AiBC,OCc平面AiBC,

，EF〃平面A,BC；

(2)解：Z\AiBCi中，A】B=A】C產(chǎn)V5,BC尸V6,，面積為|xV6x^5一倒二

叵

2°

設(shè)D?到平面AjBC?的距離為h,則|X亨h=|x|x2xlx2

【解析】（1）取A而的中點0,連接0E,0C,證明四邊形OECF是平行四邊形，可得

EF〃OC,即可證明EF〃平面AiBC；

（2）利用等體積法求D1到平面A,BCi的距離.

32.【答案】（1）見解析，（2）等

【解析】試題分析：（1）證明線面平行常用方法：一是利用線面平行的判定定理，二是

利用面面平行的性質(zhì)定理，三是利用面面平行的性質(zhì)；（2）利用棱錐的體積公式

1

?蘆

'一歲求體積.（3）證明線面垂直的方法：一是線面垂直的判定定理；二是利用面面

垂直的性質(zhì)定理；三是平行線法（若兩條平行線中的一條垂直于這個平面，則另一條也垂

直于這個平面.解題時，注意線線、線面與面面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化.（4）在求三棱柱體積

時，選擇適