2023-2024學(xué)年江蘇省無錫市高三上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測模擬試題（含解析）

2023-2024學(xué)年江蘇省無錫市高三上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測模擬試題一．選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合要求的．1．設(shè)，則在復(fù)平面內(nèi)的共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知集合，，則（

）A． B． C． D．3．三角形兩邊上的高相等是這個(gè)三角形為等腰三角形的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．已知，且，則（

）A． B． C． D．5．下列不等式中成立的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則6．在中，，BC邊上的高等于,則（）A． B． C． D．7．已知平面向量，，，的夾角為60°，，則實(shí)數(shù)（

）A． B．1 C． D．8．設(shè)函數(shù)，在上的導(dǎo)函數(shù)存在，且恒成立，則當(dāng)時(shí)，下列不等式中一定成立的是（

）A． B．C． D．二．多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．下列說法正確的是（

）A．“”是“”的既不充分也不必要條件B．在同一坐標(biāo)系下，函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于對稱C．若，則D．的最大值為10．已知實(shí)數(shù)a，b>0，2a+b=4，則下列說法中正確的有（

）A．有最小值 B．a(chǎn)2+b2有最小值C．4a+2b有最小值8 D．lna+lnb有最小值ln211．已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)定義域均為，若，對任意實(shí)數(shù)x都成立，則（

）A．函數(shù)是周期函數(shù)B．函數(shù)是偶函數(shù)C．函數(shù)的圖象關(guān)于中心對稱D．函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對稱12．在圓O的內(nèi)接四邊形中，，，，則（

）A． B．四邊形的面積為C． D．三．填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．冪函數(shù)滿足：任意有，且，請寫出符合上述條件的一個(gè)函數(shù)．14．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)繞著原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.15．函數(shù)，方程（）有3個(gè)實(shí)數(shù)解，則k的取值范圍為．16．在中，已知，，，，邊上兩條中線，相交于點(diǎn)，則的余弦值為.四．解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．已知在△ABC中BC，CA，AB的長分別為a，b，c，試用向量方法證明：(1)c＝bcosA＋acosB；(2)c2＝a2＋b2－2abcosC.18．已知函數(shù)，，分別是的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)．(1)若，，，求的值；(2)若，求a的取值范圍．19．已知的內(nèi)角的對邊分別為，，，，的內(nèi)切圓的面積為.(1)求的值；(2)若點(diǎn)在上，且三點(diǎn)共線，求的值.20．已知，．(1)若與的圖象相交于點(diǎn)P，且與在點(diǎn)P處的切線重合，求a的值；(2)若，求a的取值范圍．21．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示.(1)求函數(shù)f（x）的解析式：(2)證明：，使得成立.22．已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)討論的單調(diào)性；(3)若有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．答案和解析1．D【分析】先求出復(fù)數(shù)，再求其共軛復(fù)數(shù)，即可判斷.【詳解】復(fù)數(shù)，所以的共軛復(fù)數(shù)，所以在復(fù)平面內(nèi)的共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限.故選：D.2．B【分析】根據(jù)給定條件，求出函數(shù)的定義域、值域，再利用并集的定義求解作答.【詳解】集合，即，，則，所以.故選：B3．C【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義分析判斷.【詳解】當(dāng)三角形兩邊上的高相等時(shí)，由三角形面積公式可得這兩邊也相等，所以這個(gè)三角形為等腰三角形，當(dāng)三角形為等腰三角形時(shí)，同樣由三角形的面積公式可知，兩腰上的高相等，所以三角形兩邊上的高相等是這個(gè)三角形為等腰三角形的充要條件，故選：C4．B【分析】由已知結(jié)合同角平方關(guān)系可求，然后結(jié)合誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡可求．【詳解】解：因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，則．故選：．5．D【分析】對于A，B，C，結(jié)合特殊值法，即可求解，對于D，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，即可求解．【詳解】對于A，當(dāng)時(shí)，，故A錯(cuò)誤，對于B，當(dāng)，時(shí)，滿足，但，故B錯(cuò)誤，對于C，當(dāng)，時(shí)，滿足，但，故C錯(cuò)誤，對于D，在上單調(diào)遞增，∵，∴，即，故D正確．故選：D．6．C【詳解】試題分析：設(shè),故選C.考點(diǎn)：解三角形.7．C【分析】平方后由平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律求解，【詳解】因?yàn)?，所?即，解得，故選：C.8．C【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即可判斷.【詳解】令，則，則在區(qū)間上是增函數(shù)，故，即，則，，所以C正確，D錯(cuò)誤，A，B不一定正確.故選：C．9．ABD【分析】選項(xiàng)A，利用充分性和必要性的概念判斷；選項(xiàng)B：利用軸對稱公式求解；選項(xiàng)C，利用三角函數(shù)的概念判斷；選項(xiàng)D：利用對數(shù)函數(shù)單調(diào)性判斷即可.【詳解】選項(xiàng)A：“若，則”是假命題，因?yàn)椋?；“若，則”是假命題，因?yàn)椋?，所以“”是“”的既不充分也不必要條件，A正確；選項(xiàng)B：假設(shè)函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，則需滿足，即，所以，解得，即函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，B正確；選項(xiàng)C：當(dāng)，時(shí)，成立，因此成立，不一定有，C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D：因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，且在上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)取得最大值，D正確；故選：ABD10．BC【分析】根據(jù)基本不等式、配方法，結(jié)合指數(shù)運(yùn)算、對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】因?yàn)閷?shí)數(shù)a，b>0，2a+b=4，所以有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，即當(dāng)時(shí)取等號，故選項(xiàng)A不正確；因?yàn)?a+b=4，所以，當(dāng)時(shí)，a2+b2有最小值，故選項(xiàng)B正確；，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，即時(shí)取等號，故選項(xiàng)C正確；因?yàn)閷?shí)數(shù)a，b>0，2a+b=4，所以，當(dāng)，時(shí)，lna+lnb有最大值ln2，因此選項(xiàng)D不正確，故選：BC11．ABC【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性與對稱性得函數(shù)的周期性，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)運(yùn)算確定導(dǎo)函數(shù)的奇偶性與對稱性即可判斷，由函數(shù)對稱性可確定函數(shù)與的圖象的對稱軸.【詳解】解：由題為奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對稱，由于關(guān)于對稱，所以則，故，即，所以，即是周期為8的周期函數(shù)，故A對；因?yàn)椋?，即，即，即為偶函?shù)，故B對；因?yàn)?，∴，即，∴關(guān)于對稱，故C對；函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，故D錯(cuò)．故選：ABC.12．BD【分析】連接，由四邊形為圓O內(nèi)接四邊形，可得，接著由余弦定理求出可判斷A；從而得，，再利用三角形面積公式即可求出四邊形的面積可判斷B；利用向量數(shù)量積的求出，即可判斷CD．【詳解】如圖，連接，∵四邊形為圓O內(nèi)接四邊形，∴，又，，，設(shè)，∴，∴，解得，故A錯(cuò)誤；∴，∴，∴，∴四邊形的面積為，故B正確；，故C錯(cuò)誤；，又，∴，D選項(xiàng)正確．故選：BD．13．（答案不唯一）【分析】取，再驗(yàn)證奇偶性和函數(shù)值即可.【詳解】取，則定義域?yàn)镽，且，，，滿足.故答案為.14．【分析】根據(jù)三角函數(shù)定義求得，確定與x軸正半軸的夾角為,結(jié)合三角函數(shù)定義以及兩角差的余弦公式即可求得答案.【詳解】由題意得,設(shè)與x軸正半軸的夾角為，則，則與x軸正半軸的夾角為，故點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，故15．【分析】根據(jù)給定條件將方程的實(shí)數(shù)解問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象與直線的交點(diǎn)問題，再利用數(shù)形結(jié)合即可作答．【詳解】解：方程有3個(gè)實(shí)數(shù)解，等價(jià)于函數(shù)的圖象與直線有3個(gè)公共點(diǎn)，因當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，取到一切實(shí)數(shù)，在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)的圖象及直線，如圖：由圖象可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象及直線有3個(gè)公共點(diǎn)，方程有3個(gè)解，所以k的取值范圍為．故．16．【分析】由已知結(jié)合向量的線性表示及向量數(shù)量積的性質(zhì)即可求解.【詳解】由已知得即為向量與的夾角.因?yàn)镸、N分別是，邊上的中點(diǎn)，所以，.又因?yàn)?，所?,,所以.故17．(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】根據(jù)線段的幾何關(guān)系有＝＋，（1）將上式兩邊點(diǎn)乘，結(jié)合平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律及其定義，即可證結(jié)論.（2）將上式兩邊平方，應(yīng)用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律及定義，可證結(jié)論.【詳解】（1）∵＝＋，∴·＝(＋)·，即||2＝||·||cosA＋||||cosB，∴c2＝bccosA＋accosB，則c＝bcosA＋acosB；（2）∵＝＋，∴()2＝(＋)2＝()2＋()2＋2·，即c2＝b2＋a2＋2b·acos(180°－C)，∴c2＝a2＋b2－2abcosC.18．(1)(2)【分析】（1）對求導(dǎo)，求出和，利用，求出，從而求出答案；（2）對求導(dǎo)，根據(jù)，分別是的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)，得到，是方程的兩個(gè)不相等的實(shí)根，化簡，最終求出答案．【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，所以，令，得或．列表如下：x000極大值極小值所以在處取極大值，即，且．由，所以，即，所以．因?yàn)?，所以，所以．?）由，因?yàn)?，分別是的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)，所以，是方程的兩個(gè)不相等的實(shí)根，且，即，所以因?yàn)椋驗(yàn)?，所以，解得．綜上，．19．(1)(2)105【分析】（1）先利用余弦定理求出，然后利用等面積法求出內(nèi)切圓的半徑，然后求出即可；（2）顯然平分，然后利用角平分線的性質(zhì)可得，然后得，最后計(jì)算即可.【詳解】（1）在中，由余弦定理得：，即設(shè)內(nèi)切圓的半徑為，則（2）在中，由（1）結(jié)合余弦定理得，平分點(diǎn)到的距離相等，故，而20．(1)(2)【分析】（1）設(shè)出切點(diǎn)的坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解得出結(jié)論；（2）利用（1）的結(jié)論，證明即可求解．【詳解】（1）設(shè)切點(diǎn)，，對兩個(gè)函數(shù)分別求導(dǎo)有，，因?yàn)榕c的圖像相交于點(diǎn)P，且與在點(diǎn)P處的切線重合，所以，又，聯(lián)立解得，.（2）由（1）可知，當(dāng)時(shí)，與在點(diǎn)處的切線重合，此時(shí)，又在處的切線方程為，令，則，易得,,，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，可得，令，當(dāng)時(shí)，才有，又對稱軸，當(dāng)時(shí)最小值等于，解不等式得，即；當(dāng)時(shí)，與切線方程相交，則不成立；由綜上所述，．21．(1)(2)證明見解析【分析】(1)由圖象可以得到，由此可以得到函數(shù)的解析式；(2)對進(jìn)行變形，再利用基本不等式；確定的取值范圍，再求出跟已知區(qū)間的交集，從而說明，使得成立.【詳解】（1）由題意可得.得，由，因?yàn)?，所?所以（2）證明：因?yàn)?，又因?yàn)?，所以所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取到又因?yàn)椋?，所以所以成?要存在，使成立，只需存在，使得，即所以解得：即與有交集，當(dāng)所以存在.使成立.22．(1)(2)當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減

當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．(3)【分析】（1）先求出，在利用導(dǎo)函數(shù)求出，即為曲線在點(diǎn)處的切線斜率，再利用點(diǎn)斜式即可求出切線方程.（2）先對求導(dǎo)，化簡，再分兩個(gè)方面來討論的正負(fù)，進(jìn)而得到的單調(diào)性.（3）由（2）的結(jié)論，通過單調(diào)性以及零點(diǎn)存在性定理來分析函數(shù)的零點(diǎn).【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為：即．

故（2）的定義域?yàn)椋á。┤?，則，所以在上單調(diào)遞減

（ⅱ）若，則由得.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．

故當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減

當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．（3）（?。┤?，由（2）知，至多有一個(gè)零點(diǎn)，不滿足條件．（ⅱ）若，由（2）知，當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為①當(dāng)時(shí)，由于，故只有一個(gè)零點(diǎn)，不滿足條件；

②當(dāng)時(shí)，，即，故沒有零點(diǎn)