第二十三章 旋轉(zhuǎn)（知識(shí)歸納+題型突破）（八大題型134題）（解析版）-2023-2024學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)單元速記·巧練（人教版）

第二十三章旋轉(zhuǎn)（知識(shí)歸納+題型突破）1.通過(guò)具體實(shí)例認(rèn)識(shí)平面圖形關(guān)于旋轉(zhuǎn)中心的旋轉(zhuǎn)。探索它的基本性質(zhì):一個(gè)圖形和旋轉(zhuǎn)得到的圖形中，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心距離相等，兩組對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別與旋轉(zhuǎn)中心連線所成的角相等.2.了解中心對(duì)稱(chēng)、中心對(duì)稱(chēng)圖形的概念，探索它們的基本性質(zhì);成中心對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形中，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線經(jīng)過(guò)對(duì)稱(chēng)中心，且被對(duì)稱(chēng)中心平分.3.探索線段、平行四邊形、正多邊形、圓的中心對(duì)稱(chēng)性質(zhì).4.認(rèn)識(shí)并欣賞自然界和現(xiàn)實(shí)生活中的中心對(duì)稱(chēng)圖形.1、旋轉(zhuǎn)把一個(gè)平面圖形繞著平面內(nèi)的一點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度。（旋轉(zhuǎn)中心：O點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)角：轉(zhuǎn)動(dòng)的角度）2、性質(zhì)①對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等②對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角③旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等3、中心對(duì)稱(chēng)把一個(gè)圖形繞著某一點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180度，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，這兩個(gè)圖形關(guān)于這個(gè)點(diǎn)對(duì)稱(chēng)或中心對(duì)稱(chēng)4、性質(zhì)①對(duì)稱(chēng)點(diǎn)所連線段都經(jīng)過(guò)對(duì)稱(chēng)中心，且被對(duì)稱(chēng)中心所平分②中心對(duì)稱(chēng)的圖形是全等圖形5、中心對(duì)稱(chēng)把一個(gè)圖形繞著某一點(diǎn)o旋轉(zhuǎn)180度后能與原圖形重合,主體：一個(gè)圖形，而中心對(duì)稱(chēng)指的是兩個(gè)4、關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的坐標(biāo)P(x，y)→P（-x，-y）題型一旋轉(zhuǎn)三要素【例1】如圖，和都是等邊三角形.（1）沿著______所在的直線翻折能與重合；（2）如果旋轉(zhuǎn)后能與重合，則在圖形所在的平面上可以作為旋轉(zhuǎn)中心的點(diǎn)是______；（3）請(qǐng)說(shuō)出2中一種旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)______.【答案】（1）；（2）.點(diǎn)、點(diǎn)或者線段的中點(diǎn)；（3）【分析】(1)因?yàn)楹陀泄策匒C，翻折后重合，所以沿著直線AC翻折即可；（2）將△ABC旋轉(zhuǎn)后與重合，可以以點(diǎn)A、點(diǎn)C或AC的中點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心；（3）以點(diǎn)A、點(diǎn)C為旋轉(zhuǎn)中心時(shí)都旋轉(zhuǎn)，以AC中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)旋轉(zhuǎn)180.【詳解】(1)∵和都是等邊三角形，∴和是全等三角形，∴△ABC沿著AC所在的直線翻折能與△ADC重合.故填A(yù)C;(2)將△ABC旋轉(zhuǎn)后與重合，則可以以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60或以點(diǎn)C為旋轉(zhuǎn)中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60，或以AC的中點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)180即可；（3）以點(diǎn)A、點(diǎn)C為旋轉(zhuǎn)中心時(shí)都旋轉(zhuǎn)，以AC中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)旋轉(zhuǎn)180.【點(diǎn)睛】此題考查平移的對(duì)稱(chēng)軸確定的方法、旋轉(zhuǎn)中心確定的方法，依照平移、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)來(lái)確定即可.鞏固訓(xùn)練：1．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在正方形網(wǎng)格中，圖中陰影部分的兩個(gè)圖形是一個(gè)經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)變換得到另一個(gè)的，其旋轉(zhuǎn)中心可能是（

）

A．點(diǎn)A B．點(diǎn) C．點(diǎn) D．點(diǎn)【答案】B【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，作兩組對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線，交點(diǎn)即為旋轉(zhuǎn)中心，即可得．【詳解】解：如圖所示，兩組對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線的交點(diǎn)B即為旋轉(zhuǎn)中心，

故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．2．（2023春·福建漳州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在方格紙中，格點(diǎn)三角形甲經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)后得到格點(diǎn)三角形乙，則其旋轉(zhuǎn)中心是（

）

A．點(diǎn) B．點(diǎn) C．點(diǎn) D．點(diǎn)【答案】A【分析】先確定點(diǎn)A與點(diǎn)E為對(duì)應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)B和點(diǎn)F為對(duì)應(yīng)點(diǎn)，則根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得旋轉(zhuǎn)中心在的垂直平分線上，也在的垂直平分線上，所以作的垂直平分線和的垂直平分線，它們的交點(diǎn)即為旋轉(zhuǎn)中心．【詳解】解：∵甲經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)后得到乙，∴點(diǎn)A與點(diǎn)E為對(duì)應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)B和點(diǎn)F為對(duì)應(yīng)點(diǎn)，∴旋轉(zhuǎn)中心在的垂直平分線上，也在的垂直平分線上，作的垂直平分線和的垂直平分線，它們的交點(diǎn)為M點(diǎn)，如圖，

即旋轉(zhuǎn)中心為M點(diǎn)．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．3．（2023春·四川成都·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，小明蕩秋千，位置從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到了點(diǎn)，若，則秋千旋轉(zhuǎn)的角度為（）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)角的定義、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行解答．【詳解】∵，小剛的位置從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到了點(diǎn)，∴，∴，，∴，∴秋千旋轉(zhuǎn)的角度為故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（2021秋·廣東江門(mén)·九年級(jí)臺(tái)山市新寧中學(xué)?？计谥校┤鐖D，將中，，將其繞點(diǎn)順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到的位置，使得在同一條直線上，那么旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)得到即可解答．【詳解】解：∵在中，，在同一條直線上，∴，故選．【點(diǎn)睛】本題考查了平角的定義，旋轉(zhuǎn)性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)，找到旋轉(zhuǎn)角并掌握三角形外角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．（2023·江蘇·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，如果將正方形甲旋轉(zhuǎn)到正方形乙的位置，可以作為旋轉(zhuǎn)中心的點(diǎn)有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，即可得出，分別以A,B,C為旋轉(zhuǎn)中心即可從正方形甲旋轉(zhuǎn)到正方形乙的位置．【詳解】解：如圖，繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，可到正方乙的位置；繞C點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，可到正方乙的位置；繞AC的中點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)180°，可到正方乙的位置；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后的兩個(gè)圖形全等，對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；特別注意容易忽略點(diǎn)B．6．（2023春·江蘇·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，若正方形EFGH由正方形ABCD繞某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到，則可以作為旋轉(zhuǎn)中心的是（）A．M或O或N B．E或O或C C．E或O或N D．M或O或C【答案】A【詳解】試題分析：若以M為旋轉(zhuǎn)中心，把正方形ABCD順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，A點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)為H，B點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E，C點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)為F，D點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)為G，則可得到正方形EFGH；若以O(shè)為旋轉(zhuǎn)中心，把正方形ABCD旋轉(zhuǎn)180°，A點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)為G，B點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)為H，C點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E，D點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)為F，則可得到正方形EFGH；若以N為旋轉(zhuǎn)中心，把正方形ABCD逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，A點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)為F，B點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)為G，C點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)為H，D點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E，則可得到正方形EFGH．故選A．7．（2023春·山東濱州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在正方形網(wǎng)格中，繞某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定的角度得到，則旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)是．

【答案】【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，則對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線的交點(diǎn)即為旋轉(zhuǎn)中心．【詳解】如圖，連接，，分別作線段，的垂直平分線，兩條垂直平分線相交于點(diǎn)，點(diǎn)即為旋轉(zhuǎn)中心．

故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，牢記旋轉(zhuǎn)中心的確定方法（對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線的交點(diǎn)即為旋轉(zhuǎn)中心）是解題的關(guān)鍵．8．（2023春·山東菏澤·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)A、B都在格點(diǎn)上．線段AB繞著某一定點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度后，得到線段（點(diǎn)、分別是A、B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，也都在格點(diǎn)上），則的大小是．

【答案】/90度【分析】首根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)確定旋轉(zhuǎn)中心為點(diǎn)O，即可解決問(wèn)題．【詳解】解：如圖，連接,由網(wǎng)格作的垂直平分線，交于點(diǎn)O，∴點(diǎn)O為旋轉(zhuǎn)中心，∴，即旋轉(zhuǎn)角為，

故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)角度的確定，畫(huà)出圖形能快速解決問(wèn)題．9．（2022秋·廣東汕頭·九年級(jí)汕頭市龍湖實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中的位置，且，將其繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是，旋轉(zhuǎn)角是度.

【答案】90【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線的垂直平分線的交點(diǎn)即為旋轉(zhuǎn)中心，據(jù)此可求解．【詳解】解：如圖，點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)角，

故答案為：，90．【點(diǎn)睛】本題考查坐標(biāo)與圖形變換-旋轉(zhuǎn)，解答的關(guān)鍵是熟知對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線的交點(diǎn)即為旋轉(zhuǎn)中心．10．（2023春·福建福州·八年級(jí)福州日升中學(xué)校考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為，，，繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，向右平移6個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位得到．

(1)畫(huà)出和；(2)是的上一點(diǎn)，經(jīng)旋轉(zhuǎn)、平移后點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)是．(3)若直接旋轉(zhuǎn)得到，則旋轉(zhuǎn)點(diǎn)M坐標(biāo)是．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)(3)【分析】（1）先根據(jù)點(diǎn)繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)變換規(guī)律得出點(diǎn)，再順次連接即可得；根據(jù)坐標(biāo)平移規(guī)律得出點(diǎn)，然后順次連接即可得；（2）根據(jù)點(diǎn)繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)變換規(guī)律、坐標(biāo)平移規(guī)律即可得；（3）對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線的交點(diǎn)即為旋轉(zhuǎn)中心．【詳解】（1）解：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，根據(jù)平移的性質(zhì)得到，如圖所示：

；（2）解：由（1）坐標(biāo)變換規(guī)律得：，；故答案為：；（3）解：若直接旋轉(zhuǎn)得到，如圖，則旋轉(zhuǎn)點(diǎn)M坐標(biāo)是．

故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了畫(huà)旋轉(zhuǎn)圖形、平移圖形、旋轉(zhuǎn)中心，掌握點(diǎn)坐標(biāo)變換規(guī)律是解題關(guān)鍵．11．（2022秋·河南周口·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，有一個(gè)，且，，，已知是由旋轉(zhuǎn)得到的．

(1)請(qǐng)寫(xiě)出旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)是___________，旋轉(zhuǎn)角是___________度；(2)以（1）中的旋轉(zhuǎn)中心為中心，分別畫(huà)出逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)、后的三角形；(3)設(shè)兩直角邊，，斜邊，利用變換前后所形成的圖案證明勾股定理．【答案】(1)，(2)見(jiàn)解析(3)見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)的垂直平分線交于點(diǎn)，則旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)是，勾股定理的逆定理可得，進(jìn)而即可求解；（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)畫(huà)出旋轉(zhuǎn)圖形即可求解；（3）由旋轉(zhuǎn)的過(guò)程可知，四邊形和四邊形是正方形．根據(jù)，進(jìn)而即可求解．【詳解】（1）解：如圖所示，

的垂直平分線交于點(diǎn)，則旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)是，又∵，∴，∴即旋轉(zhuǎn)角是度．故答案為：，．（2）畫(huà)出的圖形如圖所示．

（3）由旋轉(zhuǎn)的過(guò)程可知，四邊形和四邊形是正方形．∵，設(shè)兩直角邊，，斜邊，∴，即．∴．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，找旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)角，畫(huà)旋轉(zhuǎn)圖形，勾股定理的證明，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．確定旋轉(zhuǎn)中心的方法：分別作兩組對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線，其交點(diǎn)就為旋轉(zhuǎn)中心.12．（2023春·廣東梅州·九年級(jí)?？奸_(kāi)學(xué)考試）如圖，直線、相交于點(diǎn)，且所成的銳角為，畫(huà)出關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)圖形，然后畫(huà)出關(guān)于直線n的對(duì)稱(chēng)圖形，你能發(fā)現(xiàn)與有什么關(guān)系嗎？若是平移，指出平移的方向和距離；若是旋轉(zhuǎn)，指出旋轉(zhuǎn)的中心和角度．

【答案】作圖見(jiàn)解析，繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到【分析】利用軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)畫(huà)出和，然后根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)得到，，，，從而可判斷繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到．【詳解】解：如圖，和為所作．和關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)，，與直線夾角等于與直線的夾角，和關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)，，與直線夾角等于與直線的夾角，，，同理得到，，，，繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到．

【點(diǎn)睛】本題考查了作圖-軸對(duì)稱(chēng)變換：先確定圖形的關(guān)鍵點(diǎn)；再利用軸對(duì)稱(chēng)性質(zhì)作出關(guān)鍵點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)；然后按原圖形中的方式順次連接對(duì)稱(chēng)點(diǎn)．也考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．題型二圖形旋轉(zhuǎn)性質(zhì)的應(yīng)用【例2】（2022秋·湖北荊州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，中，，，，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度后與重合，且點(diǎn)C恰好成為的中點(diǎn)．

(1)指出能轉(zhuǎn)中心，并求出旋轉(zhuǎn)的度數(shù)；(2)求出的度數(shù)和的長(zhǎng)．【答案】(1)旋轉(zhuǎn)中心為點(diǎn)A，旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為(2)，【分析】（1）根據(jù)圖形可得旋轉(zhuǎn)中心為點(diǎn)A，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出，結(jié)合旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可得出旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)；（2）【詳解】（1）解：，即，所以旋轉(zhuǎn)中心為點(diǎn)A，旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為；（2）解：逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度后與重合，，，，，∵點(diǎn)C恰好成為的中點(diǎn)，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)前后對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊連線的夾角等于旋轉(zhuǎn)角．【例3】如圖，在等腰中，分別為上的點(diǎn)，且，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)．

(1)如圖，當(dāng)時(shí)，求證：；(2)若，求的長(zhǎng)；(3)在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，直接寫(xiě)出的最大值．【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)；(3)的最大值為．【分析】（1）利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出角度相等，再證明即可；（2）添加輔助線，構(gòu)造直角三角形，再由勾股定理即可求解；（3）判斷出點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，最大，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，，在和中，，∴，∴．（2）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，

當(dāng)，即，∵，，，∴，∴，，∵，∴，在中，，，∴由勾股定理得：，（3）如圖，

則有：，∴當(dāng)點(diǎn)、點(diǎn)、點(diǎn)三點(diǎn)共線時(shí)，最大，最大值為．【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，判斷出是解本題的關(guān)鍵．鞏固訓(xùn)練1．（2023秋·山東濟(jì)南·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，將繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，得到，若點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，由等邊對(duì)等角的性質(zhì)可得，即可求解．【詳解】解：∵將繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，∴，，∴，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)，等腰三角形，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋·遼寧遼陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為2，將正方形繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，則點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】點(diǎn)B繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后落在x軸負(fù)半軸上，根據(jù)的長(zhǎng)度即可確定點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】解：連接，如圖，

∵正方形的邊長(zhǎng)為2，∴，，，由勾股定理得：；∵，∴點(diǎn)B繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后落在x軸負(fù)半軸上，∴，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形，正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是關(guān)鍵．3．（2022秋·河北保定·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，在矩形中，．將矩形繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到矩形．點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在上，且．則的長(zhǎng)為（

）A． B．4 C．5 D．3【答案】A【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，，，由得到，根據(jù)勾股定理得到，即可得到的長(zhǎng)．【詳解】∵將矩形繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到矩形，∴，，，∵，∴，∴，∴，故選：A【點(diǎn)睛】此題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和勾股定理計(jì)算是解決本題的關(guān)鍵．4．（2022秋·遼寧鞍山·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在中，，，，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，此時(shí)點(diǎn)恰好在邊上，與交于點(diǎn)，則長(zhǎng)為（

）

A．2 B． C． D．【答案】C【分析】首先證明是等邊三角形，再證明是直角三角形，求出即可解決問(wèn)題．【詳解】解：∵在中，，，，∴，∴，∵將

繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，∴，，∵，∴是等邊三角形，∴，∴，∴，，，∴，∵，∴．故選：C【點(diǎn)睛】本題考查直角三角形30度角的性質(zhì)、勾股定理、等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用這些知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．5．（2023·寧夏·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，，．點(diǎn)在上，且．連接，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，．則的面積是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】證明，得到，推出為直角三角形，利用的面積等于，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵，，∴，，∵將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，∴，，∴，在和中，，∴，∴，∴，∵，，∴，∴的面積等于；故選B．【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)．熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得到三角形全等是解題的關(guān)鍵．本題蘊(yùn)含手拉手全等模型，平時(shí)要多歸納，多總結(jié)，便于快速解題．6．（2023春·河北保定·八年級(jí)保定市第十七中學(xué)校聯(lián)考期末）在《數(shù)學(xué)知識(shí)PK賽》上，天逸同學(xué)給競(jìng)爭(zhēng)對(duì)手拋出了一道旋轉(zhuǎn)題，做為觀賽選手，請(qǐng)大家都來(lái)挑戰(zhàn)一下：如圖，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，若點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，則的大小是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，，再利用等邊對(duì)等角以及三角形內(nèi)角和定理即可求解．【詳解】解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊對(duì)等角，三角形內(nèi)角和定理，熟記各圖形的性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵．7．（2023秋·新疆和田·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，是等邊三角形，點(diǎn)P在內(nèi)，，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，則PQ的長(zhǎng)等于（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)推出，，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出，推出，，求出，得出是等邊三角形，即可求出答案．【詳解】解：是等邊三角形，，，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，，，，即，是等邊三角形，，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，關(guān)鍵是得出是等邊三角形，注意“有一個(gè)角等于的等腰三角形是等邊三角形，等邊三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，每個(gè)角都等于．8．（2022秋·廣東深圳·九年級(jí)校考開(kāi)學(xué)考試）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為6，點(diǎn)E、F分別在上，若，且，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】將繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到，易證與全等得到，利用勾股定理求出，則，設(shè)，利用勾股定理建立方程求解，再通過(guò)勾股定理求算．【詳解】解：∵四邊形是正方形，∴，將繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到，如圖所示，∴，∴，∴三點(diǎn)共線，∵，∴，∴，又∵，∴，∴，在中，由勾股定理得，∴，設(shè)，則，，

在中，由勾股定理得：，∴解得：，∴，∴故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定、勾股定理等等．正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．9．（2023春·江蘇南通·八年級(jí)南通田家炳中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在菱形中，，，把菱形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到菱形，則圖中陰影部分的面積為（

）

A． B． C．3 D．【答案】D【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)可得，，，三點(diǎn)共線，根據(jù)，可得．【詳解】解：如圖，

連接，相交于，與于點(diǎn)．四邊形是菱形，，，，，，，，，，菱形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到菱形，，，，，三點(diǎn)共線，，又，，，，，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，關(guān)鍵是靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問(wèn)題．10．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，點(diǎn)和點(diǎn)是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，若，，則的長(zhǎng)為（

）

A．2 B． C．4 D．【答案】A【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，進(jìn)而勾股定理即可求解．【詳解】解：將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，，∴，，在中，，∴，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出，，是解題的關(guān)鍵．11．（2023春·天津北辰·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，使點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在邊上，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，連接．下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，，，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得出，再根據(jù)即可求解．【詳解】解：繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，，，，；，選項(xiàng)B、C正確，，選項(xiàng)D正確．不一定等于，選項(xiàng)A不一定正確；故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了等腰三角形的性質(zhì)．12．（2022秋·黑龍江大慶·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)某個(gè)角度得到．已知，，、相交于點(diǎn)F，、相交于點(diǎn)G，則的度數(shù)為.

【答案】/20度【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，求出即可得出答案．【詳解】解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，∵，，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟知對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角且旋轉(zhuǎn)角相等是解題的關(guān)鍵．13．（2023·吉林松原·校聯(lián)考二模）如圖，在矩形中，．將矩形沿翻折，使點(diǎn)恰好落在邊上的處，再將四邊形繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到四邊形，交于點(diǎn)，則的面積為．

【答案】【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)可得四邊形是正方形，是等腰直角三角形，四邊形是矩形，四邊形是矩形，由此可得是等腰直角三角形，由此即可求出，根據(jù)三角形的面積公式即可求解．【詳解】解：∵四邊形是矩形，將矩形沿翻折，使點(diǎn)恰好落在邊上的處，∴四邊形是正方形，∴，且是等腰直角三角形，∴，，∵，，，∴，，，∴四邊形是矩形，∵將四邊形繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到四邊形，∴四邊形是矩形，，∴，，，∴，是等腰直角三角形，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查矩形與折疊，等腰三角形的性質(zhì)的綜合，掌握矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)的綜合運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．14．（2022秋·河北保定·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，將繞點(diǎn)按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度得到，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在邊上．（1）是等腰三角形嗎?（選填“是”或“否”）；（2）若，則．【答案】是【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，即可達(dá)到答案；（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，由，于是可判斷為等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得，然后利用進(jìn)行計(jì)算．【詳解】解：（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可知：，∴是等腰三角形，故答案為：是；（2）∵，∴∴，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知，，∴是等邊三角形，∴，則．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角．也考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)．15．（2023秋·陜西安康·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，D是的中點(diǎn)，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得，點(diǎn)D，C分別對(duì)應(yīng)點(diǎn)E，F(xiàn)，連接，若，則的度數(shù)為．

【答案】14【分析】由等腰三角形的性質(zhì)可得，，，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，，即可求解．【詳解】解：∵，D是的中點(diǎn)，，∴，，，∵將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得，∴，，，∴，∴，故答案為：14．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問(wèn)題是本題的關(guān)鍵．16．（2022秋·遼寧鞍山·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，中，，；，繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為，，過(guò)作的垂線，垂足為，若，則．

【答案】【分析】如圖，設(shè)，延長(zhǎng)，交延長(zhǎng)線與，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及三角形外角性質(zhì)可得出，，，根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)可用分別表示出、、、的長(zhǎng)，利用線段的和差關(guān)系，結(jié)合列方程求出的值，根據(jù)勾股定理即可得答案．【詳解】如圖，延長(zhǎng)，交延長(zhǎng)線與，設(shè)，∵，，，∴，，∵繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為，，∴，，，∴，∴，∴，，∴，∵，∴，，∵，，∴，解得：，∴．

故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、三角形外角性質(zhì)、含30°角的直角三角形的性質(zhì)及勾股定理，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及30°角所對(duì)直角邊等于斜邊一半的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．17．（2022秋·遼寧鐵嶺·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，在正方形內(nèi)作，交于點(diǎn)交于點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，若，，則的長(zhǎng)為．

【答案】【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及正方形的性質(zhì)可知，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可知，最后利用勾股定理解答即可．【詳解】解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：，∴，，，∵四邊形是正方形，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∵，，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，則，，∴在中，，∴，解得：，（舍去），即，∴AH=AB=6，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，掌握正方形的性質(zhì)及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．18．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在矩形中，，將矩形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定角度后得矩形，交于點(diǎn)，且，則的長(zhǎng)為．

【答案】3【分析】設(shè)，則，在中，根據(jù)勾股定理列出關(guān)于的方程，解方程即可得到答案．【詳解】解：設(shè)，，將矩形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定角度后得矩形，，在中，，，解得：，的長(zhǎng)為：3，故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、勾股定理，熟練掌握矩形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．19．（2023春·河北保定·八年級(jí)保定十三中?？计谀﹫D中和是兩個(gè)等邊三角形，其中，，如圖①，(1)將兩三角形按圖1放置（點(diǎn)A，，在同一條直線上），連接線段，，求線段的長(zhǎng)；(2)將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋，如圖2所示，直線，相交于點(diǎn)，連接．求證：；(3)以圖1的位置為起點(diǎn)，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)，，恰好在一條直線上時(shí)，直接寫(xiě)出線段的長(zhǎng)度．【答案】(1)；(2)見(jiàn)詳解；(3)．【分析】（1）由是等邊三角形，，，得到，求出，再證明，得到即可；（2）分別過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，先證明，得到，，由三角形內(nèi)角和定理得到，再證明，得到，則可證明平分，故可知，則問(wèn)題可證；（3）當(dāng)，，共線時(shí)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，分別求出，，在利用勾股定理求出，從而求出，由問(wèn)題可解．【詳解】（1）∵，，∴∴∴∵和是兩個(gè)等邊三角形，∴，，∴，∴．（2）如圖2，分別過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，

∵和是兩個(gè)等邊三角形，∴，，∴，∴，∴，，∵，∴，∵于點(diǎn)，，∴，∴，∴，∴平分，∴，∴．（3）；如圖，當(dāng)，，共線時(shí)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，

∵為等邊三角形，，∴，，∴∴，由（2）同理，，，如圖，當(dāng)，，共線時(shí)，

同理，可得，．【點(diǎn)睛】本題是幾何旋轉(zhuǎn)變換綜合題，考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形判定和性質(zhì)、勾股定理以及分類(lèi)思想，解答關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合思想，找到條件之間關(guān)聯(lián)．20．（2023秋·山西陽(yáng)泉·九年級(jí)?？计谀┌褍蓚€(gè)全等的等腰直角三角板和（其直角邊均為4）疊放在一起（如圖1），且使三角板的直角頂點(diǎn)G與三角板的斜邊中點(diǎn)O重合，現(xiàn)將三角板繞點(diǎn)O按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角α滿(mǎn)足條件：），四邊形是旋轉(zhuǎn)過(guò)程中兩三角形的重疊部分（如圖2）．在上述旋轉(zhuǎn)過(guò)程中．

(1)與有怎樣的數(shù)量關(guān)系?(2)四邊形的面積有何變化?請(qǐng)證明你的發(fā)現(xiàn)．【答案】(1)(2)四邊形的面積在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中沒(méi)有變化，始終為4，證明見(jiàn)解析【分析】（1）先由證出，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出．（2）四邊形的面積不變，面積為4．利用全等三角形的性質(zhì)證明即可．【詳解】（1）解：結(jié)論：．理由：點(diǎn)是等腰直角三角板斜邊中點(diǎn)，，，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，知，，．（2）四邊形的面積不變，面積為4．理由：，，．【點(diǎn)睛】此題是幾何變換的綜合題，主要考查了全等三角形的判定，解答本題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，旋轉(zhuǎn)前后圖形的大小和形狀沒(méi)有改變．21．（2023秋·山東濟(jì)南·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖1，等腰直角三角形中，，，點(diǎn)D是邊上的一點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連結(jié)．

(1)①填空：線段與的數(shù)量關(guān)系是_________，位置關(guān)系是__________．②證明上述結(jié)論成立．(2)如圖2，F(xiàn)是的中點(diǎn)，連結(jié)交于H，若，時(shí)，求的長(zhǎng)．【答案】(1)①相等（或）；垂直（或）；②見(jiàn)解析(2)【分析】（1）先證明，再證明，推出，，據(jù)此即可證明結(jié)論成立；（2）延長(zhǎng)到T，使得，連接并延長(zhǎng)，與交于M．，推出，，，在中，根據(jù)勾股定理求解即可．【詳解】（1）解：①相等（或）；垂直（或）②證明上述結(jié)論成立．由題意可知：，，∵，∴，，∴，在與中，，∴，∴，，∵，，∴，∴，即；（2）解：如圖中，延長(zhǎng)到T，使得，連接并延長(zhǎng)，與交于M．

在和中，，∴，∴，，∴，∴，∵，∴∵，，∴，∵，，，∴，，，在中，根據(jù)勾股定理：，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．22．（2023秋·陜西安康·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，四邊形是正方形，點(diǎn)F是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接，將繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一定角度后得到．

(1)若，求的度數(shù)；(2)若，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)3【分析】（1）利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，根據(jù)三角形外角和可求出結(jié)果；（2）根據(jù)勾股定理即可解得.【詳解】（1）解：是由旋轉(zhuǎn)得到，．四邊形是正方形，，．（2）解：是由旋轉(zhuǎn)得到，，，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、三角形外角和以及勾股定理，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.23．（2023春·廣東梅州·九年級(jí)?？奸_(kāi)學(xué)考試）如圖，在中，，，點(diǎn)D是內(nèi)一點(diǎn)，連接，將線段繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到線段，連接、．求證：．

【答案】見(jiàn)解析【分析】首先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，判斷出，，進(jìn)而判斷出；然后根據(jù)全等三角形判定的方法，判斷出，即可判斷出．【詳解】解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可得：，，∵，，∴，在和中，，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和應(yīng)用，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：①對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等．②對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角．③旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．24．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，繞點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)后到達(dá)的位置，設(shè)與、分別交于點(diǎn)、．

(1)若的周長(zhǎng)為，，，求的長(zhǎng)；(2)若，，求的大?。敬鸢浮?1)(2)【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)分析求解；（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及對(duì)頂角相等分析求解．【詳解】（1）解：由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得，，又∵的周長(zhǎng)為，∴的長(zhǎng)為；（2）解：由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得，∴，又∵，∴．【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，理解旋轉(zhuǎn)前后圖形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等是解題關(guān)鍵．25．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，點(diǎn)是等邊內(nèi)一點(diǎn)，，將繞點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得，連接．

(1)判斷的形狀，并證明；(2)當(dāng)時(shí)，試判斷的形狀，并說(shuō)明理由；(3)直接寫(xiě)出為多少度時(shí)，是等腰三角形？【答案】(1)是等邊三角形，詳見(jiàn)解析(2)是直角三角形，詳見(jiàn)解析(3)當(dāng)，或時(shí)，是等腰三角形【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)及等邊三角形的判定解答即可；（2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)及等邊三角形的判定可知是等邊三角形，進(jìn)而解答即可；（3）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)及等邊三角形的判定是等邊三角形，最后根據(jù)等腰三角形的定義分三種情況討論即可解答．【詳解】（1）解：是等邊三角形，理由如下：∵將繞點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得，∴，，∴，∴是等邊三角形；（2）解：是直角三角形，理由如下：∵將繞點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得，∴，，∴，，∴是等邊三角形；∴，∵，，∴，∴，∴是直角三角形；（3）解：∵，，∴，∵將繞點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得，∴，，∴，∴是等邊三角形，∴，∴，，當(dāng)時(shí)，，解得：，當(dāng)時(shí)，，解得：，當(dāng)時(shí)，，解得：，∴，，．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的判定，等腰三角形的判定，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及等邊三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．26．（江西省贛州市2022-2023學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）（1）觀察發(fā)現(xiàn)如圖1，和都是等邊三角形，且點(diǎn)B、C、E在一條直線上，連接和相交于點(diǎn)P填空：①線段與的數(shù)量關(guān)系是______；②的度數(shù)為_(kāi)_____．

（2）深入探究如圖2，將繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度，其他條件與（1）中相同，（1）中的結(jié)論是否仍然成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．

（3）拓展應(yīng)用如圖3，四邊形中，，，，，，求邊的長(zhǎng)度．

【答案】（1）①；②；（2）（1）中結(jié)論仍然成立，理由見(jiàn)解析；（3）8【分析】（1）①利用等邊三角形的性質(zhì)得到，進(jìn)而利用證明，由此即可得到；②由全等三角形的性質(zhì)可得，再由三角形外角的性質(zhì)可推出（2）同（1）證明得到，，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)求出，則可得；（3）先證明是等邊三角形，如圖所示，將繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，則，證明是等邊三角形，得到，進(jìn)一步證明．由勾股定理得．【詳解】解：（1）①∵和都是等邊三角形，，，即．在和中，，，；故答案為：；②∵∴，，，；故答案為：；（2）（1）中的結(jié)論仍然成立，理由如下：∵和都是等邊三角形，，，即．在和中，∵，，，，，∴（1）中的結(jié)論仍然成立；

（3），是等邊三角形，∴，如圖所示，將繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，

∴，是等邊三角形，，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知，，∴．在中，由勾股定理得，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)等等，熟練掌握手拉手模型證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．27．（2023秋·山西晉城·七年級(jí)統(tǒng)考期末）綜合與實(shí)踐如圖①，為直線上一點(diǎn)，在點(diǎn)處將一副直角三角板按如圖所示的方式擺放．

(1)將圖①中的直角三角板繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度得到圖②，使邊恰好平分，問(wèn)是否平分？請(qǐng)說(shuō)明理由．(2)如果將圖①中的直角三角板繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度得到圖③．①使邊在內(nèi)部，那么與之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由．②若繼續(xù)旋轉(zhuǎn)三角板，直到與重合，請(qǐng)直接寫(xiě)出與之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)平分，見(jiàn)解析(2)①，見(jiàn)解析；②或【分析】（1）根據(jù)平角的性質(zhì)可得，，，根據(jù)互余的性質(zhì)可得，由此即可求解；（2）①根據(jù)圖示可得，，由此即可求解；②與重合，分類(lèi)討論：第一種情況：在的延長(zhǎng)線上；第二種情況，在的延長(zhǎng)線上；根據(jù)互余，互補(bǔ)的性質(zhì)，圖形結(jié)合分析即可求解．【詳解】（1）解：平分，理由如下：∵，，∴，，∵平分，∴，∴，∴平分．（2）解：①，理由如下：∵，∴，∵，∴，∴，即；②第一種情況：在的延長(zhǎng)線上，如圖所示，

∵，，∴，∴；第二種情況，在的延長(zhǎng)線上，如圖所示，

∵，，∴，∴，，∴，∴；綜上所述，或．【點(diǎn)睛】本題主要考查幾何圖形的變換與角度的和差倍分關(guān)系，角平分線的性質(zhì)，互余，互補(bǔ)的性質(zhì)的綜合運(yùn)用，掌握以上知識(shí)的綜合是解題的關(guān)鍵．28．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，中，，，，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到．在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中：

(1)旋轉(zhuǎn)中心是什么，為多少度？(2)與線段相等的線段是哪一條？(3)的面積是多少？【答案】(1)

(2)(3)【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)中心的定義、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可求得答案．（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等，即可直接求得答案．（3）根據(jù)旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等，即可求得答案．【詳解】（1）觀察圖形可知，旋轉(zhuǎn)中心為．∵旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等，即，∴．故答案為：，；（2）∵旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等，即，∴．故答案為：．（3）∵旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等，即，∴，，．∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，即旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等，牢記旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．題型三圖形旋轉(zhuǎn)的規(guī)律探究【例4】（1）（2022秋·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）等邊三角形（三條邊都相等的三角形是等邊三角形）紙板ABC在數(shù)軸上的位置如圖所示，點(diǎn)A、B對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為2和1，若△ABC繞著頂點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛟跀?shù)軸上連續(xù)翻轉(zhuǎn)，翻轉(zhuǎn)第1次后，點(diǎn)C所對(duì)應(yīng)的數(shù)為0，則翻轉(zhuǎn)2023次后，點(diǎn)C所對(duì)應(yīng)的數(shù)是（）A．﹣2021 B．﹣2022 C．﹣2023 D．﹣2024【答案】B【分析】作出草圖，不難發(fā)現(xiàn)，每3次翻轉(zhuǎn)為一個(gè)循環(huán)組依次循環(huán)，用2023除以3，根據(jù)余數(shù)為1可知點(diǎn)C在數(shù)軸上，然后進(jìn)行計(jì)算即可得解．【詳解】解：如圖，每3次翻轉(zhuǎn)為一個(gè)循環(huán)組依次循環(huán)，∵2023÷3＝674…1，，∴翻轉(zhuǎn)2023次后點(diǎn)C在數(shù)軸上，∴點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的數(shù)是0﹣674×3＝﹣2022．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸，根據(jù)翻轉(zhuǎn)的變化規(guī)律確定出每3次翻轉(zhuǎn)為一個(gè)循環(huán)組依次循環(huán)是解題的關(guān)鍵．（2）（2023·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖是一個(gè)裝飾連續(xù)旋轉(zhuǎn)閃爍所成的四個(gè)圖形，照此規(guī)律閃爍，第2021次閃爍呈現(xiàn)出來(lái)的圖形是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】觀察圖形的變化易得每旋轉(zhuǎn)一次的度數(shù)，根據(jù)陰影所處的位置可得相應(yīng)選項(xiàng)．【詳解】解：觀察圖形的變化可知：每旋轉(zhuǎn)一次，旋轉(zhuǎn)角為90°，即每4次旋轉(zhuǎn)一周，∵2021÷4＝505...1，即第2021次與第1次的圖案相同．故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查了圖形的變換規(guī)律問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是找到圖形旋轉(zhuǎn)的規(guī)律周期．鞏固訓(xùn)練1．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）依次觀察三個(gè)圖形：，并判斷照此規(guī)律從左向右第四個(gè)圖形是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)圖形規(guī)律可知，從左到右是依次順時(shí)針旋轉(zhuǎn)圖形，據(jù)此即可求解．【詳解】解：由圖形規(guī)律可得從左到右是依次順時(shí)針旋轉(zhuǎn)圖形，∴第四個(gè)圖形是D．故答案為：D【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，根據(jù)三個(gè)圖形找出旋轉(zhuǎn)的規(guī)律是解題關(guān)鍵．2．（2022秋·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）有兩個(gè)完全重合的矩形，將其中一個(gè)始終保持不動(dòng)，另一個(gè)矩形繞其對(duì)稱(chēng)中心O按逆時(shí)針?lè)较蜻M(jìn)行旋轉(zhuǎn)，每次均旋轉(zhuǎn)45°，第1次旋轉(zhuǎn)后得到圖①，第2次旋轉(zhuǎn)后得到圖②，……，則第2021次旋轉(zhuǎn)后得到的圖形與圖①﹣④中相同的是（

）A．圖① B．圖② C．圖③ D．圖④【答案】A【分析】觀察圖形不難發(fā)現(xiàn)，四次旋轉(zhuǎn)后矩形又回到初始水平位置，用2021除以4，根據(jù)商和余數(shù)的情況確定即可．【詳解】解：由圖可知，四次旋轉(zhuǎn)后矩形又回到初始水平位置，∵2021÷4=505余1，∴第2021次旋轉(zhuǎn)后得到的圖形為第505個(gè)循環(huán)組的第一個(gè)圖，是圖①．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，圖形變化規(guī)律，觀察出四次旋轉(zhuǎn)后矩形又回到初始水平位置是解題的關(guān)鍵．3．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，矩形ABCD中AB是3cm，BC是2cm，一個(gè)邊長(zhǎng)為1cm的小正方形沿著矩形ABCD的邊AB→BC→CD→DA→AB連續(xù)地翻轉(zhuǎn)，那么這個(gè)小正方形第一次回到起始位置時(shí)，小正方形箭頭的方向是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意可知，矩形ABCD的邊長(zhǎng)AB和BC分別是3cm和2cm，小正方形的邊長(zhǎng)為1cm，則這個(gè)小正方形第一次回到起始位置時(shí)需10次翻轉(zhuǎn)，而每翻轉(zhuǎn)4次，它的方向重復(fù)依次，小正方形共翻轉(zhuǎn)10次回到起始位置，即可得到它的方向．【詳解】解：根據(jù)題意可得：小正方形沿著矩形ABCD的邊AB→BC→CD→DA→AB連續(xù)地翻轉(zhuǎn)，矩形ABCD的邊長(zhǎng)AB和BC分別是3cm和2cm，小正方形的邊長(zhǎng)為1cm，則這個(gè)小正方形第一次回到起始位置時(shí)需10次翻轉(zhuǎn)，而每翻轉(zhuǎn)4次，它的方向重復(fù)1次，故回到起始位置時(shí)它的方向是向下．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了圖形類(lèi)規(guī)律題，關(guān)鍵是得出小正方形共翻轉(zhuǎn)10次回到起始位置．4．（2022秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）第一次：將點(diǎn)繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到；第二次：作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)；第三次：將點(diǎn)繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到；第四次：作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)…，按照這樣的規(guī)律，點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換和軸對(duì)稱(chēng)變換得出、、、、，從而可知每4個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為一周期循環(huán)，據(jù)此可得．【詳解】由題意可知，、、、、，∴每4個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為一周期循環(huán)，∵余1，∴點(diǎn)的坐標(biāo)與點(diǎn)的坐標(biāo)一致，為，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了作圖-軸對(duì)稱(chēng)、旋轉(zhuǎn)變換、找規(guī)律等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)變換和軸對(duì)稱(chēng)變換的定義和性質(zhì)，并找出規(guī)律．5．（2020秋·浙江·七年級(jí)期中）圖1是正方體的平面展開(kāi)圖，六個(gè)面的點(diǎn)數(shù)分別為1、2、3、4、5、6，將點(diǎn)數(shù)朝外折疊成一枚正方體骰子，并放置于水平桌面上，如圖2所示，若骰子初始位置為圖2所示的狀態(tài)，將骰子向右翻滾，則完成1次翻轉(zhuǎn)，此時(shí)骰子朝下一面的點(diǎn)數(shù)是2，那么按上述規(guī)則連續(xù)完成2次翻折后，骰子朝下一面的點(diǎn)數(shù)是3；則連續(xù)完成2020次翻折后，骰子朝下一面的點(diǎn)數(shù)是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】先根據(jù)平面圖形確定各對(duì)面的點(diǎn)數(shù)，根據(jù)翻轉(zhuǎn)發(fā)現(xiàn)規(guī)律：每四次為一個(gè)循環(huán)，用2020除以4得到翻轉(zhuǎn)完成2020次后的圖形，即可得到答案．【詳解】由平面圖形可知：1與6是對(duì)面，2與5是對(duì)面，3與4是對(duì)面，這是一個(gè)正方體，完成1次翻轉(zhuǎn)時(shí)骰子朝下一面的點(diǎn)數(shù)是2，完成5次翻轉(zhuǎn)后朝下一面的點(diǎn)數(shù)還是2，故每四次為一個(gè)循環(huán)，∵，∴連續(xù)完成2020次翻折后，與圖2的位置相同，骰子朝下一面的點(diǎn)數(shù)是4，故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查圖形類(lèi)規(guī)律探究，正方體展開(kāi)圖，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正確理解旋轉(zhuǎn)的規(guī)律并運(yùn)用規(guī)律解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．6．（2023春·河北保定·八年級(jí)保定十三中?？计谀┤鐖D1，將一個(gè)正三角形繞其中心最少旋轉(zhuǎn)，所得圖形與原圖的重疊部分是正六邊形；如圖2，將一個(gè)正方形繞其中心最少施轉(zhuǎn)，所得圖形與原圖形的重疊部分是正八邊形；依此規(guī)律，將一個(gè)正六邊形繞其中心最少旋轉(zhuǎn)，所得圖形與原圖的重疊部分是正多邊形．在圖2中，若正方形的邊長(zhǎng)為2，則所得正八邊形的面積為．【答案】/度/【分析】根據(jù)題意，可以發(fā)現(xiàn)正n邊形繞其中心最少旋轉(zhuǎn)，所得圖形與原圖的重疊部分是正2n邊形；旋轉(zhuǎn)后的正八變形相當(dāng)于將正方形剪掉了的4個(gè)全等的等腰直角三角形，設(shè)等腰直角三角形的邊長(zhǎng)為x，則正八邊形的邊長(zhǎng)為；然后根據(jù)求得x；最后用正方形的面積減去這4個(gè)等腰直角三角形的面積即可．【詳解】解：由題意得：正n邊形繞其中心最少旋轉(zhuǎn)，所得圖形與原圖的重疊部分是正邊形；則將一個(gè)正六邊形繞其中心最少旋轉(zhuǎn)所得圖形與原圖的重疊部分是正多邊形；由題意得：旋轉(zhuǎn)后的正八變形相當(dāng)于將正方形剪掉了的4個(gè)全等的等腰直角三角形，設(shè)等腰直角三角形的邊長(zhǎng)為x，則正八邊形的邊長(zhǎng)為∴，解得∴減去的每個(gè)等腰直角三角形的面積為：∴正八邊形的面積為：，故答案為：，．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)變換、圖形規(guī)律以及勾股定理等知識(shí)，根據(jù)題意找到旋轉(zhuǎn)規(guī)律是解答本題的關(guān)鍵．7．（2022·江蘇常州·?？级＃┤鐖D，一個(gè)機(jī)器人最初面向北站立，按程序：每次移動(dòng)都向前直走，然后逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度，每次轉(zhuǎn)動(dòng)的角度增加．第一次直走后轉(zhuǎn)動(dòng)，第二次直走后轉(zhuǎn)動(dòng)，第三次直走后轉(zhuǎn)動(dòng)，如此下去．那么它在移動(dòng)過(guò)程中第二次面向西方時(shí)一共走了米．【答案】45【分析】根據(jù)走路規(guī)律，求出走的次數(shù)即可解得．【詳解】解：設(shè)第n次轉(zhuǎn)動(dòng)面向西方，第二次面向西方時(shí)一共轉(zhuǎn)了，當(dāng)時(shí)第二次面向西方，一共走了（米）；故答案為：45．【點(diǎn)睛】此題考查了行程規(guī)律問(wèn)題，解題的關(guān)鍵時(shí)根據(jù)規(guī)律列式求出走的次數(shù)．8．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，將邊長(zhǎng)為1的正三角形沿軸正方向作無(wú)滑動(dòng)的連續(xù)反轉(zhuǎn)，點(diǎn)依次落在點(diǎn)，，的位置，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．【答案】【分析】根據(jù)圖形的翻轉(zhuǎn)，分別得出、、的橫坐標(biāo)，再根據(jù)規(guī)律即可得出各個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)，進(jìn)一步得出答案即可．【詳解】解：由題意可知、的橫坐標(biāo)是1，的橫坐標(biāo)是2.5，、的橫坐標(biāo)是4，的橫坐標(biāo)是依此類(lèi)推下去，、的橫坐標(biāo)是2017，的橫坐標(biāo)是2018.5，的橫坐標(biāo)是2020，的坐標(biāo)是，故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查翻折變換，等邊三角形的性質(zhì)及坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，根據(jù)題意得出、、的橫坐標(biāo)，得出規(guī)律是解答此題的關(guān)鍵．9．（2022秋·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，把正方形鐵片置于平面直角坐標(biāo)系中，頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，0），點(diǎn)在正方形鐵片上，將正方形鐵片繞其右下角的頂點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛞来涡D(zhuǎn)90°，第一次旋轉(zhuǎn)至圖①位置，第二次旋轉(zhuǎn)至圖②位置，…，則正方形鐵片連續(xù)旋轉(zhuǎn)2019次后，則點(diǎn)的坐標(biāo)為.【答案】（6058，1）【分析】首先求出P1～P5的坐標(biāo)，探究規(guī)律后，利用規(guī)律解決問(wèn)題．【詳解】解：第一次P1（5，2），第二次P2（8，1），第三次P3（10，1），第四次P4（13，2），第五次P5（17，2），…發(fā)現(xiàn)點(diǎn)P的位置4次一個(gè)循環(huán)，∵2019÷4=504…3，P2019的縱坐標(biāo)與P3相同為1，橫坐標(biāo)為12×504+10=6058，∴P2019（6058，1），故答案為（6058，1）．【點(diǎn)睛】本題考查坐標(biāo)與圖形的變化、規(guī)律型：點(diǎn)的坐標(biāo)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)從特殊到一般的探究規(guī)律的方法，屬于中考?？碱}型．題型四坐標(biāo)系內(nèi)的圖形旋轉(zhuǎn)【例5】（2023·廣東佛山·?？既＃┤鐖D，，，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到，則點(diǎn)坐標(biāo)為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則，結(jié)合，，可得，，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，易得，然后證明，由全等三角形的性質(zhì)可得，，結(jié)合點(diǎn)在第一象限，即可獲得點(diǎn)坐標(biāo)．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，如下圖，

則，∵，，∴，，根據(jù)題意，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到，∴，，∴，∴，在和中，，∴，∴，，∴，∵點(diǎn)在第一象限，∴點(diǎn)坐標(biāo)為．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，利用數(shù)形結(jié)合的思想分析問(wèn)題是解題關(guān)鍵．【例6】（2023春·江蘇·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是，，把線段繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)后得到線段，使點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在x軸上，則點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】直接利用勾股定理得出的長(zhǎng)，再利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出的長(zhǎng)，進(jìn)而得出答案．注意題目中未說(shuō)明點(diǎn)落在x軸正半軸還是負(fù)半軸，所以要分類(lèi)求解．【詳解】∵，，∴，，∴，∴．當(dāng)點(diǎn)落在x軸的正半軸時(shí)，，∴；當(dāng)點(diǎn)落在x軸的負(fù)半軸時(shí)，，∴．綜上可知，點(diǎn)的坐標(biāo)是或．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理以及坐標(biāo)與圖形變換的性質(zhì)，正確得出的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵，同時(shí)要注意這類(lèi)題的易錯(cuò)點(diǎn)——忽略分類(lèi)討論，導(dǎo)致漏解．鞏固訓(xùn)練1．（2022秋·云南昭通·九年級(jí)統(tǒng)考期中）在平面直角坐標(biāo)系中，把點(diǎn)向右平移5個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)，再將點(diǎn)繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）A． B． C．或 D．或【答案】D【分析】先根據(jù)把點(diǎn)向右平移5個(gè)單位得到點(diǎn)，可得點(diǎn)的坐標(biāo)為，然后分兩種情況，即可求解．【詳解】解：∵把點(diǎn)向右平移5個(gè)單位得到點(diǎn)，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，將點(diǎn)繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)，則其坐標(biāo)為，將點(diǎn)繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)，則其坐標(biāo)為：，故符合題意的點(diǎn)的坐標(biāo)為：或．故選：D．【點(diǎn)睛】此題主要考查了坐標(biāo)與圖形——平移和旋轉(zhuǎn)的變化，正確利用圖形分類(lèi)討論是解題關(guān)鍵．2．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，平行四邊形中，，，對(duì)角線交于點(diǎn)P，將平行四邊形繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)P作于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)度角所對(duì)的直角邊等于斜邊一半，得到，利用勾股定理求得，得到，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式，得到點(diǎn)P的坐標(biāo)為，進(jìn)而得到、，然后利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，證明，得到，，即可得到旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】解：如圖，平行四邊形旋轉(zhuǎn)后得到平行四邊形，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)P作于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，

，，，，，，，由勾股定理得：，，四邊形是平行四邊形，，即點(diǎn)P為中點(diǎn)，，點(diǎn)P的坐標(biāo)為，即，，，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，，，，，，在和中，，，，，點(diǎn)在第四象限，的坐標(biāo)為，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，中點(diǎn)坐標(biāo)公式，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，正確作出輔助線是解題關(guān)鍵．3．（2023·四川雅安·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中．將函數(shù)的圖象繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，所得直線的函數(shù)表達(dá)式為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出函數(shù)的圖象繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的函數(shù)解析式，再根據(jù)函數(shù)圖象的平移規(guī)律即可求出平移后的解析式．【詳解】解：∵點(diǎn)是函數(shù)圖象上的點(diǎn)，∴將繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，則旋轉(zhuǎn)后圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)和、∴將函數(shù)的圖象繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到圖象的解析式為，∴根據(jù)函數(shù)圖象的平移規(guī)律，再將其向上平移1個(gè)單位后的解析式為．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)變化的規(guī)律和一次函數(shù)平移的規(guī)律，解題關(guān)鍵是根據(jù)繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針的得到圖象函數(shù)解析式為．58．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，的各頂點(diǎn)都在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，得到，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)中心方向及角度找出點(diǎn)、的對(duì)應(yīng)點(diǎn)位置，然后順次連接即可在坐標(biāo)系中得出結(jié)論．【詳解】解：由題意所求作如下圖所示：

結(jié)合平面直角坐標(biāo)系可得：點(diǎn)的坐標(biāo)為，故選：B．【點(diǎn)睛】此題主要考查了圖形的旋轉(zhuǎn)變換，解題關(guān)鍵是準(zhǔn)確找出對(duì)應(yīng)點(diǎn)位置．4．（2023·湖北荊州·統(tǒng)考中考真題）如圖，直線分別與軸，軸交于點(diǎn)，，將繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，則點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是（）

A． B． C． D．【答案】C【分析】先根據(jù)一次函數(shù)解析式求得點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，，進(jìn)而得出，結(jié)合坐標(biāo)系，即可求解．【詳解】解：∵直線分別與軸，軸交于點(diǎn)，，∴當(dāng)時(shí)，，即，則，當(dāng)時(shí)，，即，則，∵將繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，又∵∴，，，∴，延長(zhǎng)交軸于點(diǎn)，則，，∴，

故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)問(wèn)題，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．（2023秋·河南許昌·九年級(jí)許昌市第一中學(xué)校聯(lián)考期末）如圖，的三個(gè)頂點(diǎn)都在方格紙的格點(diǎn)上，其中A點(diǎn)的坐標(biāo)是，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)，則第2023次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意A點(diǎn)的坐標(biāo)是，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求出每次旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)B的坐標(biāo)，從中尋找規(guī)律求解即可．【詳解】解：，點(diǎn)點(diǎn)坐標(biāo)，繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)第一次旋轉(zhuǎn)后，，繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)第二次旋轉(zhuǎn)后，，繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)第三次旋轉(zhuǎn)后，，繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)第四次旋轉(zhuǎn)后，，，繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)第2023次旋轉(zhuǎn)后，，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形變化——旋轉(zhuǎn)，正確找出旋轉(zhuǎn)后圖形點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．6．（2023春·河南南陽(yáng)·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，已知菱形的頂點(diǎn)，若菱形繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每秒旋轉(zhuǎn)，則第60秒時(shí)，菱形的對(duì)角線交點(diǎn)D的坐標(biāo)為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】轉(zhuǎn)動(dòng)前根據(jù)菱形的性質(zhì)，可得的坐標(biāo)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可得轉(zhuǎn)動(dòng)后的坐標(biāo)．【詳解】轉(zhuǎn)動(dòng)前菱形的頂點(diǎn)，，的坐標(biāo)，每秒旋轉(zhuǎn)，則第秒時(shí)一共轉(zhuǎn)了，周，與轉(zhuǎn)動(dòng)前位置比，移動(dòng)了半周，即相當(dāng)于旋轉(zhuǎn)了此時(shí)的坐標(biāo)為．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，勾股定理，正確求出第60秒旋轉(zhuǎn)的總度數(shù)，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．（2023春·廣東惠州·八年級(jí)校考期中）如圖，將含有角的直角三角板按如圖所示的方式放置在平面直角坐標(biāo)系中，在x軸上，若，將三角板繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每秒旋轉(zhuǎn)，則第2023秒時(shí)，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（）

A． B． C． D．【答案】A【分析】求出第1秒時(shí)，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由三角板每秒旋轉(zhuǎn)，得到此后點(diǎn)的位置6秒一循環(huán)，根據(jù)2023除以6的結(jié)果得到答案．【詳解】解：∵三角板每秒旋轉(zhuǎn)，∴點(diǎn)的位置6秒一循環(huán)．∵，∴第2023秒時(shí)，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置與第時(shí)，位置相同，如圖所示：

，根據(jù)旋轉(zhuǎn)可知，，，，∴，∴此時(shí)點(diǎn)在y軸上，∴軸，∴的縱坐標(biāo)為4，∵，∴，∴，解得：，負(fù)值舍去，∴此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為．故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查了坐標(biāo)與圖形的變化中的旋轉(zhuǎn)以及規(guī)律型中點(diǎn)的坐標(biāo)，勾股定理，含30度角直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)每秒旋轉(zhuǎn)的角度，找到點(diǎn)的位置6秒一循環(huán)是解題的關(guān)鍵．8．（2023·江蘇·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖在平面直角坐標(biāo)系中，正方形的頂點(diǎn)的坐標(biāo)是，，頂點(diǎn)的坐標(biāo)是，，對(duì)角線、的交點(diǎn)為將正方形繞著原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)，則第次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為(

)A． B． C． D．【答案】D【分析】過(guò)點(diǎn)D作軸，垂足為N，證明．求出點(diǎn)D的坐標(biāo)為．進(jìn)一步求出點(diǎn)M的坐標(biāo)為．分析可知點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)一周需要旋轉(zhuǎn)(次)，利用，，，可知第次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)和第次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)的位置在軸正半軸上，勾股定理求得的長(zhǎng)，即可求解．【詳解】解：∵，，∴，．過(guò)點(diǎn)D作軸，垂足為N，如解圖所示，則．∵四邊形ABCD為正方形，∴，．∴．∴．∴，．∴點(diǎn)的坐標(biāo)為．∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為．由題意，可知正方形繞著原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)也繞著原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)，則點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周需要旋轉(zhuǎn)(次)．又∵，，∴第次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)和第次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)的位置在軸正半軸上，∵∴，∴第2023次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查坐標(biāo)與旋轉(zhuǎn)規(guī)律，正方形性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解第2023次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)和第7次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)M的位置在軸上．9．（2023·山東東營(yíng)·校聯(lián)考一模）如圖，在直角坐標(biāo)系中，邊長(zhǎng)為2個(gè)單位長(zhǎng)度的正方形繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，再沿y軸方向向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】過(guò)作軸于，連接，根據(jù)邊長(zhǎng)為2個(gè)單位長(zhǎng)度的正方形繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得，即知，可得，又再沿軸方向向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，故點(diǎn)的坐標(biāo)為．【詳解】解：過(guò)作軸于，連接，如圖，邊長(zhǎng)為2個(gè)單位長(zhǎng)度的正方形繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)．再沿軸方向向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，．故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了坐標(biāo)與圖形變化-旋轉(zhuǎn)與平移，解題關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)性質(zhì)和坐標(biāo)平移變化規(guī)律．10．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)繞著原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后的坐標(biāo)是；【答案】【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)中心為點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)方向逆時(shí)針，旋轉(zhuǎn)角度，作出點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，可得所求點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】解：由圖中可以看出點(diǎn)的坐標(biāo)為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查由圖形旋轉(zhuǎn)得到相應(yīng)坐標(biāo)；解題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，結(jié)合圖象作答．11．（2023春·甘肅白銀·八年級(jí)統(tǒng)考期中）在平面直角坐標(biāo)系中，將點(diǎn)繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)，則．【答案】【分析】首先根據(jù)題意畫(huà)出圖形得到，然后利用勾股定理求解．【詳解】如圖所示，

由圖象可得，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查坐標(biāo)與圖形變化—旋轉(zhuǎn)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用圖象法解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．12．（2023春·江蘇南通·八年級(jí)南通田家炳中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為．

【答案】/【分析】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)是，根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的對(duì)應(yīng)點(diǎn)關(guān)于旋轉(zhuǎn)中心對(duì)稱(chēng)，再根據(jù)中點(diǎn)公式列式求解即可．【詳解】解：根據(jù)題意，點(diǎn)、關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)是，則，，解得，，點(diǎn)的坐標(biāo)是．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了利用旋轉(zhuǎn)進(jìn)行坐標(biāo)與圖形的變化，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出點(diǎn)、關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)是解題的關(guān)鍵，還需注意中點(diǎn)公式的利用，也是容易出錯(cuò)的地方．13．（2023春·廣東梅州·九年級(jí)?？奸_(kāi)學(xué)考試）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)C的坐標(biāo)為，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，將點(diǎn)A繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)B，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為．

【答案】【分析】如圖，過(guò)點(diǎn)A作A軸于E，過(guò)點(diǎn)B作軸于F．通過(guò)證明，得出，，即可解決問(wèn)題．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作軸于E，過(guò)點(diǎn)B作軸于F．

∵，∴，，∴，在和中，，∴，∴，，∵，，∴，，，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查坐標(biāo)與圖形變化﹣旋轉(zhuǎn)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題．14．（2022秋·甘肅金昌·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將邊長(zhǎng)為1的正方形繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°后得到正方形，繼續(xù)旋轉(zhuǎn)至2019次得到正方形，則點(diǎn)的坐標(biāo)是．【答案】【分析】由題意依次寫(xiě)出前幾個(gè)，找到規(guī)律，根據(jù)規(guī)律求即可．【詳解】解：由題意可得：，，，，，，，，．．．故周期為8，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)找規(guī)律，準(zhǔn)確計(jì)算出每個(gè)點(diǎn)變化之后的坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．15．（2023春·河北保定·八年級(jí)保定市第十七中學(xué)校聯(lián)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是，，．

(1)請(qǐng)畫(huà)出繞著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到的；(2)請(qǐng)畫(huà)出關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的；(3)若內(nèi)部一點(diǎn)在中的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，在中的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，則點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為_(kāi)______，________【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)；【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的特點(diǎn)，分別作出的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，再順次連接即可；（2）分別作出三個(gè)頂點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，再順次連接即可；（3）根據(jù)關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)特征求解．【詳解】（1）解：如圖所示：

；（2）解：如圖所示：

；（3）解：∵內(nèi)部一點(diǎn)，∴點(diǎn)在中的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，點(diǎn)在中的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，故答案為：；．【點(diǎn)睛】本題考查坐標(biāo)與圖形——旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)和軸對(duì)稱(chēng)變換，解題的關(guān)鍵是掌握關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)特征．關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)：橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)；關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)：縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)．16．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，方格紙中每個(gè)小方格都是邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的正方形，在建立平面直角坐標(biāo)系后的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，點(diǎn)C的坐標(biāo)為．

(1)以原點(diǎn)O為旋轉(zhuǎn)中心，將繞點(diǎn)O順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)后得到，畫(huà)出，并寫(xiě)出的坐標(biāo)．(2)計(jì)算的面積．【答案】(1)圖見(jiàn)解析，(2)【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，畫(huà)出即可，根據(jù)圖形寫(xiě)出的坐標(biāo)即可；（2）利用面積公式進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：如圖所示：即為所求；

由圖可知：．（2）；【點(diǎn)睛】本題考查坐標(biāo)與旋轉(zhuǎn)．熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正確的作圖，是解題的關(guān)鍵．17．（2023·全國(guó)·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，方格紙中的每個(gè)小方格都是邊長(zhǎng)為1個(gè)單位的正方形，在建立平面直角坐標(biāo)系后，的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，點(diǎn)C的坐標(biāo)為．

(1)寫(xiě)出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)畫(huà)出繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)后得到的．(3)直接寫(xiě)出的面積______．【答案】(1)(2)見(jiàn)解析(3)【分析】（1）結(jié)合直角坐標(biāo)系可直接寫(xiě)出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）旋轉(zhuǎn)也即是中心對(duì)稱(chēng)，找到A、B、C三點(diǎn)關(guān)于C的中心對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，順次連接即可；（3）利用割補(bǔ)法求的面積即可．【詳解】（1）解：由題意得：；（2）解：如圖所示：

（3）解：，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了旋轉(zhuǎn)作圖，中心對(duì)稱(chēng)的知識(shí)以及割補(bǔ)法求三角形面積，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)旋轉(zhuǎn)的三要素，中心對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，得到各點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，難度一般．18．（2023秋·黑龍江大慶·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，拋物線向右平移1個(gè)單位得到拋物線，回答下列問(wèn)題：

(1)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)__________；(2)陰影部分的面積__________；(3)若再將拋物線繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到拋物線，求拋物線的解析式．【答案】(1)(2)2(3)【分析】（1）根據(jù)拋物線的移動(dòng)規(guī)律左加右減可直接得出拋物線的解析式，再根據(jù)的解析式求出頂點(diǎn)坐標(biāo)即可；（2）根據(jù)平移的性質(zhì)知，陰影部分的面積等于底高，列式計(jì)算即可；（3）先求出二次函數(shù)旋轉(zhuǎn)后的開(kāi)口方向和頂點(diǎn)坐標(biāo)，從而得出拋物線的解析式．【詳解】（1）解：解：∵拋物線向右平移1個(gè)單位得到的拋物線，∴拋物線的解析式是，頂點(diǎn)坐標(biāo)為．故答案為：；（2）把陰影部分進(jìn)行平移，可得到陰影部分的面積即為圖中兩個(gè)方格的面積；故答案為：2；（3）由題意可得：拋物線的頂點(diǎn)與拋物線的頂點(diǎn)關(guān)于原成中心對(duì)稱(chēng)．所以拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，于是可設(shè)拋物線的解析式為：．由對(duì)稱(chēng)性或者拋物線開(kāi)口大小不變方向改變得，所以．【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)的圖像與幾何變化，用到的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)、頂點(diǎn)坐標(biāo)，關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的移動(dòng)規(guī)律和幾何變換．題型五圖形中心對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)應(yīng)用【例7】（2023秋·河北邢臺(tái)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，和關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)．

(1)找出它們的對(duì)稱(chēng)中心；(2)若，求的周長(zhǎng)；【答案】(1)見(jiàn)解析(2)15【分析】（1）連接，，其交點(diǎn)就是對(duì)稱(chēng)中心；（2）依據(jù)和關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)，即可得到，進(jìn)而得出的周長(zhǎng)【詳解】（1）解：如圖所示，點(diǎn)即為所求；

（2）解：和關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)，，，，，的周長(zhǎng)；答：的周長(zhǎng)為15．【點(diǎn)睛】本題主要考查了中心對(duì)稱(chēng)，正確掌握中心對(duì)稱(chēng)圖形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．鞏固訓(xùn)練：1．（2023春·福建泉州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，與關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)，連接、，以下結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）

A． B．C． D．【答案】A【分析】依據(jù)與關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)，即可得到，進(jìn)而得到正確結(jié)論．【詳解】解：∵與關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)，∴，故選項(xiàng)B不符合題意；∴，，故選項(xiàng)C不符合題意；∴，∴，故選項(xiàng)D不符合題意；而和不是對(duì)應(yīng)邊，不一定相等，故選項(xiàng)A符合題意；故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查中心對(duì)稱(chēng)，關(guān)于中心對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形能夠完全重合；關(guān)于中心對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線都經(jīng)過(guò)對(duì)稱(chēng)中心，并且被對(duì)稱(chēng)中心平分．掌握中心對(duì)稱(chēng)的概念和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．也考查了全等三角形的性質(zhì)．2．（2023春·浙江·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，已知圖形和圖形中關(guān)于點(diǎn)A中心對(duì)稱(chēng)，都是線段，是一段圓?。午鲗?duì)其進(jìn)行測(cè)量后得到以下四個(gè)結(jié)論，其中一定錯(cuò)誤的是（）

A． B．圖形的內(nèi)角和是 C． D．【答案】B【分析】根據(jù)中心對(duì)稱(chēng)圖形的性質(zhì)和平行線的判定分別判斷即可．【詳解】解：A、可以等于，故不符合題意；B、圖形不是四邊形，故內(nèi)角和不是，故符合題意；C、可以平行于，故不符合題意；D、∵圖形和圖形中關(guān)于點(diǎn)A中心對(duì)稱(chēng)，∴，故不符合題意．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了中心對(duì)稱(chēng)圖形的性質(zhì)和平行線的判定，熟練掌握中心對(duì)稱(chēng)圖形的性質(zhì)和平行線的判定是關(guān)鍵．3．（2023春·江蘇·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，與關(guān)于點(diǎn)O成中心對(duì)稱(chēng)，則下列結(jié)論不成立的是（

）A．點(diǎn)A與點(diǎn)是對(duì)稱(chēng)點(diǎn) B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)中心對(duì)稱(chēng)圖形的性質(zhì)，逐項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：∵與關(guān)于點(diǎn)O成中心對(duì)稱(chēng)，∴點(diǎn)A與是一組對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，，，故A，B，C都不合題意．∵與不是對(duì)應(yīng)角，∴與不一定相等，不成立，故D符合題意．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了中心對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，熟練掌握成中心對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線被對(duì)稱(chēng)中心平分，對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)線段相等，是解題的關(guān)鍵．4．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中有A，B，三個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)是，點(diǎn)A，點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)B中心對(duì)稱(chēng)，若將點(diǎn)A往右平移4個(gè)單位，再往上10個(gè)單位，則與重合，則點(diǎn)A的坐標(biāo)是．【答案】【分析】根據(jù)對(duì)稱(chēng)性得到點(diǎn)B為線段中點(diǎn)，由此得到將點(diǎn)B往左平移2個(gè)單位，再往下5個(gè)單位，則與A重合，即可得到點(diǎn)A的坐標(biāo)．【詳解】解：∵點(diǎn)A，點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)B中心對(duì)稱(chēng)，∴點(diǎn)B為線段中點(diǎn)，∵將點(diǎn)A往右平移4個(gè)單位，再往上10個(gè)單位，則與重合，∴將點(diǎn)A往右平移2個(gè)單位，再往上5個(gè)單位，則與B重合，∴將點(diǎn)B往左平移2個(gè)單位，再往下5個(gè)單位，則與A重合，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為，即，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了中心對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，點(diǎn)的平移規(guī)律，正確理解中心對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，與關(guān)于點(diǎn)O成中心對(duì)稱(chēng)，有以下結(jié)論：①點(diǎn)A與點(diǎn)是對(duì)稱(chēng)點(diǎn)；②；③；④．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為個(gè)．

【答案】3【分析】根據(jù)中心對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，逐項(xiàng)分析判斷即可求解．【詳解】解：∵與關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)，∴，點(diǎn)A與點(diǎn)是對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，，∴，故①②③正確，④錯(cuò)誤．故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查了中心對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，熟練掌握中心對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．（2023春·浙江·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，△ABC與△DBE關(guān)于點(diǎn)B成中心對(duì)稱(chēng)，若∠A=90°，∠ADC=30°，DE=2，則AB的長(zhǎng)為．【答案】【分析】由中心對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)推出，得到，，由銳角的正切求出AD的長(zhǎng)，即可求出AB的長(zhǎng)．【詳解】解：∵與關(guān)于點(diǎn)B成中心對(duì)稱(chēng)，∴，∴，，∵，，∴，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查中心對(duì)稱(chēng)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是掌握中心對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)．7．（2022秋·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，與成中心對(duì)稱(chēng)，是的中位線，是的中位線，已知，則．【答案】2【分析】根據(jù)成中心對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形全等可得，再根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得，然后根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得．【詳解】解：與成中心對(duì)稱(chēng)，，，是的中位線，．故答案為：2．【點(diǎn)睛】此題主要考查了中心對(duì)稱(chēng)圖形的概念：在同一平面內(nèi)，如果把一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度，旋轉(zhuǎn)后的圖形能和原圖形完全重合，那么這個(gè)圖形就叫做中心對(duì)稱(chēng)圖形，還考查了三角形的中位線定理．8．（2023春·江蘇泰州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，邊長(zhǎng)為8的正方形和邊長(zhǎng)為12的正方形排放在一起，和分別是兩個(gè)正方形的對(duì)稱(chēng)中心，則陰影部分的面積為．【答案】24【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)求出，再根據(jù)正方形的中心在正方形對(duì)角線上可得，然后求出，然后利用直角三角形的面積公式列式計(jì)算即可得解．【詳解】解：∵和分別是兩個(gè)正方形的對(duì)稱(chēng)中心，∴，∴，∴陰影部分的面積＝．故答案是：24．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，主要利用了正方形的中心在對(duì)角線上，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．（2023·全國(guó)·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，與關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)，，則的長(zhǎng)是．【答案】5【分析】根據(jù)中心對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)以及勾股定理即可求解的長(zhǎng)．【詳解】解：∵與關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)∴點(diǎn)在同一直線上，，故答案為：5．【點(diǎn)睛】本題主要考查中心對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)以及勾股定理，熟練掌握成中心對(duì)稱(chēng)的圖形對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等的性質(zhì)以及勾股定理是解決本題的關(guān)鍵．10．（2023春·河南周口·七年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，在中，是邊上的中點(diǎn)，已知，．

(1)畫(huà)出關(guān)于點(diǎn)的中心對(duì)稱(chēng)圖形；(2)求線段長(zhǎng)的取值范圍．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）由題知為中線，延長(zhǎng)到E，只要使，然后連接即可；（2）根據(jù)三角形三邊關(guān)系，先求出的取值范圍，即可求出的取值范圍．【詳解】（1）如圖，延長(zhǎng)到E，使，連接，即為所求；

（2）由圖知，，，，由三角形三邊關(guān)系知，，∴，即，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了尺規(guī)作圖和三角形三邊關(guān)系，熟練掌握作一條線段等于已知線段，三角形任意兩邊的差小于第三邊，任意兩邊的和大于第三邊，是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．11．（2023春·江蘇南京·八年級(jí)南京五十中校聯(lián)考期中）（1）如圖①，等邊三角形ABC的3個(gè)頂點(diǎn)都在上，僅用無(wú)刻度的直尺畫(huà)出關(guān)于點(diǎn)O的中心對(duì)稱(chēng)圖形.

（2）如圖②，正方形ABCD中，E、F分別為AB、BC的中點(diǎn)，連接AF、DE，△ABF按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)后得到△DAE，僅用無(wú)刻度的直尺畫(huà)出旋轉(zhuǎn)中心．

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析．【分析】（1）作直線，交于點(diǎn)D，則點(diǎn)D為點(diǎn)A的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，同理可作出點(diǎn)B的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E，點(diǎn)C的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)F，依次連接點(diǎn)D，E，F(xiàn)，則為所求；（2）連接，，相交于點(diǎn)O，則點(diǎn)O為所求．【詳解】（1）如圖，為所求．

（2）如圖，點(diǎn)O為所求．

【點(diǎn)睛】本題考查作中心對(duì)稱(chēng)圖形，掌握中心對(duì)稱(chēng)圖形的概念是解題的關(guān)鍵．12．（2023春·河北滄州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）一次函數(shù)的兩組x、y的對(duì)應(yīng)值如圖，在平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出了它的圖象為直線l（如圖14-1），王英為觀察k、b對(duì)圖象的