專題1.13 三角形的初步知識章末十六大題型總結(jié)（拔尖篇）（浙教版）（原卷版）

專題1.13三角形的初步知識章末十六大題型總結(jié)（拔尖篇）【浙教版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1利用三角形的中線求面積】 1【題型2利用三角形的三邊關(guān)系求線段的最值或取值范圍】 3【題型3利用三角形的三邊關(guān)系化簡或證明】 3【題型4與角平分線有關(guān)的三角形角的計(jì)算問題】 4【題型5與平行線有關(guān)的三角形角的計(jì)算問題】 6【題型6與折疊有關(guān)的三角形角的計(jì)算問題】 8【題型7多邊形中的閱讀理解類問題】 10【題型8與多邊形內(nèi)角和有關(guān)的角度探究問題】 13【題型9由全等三角形的判定與性質(zhì)求最值】 16【題型10由全等三角形的判定與性質(zhì)探究線段的和差關(guān)系】 17【題型11由全等三角形的判定與性質(zhì)求面積】 18【題型12尺規(guī)作圖與全等三角形的綜合】 19【題型13三角形的三邊關(guān)系與全等三角形的綜合】 23【題型14全等三角形的動(dòng)態(tài)問題】 25【題型15全等三角形與坐標(biāo)系的綜合運(yùn)用】 26【題型16全等三角形中的多結(jié)論問題】 28【題型1利用三角形的中線求面積】【例1】（2023春·貴州畢節(jié)·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，AG=BG，BD=DE=EC，CF=4AF，若四邊形DEFG的面積為28，則△ABC的面積為（

）

A．60 B．56 C．70 D．48【變式1-1】（2023秋·黑龍江哈爾濱·八年級校考期末）如圖，在△ABC中，BF=2FD，EF=FC，若△BEF的面積為4，則四邊形AEFD的面積為．【變式1-2】（2023春·江蘇連云港·八年級統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)C為直線AB外一動(dòng)點(diǎn)，AB=6，連接CA、CB，點(diǎn)D、E分別是AB、BC的中點(diǎn)，連接AE、CD交于點(diǎn)F，當(dāng)四邊形BEFD的面積為

【變式1-3】（2023春·江蘇鹽城·八年級統(tǒng)考期末）【問題情境】蘇科版數(shù)學(xué)課本八年級下冊上有這樣一道題：如圖1，AD是△ABC的中線，△ABC與△ABD的面積有怎樣的數(shù)量關(guān)系？小旭同學(xué)在圖1中作BC邊上的高AE，根據(jù)中線的定義可知BD=CD．又因?yàn)楦逜E相同，所以S△ABD=S

【深入探究】（1）如圖2，點(diǎn)D在△ABC的邊BC上，點(diǎn)P在AD上．①若AD是△ABC的中線，求證：S△APB②若BD=3DC，則S△APB:【拓展延伸】（2）如圖3，分別延長四邊形ABCD的各邊，使得點(diǎn)A、B、C、D分別為DH、AE、BF、CG的中點(diǎn)，依次連結(jié)E、F、G、H得四邊形EFGH．①求證：S△HDG②若S四邊形ABCD=3，則【題型2利用三角形的三邊關(guān)系求線段的最值或取值范圍】【例2】（2023春·河北保定·八年級統(tǒng)考期末）如圖，∠AOB<90°，點(diǎn)M在OB上，且OM=6，點(diǎn)M到射線OA的距離為a，點(diǎn)P在射線OA上，MP=x．若△OMP的形狀，大小是唯一確定的，則x的取值范圍是（

）

A．x=a或x≥6 B．x≥6 C．x=6 D．x=6或x>a【變式2-1】（2023秋·安徽合肥·八年級統(tǒng)考期末）不等邊△ABC的兩條高的長度分別為4和12，若第三條高也為整數(shù)，那么它的長度最大值是【變式2-2】（2023秋·安徽·八年級期末）一個(gè)三角形的兩邊長分別為5和7，設(shè)第三邊上的中線長為x，則x的取值范圍是（

）A．x>5 B．x<7 C．2<x<12 D．1<x<6【變式2-3】（2023秋·浙江杭州·八年級期末）設(shè)a,b,c表示一個(gè)三角形三邊的長，且他們都是自然數(shù)，其中a≤b≤c，若b=2020，則滿足此條件的三角形共有個(gè)．【題型3利用三角形的三邊關(guān)系化簡或證明】【例3】（2023·八年級單元測試）如圖，已知點(diǎn)O為ΔABC內(nèi)任意一點(diǎn).證明：（1）OA+OB+OC>1（2）AB+AC+BC>OA+OB+OC.（3）若A，B，C為三個(gè)城鎮(zhèn)，AB+AC+BC=10km，要在ΔABC內(nèi)建造供水站O向三個(gè)城鎮(zhèn)按如圖路線供水，則所需供水管長度應(yīng)滿足什么條件？【變式3-1】（2023春·八年級課時(shí)練習(xí)）已知a，b，c是一個(gè)三角形的三邊長，化簡|2a+b﹣c|﹣|b﹣2a﹣c|+|﹣a﹣b﹣2c|．【變式3-2】（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）如圖1，點(diǎn)P是△ABC內(nèi)部一點(diǎn)，連接BP，并延長交AC于點(diǎn)D．(1)試探究AB+BC+CA與2BD的大小關(guān)系；(2)試探究AB+AC與PB+PC的大小關(guān)系；(3)如圖2，點(diǎn)D，E是△ABC內(nèi)部兩點(diǎn)，試探究AB+AC與BD+DE+CE的大小關(guān)系．【變式3-3】（2023春·六年級單元測試）如圖，草原上有四口油井，位于四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)上，現(xiàn)在要建立一個(gè)維修站H，試問H建在何處，才能使它到四口油井的距離之和HA+HB+HC+HD最小，說明理由【題型4與角平分線有關(guān)的三角形角的計(jì)算問題】【例4】（2023春·江蘇蘇州·八年級太倉市第一中學(xué)?？计谥校┤鐖D1，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB．(1)若∠A=60°，則∠BDC的度數(shù)為_________；(2)若∠A=α，直線MN經(jīng)過點(diǎn)D．①如圖2，若MN∥AB，求∠NDC-∠MDB的度數(shù)（用含α的代數(shù)式表示）；②如圖3，若MN繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，分別交線段BC,AC于點(diǎn)M,N，試問旋轉(zhuǎn)過程中∠NDC-∠MDB的度數(shù)是否會(huì)發(fā)生改變？若不變，求出∠NDC-∠MDB的度數(shù)（用含α的代數(shù)式表示），若改變，請說明理由；③如圖4，繼續(xù)旋轉(zhuǎn)直線MN，與線段AC交于點(diǎn)N，與CB的延長線交于點(diǎn)M，請直接寫出∠NDC與∠MDB的關(guān)系（用含α的代數(shù)式表示）．【變式4-1】（2023秋·河南漯河·八年級?？计谥校?）在圖1中，請直接寫出∠A（2）如果圖2中，∠D=40°,∠B=36°，AP與CP分別是∠DAB（3）如果圖2中∠D和∠B為任意角，其他條件不變，試問∠P與∠【變式4-2】（2023春·江蘇揚(yáng)州·八年級校聯(lián)考期中）∠MON=90°，點(diǎn)A，B分別在OM、ON上運(yùn)動(dòng)(不與點(diǎn)O重合)．(1)如圖①，AE、BE分別是∠BAO和∠ABO的平分線，隨著點(diǎn)A、點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)，當(dāng)AO=BO時(shí)∠AEB=°；(2)如圖②，若BC是∠ABN的平分線，BC的反向延長線與∠OAB的平分線交于點(diǎn)D，隨著點(diǎn)A，B的運(yùn)動(dòng)∠D的大小會(huì)變嗎？如果不會(huì)，求∠D的度數(shù)；如果會(huì)，請說明理由；(3)如圖③，延長MO至Q，延長BA至G，已知∠BAO，∠OAG的平分線與∠BOQ的平分線及其延長線相交于點(diǎn)E、F，在△AEF中，如果有一個(gè)角是另一個(gè)角的3倍，求∠ABO的度數(shù)．【變式4-3】（2023秋·安徽宣城·八年級?？计谥校┤鐖D1，∠MON=90°，點(diǎn)A、B分別在OM、ON上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)O重合）．(1)若BC是∠ABN的平分線，BC的反方向延長線與∠BAO的平分線交于點(diǎn)D．①若∠BAO=60°，則∠D=______°；②猜想：∠D的度數(shù)是否隨A，B的移動(dòng)發(fā)生變化？并說明理由．(2)如圖2，若∠OAD=35∠OAB，∠NBC=35(3)若將∠MON=90°改為∠MON=120°（如圖3），∠OAD=mn∠OAB，∠NBC=mn∠NBA，其余條件不變，則∠D=______（用含【題型5與平行線有關(guān)的三角形角的計(jì)算問題】【例5】（2023春·遼寧盤錦·八年級統(tǒng)考期末）（1）問題情境：如圖1，AB∥CD，∠PMB=140°，∠PND=120°，求∠MPN的度數(shù)；（2）問題遷移：在（1）的條件下，如圖2，∠AMP的角平分線與∠CNP的角平分線交于點(diǎn)F，則∠MFN的度數(shù)為多少？請說明理由；（3）問題拓展：如圖3，AB∥CD，點(diǎn)P在射線OM上移動(dòng)時(shí)（點(diǎn)P與點(diǎn)O，M，D三點(diǎn)不重合），記∠PAB=α，∠PCD=β，請直接寫出∠APC與α，β之間的數(shù)量關(guān)系．【變式5-1】（2023春·河北石家莊·八年級統(tǒng)考期末）如圖，AB∥CD，點(diǎn)P在直線AB上，作∠BPM=50°，交CD于點(diǎn)M，點(diǎn)F是直線CD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PF，PE⊥CD于點(diǎn)E，PN平分∠MPF．

(1)若點(diǎn)F在點(diǎn)E左側(cè)且∠PFM=32°，求∠NPE的度數(shù)；(2)當(dāng)點(diǎn)F在線段EM（不與點(diǎn)M，E重合）上時(shí)，設(shè)∠PFM=α°，直接寫出∠NPE的度數(shù)（用含α的代數(shù)式表示）；(3)將射線PF從（1）中的位置開始以每秒10°的速度繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至PM的位置，轉(zhuǎn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，求當(dāng)t為何值時(shí)，△FPM為直角三角形．【變式5-2】（2023春·遼寧大連·八年級統(tǒng)考期中）如圖，AB//CD，點(diǎn)O在直線CD上，點(diǎn)P在直線AB和CD之間，∠ABP=∠PDQ=α，PD平分∠BPQ．（1）求∠BPD的度數(shù)（用含α的式子表示）；（2）過點(diǎn)D作DE//PQ交PB的延長線于點(diǎn)E，作∠DEP的平分線EF交PD于點(diǎn)F，請?jiān)趥溆脠D中補(bǔ)全圖形，猜想EF與PD的位置關(guān)系，并證明；（3）將（2）中的“作∠DEP的平分線EF交PD于點(diǎn)F”改為“作射線EF將∠DEP分為1:3兩個(gè)部分，交PD于點(diǎn)F”，其余條件不變，連接EQ，若EQ恰好平分∠PQD，請直接寫出∠FEQ=__________（用含α的式子表示）．【變式5-3】（2023春·湖北省直轄縣級單位·八年級校考期中）已知MN∥PQ，點(diǎn)D是直線(1)如圖1，現(xiàn)有一塊含30°角的直角三角板（∠CAB=30°，∠ACB=60°，∠ABC=90°），將其點(diǎn)A固定在直線MN上，并按圖1位置擺放，使∠MAC=30°，點(diǎn)B恰好落在射線DE上，此時(shí)，∠PDE=20°，求∠ABD的度數(shù)；(2)現(xiàn)將射線DE從圖1的位置開始以每秒2度的速度繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)到與DQ重合時(shí)停止，三角板按圖1擺放不動(dòng)，設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t秒，在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)DE與三角板的一邊平行時(shí)，求t的值；(3)若將射線DE從圖1的位置開始以每秒2度的速度繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，同時(shí)，將三角板ABC也從圖1的位置開始以每秒4度的速度繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，∠MAC的角平分線AH與∠PDE的角平分線DF交于點(diǎn)O．①如圖2，當(dāng)DF∥BC時(shí)，∠AOD=②如圖3，當(dāng)DF∥BA時(shí)，∠AOD=【題型6與折疊有關(guān)的三角形角的計(jì)算問題】【例6】（2023秋·山東臨沂·八年級統(tǒng)考期末）有一張正方形紙片ABCD，點(diǎn)E是邊AB上一定點(diǎn)，在邊AD上取點(diǎn)F，沿著EF折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)A′處，在邊BC上取一點(diǎn)G，沿EG折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)B′處．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)B落在直線A′E上時(shí)，猜想兩折痕的夾角∠FEG的度數(shù)并說明理由．(2)當(dāng)∠A′EB′=13∠B′EB時(shí)，設(shè)∠A′EB′=x①試用含x的代數(shù)式表示∠FEG的度數(shù)．②探究EB′是否可能平分∠FEG，若可能，求出此時(shí)∠FEG的度數(shù)；若不可能，請說明理由．【變式6-1】（2023春·河北石家莊·八年級統(tǒng)考期末）（1）如圖1，將一張三角形紙片ABC沿著AD折疊，使點(diǎn)C落在邊AB上的C處，若∠CAB=70°，則∠CAD=______°；（2）如圖2，將一張三角形紙片ABC沿著DE折疊(點(diǎn)D，E分別在邊AB和AC上)，并使得點(diǎn)A和點(diǎn)A'重合，若∠A=70°，則∠1+∠2=______°（3）如圖3，將長方形紙片沿著BC和BD折疊成如圖所示的形狀，BE和BI重合，①∠CBD的度數(shù)是多少？請說明理由；②如果∠IBD=58°17'，求【變式6-2】（2023秋·江西南昌·八年級校聯(lián)考期末）我們在小學(xué)已經(jīng)學(xué)習(xí)了“三角形內(nèi)角和等于180°”．在三角形紙片中，點(diǎn)D，E分別在邊AC，BC上，將∠C沿DE折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)C'(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)C落在邊BC上時(shí)，若∠ADC'=58°，則∠C=______，可以發(fā)現(xiàn)∠ADC'(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)C落在△ABC內(nèi)部時(shí)，且∠BEC'=42°，∠AD(3)如圖3，當(dāng)點(diǎn)C落在△ABC外部時(shí)，若設(shè)∠BEC'的度數(shù)為x，∠ADC'的度數(shù)為y，請求出∠C與【變式6-3】（2023春·江蘇·八年級統(tǒng)考期中）將一張三角形紙片ABC的一角折疊，使得點(diǎn)A落A'的位置，折痕為DE(1)當(dāng)點(diǎn)A落在四邊形BCDE的外部A'的位置且A'與點(diǎn)C在直線①如圖1，若∠C=90°，∠A=30°，求∠1-∠2的度數(shù)；②如圖2，請寫出∠1、∠2和∠A的關(guān)系并證明；(2)如圖3，有一張三角形紙片ABC，∠A=30°，∠C=50°，若點(diǎn)E是AB邊上的固定點(diǎn)（AE<12AB），請?jiān)贏C上找一點(diǎn)D，將紙片沿DE折疊，DE為折痕點(diǎn)A落在A'處，使A'【題型7多邊形中的閱讀理解類問題】【例7】（2023·全國·八年級專題練習(xí)）閱讀材料：兩個(gè)三角形各有一個(gè)角互為對頂角，這兩個(gè)三角形叫做對頂三角形．解決問題：如圖，△AOD與△BOC是對頂三角形．

(1)試說明：∠DAO+∠D=∠OBC+∠C；(2)試?yán)蒙鲜鼋Y(jié)論解決下列問題：若AP、BP分別平分∠DAC與∠DBC，∠C=m°，∠D=n°，①求∠P的度數(shù)（用含m、n的代數(shù)式表示）；②若AQ、BQ分別平分∠EAC與∠DBF，120°≤∠Q≤150°，求m+n的取值范圍．【變式7-1】（2023秋·山西大同·八年級統(tǒng)考期中）閱讀材料：解決問題：（1）如圖1，四邊形ABCD是凹四邊形，請?zhí)骄俊螧DC(∠BDC＜180°)與∠B，∠D，∠BAC三個(gè)角之間的等量關(guān)系．小明得出的結(jié)論是：∠BDC=∠BAC+∠B+∠C，他證明如下．請你將小明的證明過程補(bǔ)充完整．證明：連接AD并延長AD到點(diǎn)E．聯(lián)系拓廣：（2）下面圖2的五角星和圖3的六角星都是一筆畫成的(即從圖形上的某一頂點(diǎn)出發(fā)，找出一條路線，用筆不離開紙，連續(xù)不斷又不重復(fù)經(jīng)過圖形上所有部分畫成的)．請你根據(jù)上述解決問題的思路，解答下列問題：①圖2中，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度數(shù)為°；②圖3中，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù)為°．【變式7-2】（2023春·山西臨汾·八年級統(tǒng)考期末）請閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)．已知“三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和”，那么五邊形的外角與內(nèi)角之間又有什么關(guān)系呢？

如圖1，在五邊形ABCDE中，∠1,∠2是它的兩個(gè)外角，則∠1+∠2=∠A+∠B+∠C-180°．下面是該結(jié)論的證明過程（部分）：∵五邊形的內(nèi)角和為540°，∴∠A+∠B+∠C+∠3+∠4=540°．……(1)按照上面的證明思路，完成證明的剩余部分．(2)知識應(yīng)用：如圖2，在五邊形ABCDE中，EF,DF分別是∠DEH和∠EDG的平分線，若∠A+∠B+∠C=320°，求∠F的度數(shù)；(3)拓展提升：如圖3，∠C=∠E=90°,∠ABH=23∠ABF,∠GFH=23∠BFG【變式7-3】（2023秋·山東青島·八年級山東省青島第二十六中學(xué)校聯(lián)考期末）閱讀材料，回答下列問題：【材料提出】“八字型”是數(shù)學(xué)幾何的常用模型，通常由一組對頂角所在的兩個(gè)三角形構(gòu)成．【探索研究】探索一：如圖1，在八字形中，探索∠A、∠B、∠C、∠D之間的數(shù)量關(guān)系為；探索二：如圖2，若∠B＝36°，∠D＝14°，求∠P的度數(shù)為；探索三：如圖3，CP、AG分別平分∠BCE、∠FAD，AG反向延長線交CP于點(diǎn)P，則∠P、∠B、∠D之間的數(shù)量關(guān)系為．【模型應(yīng)用】應(yīng)用一：如圖4，在四邊形MNCB中，設(shè)∠M＝α，∠N＝β，α+β＞180°，四邊形的內(nèi)角∠MBC與外角∠NCD的角平分線BP，CP相交于點(diǎn)P．則∠A＝（用含有α和β的代數(shù)式表示），∠P＝．（用含有α和β的代數(shù)式表示）應(yīng)用二：如圖5，在四邊形MNCB中，設(shè)∠M＝α，∠N＝β，α+β＜180°，四邊形的內(nèi)角∠MBC與外角∠NCD的角平分線所在的直線相交于點(diǎn)P，∠P＝．（用含有α和β的代數(shù)式表示）【拓展延伸】拓展一：如圖6，若設(shè)∠C＝x，∠B＝y(tǒng)，∠CAP＝13∠CAB，∠CDP＝13∠CDB，試問∠P與∠C、∠B之間的數(shù)量關(guān)系為．（用x、y表示∠拓展二：如圖7，AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的鄰補(bǔ)角∠BCE，猜想∠P與∠B、∠D的關(guān)系，直接寫出結(jié)論．【題型8與多邊形內(nèi)角和有關(guān)的角度探究問題】【例8】（2023春·江蘇·八年級期末）如圖1，已知∠ACD是△ABC的一個(gè)外角，我們?nèi)菀鬃C明∠ACD=∠A+∠B，即三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．那么，三角形的一個(gè)內(nèi)角與它不相鄰的兩個(gè)外角的和之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系呢？嘗試探究；（1）如圖2，∠DBC與∠ECB分別為△ABC的兩個(gè)外角，則∠DBC+∠ECB______∠A+180°（選填“>”“<”或“=”），并說明理由；初步應(yīng)用：（2）如圖3，在△ABC紙片中剪去△CED，得到四邊形ABDE，∠1=135°，∠2=100°，則∠C=______；（直接寫出答案）拓展延伸：（3）如圖4，在△ABC中，BP，CP分別平分外角∠DBC，∠ECB，∠P與∠A有何數(shù)量關(guān)系？請利用上面的結(jié)論直接寫出答案：______；解決問題：（4）如圖5，在四邊形ABCD中，BP，CP分別平分外角∠EBC，∠FCB，請利用上面的結(jié)論探究∠P與∠A，∠D的數(shù)量關(guān)系．【變式8-1】（2023春·江蘇南京·八年級統(tǒng)考期中）研究一個(gè)問題：多邊形的一個(gè)外角與它不相鄰的內(nèi)角之和具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

【回顧】如圖①，請直接寫出∠BCD與∠A、∠B之間的數(shù)量關(guān)系：______．【探究】如圖②，∠ADE是四邊形ABCD的外角，求證：∠ADE=∠A+∠B+∠C-180°．【結(jié)論】若n邊形的一個(gè)外角為x°，與其不相鄰的內(nèi)角之和為y°，則x，y與n的數(shù)量關(guān)系是______．【變式8-2】（2023春·江蘇蘇州·八年級星海實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）【探究】（1）如圖1，∠ADC=120°，∠BCD=130°，∠DAB和∠CBE的平分線交于點(diǎn)F，則∠AFB=______°；（2）如圖2，∠ADC=α，∠BCD=β，且α+β>180°，∠DAB和∠CBE的平分線交于點(diǎn)F，則∠AFB=______；（用α、β表示）（3）如圖3，∠ADC=α，∠BCD=β，當(dāng)∠DAB和∠CBE的平分線AG、BH平行時(shí)，α、β應(yīng)該滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？請證明你的結(jié)論．【挑戰(zhàn)】（4）如果將（2）中的條件α+β>180°改為α+β<180°，再分別作∠DAB和∠CBE的平分線，交于點(diǎn)F，那么∠F與α、β有怎樣的數(shù)量關(guān)系？畫出圖形并直接寫出結(jié)論．【變式8-3】（2023春·江蘇·八年級期末）如圖1至圖2，在△ABC中，∠BAC=α，點(diǎn)D在邊AC所在直線上，作DE垂直于直線BC，垂足為點(diǎn)E，BM為△ABC的角平分線，∠ADE的平分線交直線BC于點(diǎn)G．(1)特例感悟：如圖1，延長AB交DG于點(diǎn)F，若BM∥DG，∠F=30°．解決問題：①∠ABC=_______°；②求證：AC⊥AB；(2)深入探究；如圖2，當(dāng)α<90°，DG與BM反向延長線交于點(diǎn)H，用含α的代數(shù)式表示∠BHD=______；(3)拓展延伸：當(dāng)點(diǎn)D在直線AC上移動(dòng)時(shí)，若射線DG與射線BM相交，設(shè)交點(diǎn)為N，直接寫出∠BND與α的關(guān)系式．【題型9由全等三角形的判定與性質(zhì)求最值】【例9】（2023春·北京朝陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，D，E為AB邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且AD=BE，連接CD，CE，若AC=2，則CD+CE的最小值為．【變式9-1】（2023春·八年級課時(shí)練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°，M為BC的中點(diǎn)，H為AB上一點(diǎn)，過點(diǎn)C作CG∥AB，交HM的延長線于點(diǎn)G，若AC=8，AB=6，則四邊形ACGH周長的最小值是．【變式9-2】（2023春·江蘇鹽城·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在四邊形ABCD中，∠A=90°，AD=3，連接BD，BD⊥CD，BD平分∠ABC．若P是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，則DP長的最小值為．【變式9-3】（2023春·八年級課時(shí)練習(xí)）如圖，在直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，AB=5，AD平分∠BAC，N是AC上一動(dòng)點(diǎn)（不與A,C重合），M是AD上一動(dòng)點(diǎn)（不與A,D重合），則CM+MN的最小值為．【題型10由全等三角形的判定與性質(zhì)探究線段的和差關(guān)系】【例10】（2023春·河南鄭州·七年級統(tǒng)考期末）回答問題（1）【初步探索】如圖1，在四邊形ABCD中，AB=AD,∠B=∠ADC=90°，E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，且EF=BE+FD，探究圖中∠BAE、∠FAD、∠EAF之間的數(shù)量關(guān)系，小王同學(xué)探究此問題的方法是：延長FD到點(diǎn)G，使DG=BE，連接AG，先證明△ABE≌△ADG（2）【靈活運(yùn)用】如圖2，若在四邊形ABCD中，AB=AD,∠B+∠D=180°，E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，且（3）【拓展延伸】已知在四邊形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°,AB=AD，若點(diǎn)E在CB的延長線上，點(diǎn)F在CD的延長線上，如圖3，仍然滿足EF=BE+FD，請直接寫出∠EAF與∠DAB的數(shù)量關(guān)系．【變式10-1】（2023春·上海·七年級期末）已知：等邊△ABC邊長為3，點(diǎn)D、點(diǎn)E分別在射線AB、射線BC上，且BD＝CE＝a（0＜a＜3），將直線DE繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到直線EF交直線AC于點(diǎn)F．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段AB上，點(diǎn)E在線段BC上時(shí)，說明BD+CF＝3的理由．(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段AB上，點(diǎn)E在線段BC的延長線上時(shí)，請判斷線段BD，CF之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由．(3)當(dāng)點(diǎn)D在線段AB延長線上時(shí)，線段BD，CF之間的數(shù)量關(guān)系又如何？請?jiān)趥溆脠D中畫圖探究，并直接寫出線段BD，CF之間的數(shù)量關(guān)系．【變式10-2】（2023春·陜西西安·八年級西安益新中學(xué)?？茧A段練習(xí)）（1）某學(xué)習(xí)小組在探究三角形全等時(shí)，發(fā)現(xiàn)了下面這種典型的基本圖形．如圖1，已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直線l經(jīng)過點(diǎn)A，BD⊥直線l，CE⊥直線l，垂足分別為點(diǎn)D、E．證明：DE=BD+CE．（2）組員小劉想，如果三個(gè)角不是直角，那結(jié)論是否會(huì)成立呢？如圖2，將（1）中的條件改為：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三點(diǎn)都在直線l上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α為任意銳角或鈍角．請問結(jié)論DE=BD+CE是否成立？如成立，請你給出證明；若不成立，請說明理由．（3）數(shù)學(xué)老師贊賞了他們的探索精神，并鼓勵(lì)他們運(yùn)用這個(gè)知識來解決問題：如圖3，過△ABC的邊AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC邊上的高，延長HA交EG于點(diǎn)I，求證：I是【變式10-3】（2023春·上海靜安·八年級校考期中）如圖，在△ABC中，∠BAC=10.5°，AD是∠BAC的平分線，過點(diǎn)A作DA的垂線交BC延長線于點(diǎn)M，若BM=BA+AC，則∠ABC的度數(shù)是

【題型11由全等三角形的判定與性質(zhì)求面積】【例11】（2023春·廣東深圳·八年級校考階段練習(xí)）如圖，△ABC中，BC=10，AC-AB=5，AD是∠BAC的角平分線，CD⊥AD，則S△BDC的最大值為

【變式11-1】（2023春·黑龍江哈爾濱·八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知四邊形ABCD，連接AC、BD，∠BAC=∠ADC=90°，AB=AC，若AD=5，則△ABD的面積等于

【變式11-2】（2023春·江蘇南京·八年級南京市科利華中學(xué)?？计谥校┤鐖D，Rt△ABC中，∠C=90°，分別以AB、AC、BC為邊在AB同側(cè)作正方形ABDE、ACPQ、BCMN，四塊陰影部分面積分別為S1、S2、S3、S4，若【變式11-3】（2023春·江蘇鹽城·八年級景山中學(xué)校考期末）已知：△ABC中，∠ACB=90°，AC=CB，D為射線CB上一動(dòng)點(diǎn)，連接AD，在直線AC右側(cè)作AE⊥AD，且AE=AD．連接BE交直線AC于M，若2AC=7CM，則S△ADBS△AEM

【題型12尺規(guī)作圖與全等三角形的綜合】【例12】（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)B在直線l上，分別以線段BA的端點(diǎn)為圓心，以BC（小于線段BA）長為半徑畫弧，分別交直線l，線段BA于點(diǎn)C，D，E，再以點(diǎn)E為圓心，以CD長為半徑畫弧交前面的弧于點(diǎn)F，畫射線AF．若∠BAF的平分線AH交直線l于點(diǎn)H，∠ABC=70°，則∠AHB的度數(shù)為．【變式12-1】（2023·全國·八年級專題練習(xí)）我們通過“三角形全等的判定”的學(xué)習(xí)，可以知道“兩邊和它們的夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等”是一個(gè)基本事實(shí)，用它可以判定兩個(gè)三角形全等；而滿足條件“兩邊和其中一邊所對的角分別相等”的兩個(gè)三角形卻不一定全等．下面請你來探究“兩邊和其中一邊所對的角分別相等的兩個(gè)三角形不一定全等”．探究：已知△ABC，求作一個(gè)△DEF，使EF=BC，∠F=∠C，DE=AB（即兩邊和其中一邊所對的角分別相等）．(1)動(dòng)手畫圖：請依據(jù)下面的步驟，用尺規(guī)完成作圖過程（保留作圖痕跡）：①畫EF=BC；②在線段EF的上方畫∠F=∠C；③畫DE=AB；④順次連接相應(yīng)頂點(diǎn)得所求三角形．(2)觀察：觀察你畫的圖形，你會(huì)發(fā)現(xiàn)滿足條件的三角形有____個(gè)；其中三角形____（填三角形的名稱）與△ABC明顯不全等；(3)小結(jié)：經(jīng)歷以上探究過程，可得結(jié)論：______．【變式12-2】（2023春·山西·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）綜合與實(shí)踐：在綜合實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們在已知三角形的基礎(chǔ)上，經(jīng)過畫圖，探究三角形邊之間存在的關(guān)系．如圖，已知點(diǎn)D在ΔABC的邊BC的延長線上，過點(diǎn)D作∠BDM=∠B且DM//AB，在DM上截取DE=AB，再作∠DEF=∠A交線段BC于點(diǎn)

實(shí)踐操作（1）尺規(guī)作圖：作出符合上述條件的圖形；探究發(fā)現(xiàn)（2）勤奮小組在作出圖形后，發(fā)現(xiàn)AC//EF，探究應(yīng)用（3）縝密小組在勤奮小組探究的基礎(chǔ)上，測得DF=5，CF=1，求線段BD的長．【變式12-3】（2023春·北京·八年級?？计谥校┏咭?guī)作圖之旅下面是一副純手繪的畫作，其中用到的主要工具就是直尺和圓規(guī)，在數(shù)學(xué)中，我們也能通過尺規(guī)作圖創(chuàng)造出許多帶有美感的圖形．尺規(guī)作圖起源于古希臘的數(shù)學(xué)課題，只允許使用圓規(guī)和直尺，來解決平面幾何作圖問題．【作圖原理】在兩年的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)里中，我們認(rèn)識了尺規(guī)作圖，并學(xué)會(huì)用尺規(guī)作圖完成一些作圖問題，請仔細(xì)思考回顧，判斷以下操作能否通過尺規(guī)作圖實(shí)現(xiàn)，可以實(shí)現(xiàn)的畫√，不能實(shí)現(xiàn)的畫×．（1）過一點(diǎn)作一條直線．()（2）過兩點(diǎn)作一條直線．()（3）畫一條長為3㎝的線段．()（4）以一點(diǎn)為圓心，給定線段長為半徑作圓．()【回顧思考】還記得我們用尺規(guī)作圖完成的第一個(gè)問題嗎？那就是“作一條線段等于已知線段”，接著，我們學(xué)習(xí)了使用尺規(guī)作圖作線段的垂直平分線，作角平分線，過直線外一點(diǎn)作垂線……而這些尺規(guī)作圖的背后都與我們學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)原理密切相關(guān)，下面是用尺規(guī)作一個(gè)角等于已知角的方法及說理，請補(bǔ)全過程．已知：∠AOB．求作：∠A'作法：（1）如圖，以O(shè)為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交OA，OB于點(diǎn)C，D；（2）畫一條射線O'A'，以點(diǎn)O'為圓心，OC長為半徑畫弧，交（3）以點(diǎn)C'為圓心，____________________（4）過點(diǎn)D'畫射線O'B說理：由作法得已知：OC=求證：∠證明：∵∴ΔOCD?ΔO'C所以∠A'O【小試牛刀】請按照上面的范例，完成尺規(guī)作圖并說理：過直線外一點(diǎn)作已知直線的平行線．已知：直線l與直線外一點(diǎn)A．求作：過點(diǎn)A的直線l'，使得l//【創(chuàng)新應(yīng)用】現(xiàn)實(shí)生活中許多圖案設(shè)計(jì)都蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)原理，下面是一個(gè)常見商標(biāo)的設(shè)計(jì)示意圖．假設(shè)你擁有一家書店，請利用你手中的刻度尺和圓規(guī)，為你的書店設(shè)計(jì)一個(gè)圖案．要求保留作圖痕跡，并寫出你的設(shè)計(jì)意圖．【題型13三角形的三邊關(guān)系與全等三角形的綜合】【例13】（2023春·廣東廣州·八年級統(tǒng)考期中）Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC(1)如圖1，若BC＝4，則S△EBC＝(2)如圖2，點(diǎn)M在BE上，且CM⊥BE于M，過點(diǎn)A作AF⊥BE于F，D為AC中點(diǎn)，連接FD并延長，交CM于點(diǎn)H．求證：MF＝(3)如圖3，連接BM，EM，過點(diǎn)B作BM'⊥BM于點(diǎn)B，且滿足BM'＝BM，連接AM'，MM'，過點(diǎn)B作BG⊥CE于點(diǎn)【變式13-1】（2023春·四川樂山·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，BC=12，AD平分∠BAC，點(diǎn)E為AC中點(diǎn)，AD與BE相交于點(diǎn)F．(1)若∠ABC=40°，∠C=80°，求∠ADB的度數(shù)；(2)如圖1，若AB=10，求線段BE的長的取值范圍；(3)如圖2，過點(diǎn)B作BH⊥AD交AD延長線于點(diǎn)H，設(shè)△BFH，△AEF的面積分別為S1，S2，若AB-AC=4，試求S【變式13-2】（2023春·廣東深圳·八年級統(tǒng)考期末）定理：三角形任意兩邊之和大于第三邊．(1)如圖1，線段AD，BC交于點(diǎn)E，連接AB，CD，判斷AD+BC與AB+CD的大小關(guān)系，并說明理由；(2)如圖2，OC平分∠AOB，P為OC上任意一點(diǎn)，在OA，OB上截取OE=OF，連接PE，PF．求證：PE=PF；(3)如圖3，在△ABC中，AB>AC，P為角平分線AD上異于端點(diǎn)的一動(dòng)點(diǎn)，求證：PB-PC>BD-CD．【變式13-3】（2023春·湖南長沙·八年級統(tǒng)考期中）閱讀理解：課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問題:在△ABC中，AB=7，AC=3，求BC邊上的中線AD的取值范圍．(1)小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法（如圖1）:①延長AD到Q使得DQ=AD；②再連接BQ，把AB、AC、2AD集中在△ABQ中；③利用三角形的三邊關(guān)系可得4<AQ<10，則AD的取值范圍是___________．感悟：解題時(shí)，條件中若出現(xiàn)“中點(diǎn)”“中線”等條件，可以考慮倍長中線，構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集中到同一個(gè)三角形中．(2)請寫出圖1中AC與BQ的位置關(guān)系并證明；(3)思考：已知，如圖2，AD是△ABC的中線，AB=AE，AC=AF，∠BAE=∠FAC=90°，試探究線段AD與EF的數(shù)量和位置關(guān)系，并加以證明．【題型14全等三角形的動(dòng)態(tài)問題】【例14】（2023春·江蘇蘇州·八年級蘇州工業(yè)園區(qū)星灣學(xué)校校考階段練習(xí)）如圖，△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8．點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)沿A→C→B路徑向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，終點(diǎn)為B點(diǎn)；點(diǎn)Q從B點(diǎn)出發(fā)沿B→C→A路徑向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，終點(diǎn)為A點(diǎn)．點(diǎn)P和Q分別以每秒1和3的運(yùn)動(dòng)速度同時(shí)開始運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)都要到相應(yīng)的終點(diǎn)時(shí)才能停止運(yùn)動(dòng)，在某時(shí)刻，分別過P和Q作PE⊥l于E、作QF⊥l于F，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)秒時(shí)，以P、E、C為頂點(diǎn)的三角形和以Q、F、C為頂點(diǎn)的三角形全等．【變式14-1】（2023春·八年級課時(shí)練習(xí)）如圖，CAAB，垂足為點(diǎn)A，AB=24cm，AC=12cm，射線BMAB，垂足為點(diǎn)B，一動(dòng)點(diǎn)E從A點(diǎn)出發(fā)以3cm/s沿射線AN運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)D為射線BM上一動(dòng)點(diǎn)，隨著E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，且始終保持ED=CB，當(dāng)點(diǎn)E經(jīng)過(

)秒時(shí)，△DEB與△BCA全等．（注：點(diǎn)E與A不重合）（

）A．4 B．4、8 C．4、8、12 D．4、12、16【變式14-2】（2023春·安徽合肥·八年級合肥市第四十五中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=9cm，AC=12cm，AB=15cm，現(xiàn)有一動(dòng)點(diǎn)P，從點(diǎn)A出發(fā)沿著三角形的邊AC→CB→BA運(yùn)動(dòng)回到點(diǎn)A停止，速度為3cm/（1）如上圖，當(dāng)t=時(shí)，△APB的面積等于△ABC面積的一半；（2）如圖，在△DEF中，∠E=90°，DE=4cm，DF=5cm，∠D=∠A．在△ABC的邊上，若另外有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)Q，與點(diǎn)P同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)，沿著邊AB→BC→CA運(yùn)動(dòng)回到點(diǎn)A停止，在兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中的某一時(shí)刻，恰好△APQ與△DEF全等，則點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度是cm/s．【變式14-3】（2023春·江蘇蘇州·八年級蘇州市立達(dá)中學(xué)校校考期末）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD=BC=16，BD=24，點(diǎn)E從點(diǎn)D出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度沿DA向點(diǎn)A勻速移動(dòng)，點(diǎn)F從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒6個(gè)單位的速度，沿C→B→C做勻速移動(dòng)，點(diǎn)G從點(diǎn)B出