專題1.13 三角形的初步知識章末十六大題型總結(jié)(拔尖篇)(浙教版)(原卷版)_第1頁
專題1.13 三角形的初步知識章末十六大題型總結(jié)(拔尖篇)(浙教版)(原卷版)_第2頁
專題1.13 三角形的初步知識章末十六大題型總結(jié)(拔尖篇)(浙教版)(原卷版)_第3頁
專題1.13 三角形的初步知識章末十六大題型總結(jié)(拔尖篇)(浙教版)(原卷版)_第4頁
專題1.13 三角形的初步知識章末十六大題型總結(jié)(拔尖篇)(浙教版)(原卷版)_第5頁
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文檔簡介

專題1.13三角形的初步知識章末十六大題型總結(jié)(拔尖篇)【浙教版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1利用三角形的中線求面積】 1【題型2利用三角形的三邊關(guān)系求線段的最值或取值范圍】 3【題型3利用三角形的三邊關(guān)系化簡或證明】 3【題型4與角平分線有關(guān)的三角形角的計算問題】 4【題型5與平行線有關(guān)的三角形角的計算問題】 6【題型6與折疊有關(guān)的三角形角的計算問題】 8【題型7多邊形中的閱讀理解類問題】 10【題型8與多邊形內(nèi)角和有關(guān)的角度探究問題】 13【題型9由全等三角形的判定與性質(zhì)求最值】 16【題型10由全等三角形的判定與性質(zhì)探究線段的和差關(guān)系】 17【題型11由全等三角形的判定與性質(zhì)求面積】 18【題型12尺規(guī)作圖與全等三角形的綜合】 19【題型13三角形的三邊關(guān)系與全等三角形的綜合】 23【題型14全等三角形的動態(tài)問題】 25【題型15全等三角形與坐標(biāo)系的綜合運(yùn)用】 26【題型16全等三角形中的多結(jié)論問題】 28【題型1利用三角形的中線求面積】【例1】(2023春·貴州畢節(jié)·八年級統(tǒng)考期末)如圖,在△ABC中,AG=BG,BD=DE=EC,CF=4AF,若四邊形DEFG的面積為28,則△ABC的面積為(

A.60 B.56 C.70 D.48【變式1-1】(2023秋·黑龍江哈爾濱·八年級??计谀┤鐖D,在△ABC中,BF=2FD,EF=FC,若△BEF的面積為4,則四邊形AEFD的面積為.【變式1-2】(2023春·江蘇連云港·八年級統(tǒng)考期末)如圖,點(diǎn)C為直線AB外一動點(diǎn),AB=6,連接CA、CB,點(diǎn)D、E分別是AB、BC的中點(diǎn),連接AE、CD交于點(diǎn)F,當(dāng)四邊形BEFD的面積為

【變式1-3】(2023春·江蘇鹽城·八年級統(tǒng)考期末)【問題情境】蘇科版數(shù)學(xué)課本八年級下冊上有這樣一道題:如圖1,AD是△ABC的中線,△ABC與△ABD的面積有怎樣的數(shù)量關(guān)系?小旭同學(xué)在圖1中作BC邊上的高AE,根據(jù)中線的定義可知BD=CD.又因?yàn)楦逜E相同,所以S△ABD=S

【深入探究】(1)如圖2,點(diǎn)D在△ABC的邊BC上,點(diǎn)P在AD上.①若AD是△ABC的中線,求證:S△APB②若BD=3DC,則S△APB:【拓展延伸】(2)如圖3,分別延長四邊形ABCD的各邊,使得點(diǎn)A、B、C、D分別為DH、AE、BF、CG的中點(diǎn),依次連結(jié)E、F、G、H得四邊形EFGH.①求證:S△HDG②若S四邊形ABCD=3,則【題型2利用三角形的三邊關(guān)系求線段的最值或取值范圍】【例2】(2023春·河北保定·八年級統(tǒng)考期末)如圖,∠AOB<90°,點(diǎn)M在OB上,且OM=6,點(diǎn)M到射線OA的距離為a,點(diǎn)P在射線OA上,MP=x.若△OMP的形狀,大小是唯一確定的,則x的取值范圍是(

A.x=a或x≥6 B.x≥6 C.x=6 D.x=6或x>a【變式2-1】(2023秋·安徽合肥·八年級統(tǒng)考期末)不等邊△ABC的兩條高的長度分別為4和12,若第三條高也為整數(shù),那么它的長度最大值是【變式2-2】(2023秋·安徽·八年級期末)一個三角形的兩邊長分別為5和7,設(shè)第三邊上的中線長為x,則x的取值范圍是(

)A.x>5 B.x<7 C.2<x<12 D.1<x<6【變式2-3】(2023秋·浙江杭州·八年級期末)設(shè)a,b,c表示一個三角形三邊的長,且他們都是自然數(shù),其中a≤b≤c,若b=2020,則滿足此條件的三角形共有個.【題型3利用三角形的三邊關(guān)系化簡或證明】【例3】(2023·八年級單元測試)如圖,已知點(diǎn)O為ΔABC內(nèi)任意一點(diǎn).證明:(1)OA+OB+OC>1(2)AB+AC+BC>OA+OB+OC.(3)若A,B,C為三個城鎮(zhèn),AB+AC+BC=10km,要在ΔABC內(nèi)建造供水站O向三個城鎮(zhèn)按如圖路線供水,則所需供水管長度應(yīng)滿足什么條件?【變式3-1】(2023春·八年級課時練習(xí))已知a,b,c是一個三角形的三邊長,化簡|2a+b﹣c|﹣|b﹣2a﹣c|+|﹣a﹣b﹣2c|.【變式3-2】(2023春·全國·八年級專題練習(xí))如圖1,點(diǎn)P是△ABC內(nèi)部一點(diǎn),連接BP,并延長交AC于點(diǎn)D.(1)試探究AB+BC+CA與2BD的大小關(guān)系;(2)試探究AB+AC與PB+PC的大小關(guān)系;(3)如圖2,點(diǎn)D,E是△ABC內(nèi)部兩點(diǎn),試探究AB+AC與BD+DE+CE的大小關(guān)系.【變式3-3】(2023春·六年級單元測試)如圖,草原上有四口油井,位于四邊形ABCD的四個頂點(diǎn)上,現(xiàn)在要建立一個維修站H,試問H建在何處,才能使它到四口油井的距離之和HA+HB+HC+HD最小,說明理由【題型4與角平分線有關(guān)的三角形角的計算問題】【例4】(2023春·江蘇蘇州·八年級太倉市第一中學(xué)??计谥校┤鐖D1,在△ABC中,BD平分∠ABC,CD平分∠ACB.(1)若∠A=60°,則∠BDC的度數(shù)為_________;(2)若∠A=α,直線MN經(jīng)過點(diǎn)D.①如圖2,若MN∥AB,求∠NDC-∠MDB的度數(shù)(用含α的代數(shù)式表示);②如圖3,若MN繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn),分別交線段BC,AC于點(diǎn)M,N,試問旋轉(zhuǎn)過程中∠NDC-∠MDB的度數(shù)是否會發(fā)生改變?若不變,求出∠NDC-∠MDB的度數(shù)(用含α的代數(shù)式表示),若改變,請說明理由;③如圖4,繼續(xù)旋轉(zhuǎn)直線MN,與線段AC交于點(diǎn)N,與CB的延長線交于點(diǎn)M,請直接寫出∠NDC與∠MDB的關(guān)系(用含α的代數(shù)式表示).【變式4-1】(2023秋·河南漯河·八年級校考期中)(1)在圖1中,請直接寫出∠A(2)如果圖2中,∠D=40°,∠B=36°,AP與CP分別是∠DAB(3)如果圖2中∠D和∠B為任意角,其他條件不變,試問∠P與∠【變式4-2】(2023春·江蘇揚(yáng)州·八年級校聯(lián)考期中)∠MON=90°,點(diǎn)A,B分別在OM、ON上運(yùn)動(不與點(diǎn)O重合).(1)如圖①,AE、BE分別是∠BAO和∠ABO的平分線,隨著點(diǎn)A、點(diǎn)B的運(yùn)動,當(dāng)AO=BO時∠AEB=°;(2)如圖②,若BC是∠ABN的平分線,BC的反向延長線與∠OAB的平分線交于點(diǎn)D,隨著點(diǎn)A,B的運(yùn)動∠D的大小會變嗎?如果不會,求∠D的度數(shù);如果會,請說明理由;(3)如圖③,延長MO至Q,延長BA至G,已知∠BAO,∠OAG的平分線與∠BOQ的平分線及其延長線相交于點(diǎn)E、F,在△AEF中,如果有一個角是另一個角的3倍,求∠ABO的度數(shù).【變式4-3】(2023秋·安徽宣城·八年級校考期中)如圖1,∠MON=90°,點(diǎn)A、B分別在OM、ON上運(yùn)動(不與點(diǎn)O重合).(1)若BC是∠ABN的平分線,BC的反方向延長線與∠BAO的平分線交于點(diǎn)D.①若∠BAO=60°,則∠D=______°;②猜想:∠D的度數(shù)是否隨A,B的移動發(fā)生變化?并說明理由.(2)如圖2,若∠OAD=35∠OAB,∠NBC=35(3)若將∠MON=90°改為∠MON=120°(如圖3),∠OAD=mn∠OAB,∠NBC=mn∠NBA,其余條件不變,則∠D=______(用含【題型5與平行線有關(guān)的三角形角的計算問題】【例5】(2023春·遼寧盤錦·八年級統(tǒng)考期末)(1)問題情境:如圖1,AB∥CD,∠PMB=140°,∠PND=120°,求∠MPN的度數(shù);(2)問題遷移:在(1)的條件下,如圖2,∠AMP的角平分線與∠CNP的角平分線交于點(diǎn)F,則∠MFN的度數(shù)為多少?請說明理由;(3)問題拓展:如圖3,AB∥CD,點(diǎn)P在射線OM上移動時(點(diǎn)P與點(diǎn)O,M,D三點(diǎn)不重合),記∠PAB=α,∠PCD=β,請直接寫出∠APC與α,β之間的數(shù)量關(guān)系.【變式5-1】(2023春·河北石家莊·八年級統(tǒng)考期末)如圖,AB∥CD,點(diǎn)P在直線AB上,作∠BPM=50°,交CD于點(diǎn)M,點(diǎn)F是直線CD上的一個動點(diǎn),連接PF,PE⊥CD于點(diǎn)E,PN平分∠MPF.

(1)若點(diǎn)F在點(diǎn)E左側(cè)且∠PFM=32°,求∠NPE的度數(shù);(2)當(dāng)點(diǎn)F在線段EM(不與點(diǎn)M,E重合)上時,設(shè)∠PFM=α°,直接寫出∠NPE的度數(shù)(用含α的代數(shù)式表示);(3)將射線PF從(1)中的位置開始以每秒10°的速度繞點(diǎn)P逆時針旋轉(zhuǎn)至PM的位置,轉(zhuǎn)動的時間為t秒,求當(dāng)t為何值時,△FPM為直角三角形.【變式5-2】(2023春·遼寧大連·八年級統(tǒng)考期中)如圖,AB//CD,點(diǎn)O在直線CD上,點(diǎn)P在直線AB和CD之間,∠ABP=∠PDQ=α,PD平分∠BPQ.(1)求∠BPD的度數(shù)(用含α的式子表示);(2)過點(diǎn)D作DE//PQ交PB的延長線于點(diǎn)E,作∠DEP的平分線EF交PD于點(diǎn)F,請在備用圖中補(bǔ)全圖形,猜想EF與PD的位置關(guān)系,并證明;(3)將(2)中的“作∠DEP的平分線EF交PD于點(diǎn)F”改為“作射線EF將∠DEP分為1:3兩個部分,交PD于點(diǎn)F”,其余條件不變,連接EQ,若EQ恰好平分∠PQD,請直接寫出∠FEQ=__________(用含α的式子表示).【變式5-3】(2023春·湖北省直轄縣級單位·八年級校考期中)已知MN∥PQ,點(diǎn)D是直線(1)如圖1,現(xiàn)有一塊含30°角的直角三角板(∠CAB=30°,∠ACB=60°,∠ABC=90°),將其點(diǎn)A固定在直線MN上,并按圖1位置擺放,使∠MAC=30°,點(diǎn)B恰好落在射線DE上,此時,∠PDE=20°,求∠ABD的度數(shù);(2)現(xiàn)將射線DE從圖1的位置開始以每秒2度的速度繞點(diǎn)D順時針旋轉(zhuǎn),轉(zhuǎn)到與DQ重合時停止,三角板按圖1擺放不動,設(shè)旋轉(zhuǎn)時間為t秒,在旋轉(zhuǎn)過程中,當(dāng)DE與三角板的一邊平行時,求t的值;(3)若將射線DE從圖1的位置開始以每秒2度的速度繞點(diǎn)D順時針旋轉(zhuǎn),同時,將三角板ABC也從圖1的位置開始以每秒4度的速度繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn),在旋轉(zhuǎn)過程中,∠MAC的角平分線AH與∠PDE的角平分線DF交于點(diǎn)O.①如圖2,當(dāng)DF∥BC時,∠AOD=②如圖3,當(dāng)DF∥BA時,∠AOD=【題型6與折疊有關(guān)的三角形角的計算問題】【例6】(2023秋·山東臨沂·八年級統(tǒng)考期末)有一張正方形紙片ABCD,點(diǎn)E是邊AB上一定點(diǎn),在邊AD上取點(diǎn)F,沿著EF折疊,點(diǎn)A落在點(diǎn)A′處,在邊BC上取一點(diǎn)G,沿EG折疊,點(diǎn)B落在點(diǎn)B′處.(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)B落在直線A′E上時,猜想兩折痕的夾角∠FEG的度數(shù)并說明理由.(2)當(dāng)∠A′EB′=13∠B′EB時,設(shè)∠A′EB′=x①試用含x的代數(shù)式表示∠FEG的度數(shù).②探究EB′是否可能平分∠FEG,若可能,求出此時∠FEG的度數(shù);若不可能,請說明理由.【變式6-1】(2023春·河北石家莊·八年級統(tǒng)考期末)(1)如圖1,將一張三角形紙片ABC沿著AD折疊,使點(diǎn)C落在邊AB上的C處,若∠CAB=70°,則∠CAD=______°;(2)如圖2,將一張三角形紙片ABC沿著DE折疊(點(diǎn)D,E分別在邊AB和AC上),并使得點(diǎn)A和點(diǎn)A'重合,若∠A=70°,則∠1+∠2=______°(3)如圖3,將長方形紙片沿著BC和BD折疊成如圖所示的形狀,BE和BI重合,①∠CBD的度數(shù)是多少?請說明理由;②如果∠IBD=58°17',求【變式6-2】(2023秋·江西南昌·八年級校聯(lián)考期末)我們在小學(xué)已經(jīng)學(xué)習(xí)了“三角形內(nèi)角和等于180°”.在三角形紙片中,點(diǎn)D,E分別在邊AC,BC上,將∠C沿DE折疊,點(diǎn)C落在點(diǎn)C'(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)C落在邊BC上時,若∠ADC'=58°,則∠C=______,可以發(fā)現(xiàn)∠ADC'(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)C落在△ABC內(nèi)部時,且∠BEC'=42°,∠AD(3)如圖3,當(dāng)點(diǎn)C落在△ABC外部時,若設(shè)∠BEC'的度數(shù)為x,∠ADC'的度數(shù)為y,請求出∠C與【變式6-3】(2023春·江蘇·八年級統(tǒng)考期中)將一張三角形紙片ABC的一角折疊,使得點(diǎn)A落A'的位置,折痕為DE(1)當(dāng)點(diǎn)A落在四邊形BCDE的外部A'的位置且A'與點(diǎn)C在直線①如圖1,若∠C=90°,∠A=30°,求∠1-∠2的度數(shù);②如圖2,請寫出∠1、∠2和∠A的關(guān)系并證明;(2)如圖3,有一張三角形紙片ABC,∠A=30°,∠C=50°,若點(diǎn)E是AB邊上的固定點(diǎn)(AE<12AB),請在AC上找一點(diǎn)D,將紙片沿DE折疊,DE為折痕點(diǎn)A落在A'處,使A'【題型7多邊形中的閱讀理解類問題】【例7】(2023·全國·八年級專題練習(xí))閱讀材料:兩個三角形各有一個角互為對頂角,這兩個三角形叫做對頂三角形.解決問題:如圖,△AOD與△BOC是對頂三角形.

(1)試說明:∠DAO+∠D=∠OBC+∠C;(2)試?yán)蒙鲜鼋Y(jié)論解決下列問題:若AP、BP分別平分∠DAC與∠DBC,∠C=m°,∠D=n°,①求∠P的度數(shù)(用含m、n的代數(shù)式表示);②若AQ、BQ分別平分∠EAC與∠DBF,120°≤∠Q≤150°,求m+n的取值范圍.【變式7-1】(2023秋·山西大同·八年級統(tǒng)考期中)閱讀材料:解決問題:(1)如圖1,四邊形ABCD是凹四邊形,請?zhí)骄俊螧DC(∠BDC<180°)與∠B,∠D,∠BAC三個角之間的等量關(guān)系.小明得出的結(jié)論是:∠BDC=∠BAC+∠B+∠C,他證明如下.請你將小明的證明過程補(bǔ)充完整.證明:連接AD并延長AD到點(diǎn)E.聯(lián)系拓廣:(2)下面圖2的五角星和圖3的六角星都是一筆畫成的(即從圖形上的某一頂點(diǎn)出發(fā),找出一條路線,用筆不離開紙,連續(xù)不斷又不重復(fù)經(jīng)過圖形上所有部分畫成的).請你根據(jù)上述解決問題的思路,解答下列問題:①圖2中,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度數(shù)為°;②圖3中,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù)為°.【變式7-2】(2023春·山西臨汾·八年級統(tǒng)考期末)請閱讀下列材料,并完成相應(yīng)的任務(wù).已知“三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和”,那么五邊形的外角與內(nèi)角之間又有什么關(guān)系呢?

如圖1,在五邊形ABCDE中,∠1,∠2是它的兩個外角,則∠1+∠2=∠A+∠B+∠C-180°.下面是該結(jié)論的證明過程(部分):∵五邊形的內(nèi)角和為540°,∴∠A+∠B+∠C+∠3+∠4=540°.……(1)按照上面的證明思路,完成證明的剩余部分.(2)知識應(yīng)用:如圖2,在五邊形ABCDE中,EF,DF分別是∠DEH和∠EDG的平分線,若∠A+∠B+∠C=320°,求∠F的度數(shù);(3)拓展提升:如圖3,∠C=∠E=90°,∠ABH=23∠ABF,∠GFH=23∠BFG【變式7-3】(2023秋·山東青島·八年級山東省青島第二十六中學(xué)校聯(lián)考期末)閱讀材料,回答下列問題:【材料提出】“八字型”是數(shù)學(xué)幾何的常用模型,通常由一組對頂角所在的兩個三角形構(gòu)成.【探索研究】探索一:如圖1,在八字形中,探索∠A、∠B、∠C、∠D之間的數(shù)量關(guān)系為;探索二:如圖2,若∠B=36°,∠D=14°,求∠P的度數(shù)為;探索三:如圖3,CP、AG分別平分∠BCE、∠FAD,AG反向延長線交CP于點(diǎn)P,則∠P、∠B、∠D之間的數(shù)量關(guān)系為.【模型應(yīng)用】應(yīng)用一:如圖4,在四邊形MNCB中,設(shè)∠M=α,∠N=β,α+β>180°,四邊形的內(nèi)角∠MBC與外角∠NCD的角平分線BP,CP相交于點(diǎn)P.則∠A=(用含有α和β的代數(shù)式表示),∠P=.(用含有α和β的代數(shù)式表示)應(yīng)用二:如圖5,在四邊形MNCB中,設(shè)∠M=α,∠N=β,α+β<180°,四邊形的內(nèi)角∠MBC與外角∠NCD的角平分線所在的直線相交于點(diǎn)P,∠P=.(用含有α和β的代數(shù)式表示)【拓展延伸】拓展一:如圖6,若設(shè)∠C=x,∠B=y(tǒng),∠CAP=13∠CAB,∠CDP=13∠CDB,試問∠P與∠C、∠B之間的數(shù)量關(guān)系為.(用x、y表示∠拓展二:如圖7,AP平分∠BAD,CP平分∠BCD的鄰補(bǔ)角∠BCE,猜想∠P與∠B、∠D的關(guān)系,直接寫出結(jié)論.【題型8與多邊形內(nèi)角和有關(guān)的角度探究問題】【例8】(2023春·江蘇·八年級期末)如圖1,已知∠ACD是△ABC的一個外角,我們?nèi)菀鬃C明∠ACD=∠A+∠B,即三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和.那么,三角形的一個內(nèi)角與它不相鄰的兩個外角的和之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系呢?嘗試探究;(1)如圖2,∠DBC與∠ECB分別為△ABC的兩個外角,則∠DBC+∠ECB______∠A+180°(選填“>”“<”或“=”),并說明理由;初步應(yīng)用:(2)如圖3,在△ABC紙片中剪去△CED,得到四邊形ABDE,∠1=135°,∠2=100°,則∠C=______;(直接寫出答案)拓展延伸:(3)如圖4,在△ABC中,BP,CP分別平分外角∠DBC,∠ECB,∠P與∠A有何數(shù)量關(guān)系?請利用上面的結(jié)論直接寫出答案:______;解決問題:(4)如圖5,在四邊形ABCD中,BP,CP分別平分外角∠EBC,∠FCB,請利用上面的結(jié)論探究∠P與∠A,∠D的數(shù)量關(guān)系.【變式8-1】(2023春·江蘇南京·八年級統(tǒng)考期中)研究一個問題:多邊形的一個外角與它不相鄰的內(nèi)角之和具有怎樣的數(shù)量關(guān)系?

【回顧】如圖①,請直接寫出∠BCD與∠A、∠B之間的數(shù)量關(guān)系:______.【探究】如圖②,∠ADE是四邊形ABCD的外角,求證:∠ADE=∠A+∠B+∠C-180°.【結(jié)論】若n邊形的一個外角為x°,與其不相鄰的內(nèi)角之和為y°,則x,y與n的數(shù)量關(guān)系是______.【變式8-2】(2023春·江蘇蘇州·八年級星海實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考階段練習(xí))【探究】(1)如圖1,∠ADC=120°,∠BCD=130°,∠DAB和∠CBE的平分線交于點(diǎn)F,則∠AFB=______°;(2)如圖2,∠ADC=α,∠BCD=β,且α+β>180°,∠DAB和∠CBE的平分線交于點(diǎn)F,則∠AFB=______;(用α、β表示)(3)如圖3,∠ADC=α,∠BCD=β,當(dāng)∠DAB和∠CBE的平分線AG、BH平行時,α、β應(yīng)該滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系?請證明你的結(jié)論.【挑戰(zhàn)】(4)如果將(2)中的條件α+β>180°改為α+β<180°,再分別作∠DAB和∠CBE的平分線,交于點(diǎn)F,那么∠F與α、β有怎樣的數(shù)量關(guān)系?畫出圖形并直接寫出結(jié)論.【變式8-3】(2023春·江蘇·八年級期末)如圖1至圖2,在△ABC中,∠BAC=α,點(diǎn)D在邊AC所在直線上,作DE垂直于直線BC,垂足為點(diǎn)E,BM為△ABC的角平分線,∠ADE的平分線交直線BC于點(diǎn)G.(1)特例感悟:如圖1,延長AB交DG于點(diǎn)F,若BM∥DG,∠F=30°.解決問題:①∠ABC=_______°;②求證:AC⊥AB;(2)深入探究;如圖2,當(dāng)α<90°,DG與BM反向延長線交于點(diǎn)H,用含α的代數(shù)式表示∠BHD=______;(3)拓展延伸:當(dāng)點(diǎn)D在直線AC上移動時,若射線DG與射線BM相交,設(shè)交點(diǎn)為N,直接寫出∠BND與α的關(guān)系式.【題型9由全等三角形的判定與性質(zhì)求最值】【例9】(2023春·北京朝陽·八年級統(tǒng)考期末)如圖,Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,D,E為AB邊上的兩個動點(diǎn),且AD=BE,連接CD,CE,若AC=2,則CD+CE的最小值為.【變式9-1】(2023春·八年級課時練習(xí))如圖,在Rt△ABC中,∠A=90°,M為BC的中點(diǎn),H為AB上一點(diǎn),過點(diǎn)C作CG∥AB,交HM的延長線于點(diǎn)G,若AC=8,AB=6,則四邊形ACGH周長的最小值是.【變式9-2】(2023春·江蘇鹽城·八年級統(tǒng)考期中)如圖,在四邊形ABCD中,∠A=90°,AD=3,連接BD,BD⊥CD,BD平分∠ABC.若P是BC邊上一動點(diǎn),則DP長的最小值為.【變式9-3】(2023春·八年級課時練習(xí))如圖,在直角△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3,AB=5,AD平分∠BAC,N是AC上一動點(diǎn)(不與A,C重合),M是AD上一動點(diǎn)(不與A,D重合),則CM+MN的最小值為.【題型10由全等三角形的判定與性質(zhì)探究線段的和差關(guān)系】【例10】(2023春·河南鄭州·七年級統(tǒng)考期末)回答問題(1)【初步探索】如圖1,在四邊形ABCD中,AB=AD,∠B=∠ADC=90°,E、F分別是BC、CD上的點(diǎn),且EF=BE+FD,探究圖中∠BAE、∠FAD、∠EAF之間的數(shù)量關(guān)系,小王同學(xué)探究此問題的方法是:延長FD到點(diǎn)G,使DG=BE,連接AG,先證明△ABE≌△ADG(2)【靈活運(yùn)用】如圖2,若在四邊形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°,E、F分別是BC、CD上的點(diǎn),且(3)【拓展延伸】已知在四邊形ABCD中,∠ABC+∠ADC=180°,AB=AD,若點(diǎn)E在CB的延長線上,點(diǎn)F在CD的延長線上,如圖3,仍然滿足EF=BE+FD,請直接寫出∠EAF與∠DAB的數(shù)量關(guān)系.【變式10-1】(2023春·上?!て吣昙壠谀┮阎旱冗叀鰽BC邊長為3,點(diǎn)D、點(diǎn)E分別在射線AB、射線BC上,且BD=CE=a(0<a<3),將直線DE繞點(diǎn)E順時針旋轉(zhuǎn)60°,得到直線EF交直線AC于點(diǎn)F.(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)D在線段AB上,點(diǎn)E在線段BC上時,說明BD+CF=3的理由.(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)D在線段AB上,點(diǎn)E在線段BC的延長線上時,請判斷線段BD,CF之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由.(3)當(dāng)點(diǎn)D在線段AB延長線上時,線段BD,CF之間的數(shù)量關(guān)系又如何?請在備用圖中畫圖探究,并直接寫出線段BD,CF之間的數(shù)量關(guān)系.【變式10-2】(2023春·陜西西安·八年級西安益新中學(xué)??茧A段練習(xí))(1)某學(xué)習(xí)小組在探究三角形全等時,發(fā)現(xiàn)了下面這種典型的基本圖形.如圖1,已知:在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,直線l經(jīng)過點(diǎn)A,BD⊥直線l,CE⊥直線l,垂足分別為點(diǎn)D、E.證明:DE=BD+CE.(2)組員小劉想,如果三個角不是直角,那結(jié)論是否會成立呢?如圖2,將(1)中的條件改為:在△ABC中,AB=AC,D、A、E三點(diǎn)都在直線l上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α,其中α為任意銳角或鈍角.請問結(jié)論DE=BD+CE是否成立?如成立,請你給出證明;若不成立,請說明理由.(3)數(shù)學(xué)老師贊賞了他們的探索精神,并鼓勵他們運(yùn)用這個知識來解決問題:如圖3,過△ABC的邊AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG,AH是BC邊上的高,延長HA交EG于點(diǎn)I,求證:I是【變式10-3】(2023春·上海靜安·八年級校考期中)如圖,在△ABC中,∠BAC=10.5°,AD是∠BAC的平分線,過點(diǎn)A作DA的垂線交BC延長線于點(diǎn)M,若BM=BA+AC,則∠ABC的度數(shù)是

【題型11由全等三角形的判定與性質(zhì)求面積】【例11】(2023春·廣東深圳·八年級??茧A段練習(xí))如圖,△ABC中,BC=10,AC-AB=5,AD是∠BAC的角平分線,CD⊥AD,則S△BDC的最大值為

【變式11-1】(2023春·黑龍江哈爾濱·八年級統(tǒng)考期末)如圖,已知四邊形ABCD,連接AC、BD,∠BAC=∠ADC=90°,AB=AC,若AD=5,則△ABD的面積等于

【變式11-2】(2023春·江蘇南京·八年級南京市科利華中學(xué)??计谥校┤鐖D,Rt△ABC中,∠C=90°,分別以AB、AC、BC為邊在AB同側(cè)作正方形ABDE、ACPQ、BCMN,四塊陰影部分面積分別為S1、S2、S3、S4,若【變式11-3】(2023春·江蘇鹽城·八年級景山中學(xué)??计谀┮阎骸鰽BC中,∠ACB=90°,AC=CB,D為射線CB上一動點(diǎn),連接AD,在直線AC右側(cè)作AE⊥AD,且AE=AD.連接BE交直線AC于M,若2AC=7CM,則S△ADBS△AEM

【題型12尺規(guī)作圖與全等三角形的綜合】【例12】(2023春·全國·八年級專題練習(xí))如圖,點(diǎn)B在直線l上,分別以線段BA的端點(diǎn)為圓心,以BC(小于線段BA)長為半徑畫弧,分別交直線l,線段BA于點(diǎn)C,D,E,再以點(diǎn)E為圓心,以CD長為半徑畫弧交前面的弧于點(diǎn)F,畫射線AF.若∠BAF的平分線AH交直線l于點(diǎn)H,∠ABC=70°,則∠AHB的度數(shù)為.【變式12-1】(2023·全國·八年級專題練習(xí))我們通過“三角形全等的判定”的學(xué)習(xí),可以知道“兩邊和它們的夾角分別相等的兩個三角形全等”是一個基本事實(shí),用它可以判定兩個三角形全等;而滿足條件“兩邊和其中一邊所對的角分別相等”的兩個三角形卻不一定全等.下面請你來探究“兩邊和其中一邊所對的角分別相等的兩個三角形不一定全等”.探究:已知△ABC,求作一個△DEF,使EF=BC,∠F=∠C,DE=AB(即兩邊和其中一邊所對的角分別相等).(1)動手畫圖:請依據(jù)下面的步驟,用尺規(guī)完成作圖過程(保留作圖痕跡):①畫EF=BC;②在線段EF的上方畫∠F=∠C;③畫DE=AB;④順次連接相應(yīng)頂點(diǎn)得所求三角形.(2)觀察:觀察你畫的圖形,你會發(fā)現(xiàn)滿足條件的三角形有____個;其中三角形____(填三角形的名稱)與△ABC明顯不全等;(3)小結(jié):經(jīng)歷以上探究過程,可得結(jié)論:______.【變式12-2】(2023春·山西·八年級統(tǒng)考階段練習(xí))綜合與實(shí)踐:在綜合實(shí)踐課上,老師讓同學(xué)們在已知三角形的基礎(chǔ)上,經(jīng)過畫圖,探究三角形邊之間存在的關(guān)系.如圖,已知點(diǎn)D在ΔABC的邊BC的延長線上,過點(diǎn)D作∠BDM=∠B且DM//AB,在DM上截取DE=AB,再作∠DEF=∠A交線段BC于點(diǎn)

實(shí)踐操作(1)尺規(guī)作圖:作出符合上述條件的圖形;探究發(fā)現(xiàn)(2)勤奮小組在作出圖形后,發(fā)現(xiàn)AC//EF,探究應(yīng)用(3)縝密小組在勤奮小組探究的基礎(chǔ)上,測得DF=5,CF=1,求線段BD的長.【變式12-3】(2023春·北京·八年級??计谥校┏咭?guī)作圖之旅下面是一副純手繪的畫作,其中用到的主要工具就是直尺和圓規(guī),在數(shù)學(xué)中,我們也能通過尺規(guī)作圖創(chuàng)造出許多帶有美感的圖形.尺規(guī)作圖起源于古希臘的數(shù)學(xué)課題,只允許使用圓規(guī)和直尺,來解決平面幾何作圖問題.【作圖原理】在兩年的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)里中,我們認(rèn)識了尺規(guī)作圖,并學(xué)會用尺規(guī)作圖完成一些作圖問題,請仔細(xì)思考回顧,判斷以下操作能否通過尺規(guī)作圖實(shí)現(xiàn),可以實(shí)現(xiàn)的畫√,不能實(shí)現(xiàn)的畫×.(1)過一點(diǎn)作一條直線.()(2)過兩點(diǎn)作一條直線.()(3)畫一條長為3㎝的線段.()(4)以一點(diǎn)為圓心,給定線段長為半徑作圓.()【回顧思考】還記得我們用尺規(guī)作圖完成的第一個問題嗎?那就是“作一條線段等于已知線段”,接著,我們學(xué)習(xí)了使用尺規(guī)作圖作線段的垂直平分線,作角平分線,過直線外一點(diǎn)作垂線……而這些尺規(guī)作圖的背后都與我們學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)原理密切相關(guān),下面是用尺規(guī)作一個角等于已知角的方法及說理,請補(bǔ)全過程.已知:∠AOB.求作:∠A'作法:(1)如圖,以O(shè)為圓心,任意長為半徑畫弧,分別交OA,OB于點(diǎn)C,D;(2)畫一條射線O'A',以點(diǎn)O'為圓心,OC長為半徑畫弧,交(3)以點(diǎn)C'為圓心,____________________(4)過點(diǎn)D'畫射線O'B說理:由作法得已知:OC=求證:∠證明:∵∴ΔOCD?ΔO'C所以∠A'O【小試牛刀】請按照上面的范例,完成尺規(guī)作圖并說理:過直線外一點(diǎn)作已知直線的平行線.已知:直線l與直線外一點(diǎn)A.求作:過點(diǎn)A的直線l',使得l//【創(chuàng)新應(yīng)用】現(xiàn)實(shí)生活中許多圖案設(shè)計都蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)原理,下面是一個常見商標(biāo)的設(shè)計示意圖.假設(shè)你擁有一家書店,請利用你手中的刻度尺和圓規(guī),為你的書店設(shè)計一個圖案.要求保留作圖痕跡,并寫出你的設(shè)計意圖.【題型13三角形的三邊關(guān)系與全等三角形的綜合】【例13】(2023春·廣東廣州·八年級統(tǒng)考期中)Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC(1)如圖1,若BC=4,則S△EBC=(2)如圖2,點(diǎn)M在BE上,且CM⊥BE于M,過點(diǎn)A作AF⊥BE于F,D為AC中點(diǎn),連接FD并延長,交CM于點(diǎn)H.求證:MF=(3)如圖3,連接BM,EM,過點(diǎn)B作BM'⊥BM于點(diǎn)B,且滿足BM'=BM,連接AM',MM',過點(diǎn)B作BG⊥CE于點(diǎn)【變式13-1】(2023春·四川樂山·八年級統(tǒng)考期末)如圖,在△ABC中,BC=12,AD平分∠BAC,點(diǎn)E為AC中點(diǎn),AD與BE相交于點(diǎn)F.(1)若∠ABC=40°,∠C=80°,求∠ADB的度數(shù);(2)如圖1,若AB=10,求線段BE的長的取值范圍;(3)如圖2,過點(diǎn)B作BH⊥AD交AD延長線于點(diǎn)H,設(shè)△BFH,△AEF的面積分別為S1,S2,若AB-AC=4,試求S【變式13-2】(2023春·廣東深圳·八年級統(tǒng)考期末)定理:三角形任意兩邊之和大于第三邊.(1)如圖1,線段AD,BC交于點(diǎn)E,連接AB,CD,判斷AD+BC與AB+CD的大小關(guān)系,并說明理由;(2)如圖2,OC平分∠AOB,P為OC上任意一點(diǎn),在OA,OB上截取OE=OF,連接PE,PF.求證:PE=PF;(3)如圖3,在△ABC中,AB>AC,P為角平分線AD上異于端點(diǎn)的一動點(diǎn),求證:PB-PC>BD-CD.【變式13-3】(2023春·湖南長沙·八年級統(tǒng)考期中)閱讀理解:課外興趣小組活動時,老師提出了如下問題:在△ABC中,AB=7,AC=3,求BC邊上的中線AD的取值范圍.(1)小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流,得到了如下的解決方法(如圖1):①延長AD到Q使得DQ=AD;②再連接BQ,把AB、AC、2AD集中在△ABQ中;③利用三角形的三邊關(guān)系可得4<AQ<10,則AD的取值范圍是___________.感悟:解題時,條件中若出現(xiàn)“中點(diǎn)”“中線”等條件,可以考慮倍長中線,構(gòu)造全等三角形,把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集中到同一個三角形中.(2)請寫出圖1中AC與BQ的位置關(guān)系并證明;(3)思考:已知,如圖2,AD是△ABC的中線,AB=AE,AC=AF,∠BAE=∠FAC=90°,試探究線段AD與EF的數(shù)量和位置關(guān)系,并加以證明.【題型14全等三角形的動態(tài)問題】【例14】(2023春·江蘇蘇州·八年級蘇州工業(yè)園區(qū)星灣學(xué)校??茧A段練習(xí))如圖,△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8.點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)沿A→C→B路徑向終點(diǎn)運(yùn)動,終點(diǎn)為B點(diǎn);點(diǎn)Q從B點(diǎn)出發(fā)沿B→C→A路徑向終點(diǎn)運(yùn)動,終點(diǎn)為A點(diǎn).點(diǎn)P和Q分別以每秒1和3的運(yùn)動速度同時開始運(yùn)動,兩點(diǎn)都要到相應(yīng)的終點(diǎn)時才能停止運(yùn)動,在某時刻,分別過P和Q作PE⊥l于E、作QF⊥l于F,當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動秒時,以P、E、C為頂點(diǎn)的三角形和以Q、F、C為頂點(diǎn)的三角形全等.【變式14-1】(2023春·八年級課時練習(xí))如圖,CAAB,垂足為點(diǎn)A,AB=24cm,AC=12cm,射線BMAB,垂足為點(diǎn)B,一動點(diǎn)E從A點(diǎn)出發(fā)以3cm/s沿射線AN運(yùn)動,點(diǎn)D為射線BM上一動點(diǎn),隨著E點(diǎn)運(yùn)動而運(yùn)動,且始終保持ED=CB,當(dāng)點(diǎn)E經(jīng)過(

)秒時,△DEB與△BCA全等.(注:點(diǎn)E與A不重合)(

)A.4 B.4、8 C.4、8、12 D.4、12、16【變式14-2】(2023春·安徽合肥·八年級合肥市第四十五中學(xué)??茧A段練習(xí))如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=9cm,AC=12cm,AB=15cm,現(xiàn)有一動點(diǎn)P,從點(diǎn)A出發(fā)沿著三角形的邊AC→CB→BA運(yùn)動回到點(diǎn)A停止,速度為3cm/(1)如上圖,當(dāng)t=時,△APB的面積等于△ABC面積的一半;(2)如圖,在△DEF中,∠E=90°,DE=4cm,DF=5cm,∠D=∠A.在△ABC的邊上,若另外有一個動點(diǎn)Q,與點(diǎn)P同時從點(diǎn)A出發(fā),沿著邊AB→BC→CA運(yùn)動回到點(diǎn)A停止,在兩點(diǎn)運(yùn)動過程中的某一時刻,恰好△APQ與△DEF全等,則點(diǎn)Q的運(yùn)動速度是cm/s.【變式14-3】(2023春·江蘇蘇州·八年級蘇州市立達(dá)中學(xué)校校考期末)如圖,在四邊形ABCD中,AD∥BC,AD=BC=16,BD=24,點(diǎn)E從點(diǎn)D出發(fā),以每秒2個單位的速度沿DA向點(diǎn)A勻速移動,點(diǎn)F從點(diǎn)C出發(fā),以每秒6個單位的速度,沿C→B→C做勻速移動,點(diǎn)G從點(diǎn)B出

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