專(zhuān)題16 等腰三角形與直角三角形（共25道）（解析版）

專(zhuān)題16等腰三角形與直角三角形（25道）一、單選題1．如圖，直角中，，點(diǎn)O是的重心，連接CO并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作交BC于點(diǎn)F，連接AF交CE于點(diǎn)M，則的值為(

)A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：∵點(diǎn)O是△ABC的重心，∴OC=CE，∵△ABC是直角三角形，∴CE=BE=AE，∵∠B=30°，∴∠FAE=∠B=30°，∠BAC=60°，∴∠FAE=∠CAF=30°，△ACE是等邊三角形，∴CM=CE，∴OM=CE﹣CE=CE，即OM=AE，∵BE=AE，∴EF=AE，∵EF⊥AB，∴∠AFE=60°，∴∠FEM=30°，∴MF=EF，∴MF=AE，∴==．故選D．2．將一副直角三角板和一把寬度為2cm的直尺按如圖方式擺放：先把和角的頂點(diǎn)及它們的直角邊重合，再將此直角邊垂直于直尺的上沿，重合的頂點(diǎn)落在直尺下沿上，這兩個(gè)三角板的斜邊分別交直尺上沿于，兩點(diǎn)，則的長(zhǎng)是（

）

A． B． C．2 D．【答案】B【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得，由含30度角直角三角形的性質(zhì)可得，由勾股定理可得的長(zhǎng)，即可得到結(jié)論．【詳解】解：如圖，在中，，

∴，∴，在中，，∴，∴，∴，∴．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，含角直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．3．如圖，是等腰三角形，．以點(diǎn)B為圓心，任意長(zhǎng)為半徑作弧，交AB于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)G，分別以點(diǎn)F和點(diǎn)G為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)H，作射線(xiàn)BH交AC于點(diǎn)D；分別以點(diǎn)B和點(diǎn)D為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩孤相交于M、N兩點(diǎn)，作直線(xiàn)MN交AB于點(diǎn)E，連接DE．下列四個(gè)結(jié)論：①；②；③；④當(dāng)時(shí)，．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（

）

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)等腰三角形兩底角相等與，得到，根據(jù)角平分線(xiàn)定義得到，根據(jù)線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)性質(zhì)得到，得到，推出，得到，推出，①正確；根據(jù)等角對(duì)等邊得到，，根據(jù)三角形外角性質(zhì)得到，得到，推出，②正確；根據(jù)，得到，推出，③錯(cuò)誤；根據(jù)時(shí)，，得到,推出，④正確．【詳解】∵中，，，∴，由作圖知，平分，垂直平分，∴，，∴，∴，∴，∴，①正確；，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，②正確；設(shè)，，則，，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，即，③錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，∵，∴,∴，④正確∴正確的有①②④，共3個(gè)．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形，相似三角形，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握等腰三角形判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，角平分線(xiàn)的定義和線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)．4．如圖中，，為中點(diǎn)，若點(diǎn)為直線(xiàn)下方一點(diǎn)，且與相似，則下列結(jié)論：①若，與相交于，則點(diǎn)不一定是的重心；②若，則的最大值為；③若，則的長(zhǎng)為；④若，則當(dāng)時(shí)，取得最大值．其中正確的為（

）

A．①④ B．②③ C．①②④ D．①③④【答案】A【分析】①有3種情況，分別畫(huà)出圖形，得出的重心，即可求解；當(dāng)，時(shí)，取得最大值，進(jìn)而根據(jù)已知數(shù)據(jù)，結(jié)合勾股定理，求得的長(zhǎng)，即可求解；③如圖5，若，，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求得，，，進(jìn)而求得，即可求解；④如圖6，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出，在中，，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求取得最大值時(shí)，．【詳解】①有3種情況，如圖，和都是中線(xiàn)，點(diǎn)是重心；如圖，四邊形是平行四邊形，是中點(diǎn)，點(diǎn)是重心；如圖，點(diǎn)不是中點(diǎn)，所以點(diǎn)不是重心；①正確

②當(dāng)，如圖時(shí)最大，，，，，，，②錯(cuò)誤；

③如圖5，若，，∴，，，，，，，∴，，，∴，，∴，∴③錯(cuò)誤；④如圖6，，∴，即，在中，，∴，∴，當(dāng)時(shí)，最大為5，∴④正確．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形重心的定義，勾股定理，相似三角形的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，分類(lèi)討論，畫(huà)出圖形是解題的關(guān)鍵．5．如圖，在中，為的中點(diǎn)．若點(diǎn)在邊上，且，則的長(zhǎng)為（

）

A．1 B．2 C．1或 D．1或2【答案】D【分析】根據(jù)題意易得，然后根據(jù)題意可進(jìn)行求解．【詳解】解：∵，∴，∵點(diǎn)D為的中點(diǎn)，∴，∵，∴，①當(dāng)點(diǎn)E為的中點(diǎn)時(shí)，如圖，

∴，②當(dāng)點(diǎn)E為的四等分點(diǎn)時(shí)，如圖所示：

∴，綜上所述：或2；故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查含30度直角三角形的性質(zhì)及三角形中位線(xiàn)，熟練掌握含30度直角三角形的性質(zhì)及三角形中位線(xiàn)是解題的關(guān)鍵．6．如圖，在中，，以點(diǎn)為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧，分別交于點(diǎn)，分別以點(diǎn)為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在的內(nèi)部相交于點(diǎn)，作射線(xiàn)，交于點(diǎn)，則的長(zhǎng)為（）

A． B． C． D．【答案】D【分析】過(guò)點(diǎn)D作于M，由勾股定理可求得，由題意可證明，則可得，從而有，在中，由勾股定理建立方程即可求得結(jié)果．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)D作于M，如圖，由勾股定理可求得，由題中作圖知，平分，∵，∴，∵，∴，∴，∴；設(shè)，則，在中，由勾股定理得：，解得：，即的長(zhǎng)為為；故選：D．

【點(diǎn)睛】本題考查了作圖：作角平分線(xiàn)，角平分線(xiàn)的性質(zhì)定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，利用全等的性質(zhì)、利用勾股定理建立方程是解題的關(guān)鍵．7．5月26日，“2023中國(guó)國(guó)際大數(shù)據(jù)產(chǎn)業(yè)博覽會(huì)”在貴陽(yáng)開(kāi)幕，在“自動(dòng)化立體庫(kù)”中有許多幾何元素，其中有一個(gè)等腰三角形模型（示意圖如圖所示），它的頂角為，腰長(zhǎng)為，則底邊上的高是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】作于點(diǎn)D，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可得，再根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)即可得出答案．【詳解】解：如圖，作于點(diǎn)D，

中,，，，，，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)等，解題的關(guān)鍵是掌握30度角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半．8．如圖，為等邊三角形，點(diǎn)，分別在邊，上，，若，，則的長(zhǎng)為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】證明，根據(jù)題意得出，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：∵為等邊三角形，∴，∵，，∴，∴∴∵，∴，∴∵∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．9．下面是“作已知直角三角形的外接圓”的尺規(guī)作圖過(guò)程：已知：如圖1，在中，．求作：的外接圓．作法：如圖2．（1）分別以點(diǎn)A和點(diǎn)B為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于P，Q兩點(diǎn)；（2）作直線(xiàn)，交于點(diǎn)O；（3）以O(shè)為圓心，為半徑作，即為所求作的圓．

下列不屬于該尺規(guī)作圖依據(jù)的是（

）A．兩點(diǎn)確定一條直線(xiàn)B．直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半C．與線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上D．線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)與這條線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等【答案】D【分析】利用直角三角形斜邊中線(xiàn)的性質(zhì)證明：即可．【詳解】解：作直線(xiàn)（兩點(diǎn)確定一條直線(xiàn)），連接，

∵由作圖，，∴且（與線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上）．∵，∴（直角三角形斜邊中線(xiàn)等于斜邊的一半），∴，∴A，B，C三點(diǎn)在以O(shè)為圓心，為直徑的圓上．∴為的外接圓．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查作圖-復(fù)雜作圖，線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)的定義，直角三角形斜邊中線(xiàn)的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考常考題型．10．如圖，在中，，點(diǎn)在邊上，且平分的周長(zhǎng)，則的長(zhǎng)是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】如圖所示，過(guò)點(diǎn)B作于E，利用勾股定理求出，進(jìn)而利用等面積法求出，則可求出，再由平分的周長(zhǎng)，求出，進(jìn)而得到，則由勾股定理得．【詳解】解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)B作于E，∵在中，，∴，∵，∴，∴，∵平分的周長(zhǎng)，∴，即，又∵，∴，∴，∴，故選C．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，正確作出輔助線(xiàn)構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．11．的三邊長(zhǎng)a，b，c滿(mǎn)足，則是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．銳角三角形 D．等腰直角三角形【答案】D【分析】由等式可分別得到關(guān)于a、b、c的等式，從而分別計(jì)算得到a、b、c的值，再由的關(guān)系，可推導(dǎo)得到為直角三角形．【詳解】解∵又∵∴，∴解得，∴，且，∴為等腰直角三角形，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了非負(fù)性和勾股定理逆定理的知識(shí)，求解的關(guān)鍵是熟練掌握非負(fù)數(shù)的和為0，每一個(gè)非負(fù)數(shù)均為0，和勾股定理逆定理．12．四邊形的邊長(zhǎng)如圖所示，對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)度隨四邊形形狀的改變而變化．當(dāng)為等腰三角形時(shí)，對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)為（

）

A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】利用三角形三邊關(guān)系求得，再利用等腰三角形的定義即可求解．【詳解】解：在中，，∴，即，當(dāng)時(shí)，為等腰三角形，但不合題意，舍去；若時(shí)，為等腰三角形，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形三邊關(guān)系以及等腰三角形的定義，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．二、填空題13．將形狀、大小完全相同的兩個(gè)等腰三角形如圖所示放置，點(diǎn)D在A(yíng)B邊上，△DEF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，腰DF和底邊DE分別交△CAB的兩腰CA，CB于M，N兩點(diǎn)，若CA=5，AB=6，AB=1：3，則MD+的最小值為．【答案】【分析】先求出AD=2，BD=4，根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可得∠AMD+∠A=∠EDF+∠BDN，然后求出∠AMD=∠BDN，從而得到△AMD和△BDN相似，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例可得，求出MA?DN=4MD，再將所求代數(shù)式整理出完全平方的形式，然后根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出最小值即可．【詳解】∵AB=6，AB=1：3，∴AD=6×=2，BD=6﹣2=4，∵△ABC和△FDE是形狀、大小完全相同的兩個(gè)等腰三角形，∴∠A=∠B=∠FDE，由三角形的外角性質(zhì)得，∠AMD+∠A=∠EDF+∠BDN，∴∠AMD=∠BDN，∴△AMD∽△BDN，∴，∴MA?DN=BD?MD=4MD，∴MD+=MD+=，∴當(dāng)，即MD=時(shí)MD+有最小值為．故答案為．考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；最值問(wèn)題；綜合題．14．如圖，在中，，點(diǎn)D為的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，若，，則的長(zhǎng)為．

【答案】//1.5【分析】先根據(jù)證明，推出，再利用勾股定理求出，最后根據(jù)中點(diǎn)的定義即可求的長(zhǎng)．【詳解】解：，，點(diǎn)D為的中點(diǎn)，，又，，，中，，，，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，平行線(xiàn)的性質(zhì)等，證明是解題的關(guān)鍵．15．如圖，在中，，，點(diǎn)在直線(xiàn)上，，過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)于點(diǎn)，連接，點(diǎn)是線(xiàn)段的中點(diǎn)，連接，則的長(zhǎng)為．

【答案】或【分析】分兩種情況當(dāng)在延長(zhǎng)線(xiàn)上和當(dāng)在上討論，畫(huà)出圖形，連接，過(guò)點(diǎn)作于，利用勾股定理解題即可【詳解】解：當(dāng)在線(xiàn)段上時(shí)，連接，過(guò)點(diǎn)作于，

當(dāng)在線(xiàn)段上時(shí)，，，，，點(diǎn)是線(xiàn)段的中點(diǎn)，，，，，，，，，，當(dāng)在延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，則，

是線(xiàn)段的中點(diǎn)，，，，，，，，，，，，的長(zhǎng)為或．故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，正確作出輔助線(xiàn)是解題的關(guān)鍵．16．如圖，在中，．P為邊上一動(dòng)點(diǎn)，作于點(diǎn)D，于點(diǎn)E，則的最小值為．

【答案】【分析】連接，利用勾股定理列式求出，判斷出四邊形是矩形，根據(jù)矩形的對(duì)角線(xiàn)相等可得，再根據(jù)垂線(xiàn)段最短可得時(shí)，線(xiàn)段的值最小，然后根據(jù)直角三角形的面積公式列出方程求解即可．【詳解】解：如圖，連接，

∵，∴，∵于點(diǎn)D，于點(diǎn)E，，∴四邊形是矩形，∴，由垂線(xiàn)段最短可得時(shí)，線(xiàn)段的值最小，此時(shí)線(xiàn)段的值最小，此時(shí)，，代入數(shù)據(jù)：，∴，∴的最小值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)，垂線(xiàn)段最短的性質(zhì)，勾股定理，判斷出時(shí)，線(xiàn)段的值最小是解題的關(guān)鍵．17．如圖．四邊形中，，，，交于點(diǎn)，，，則AB的長(zhǎng)為．【答案】【分析】連接、交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，先證明是等邊三角形，垂直平分，求得，，再解三角形求出，，最后運(yùn)用勾股定理求得即可．【詳解】解：如圖：連接、交于點(diǎn)，又∵，，∵是等邊三角形，∴，∵，，∴，，∴，又∵，∴．∴，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，∴，，，∴，∴．∴在中，．故答案為：.【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，主要考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)、平行線(xiàn)的性質(zhì)、垂直平分線(xiàn)、勾股定理、解直角三角形等知識(shí)點(diǎn)，正確作出輔助線(xiàn)成為解答本題的關(guān)鍵．18．如圖，已知，點(diǎn)D在上，以點(diǎn)B為圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交于點(diǎn)E，連接，則的度數(shù)是度．

【答案】65【分析】根據(jù)題意可得，再根據(jù)等腰三角形兩個(gè)底角相等和三角形內(nèi)角和為180°進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】解：根據(jù)題意可得：，∴，∵，∴．故答案為：65．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和等知識(shí)點(diǎn)，掌握等腰三角形的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．19．如圖，在中，以A為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧，交于C，D兩點(diǎn)，分別以點(diǎn)C和點(diǎn)D為圓心，大于長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)P，作直線(xiàn)，交于點(diǎn)E，若，，則．

【答案】4【分析】利用圓的性質(zhì)得出垂直平分和，運(yùn)用勾股定理便可解決問(wèn)題.【詳解】解：根據(jù)題意可知，以點(diǎn)C和點(diǎn)D為圓心，大于長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)P，∴垂直平分,即，∴，又∵在中，以A為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧，交于C，D兩點(diǎn)，其中，∴，在中，，故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題主要考查圓和三角形的相關(guān)性質(zhì)，掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.20．如圖，在中，以點(diǎn)為圓心，任意長(zhǎng)為半徑作弧，分別交，于點(diǎn)，；分別以點(diǎn)，為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)；作射線(xiàn)交于點(diǎn)，若，，的面積為，則的面積為．【答案】【分析】過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，證明，得出，根據(jù)，即可求解．【詳解】解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，∴由作圖可得是的角平分線(xiàn)，∴∵∴∵∴∴∴，∵的面積為，∴的面積為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，作角平分線(xiàn)，熟練掌握基本作圖以及相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．21．如圖，為斜邊上的中線(xiàn)，為的中點(diǎn)．若，，則．

【答案】3【分析】首先根據(jù)直角三角形斜邊中線(xiàn)的性質(zhì)得出，然后利用勾股定理即可得出，最后利用三角形中位線(xiàn)定理即可求解．【詳解】解：∵在中，為斜邊上的中線(xiàn)，，∴，∴，∵為的中點(diǎn)，∴故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題主要考查直角三角形的性質(zhì)，三角形中位線(xiàn)定理，掌握直角三角形中斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵．22．在Rt△ABC中,∠ACB=90°，AC=6，BC=8，D是AB的中點(diǎn)，則．【答案】5【分析】先根據(jù)題意畫(huà)出圖形，再運(yùn)用勾股定理求得AB，然后再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半解答即可．【詳解】解：如圖：∵∠ACB=90°，AC=6，BC=8∴∵∠ACB=90°，D為AB的中點(diǎn)，∴CD=AB=×10=5．故答案為5．【點(diǎn)睛】本題主要考查了運(yùn)用勾股定理解直角三角形、直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一