嘉禾一中初高中數(shù)學(xué)銜接教材

嘉禾一中初高中數(shù)學(xué)銜接教材目 錄引入乘法公式第一講因式分解1提取公因式2.公式法〔平方差，完全平方，立方和，立方差〕3分組分解法4十字相乘法〔重、難點(diǎn)〕5關(guān)于x的二次三項(xiàng)式ax2+bx+c(a≠0)的因式分解．第二講函數(shù)與方程2.1一元二次方程根的判別式根與系數(shù)的關(guān)系〔韋達(dá)定理〕2．2二次函數(shù)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象和性質(zhì)二次函數(shù)的三種表示方式二次函數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用第三講三角形的“四心〞乘法公式我們?cè)诔踔幸呀?jīng)學(xué)習(xí)過(guò)了以下一些乘法公式：〔1〕平方差公式；〔2〕完全平方公式．我們還可以通過(guò)證明得到以下一些乘法公式：〔1〕立方和公式；〔2〕立方差公式；〔3〕三數(shù)和平方公式；〔4〕兩數(shù)和立方公式；〔5〕兩數(shù)差立方公式．對(duì)上面列出的五個(gè)公式，有興趣的同學(xué)可以自己去證明．例1計(jì)算：．解法一：原式===．解法二：原式===．例2，，求的值．解：．練習(xí)1．填空：〔1〕〔〕；〔2〕；(3)．2．選擇題：〔1〕假設(shè)是一個(gè)完全平方式，那么等于〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕〔2〕不管，為何實(shí)數(shù)，的值〔〕〔A〕總是正數(shù)〔B〕總是負(fù)數(shù)〔C〕可以是零〔D〕可以是正數(shù)也可以是負(fù)數(shù)第一講因式分解因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分組分解法，另外還應(yīng)了解求根法及待定系數(shù)法．1．十字相乘法例1分解因式：〔1〕x2－3x＋2；〔2〕x2＋4x－12；〔3〕；〔4〕．解：〔1〕如圖1．1－1，將二次項(xiàng)x2分解成圖中的兩個(gè)x的積，再將常數(shù)項(xiàng)2分解成－1與－2的乘積，而圖中的對(duì)角線上的兩個(gè)數(shù)乘積的和為－3x，就是x2－3x＋2中的一次項(xiàng)，所以，有x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)．－ay－by－ay－byxx圖1．1－4－2611圖1．1－3－1－211圖1．1－2－1－2xx圖1．1－1說(shuō)明：今后在分解與本例類(lèi)似的二次三項(xiàng)式時(shí)，可以直接將圖1．1－1中的兩個(gè)x用1來(lái)表示〔如圖1．1－2所示〕．〔2〕由圖1．1－3，得x2＋4x－12＝(x－2)(x＋6)．〔3〕由圖1．1－4，得－11xy－11xy圖1．1－5〔4〕＝xy＋(x－y)－1＝(x－1)(y+1)〔如圖1．1－5所示〕．課堂練習(xí)一、填空題：1、把以下各式分解因式：〔1〕__________________________________________________。〔2〕__________________________________________________?！?〕__________________________________________________?！?〕__________________________________________________?！?〕__________________________________________________?！?〕__________________________________________________?！?〕__________________________________________________?！?〕__________________________________________________。〔9〕__________________________________________________?！?0〕__________________________________________________。2、3、假設(shè)那么，。二、選擇題：〔每題四個(gè)答案中只有一個(gè)是正確的〕1、在多項(xiàng)式〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕〔5〕中，有相同因式的是〔〕A、只有〔1〕〔2〕 B、只有〔3〕〔4〕C、只有〔3〕〔5〕 D、〔1〕和〔2〕；〔3〕和〔4〕；〔3〕和〔5〕2、分解因式得〔〕A、B、C、D、3、分解因式得〔〕A、B、C、D、4、假設(shè)多項(xiàng)式可分解為，那么、的值是〔〕A、，B、，C、，D、，5、假設(shè)其中、為整數(shù)，那么的值為〔〕A、或B、C、D、或三、把以下各式分解因式1、2、3、4、2．提取公因式法例2分解因式：〔1〕 〔2〕解：〔1〕．=〔2〕===．或＝＝＝＝＝課堂練習(xí)：一、填空題：1、多項(xiàng)式中各項(xiàng)的公因式是_______________。2、__________________。3、____________________。4、_____________________。5、______________________。6、分解因式得_____________________。7．計(jì)算=二、判斷題：〔正確的打上“√〞，錯(cuò)誤的打上“×〞〕1、………… 〔〕2、…………… 〔〕3、…………… 〔〕4、……………… 〔〕3：公式法例3分解因式： 〔1〕〔2〕解：(1)= (2)=課堂練習(xí)一、，，的公因式是______________________________。二、判斷題：〔正確的打上“√〞，錯(cuò)誤的打上“×〞〕1、………… 〔〕2、………………… 〔〕3、………………… 〔〕4、………… 〔〕5、……………… 〔〕五、把以下各式分解1、2、3、4、4．分組分解法例4〔1〕〔2〕．〔2〕===．或===．課堂練習(xí)：用分組分解法分解多項(xiàng)式〔1〕〔2〕5．關(guān)于x的二次三項(xiàng)式ax2+bx+c(a≠0)的因式分解．假設(shè)關(guān)于x的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是、，那么二次三項(xiàng)式就可分解為.例5把以下關(guān)于x的二次多項(xiàng)式分解因式：〔1〕；〔2〕．解：〔1〕令=0，那么解得，，∴==．〔2〕令=0，那么解得，，∴=．練習(xí)1．選擇題：多項(xiàng)式的一個(gè)因式為〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕2．分解因式：〔1〕x2＋6x＋8；〔2〕8a3－b3；〔3〕x2－2x－1；〔4〕．習(xí)題1．21．分解因式：〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕．2．在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)因式分解：〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕3．三邊，，滿足，試判定的形狀．4．分解因式：x2＋x－(a2－a)．第二講函數(shù)與方程2.1一元二次方程根的判別式{情境設(shè)置：可先讓學(xué)生通過(guò)具體實(shí)例探索二次方程的根的求法，如求方程的根〔1〕(2)(3)}我們知道，對(duì)于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0〔a≠0〕，用配方法可以將其變形為．①因?yàn)閍≠0，所以，4a2＞0．于是〔1〕當(dāng)b2－4ac＞0時(shí)，方程①的右端是一個(gè)正數(shù)，因此，原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1，2＝；〔2〕當(dāng)b2－4ac＝0時(shí)，方程①的右端為零，因此，原方程有兩個(gè)等的實(shí)數(shù)根x1＝x2＝－；〔3〕當(dāng)b2－4ac＜0時(shí)，方程①的右端是一個(gè)負(fù)數(shù)，而方程①的左邊一定大于或等于零，因此，原方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．由此可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0〔a≠0〕的根的情況可以由b2－4ac來(lái)判定，我們把b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0〔a≠0〕的根的判別式，通常用符號(hào)“Δ〞來(lái)表示．綜上所述，對(duì)于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0〔a≠0〕，有當(dāng)Δ＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1，2＝；〔2〕當(dāng)Δ＝0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根x1＝x2＝－；〔3〕當(dāng)Δ＜0時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．例1判定以下關(guān)于x的方程的根的情況〔其中a為常數(shù)〕，如果方程有實(shí)數(shù)根，寫(xiě)出方程的實(shí)數(shù)根．〔1〕x2－3x＋3＝0；〔2〕x2－ax－1＝0；〔3〕x2－ax＋(a－1)＝0；〔4〕x2－2x＋a＝0．解：〔1〕∵Δ＝32－4×1×3＝－3＜0，∴方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．〔2〕該方程的根的判別式Δ＝a2－4×1×(－1)＝a2＋4＞0，所以方程一定有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，．〔3〕由于該方程的根的判別式為Δ＝a2－4×1×(a－1)＝a2－4a＋4＝(a－2)2所以，①當(dāng)a＝2時(shí)，Δ＝0，所以方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根x1＝x2＝1；②當(dāng)a≠2時(shí)，Δ＞0，所以方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1＝1，x2＝a－1．〔3〕由于該方程的根的判別式為Δ＝22－4×1×a＝4－4a＝4(1－a所以①當(dāng)Δ＞0，即4(1－a)＞0，即a＜1時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，；②當(dāng)Δ＝0，即a＝1時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根x1＝x2＝1；③當(dāng)Δ＜0，即a＞1時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．說(shuō)明：在第3，4小題中，方程的根的判別式的符號(hào)隨著a的取值的變化而變化，于是，在解題過(guò)程中，需要對(duì)a的取值情況進(jìn)行討論，這一方法叫做分類(lèi)討論．分類(lèi)討論這一思想方法是高中數(shù)學(xué)中一個(gè)非常重要的方法，在今后的解題中會(huì)經(jīng)常地運(yùn)用這一方法來(lái)解決問(wèn)題．根與系數(shù)的關(guān)系〔韋達(dá)定理〕 假設(shè)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0〔a≠0〕有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，那么有；． 所以，一元二次方程的根與系數(shù)之間存在以下關(guān)系：如果ax2＋bx＋c＝0〔a≠0〕的兩根分別是x1，x2，那么x1＋x2＝，x1·x2＝．這一關(guān)系也被稱(chēng)為韋達(dá)定理． 特別地，對(duì)于二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程x2＋px＋q＝0，假設(shè)x1，x2是其兩根，由韋達(dá)定理可知x1＋x2＝－p，x1·x2＝q， 即p＝－(x1＋x2)，q＝x1·x2， 所以，方程x2＋px＋q＝0可化為x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0，由于x1，x2是一元二次方程x2＋px＋q＝0的兩根，所以，x1，x2也是一元二次方程x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0．因此有以兩個(gè)數(shù)x1，x2為根的一元二次方程〔二次項(xiàng)系數(shù)為1〕是x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0．例2方程的一個(gè)根是2，求它的另一個(gè)根及k的值．分析：由于了方程的一個(gè)根，可以直接將這一根代入，求出k的值，再由方程解出另一個(gè)根．但由于我們學(xué)習(xí)了韋達(dá)定理，又可以利用韋達(dá)定理來(lái)解題，即由于了方程的一個(gè)根及方程的二次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)，于是可以利用兩根之積求出方程的另一個(gè)根，再由兩根之和求出k的值．解法一：∵2是方程的一個(gè)根，∴5×22＋k×2－6＝0，∴k＝－7．所以，方程就為5x2－7x－6＝0，解得x1＝2，x2＝－．所以，方程的另一個(gè)根為－，k的值為－7．解法二：設(shè)方程的另一個(gè)根為x1，那么2x1＝－，∴x1＝－．由〔－〕＋2＝－，得k＝－7．所以，方程的另一個(gè)根為－，k的值為－7．例3關(guān)于x的方程x2＋2(m－2)x＋m2＋4＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，并且這兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和比兩個(gè)根的積大21，求m的值．分析：此題可以利用韋達(dá)定理，由實(shí)數(shù)根的平方和比兩個(gè)根的積大21得到關(guān)于m的方程，從而解得m的值．但在解題中需要特別注意的是，由于所給的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，因此，其根的判別式應(yīng)大于零．解：設(shè)x1，x2是方程的兩根，由韋達(dá)定理，得x1＋x2＝－2(m－2)，x1·x2＝m2＋4．∵x12＋x22－x1·x2＝21，∴(x1＋x2)2－3x1·x2＝21，即[－2(m－2)]2－3(m2＋4)＝21，化簡(jiǎn)，得m2－16m－17＝0，解得m＝－1，或m＝17．當(dāng)m＝－1時(shí)，方程為x2＋6x＋5＝0，Δ＞0，滿足題意；當(dāng)m＝17時(shí)，方程為x2＋30x＋293＝0，Δ＝302－4×1×293＜0，不合題意，舍去．綜上，m＝17．說(shuō)明：〔1〕在此題的解題過(guò)程中，也可以先研究滿足方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根所對(duì)應(yīng)的m的范圍，然后再由“兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和比兩個(gè)根的積大21〞求出m的值，取滿足條件的m的值即可．〔1〕在今后的解題過(guò)程中，如果僅僅由韋達(dá)定理解題時(shí)，還要考慮到根的判別式Δ是否大于或大于零．因?yàn)?，韋達(dá)定理成立的前提是一元二次方程有實(shí)數(shù)根．例4兩個(gè)數(shù)的和為4，積為－12，求這兩個(gè)數(shù)．分析：我們可以設(shè)出這兩個(gè)數(shù)分別為x，y，利用二元方程求解出這兩個(gè)數(shù)．也可以利用韋達(dá)定理轉(zhuǎn)化出一元二次方程來(lái)求解．解法一：設(shè)這兩個(gè)數(shù)分別是x，y，那么x＋y＝4，①xy＝－12．②由①，得y＝4－x，代入②，得x(4－x)＝－12，即x2－4x－12＝0，∴x1＝－2，x2＝6．∴或因此，這兩個(gè)數(shù)是－2和6．解法二：由韋達(dá)定理可知，這兩個(gè)數(shù)是方程x2－4x－12＝0的兩個(gè)根．解這個(gè)方程，得x1＝－2，x2＝6． 所以，這兩個(gè)數(shù)是－2和6．說(shuō)明：從上面的兩種解法我們不難發(fā)現(xiàn)，解法二〔直接利用韋達(dá)定理來(lái)解題〕要比解法一簡(jiǎn)捷．例5假設(shè)x1和x2分別是一元二次方程2x2＋5x－3＝0的兩根． 〔1〕求|x1－x2|的值；〔2〕求的值；〔3〕x13＋x23．解：∵x1和x2分別是一元二次方程2x2＋5x－3＝0的兩根，∴，． 〔1〕∵|x1－x2|2＝x12+x22－2x1x2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝＝＋6＝，∴|x1－x2|＝． 〔2〕． 〔3〕x13＋x23＝(x1＋x2)(x12－x1x2＋x22)＝(x1＋x2)[(x1＋x2)2－3x1x2]＝(－)×[(－)2－3×()]＝－．說(shuō)明：一元二次方程的兩根之差的絕對(duì)值是一個(gè)重要的量，今后我們經(jīng)常會(huì)遇到求這一個(gè)量的問(wèn)題，為了解題簡(jiǎn)便，我們可以探討出其一般規(guī)律：設(shè)x1和x2分別是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0〔a≠0〕，那么，，∴|x1－x2|＝．于是有下面的結(jié)論：假設(shè)x1和x2分別是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0〔a≠0〕，那么|x1－x2|＝〔其中Δ＝b2－4ac〕．今后，在求一元二次方程的兩根之差的絕對(duì)值時(shí)，可以直接利用上面的結(jié)論．例6假設(shè)關(guān)于x的一元二次方程x2－x＋a－4＝0的一根大于零、另一根小于零，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解：設(shè)x1，x2是方程的兩根，那么x1x2＝a－4＜0，①且Δ＝(－1)2－4(a－4)＞0．②由①得a＜4，由②得a＜eq\f(17,4)．∴a的取值范圍是a＜4．練習(xí)1．選擇題：〔1〕方程的根的情況是〔〕〔A〕有一個(gè)實(shí)數(shù)根〔B〕有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根〔C〕有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根〔D〕沒(méi)有實(shí)數(shù)根〔2〕假設(shè)關(guān)于x的方程mx2＋(2m＋1)x＋m＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，那么實(shí)數(shù)m的取值范圍是〔〕〔A〕m＜〔B〕m＞－〔C〕m＜，且m≠0〔D〕m＞－，且m≠02．填空:〔1〕假設(shè)方程x2－3x－1＝0的兩根分別是x1和x2，那么＝．〔2〕方程mx2＋x－2m＝0〔m≠0〕的根的情況是．〔3〕以－3和1為根的一元二次方程是．3．，當(dāng)k取何值時(shí)，方程kx2＋ax＋b＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根？4．方程x2－3x－1＝0的兩根為x1和x2，求(x1－3)(x2－3)的值．習(xí)題2.1A組1．選擇題:〔1〕關(guān)于x的方程x2＋kx－2＝0的一個(gè)根是1，那么它的另一個(gè)根是〔〕〔A〕－3〔B〕3〔C〕－2〔D〕2〔2〕以下四個(gè)說(shuō)法：①方程x2＋2x－7＝0的兩根之和為－2，兩根之積為－7；②方程x2－2x＋7＝0的兩根之和為－2，兩根之積為7；③方程3x2－7＝0的兩根之和為0，兩根之積為；④方程3x2＋2x＝0的兩根之和為－2，兩根之積為0．其中正確說(shuō)法的個(gè)數(shù)是〔〕〔A〕1個(gè)〔B〕2個(gè)〔C〕3個(gè)〔D〕4個(gè)〔3〕關(guān)于x的一元二次方程ax2－5x＋a2＋a＝0的一個(gè)根是0，那么a的值是〔〕〔A〕0〔B〕1〔C〕－1〔D〕0，或－12．填空:〔1〕方程kx2＋4x－1＝0的兩根之和為－2，那么k＝．〔2〕方程2x2－x－4＝0的兩根為α，β，那么α2＋β2＝．〔3〕關(guān)于x的方程x2－ax－3a＝0的一個(gè)根是－2，那么它的另一個(gè)根是．〔4〕方程2x2＋2x－1＝0的兩根為x1和x2，那么|x1－x2|＝．3．試判定當(dāng)m取何值時(shí)，關(guān)于x的一元二次方程m2x2－(2m＋1)x4．求一個(gè)一元二次方程，使它的兩根分別是方程x2－7x－1＝0各根的相反數(shù)．B組1．選擇題:假設(shè)關(guān)于x的方程x2＋(k2－1)x＋k＋1＝0的兩根互為相反數(shù)，那么k的值為〔〕〔A〕1，或－1〔B〕1〔C〕－1〔D〕02．填空:〔1〕假設(shè)m，n是方程x2＋2005x－1＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，那么m2n＋mn2－mn的值等于．〔2〕如果a，b是方程x2＋x－1＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，那么代數(shù)式a3＋a2b＋ab2＋b3的值是．3．關(guān)于x的方程x2－kx－2＝0．〔1〕求證：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；〔2〕設(shè)方程的兩根為x1和x2，如果2(x1＋x2)＞x1x2，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．4．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0〔a≠0〕的兩根為x1和x2．求：〔1〕|x1－x2|和；〔2〕x13＋x23．5．關(guān)于x的方程x2＋4x＋m＝0的兩根為x1，x2滿足|x1－x2|＝2，求實(shí)數(shù)m的值．C組1．選擇題：〔1〕一個(gè)直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)恰好是方程2x2－8x＋7＝0的兩根，那么這個(gè)直角三角形的斜邊長(zhǎng)等于〔〕〔A〕〔B〕3〔C〕6〔D〕9〔2〕假設(shè)x1，x2是方程2x2－4x＋1＝0的兩個(gè)根，那么的值為〔〕〔A〕6〔B〕4〔C〕3〔D〕〔3〕如果關(guān)于x的方程x2－2(1－m)x＋m2＝0有兩實(shí)數(shù)根α，β，那么α＋β的取值范圍為〔〕〔A〕α＋β≥〔B〕α＋β≤〔C〕α＋β≥1〔D〕α＋β≤1〔4〕a，b，c是ΔABC的三邊長(zhǎng)，那么方程cx2＋(a＋b)x＋＝0的根的情況是〔〕〔A〕沒(méi)有實(shí)數(shù)根〔B〕有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根〔C〕有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根〔D〕有兩個(gè)異號(hào)實(shí)數(shù)根2．填空：假設(shè)方程x2－8x＋m＝0的兩根為x1，x2，且3x1＋2x2＝18，那么m＝．3．x1，x2是關(guān)于x的一元二次方程4kx2－4kx＋k＋1＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．〔1〕是否存在實(shí)數(shù)k，使(2x1－x2)(x1－2x2)＝－成立？假設(shè)存在，求出k的值；假設(shè)不存在，說(shuō)明理由；〔2〕求使－2的值為整數(shù)的實(shí)數(shù)k的整數(shù)值；〔3〕假設(shè)k＝－2，，試求的值．4．關(guān)于x的方程．〔1〕求證：無(wú)論m取什么實(shí)數(shù)時(shí)，這個(gè)方程總有兩個(gè)相異實(shí)數(shù)根；〔2〕假設(shè)這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1，x2滿足|x2|＝|x1|＋2，求m的值及相應(yīng)的x1，x2．5．假設(shè)關(guān)于x的方程x2＋x＋a＝0的一個(gè)大于1、零一根小于1，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．2．2二次函數(shù)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象和性質(zhì){情境設(shè)置：可先讓學(xué)生通過(guò)具體實(shí)例探索二次函數(shù)的圖象，如作圖〔1〕(2)(3)教師可采用計(jì)算機(jī)繪圖軟件輔助教學(xué)}問(wèn)題1函數(shù)y＝ax2與y＝x2的圖象之間存在怎樣的關(guān)系？為了研究這一問(wèn)題，我們可以先畫(huà)出y＝2x2，y＝x2，y＝－2x2的圖象，通過(guò)這些函數(shù)圖象與函數(shù)y＝x2的圖象之間的關(guān)系，推導(dǎo)出函數(shù)y＝ax2與y＝x2的圖象之間所存在的關(guān)系．先畫(huà)出函數(shù)y＝x2，y＝2x2的圖象．先列表：x…－3－2－10123…x2…9410149…2x2…188202818y＝x2y＝2x2y＝x2y＝2x2圖2.2-1xOy再描點(diǎn)、連線，就分別得到了函數(shù)y＝x2，y＝2x2的圖象〔如圖2－1所示〕，從圖2－1我們可以得到這兩個(gè)函數(shù)圖象之間的關(guān)系：函數(shù)y＝2x2的圖象可以由函數(shù)y＝x2的圖象各點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的兩倍得到．同學(xué)們也可以用類(lèi)似于上面的方法畫(huà)出函數(shù)y＝x2，y＝－2x2的圖象，并研究這兩個(gè)函數(shù)圖象與函數(shù)y＝x2的圖象之間的關(guān)系．圖2.2-2x圖2.2-2xyO－1y＝2x2y＝2(x＋1)2y＝2(x＋1)2＋1二次函數(shù)y＝ax2(a≠0)的圖象可以由y＝x2的圖象各點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的a倍得到．在二次函數(shù)y＝ax2(a≠0)中，二次項(xiàng)系數(shù)a決定了圖象的開(kāi)口方向和在同一個(gè)坐標(biāo)系中的開(kāi)口的大?。畣?wèn)題2函數(shù)y＝a(x＋h)2＋k與y＝ax2的圖象之間存在怎樣的關(guān)系？同樣地，我們可以利用幾個(gè)特殊的函數(shù)圖象之間的關(guān)系來(lái)研究它們之間的關(guān)系．同學(xué)們可以作出函數(shù)y＝2(x＋1)2＋1與y＝2x2的圖象〔如圖2－2所示〕，從函數(shù)的同學(xué)我們不難發(fā)現(xiàn)，只要把函數(shù)y＝2x2的圖象向左平移一個(gè)單位，再向上平移一個(gè)單位，就可以得到函數(shù)y＝2(x＋1)2＋1的圖象．這兩個(gè)函數(shù)圖象之間具有“形狀相同，位置不同〞的特點(diǎn)．類(lèi)似地，還可以通過(guò)畫(huà)函數(shù)y＝－3x2，y＝－3(x－1)2＋1的圖象，研究它們圖象之間的相互關(guān)系．通過(guò)上面的研究，我們可以得到以下結(jié)論：二次函數(shù)y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)中，a決定了二次函數(shù)圖象的開(kāi)口大小及方向；h決定了二次函數(shù)圖象的左右平移，而且“h正左移，h負(fù)右移〞；k決定了二次函數(shù)圖象的上下平移，而且“k正上移，k負(fù)下移〞．由上面的結(jié)論，我們可以得到研究二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象的方法：由于y＝ax2＋bx＋c＝a(x2＋)＋c＝a(x2＋＋)＋c－，所以，y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象可以看作是將函數(shù)y＝ax2的圖象作左右平移、上下平移得到的，于是，二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)具有以下性質(zhì)：〔1〕當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)y＝ax2＋bx＋c圖象開(kāi)口向上；頂點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)稱(chēng)軸為直線x＝－；當(dāng)x＜時(shí)，y隨著x的增大而減?。划?dāng)x＞時(shí)，y隨著x的增大而增大；當(dāng)x＝時(shí)，函數(shù)取最小值y＝． 〔2〕當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)y＝ax2＋bx＋c圖象開(kāi)口向下；頂點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)稱(chēng)軸為直線x＝－；當(dāng)x＜時(shí)，y隨著x的增大而增大；當(dāng)x＞時(shí)，y隨著x的增大而減?。划?dāng)x＝時(shí)，函數(shù)取最大值y＝．xyxyOx＝－A圖2.2-3xyOx＝－A圖2.2-4例1求二次函數(shù)y＝－3x2－6x＋1圖象的開(kāi)口方向、對(duì)稱(chēng)軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)、最大值〔或最小值〕，并指出當(dāng)x取何值時(shí)，y隨x的增大而增大〔或減小〕？并畫(huà)出該函數(shù)的圖象．xOyx＝－1A(－1,4)D(0,1)BC圖2.2－5解：∵y＝xOyx＝－1A(－1,4)D(0,1)BC圖2.2－5∴函數(shù)圖象的開(kāi)口向下；對(duì)稱(chēng)軸是直線x＝－1；頂點(diǎn)坐標(biāo)為(－1，4)；當(dāng)x＝－1時(shí)，函數(shù)y取最大值y＝4；當(dāng)x＜－1時(shí)，y隨著x的增大而增大；當(dāng)x＞－1時(shí)，y隨著x的增大而減??；采用描點(diǎn)法畫(huà)圖，選頂點(diǎn)A(－1，4))，與x軸交于點(diǎn)B和C，與y軸的交點(diǎn)為D(0，1)，過(guò)這五點(diǎn)畫(huà)出圖象〔如圖2－5所示〕．說(shuō)明：從這個(gè)例題可以看出，根據(jù)配方后得到的性質(zhì)畫(huà)函數(shù)的圖象，可以直接選出關(guān)鍵點(diǎn)，減少了選點(diǎn)的盲目性，使畫(huà)圖更簡(jiǎn)便、圖象更精確．函數(shù)y＝ax2＋bx＋c圖象作圖要領(lǐng)：確定開(kāi)口方向：由二次項(xiàng)系數(shù)a決定確定對(duì)稱(chēng)軸：對(duì)稱(chēng)軸方程為確定圖象與x軸的交點(diǎn)情況，①假設(shè)△>0那么與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，可由方程x2＋bx＋c=0求出②①假設(shè)△=0那么與x軸有一個(gè)交點(diǎn)，可由方程x2＋bx＋c=0求出③①假設(shè)△<0那么與x軸有無(wú)交點(diǎn)。確定圖象與y軸的交點(diǎn)情況,令x=0得出y=c，所以交點(diǎn)坐標(biāo)為〔0，c〕由以上各要素出草圖。練習(xí)：作出以下二次函數(shù)的草圖 〔1〕 (2) (3)例2某種產(chǎn)品的本錢(qián)是120元/件，試銷(xiāo)階段每件產(chǎn)品的售價(jià)x〔元〕與產(chǎn)品的日銷(xiāo)售量y〔件〕之間關(guān)系如下表所示：x/元130150165y/件705035假設(shè)日銷(xiāo)售量y是銷(xiāo)售價(jià)x的一次函數(shù)，那么，要使每天所獲得最大的利潤(rùn)，每件產(chǎn)品的銷(xiāo)售價(jià)應(yīng)定為多少元？此時(shí)每天的銷(xiāo)售利潤(rùn)是多少？分析：由于每天的利潤(rùn)＝日銷(xiāo)售量y×(銷(xiāo)售價(jià)x－120)，日銷(xiāo)售量y又是銷(xiāo)售價(jià)x的一次函數(shù)，所以，欲求每天所獲得的利潤(rùn)最大值，首先需要求出每天的利潤(rùn)與銷(xiāo)售價(jià)x之間的函數(shù)關(guān)系，然后，再由它們之間的函數(shù)關(guān)系求出每天利潤(rùn)的最大值．解：由于y是x的一次函數(shù)，于是，設(shè)y＝kx＋〔B〕將x＝130，y＝70；x＝150，y＝50代入方程，有解得k＝－1，b＝200．∴y＝－x＋200．設(shè)每天的利潤(rùn)為z〔元〕，那么z＝(－x+200)(x－120)＝－x2＋320x－24000＝－(x－160)2＋1600，∴當(dāng)x＝160時(shí)，z取最大值1600．答：當(dāng)售價(jià)為160元/件時(shí)，每天的利潤(rùn)最大，為1600元．例3把二次函數(shù)y＝x2＋bx＋c的圖像向上平移2個(gè)單位，再向左平移4個(gè)單位，得到函數(shù)y＝x2的圖像，求b，c的值．解法一：y＝x2＋bx＋c＝(x+)2，把它的圖像向上平移2個(gè)單位，再向左平移4個(gè)單位，得到的圖像，也就是函數(shù)y＝x2的圖像，所以，解得b＝－8，c＝14．解法二：把二次函數(shù)y＝x2＋bx＋c的圖像向上平移2個(gè)單位，再向左平移4個(gè)單位，得到函數(shù)y＝x2的圖像，等價(jià)于把二次函數(shù)y＝x2的圖像向下平移2個(gè)單位，再向右平移4個(gè)單位，得到函數(shù)y＝x2＋bx＋c的圖像． 由于把二次函數(shù)y＝x2的圖像向下平移2個(gè)單位，再向右平移4個(gè)單位，得到函數(shù)y＝(x－4)2＋2的圖像，即為y＝x2－8x＋14的圖像，∴函數(shù)y＝x2－8x＋14與函數(shù)y＝x2＋bx＋c表示同一個(gè)函數(shù)，∴b＝－8，c＝14．說(shuō)明：本例的兩種解法都是利用二次函數(shù)圖像的平移規(guī)律來(lái)解決問(wèn)題，所以，同學(xué)們要牢固掌握二次函數(shù)圖像的變換規(guī)律．這兩種解法反映了兩種不同的思維方法：解法一，是直接利用條件進(jìn)行正向的思維來(lái)解決的，其運(yùn)算量相對(duì)較大；而解法二，那么是利用逆向思維，將原來(lái)的問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化成與之等價(jià)的問(wèn)題來(lái)解，具有計(jì)算量小的優(yōu)點(diǎn)．今后，我們?cè)诮忸}時(shí)，可以根據(jù)題目的具體情況，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒▉?lái)解決問(wèn)題．例4函數(shù)y＝x2，－2≤x≤a，其中a≥－2，求該函數(shù)的最大值與最小值，并求出函數(shù)取最大值和最小值時(shí)所對(duì)應(yīng)的自變量x的值．分析：本例中函數(shù)自變量的范圍是一個(gè)變化的范圍，需要對(duì)a的取值進(jìn)行討論．解：〔1〕當(dāng)a＝－2時(shí)，函數(shù)y＝x2的圖象僅僅對(duì)應(yīng)著一個(gè)點(diǎn)(－2，4)，所以，函數(shù)的最大值和最小值都是4，此時(shí)x＝－2；〔2〕當(dāng)－2＜a＜0時(shí)，由圖2．2－6①可知，當(dāng)x＝－2時(shí)，函數(shù)取最大值y＝4；當(dāng)x＝a時(shí)，函數(shù)取最小值y＝a2；〔3〕當(dāng)0≤a＜2時(shí)，由圖2．2－6②可知，當(dāng)x＝－2時(shí)，函數(shù)取最大值y＝4；當(dāng)x＝0時(shí)，函數(shù)取最小值y＝0；〔4〕當(dāng)a≥2時(shí)，由圖2．2－6③可知，當(dāng)x＝a時(shí)，函數(shù)取最大值y＝a2；當(dāng)x＝0時(shí)，函數(shù)取最小值y＝0．xxyO－2a①xyO－2aa24圖2.2－6xyOa－224a2②－2xyOaa24③說(shuō)明：在本例中，利用了分類(lèi)討論的方法，對(duì)a的所有可能情形進(jìn)行討論．此外，本例中所研究的二次函數(shù)的自變量的取值不是取任意的實(shí)數(shù)，而是取局部實(shí)數(shù)來(lái)研究，在解決這一類(lèi)問(wèn)題時(shí)，通常需要借助于函數(shù)圖象來(lái)直觀地解決問(wèn)題．練習(xí)1．選擇題：〔1〕以下函數(shù)圖象中，頂點(diǎn)不在坐標(biāo)軸上的是〔〕〔A〕y＝2x2〔B〕y＝2x2－4x＋2〔C〕y＝2x2－1〔D〕y＝2x2－4x〔2〕函數(shù)y＝2(x－1)2＋2是將函數(shù)y＝2x2〔〕〔A〕向左平移1個(gè)單位、再向上平移2個(gè)單位得到的〔B〕向右平移2個(gè)單位、再向上平移1個(gè)單位得到的〔C〕向下平移2個(gè)單位、再向右平移1個(gè)單位得到的〔D〕向上平移2個(gè)單位、再向右平移1個(gè)單位得到的2．填空題〔1〕二次函數(shù)y＝2x2－mx＋n圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1，－2)，那么m＝，n＝．〔2〕二次函數(shù)y＝x2+(m－2)x－2m，當(dāng)m＝時(shí)，函數(shù)圖象的頂點(diǎn)在y軸上；當(dāng)m＝時(shí)，函數(shù)圖象的頂點(diǎn)在x軸上；當(dāng)m＝時(shí)，函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)．〔3〕函數(shù)y＝－3(x＋2)2＋5的圖象的開(kāi)口向，對(duì)稱(chēng)軸為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為；當(dāng)x＝時(shí)，函數(shù)取最值y＝；當(dāng)x時(shí)，y隨著x的增大而減?。?．求以下拋物線的開(kāi)口方向、對(duì)稱(chēng)軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)、最大〔小〕值及y隨x的變化情況，并畫(huà)出其圖象．〔1〕y＝x2－2x－3；〔2〕y＝1＋6x－x2．4．函數(shù)y＝－x2－2x＋3，當(dāng)自變量x在以下取值范圍內(nèi)時(shí)，分別求函數(shù)的最大值或最小值，并求當(dāng)函數(shù)取最大〔小〕值時(shí)所對(duì)應(yīng)的自變量x的值：〔1〕x≤－2；〔2〕x≤2；〔3〕－2≤x≤1；〔4〕0≤x≤3．二次函數(shù)的三種表示方式通過(guò)上一小節(jié)的學(xué)習(xí)，我們知道，二次函數(shù)可以表示成以下兩種形式：1．一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；2．頂點(diǎn)式：y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)，其中頂點(diǎn)坐標(biāo)是(－h(huán)，k)．除了上述兩種表示方法外，它還可以用另一種形式來(lái)表示．為了研究另一種表示方式，我們先來(lái)研究二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)．當(dāng)拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸相交時(shí)，其函數(shù)值為零，于是有ax2＋bx＋c＝0．① 并且方程①的解就是拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)〔縱坐標(biāo)為零〕，于是，不難發(fā)現(xiàn)，拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)與方程①的解的個(gè)數(shù)有關(guān)，而方程①的解的個(gè)數(shù)又與方程①的根的判別式Δ＝b2－4ac有關(guān)，由此可知，拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)與根的判別式Δ＝b2－4〔1〕當(dāng)Δ＞0時(shí)，拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；反過(guò)來(lái)，假設(shè)拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，那么Δ＞0也成立．〔2〕當(dāng)Δ＝0時(shí)，拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸有一個(gè)交點(diǎn)〔拋物線的頂點(diǎn)〕；反過(guò)來(lái)，假設(shè)拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸有一個(gè)交點(diǎn)，那么Δ＝0也成立．〔3〕當(dāng)Δ＜0時(shí)，拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸沒(méi)有交點(diǎn)；反過(guò)來(lái)，假設(shè)拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸沒(méi)有交點(diǎn)，那么Δ＜0也成立．于是，假設(shè)拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)A(x1，0)，B(x2，0)，那么x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0的兩根，所以x1＋x2＝，x1x2＝，即＝－(x1＋x2)，＝x1x2． 所以，y＝ax2＋bx＋c＝a()=a[x2－(x1＋x2)x＋x1x2]＝a(x－x1)(x－x2)．由上面的推導(dǎo)過(guò)程可以得到下面結(jié)論： 假設(shè)拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸交于A(x1，0)，B(x2，0)兩點(diǎn)，那么其函數(shù)關(guān)系式可以表示為y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)． 這樣，也就得到了表示二次函數(shù)的第三種方法：3．交點(diǎn)式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1，x2是二次函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．今后，在求二次函數(shù)的表達(dá)式時(shí)，我們可以根據(jù)題目所提供的條件，選用一般式、頂點(diǎn)式、交點(diǎn)式這三種表達(dá)形式中的某一形式來(lái)解題．例1某二次函數(shù)的最大值為2，圖像的頂點(diǎn)在直線y＝x＋1上，并且圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)〔3，－1〕，求二次函數(shù)的解析式．分析：在解本例時(shí)，要充分利用題目中所給出的條件——最大值、頂點(diǎn)位置，從而可以將二次函數(shù)設(shè)成頂點(diǎn)式，再由函數(shù)圖象過(guò)定點(diǎn)來(lái)求解出系數(shù)a．解：∵二次函數(shù)的最大值為2，而最大值一定是其頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)，∴頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2．又頂點(diǎn)在直線y＝x＋1上，所以，2＝x＋1，∴x＝1．∴頂點(diǎn)坐標(biāo)是〔1，2〕．設(shè)該二次函數(shù)的解析式為，∵二次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)〔3，－1〕，∴，解得a＝－2．∴二次函數(shù)的解析式為，即y＝－2x2＋8x－7．說(shuō)明：在解題時(shí)，由最大值確定出頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)，再利用頂點(diǎn)的位置求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后設(shè)出二次函數(shù)的頂點(diǎn)式，最終解決了問(wèn)題．因此，在解題時(shí)，要充分挖掘題目所給的條件，并巧妙地利用條件簡(jiǎn)捷地解決問(wèn)題．例2二次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)(－3，0)，(1，0)，且頂點(diǎn)到x軸的距離等于2，求此二次函數(shù)的表達(dá)式．分析一：由于題目所給的條件中，二次函數(shù)的圖象所過(guò)的兩點(diǎn)實(shí)際上就是二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，于是可以將函數(shù)的表達(dá)式設(shè)成交點(diǎn)式．解法一：∵二次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)(－3，0)，(1，0)，∴可設(shè)二次函數(shù)為y＝a(x＋3)(x－1)(a≠0)，展開(kāi)，得y＝ax2＋2ax－3a，頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，由于二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)到x軸的距離2，∴|－4a|＝2，即a＝．所以，二次函數(shù)的表達(dá)式為y＝，或y＝－．分析二：由于二次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)(－3，0)，(1，0)，所以，對(duì)稱(chēng)軸為直線x＝－1，又由頂點(diǎn)到x軸的距離為2，可知頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，或－2，于是，又可以將二次函數(shù)的表達(dá)式設(shè)成頂點(diǎn)式來(lái)解，然后再利用圖象過(guò)點(diǎn)(－3，0)，或(1，0)，就可以求得函數(shù)的表達(dá)式．解法二：∵二次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)(－3，0)，(1，0)，∴對(duì)稱(chēng)軸為直線x＝－1．又頂點(diǎn)到x軸的距離為2，∴頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，或－2．于是可設(shè)二次函數(shù)為y＝a(x＋1)2＋2，或y＝a(x＋1)2－2，由于函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)(1，0)，∴0＝a(1＋1)2＋2，或0＝a(1＋1)2－2．∴a＝－，或a＝．所以，所求的二次函數(shù)為y＝－(x＋1)2＋2，或y＝(x＋1)2－2．說(shuō)明：上述兩種解法分別從與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)及頂點(diǎn)的坐標(biāo)這兩個(gè)不同角度，利用交點(diǎn)式和頂點(diǎn)式來(lái)解題，在今后的解題過(guò)程中，要善于利用條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒▉?lái)解決問(wèn)題．例3二次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，求此二次函數(shù)的表達(dá)式．解：設(shè)該二次函數(shù)為y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，可得解得a＝－2，b＝12，c＝－8．所以，所求的二次函數(shù)為y＝－2x2＋12x－8．通過(guò)上面的幾道例題，同學(xué)們能否歸納出：在什么情況下，分別利用函數(shù)的一般式、頂點(diǎn)式、交點(diǎn)式來(lái)求二次函數(shù)的表達(dá)式？練習(xí)1．選擇題:〔1〕函數(shù)y＝－x2＋x－1圖象與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是〔〕〔A〕0個(gè)〔B〕1個(gè)〔C〕2個(gè)〔D〕無(wú)法確定〔2〕函數(shù)y＝－eq\f(1,2)(x＋1)2＋2的頂點(diǎn)坐標(biāo)是〔〕〔A〕(1，2)〔B〕(1，－2)〔C〕(－1，2)〔D〕(－1，－2)2．填空：〔1〕二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)與x軸交于點(diǎn)(－1，0)和(2，0)，那么該二次函數(shù)的解析式可設(shè)為y＝a(a≠0)．〔2〕二次函數(shù)y＝－x2+2eq\r(3)x＋1的函數(shù)圖象與x軸兩交點(diǎn)之間的距離為．3．根據(jù)以下條件，求二次函數(shù)的解析式．〔1〕圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1，－2)，(0，－3)，(－1，－6)；〔2〕當(dāng)x＝3時(shí)，函數(shù)有最小值5，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1，11)；〔3〕函數(shù)圖象與x軸交于兩點(diǎn)(1－eq\r(2)，0)和(1＋eq\r(2)，0)，并與y軸交于(0，－2)．二次函數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用 一、函數(shù)圖象的平移變換與對(duì)稱(chēng)變換 1．平移變換問(wèn)題1在把二次函數(shù)的圖象進(jìn)行平移時(shí)，有什么特點(diǎn)？依據(jù)這一特點(diǎn)，可以怎樣來(lái)研究二次函數(shù)的圖象平移？ 我們不難發(fā)現(xiàn)：在對(duì)二次函數(shù)的圖象進(jìn)行平移時(shí)，具有這樣的特點(diǎn)——只改變函數(shù)圖象的位置、不改變其形狀，因此，在研究二次函數(shù)的圖象平移問(wèn)題時(shí)，只需利用二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)式研究其頂點(diǎn)的位置即可．例1求把二次函數(shù)y＝x2－4x＋3的圖象經(jīng)過(guò)以下平移變換后得到的圖象所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式： 〔1〕向右平移2個(gè)單位，向下平移1個(gè)單位； 〔2〕向上平移3個(gè)單位，向左平移2個(gè)單位．分析：由于平移變換只改變函數(shù)圖象的位置而不改變其形狀〔即不改變二次項(xiàng)系數(shù)〕，所以只改變二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)位置〔即只改變一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)〕，所以，首先將二次函數(shù)的解析式變形為頂點(diǎn)式，然后，再依據(jù)平移變換后的二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)位置求出平移后函數(shù)圖像所對(duì)應(yīng)的解析式．解：二次函數(shù)y＝2x2－4x－3的解析式可變?yōu)閥＝2(x－1)2－1， 其頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1，－1)． 〔1〕把函數(shù)y＝2(x－1)2－1的圖象向右平移2個(gè)單位，向下平移1個(gè)單位后，其函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(3，－2)，所以，平移后所得到的函數(shù)圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式就為y＝2(x－3)2－2． 〔2〕把函數(shù)y＝2(x－1)2－1的圖象向上平移3個(gè)單位，向左平移2個(gè)單位后，其函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(－1，2)，所以，平移后所得到的函數(shù)圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式就為y＝2(x＋1)2＋2．2．對(duì)稱(chēng)變換問(wèn)題2在把二次函數(shù)的圖象關(guān)于與坐標(biāo)軸平行的直線進(jìn)行對(duì)稱(chēng)變換時(shí)，有什么特點(diǎn)？依據(jù)這一特點(diǎn)，可以怎樣來(lái)研究二次函數(shù)的圖象平移？我們不難發(fā)現(xiàn)：在把二次函數(shù)的圖象關(guān)于與坐標(biāo)軸平行的直線進(jìn)行對(duì)稱(chēng)變換時(shí)，具有這樣的特點(diǎn)——只改變函數(shù)圖象的位置或開(kāi)口方向、不改變其形狀，因此，在研究二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)變換問(wèn)題時(shí)，關(guān)鍵是要抓住二次函數(shù)的頂點(diǎn)位置和開(kāi)口方向來(lái)解決問(wèn)題．xyOx＝－1A(1,－1)A1(－3,－1)xyOx＝－1A(1,－1)A1(－3,－1)圖