李善蘭與《幾何源于》

李善蘭與《幾何源于》

李善蘭（1811-1882），字為“吉方”，姓尤納。1811年1月2日，他出生于浙江省海寧市。他是清末著名的書法家和教育家。李善蘭出身于讀書世家,自幼就讀于私塾。他天資聰穎,又勤奮好學(xué),只要讀過的書,過目即能成誦。十歲時讀《九章算術(shù)》,從此遂好“算”。14歲時,李善蘭自學(xué)歐幾里得《幾何原本》前六卷。李善蘭在《九章算術(shù)》的基礎(chǔ)上,又吸取了《幾何原本》的新思想,使他的數(shù)學(xué)造詣日趨精深。幾年后,李善蘭作為州縣生員,到省府杭州參加鄉(xiāng)試,由于他“于辭章訓(xùn)詁之學(xué),雖皆涉獵,然好之總不及算學(xué),故于算學(xué)用心極深”,結(jié)果名落孫山。但他卻毫不介意,而是利用在杭州的機(jī)會,留意搜尋各種數(shù)學(xué)書籍,這其中就有李冶的《測圓海鏡》和戴震的《勾股割圓記》。李善蘭仔細(xì)研讀這兩本書,使他的數(shù)學(xué)水平有了很大的提高。李善蘭曾拜海鹽人吳兆圻為師學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。在故里與蔣仁榮、崔德華等好友組織“鴛湖吟社”,曾利用相似勾股形對應(yīng)邊成比例的原理測算過東山的高度。1840年,鴉片戰(zhàn)爭爆發(fā)。帝國主義列強(qiáng)的入侵激發(fā)了李善蘭科學(xué)救國的思想,從此他在家鄉(xiāng)刻苦從事數(shù)學(xué)研究工作。1845年前后,李善蘭在嘉興陸費設(shè)館授徒,得以與江浙一帶的數(shù)學(xué)家顧觀光、張文虎、汪曰楨等人相識。此間,李善蘭有關(guān)于“尖錐術(shù)”的著作《方圓闡幽》、《弧矢啟秘》、《對數(shù)探源》等問世?！凹忮F”是一種處理代數(shù)問題的幾何模型,李善蘭對“尖錐曲線”的描述相當(dāng)于直線、拋物線等,他創(chuàng)造的“尖錐求積術(shù)”相當(dāng)于冪函數(shù)的定積分公式和逐項積分法,他用“分離元數(shù)法”獨立地得出了二項平方根的冪級數(shù)展開式,結(jié)合“尖錐求積術(shù)”,得到了無窮級數(shù)表達(dá)式。在《方圓闡幽》一書中,李善蘭認(rèn)為點、線、面、體皆有實體,只是形狀大小不同。在此基礎(chǔ)上,李善蘭提出p乘尖錐的概念。當(dāng)p=1,2,3,…時,分別稱為平尖錐(一乘尖錐),立尖錐(二乘尖錐),三乘尖錐,……其中,二乘以上尖錐底面和水平截面均為正方形,三乘以上尖錐側(cè)面有兩個是平面,另兩個是凹面,而且“乘愈多則凹愈盛”。李善蘭指出p乘尖錐的堆棧規(guī)律及層數(shù)和該層面積之間的關(guān)系是“元數(shù)起于絲發(fā)而遞增之而迭之則成平尖錐。第一層一,第二層二,第三層三?！薄捌椒綌?shù)起于絲發(fā)而漸增之而迭之則成平尖錐。第一層一,第二層四,第三層九?！薄傲⒎綌?shù)起于絲發(fā)而漸增之,變?yōu)槊?而迭之,則成三乘尖錐。第一層一,第二層八,第三層二十七?！薄叭朔綌?shù)起于絲發(fā)而漸增之,變?yōu)槊?而迭之,則成四乘尖錐。第一層一,第二層十六,第三層八十一?！薄坝纱诉f推可至無窮,然則多一乘之尖錐皆少一乘方,漸增漸迭而成也?！边@與現(xiàn)代的級數(shù)有相似之處,如一乘尖錐:;二乘尖錐:;三乘尖錐:……李善蘭是繼劉徽和祖沖之父子之后研究無窮小分割、極限思想以及冪級數(shù)展開式的第一人。李善蘭在《方圓闡幽》提出:“當(dāng)知諸乘方皆可變?yōu)槊?并皆可變?yōu)榫€?！奔慈魓為任意正數(shù),n為正整數(shù),則xn的數(shù)值可以表示成一個平面積,也可以表示成一條直線段。他進(jìn)而指出,“當(dāng)知諸乘方皆有尖錐”,“當(dāng)知諸尖錐有積迭之理”。即當(dāng)x在區(qū)間[0,h]內(nèi)時,表示xn的平面積迭成一個尖錐體。他提出了諸尖錐的算法:由平面積axn積迭起來的尖錐體,高為h,底面積為ahn,其體積為。這個命題相當(dāng)于不定積分。19世紀(jì)40年代,在近代數(shù)學(xué)尚未自西方傳入中國的條件下,李善蘭獨辟蹊徑,通過自己的刻苦鉆研,從中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中垛積術(shù)和極限方法出發(fā),大膽創(chuàng)新,發(fā)明尖錐術(shù),具有解析幾何的啟蒙思想,得出了一些重要的積分公式,創(chuàng)立了二次平方根的冪級數(shù)展開式,各種三角函數(shù),反三角函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的冪級數(shù)展開式,這是李善蘭也是19世紀(jì)中國數(shù)學(xué)界最重大的成就。1845年,李善蘭撰《四元解》兩卷。1848年,李善蘭撰《麟德術(shù)解》。1851年,李善蘭與著名數(shù)學(xué)家戴煦相識,兩人討論了李善蘭的《對數(shù)探源》、《弧矢啟秘》和戴煦未完槁《外切密率》。1852年夏,李善蘭來到上海“墨海書館”,將自己的數(shù)學(xué)著作給來華的外國傳教士展閱,受到偉烈亞力等人的贊賞,從此開始與外國人合作翻譯西方科學(xué)著作。在偉烈亞力、艾約瑟與威廉臣的“口譯”下,李善蘭在墨海書館翻譯了《代數(shù)學(xué)》、《代微積拾級》、《續(xù)譯幾何原本(后九卷)》、《談天》、《重學(xué)》以及《植物學(xué)》等書籍15—21。在翻譯過程中,大量的近代科學(xué)名詞,其中文譯名都沒有先例可供參考。李善蘭仔細(xì)琢磨,反復(fù)斟酌,創(chuàng)譯了一大批科學(xué)名詞,如代數(shù)學(xué)中的函數(shù)、方程式,解析幾何學(xué)中的圓錐曲線、切線、法線,微積分中的無窮、極限、曲率、微分、積分等。李善蘭在這時期的算學(xué)活動完全以翻譯這些西書為主,也正是由于這些西洋算學(xué)與科學(xué)著作的引進(jìn),揭開了西學(xué)在明末清初之后再度東傳的序幕。在譯書的同時,李善蘭還幫助偉烈亞力研究中國天文算學(xué),把中國天文算學(xué)的成就介紹到西方。1860年,江蘇巡撫徐有壬邀請李善蘭作其幕賓。4月13日,太平軍攻克蘇州,徐有壬被殺,期間,李善蘭的各種著作手稿,散失以盡。李善蘭從此“絕意時事”,避亂于上海,埋頭從事數(shù)學(xué)研究,重新著書立說。李善蘭在上海與數(shù)學(xué)家吳嘉善、劉彝程等人有過學(xué)術(shù)上的交往。1861年秋,曾國藩在安徽籌建安慶軍械所,聘李善蘭為幕僚,兼管書局工作。李善蘭一到安慶,就請求曾國藩重印在戰(zhàn)火中毀版的《幾何原本》等數(shù)學(xué)書籍,并推薦張文虎等人入幕。1864年7月19日,曾國藩攻陷太平天國首都天京,李善蘭也到南京。他再次向曾國藩提出刻印他所譯所著的數(shù)學(xué)書籍,得到曾國藩的支持,于是有金陵刊本《幾何原本》15卷和1867年金陵刊本《則古昔齋算學(xué)》24卷問世。1867年刊行的《則古昔齋算學(xué)》收錄了李善蘭20多年來的各種數(shù)學(xué)著作,其中就有《垛積比類》4卷。垛積術(shù)是高階等差級數(shù)求和問題。李善蘭從研究中國傳統(tǒng)的垛積問題入手,獲得了一些相當(dāng)于現(xiàn)代組合數(shù)學(xué)中的成果。例如,“三角垛有積求高開方廉隅表”和“乘方垛各廉表”實質(zhì)上就是組合數(shù)學(xué)中著名的第一種斯特林?jǐn)?shù)和歐拉數(shù)。《垛積比類》是早期組合論的杰作。李善蘭在《垛積比類》中得到三角自乘垛求和公式,即著名的“李善蘭恒等式”?！抖夥e比類》所論各垛,除以數(shù)表和數(shù)字?jǐn)⑹銎湟?guī)律外,每垛尚以圖形表示其形狀。p乘方垛當(dāng)p=0,1,2時其形狀分別為元垛、一乘方垛、二乘方垛。按照李善蘭的解釋,元垛每層為線,一乘方垛每層為面,二乘方垛每層為體,三乘方垛以上類推。又依線、面、體互變的思想,(p-1)乘方垛可變?yōu)椤皵M(p-1)乘方垛”。1866年,李鴻章資助李善蘭重刻《重學(xué)》20卷,并附《圓錐曲線說》3卷出版。這一年,京師同文館內(nèi)添設(shè)了天文算學(xué)館,廣東巡撫郭嵩燾上疏舉薦李善蘭為天文算學(xué)總教習(xí),李善蘭1868年北上就任。1869年,李善蘭被“欽賜中書科中書”,1871年加內(nèi)閣侍讀銜。1872年,李善蘭撰《考數(shù)根法》。這是中國素數(shù)論上最早的一篇論文,也是李善蘭的第三項重要數(shù)學(xué)成就。李善蘭指出,“任取一數(shù),欲辨是數(shù)根否,古無法焉”,他“精思既久,待考之法四”,即:第一:屢乘求一法;第二:天元求一法;第三:小數(shù)回環(huán)法;第四:準(zhǔn)根分級法。用以對已給的數(shù)N,找出最小的指數(shù)d,使ad-1能被N整除,這里a是與N互素的任何自然數(shù)。李善蘭還證明了費馬素數(shù)定理,并指出其逆定理不真。除了上述著作,李善蘭還著有《橢圓正術(shù)解》、《橢圓新術(shù)》、《火器真訣》、《級數(shù)回求》、《天算或問》。研究成果涉及無窮級數(shù)法解開普勒方程,以量代算,圖解法研究彈道軌跡,冪級數(shù)求和,以及天文學(xué)中選用任意恒星決定任一地方的緯度等。1874年,李善蘭升為戶部主事,加六品卿員外銜。1876年升員外郎,但他依然從事同文館教學(xué)工作,并埋頭進(jìn)行學(xué)術(shù)著述。1877年演算《代數(shù)難題》。1879年,李善蘭又加四品卿銜。1882年授三品卿銜戶部正郎、廣東司行走,總理各國事務(wù)衙門章京,但他“猶手著《級數(shù)勾股》二卷,老而勤學(xué)如此”。李善蘭生性落拓,跌宕不羈,潛心科學(xué),淡于利祿。曾國藩等賞識他,“屢欲列之薦牘,皆力辭”。晚年他雖官居內(nèi)閣高位,但從未離開過同文館,也從未中斷科學(xué)研究工作。1882年12月9日,李善蘭卒于北京,享年72歲。李善蘭雖處在晚清的動蕩年代,但他創(chuàng)造尖錐