重難專題04 證一條線段等于兩條線段和差問題（解析版）

重難專題04證一條線段等于兩條線段和差問題如圖所示，，，分別是，的平分線，點(diǎn)E在上，求證：．【分析】運(yùn)用截長(zhǎng)補(bǔ)短的方法，在上取點(diǎn)F，使，由角平分線定義得，，可證，得，結(jié)合平行線的性質(zhì)可證，進(jìn)一步證得，所以，得證結(jié)論．【詳解】在上取點(diǎn)F，使

∵，分別是，的平分線∴，∵∴在和中∴∴∴∵∴在和中，∴∴∵∴．【點(diǎn)撥】本題考查角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)；運(yùn)用截長(zhǎng)補(bǔ)短的方法構(gòu)造全等三角形求證線段相等是解題的關(guān)鍵．已知：如圖，在中，，、分別為、上的點(diǎn)，且、交于點(diǎn)．若、為的角平分線．(1)求的度數(shù)；(2)若，，求的長(zhǎng)．【分析】（1）由題意，根據(jù)，即可解決問題；（2）在上截取，連接．只要證明，推出，，再證明，推出，由此即可解決問題．【詳解】（1）解：、分別為的角平分線，，，，；（2）解：在上截取，連接．、分別為的角平分線，，，，在和中，，，，，在和中，，，，．【點(diǎn)撥】本題考查等腰三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、角平分線的定義等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線構(gòu)造全等三角形解決問題．如圖，在中，，的角平分線交于D，交的角平分線于E，過點(diǎn)E作，交于點(diǎn)F，求證：．【分析】延長(zhǎng)，相交于點(diǎn)M，分別證明和即可得解．【詳解】證明：延長(zhǎng)，相交于點(diǎn)M，∵，∴，∵平分，平分，∴，∴，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，，，∵平分，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴．【點(diǎn)撥】本題考查角平分線的定義和全等三角形的判定和性質(zhì)．熟練掌握角平分線的定義，通過添加輔助線證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．已知的高AD所在直線與高BE所在直線相交于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作，交直線AB于點(diǎn)G．(1)如圖，若為銳角三角形，．求證：①，②．(2)如圖，當(dāng)為135°時(shí)，寫出FG，DC，AD之間的等量關(guān)系，說明相應(yīng)理由．【分析】（1）①可以證明為等腰直角三角形，得到AD＝BD，再利用ASA判定三角形全等即可；②由上一小問中三角形全等可知DF＝DC，再去證明FA＝FG，則FG+DC＝FA+DF＝AD；（2）易知△ABD、△AGF為等腰直角三角形，BD＝AD，F(xiàn)G＝AF＝AD+DF，再證明△BDF≌△ADC，得到DF＝DC，則得到FG＝DC+AD．【詳解】（1）①證明：∵∠ADB＝90°，∠ABC＝45°，∴∠BAD＝∠ABC＝45°，∴AD＝BD，∵∠BEC＝90°，∴∠CBE+∠C＝90°又∵∠DAC+∠C＝90°，∴∠CBE＝∠DAC，∵∠FDB＝∠CDA＝90°，∴△FDB≌△CDA（ASA）②∵FDB≌△CDA，∴DF＝DC；∵GFBC，∴∠AGF＝∠ABC＝45°，∴∠AGF＝∠BAD，∴FA＝FG，∴FG+DC＝FA+DF＝AD．（2）FG、DC、AD之間的數(shù)量關(guān)系為：FG＝DC+AD．理由：∵∠ABC＝135°，∴∠ABD＝45°，△ABD、△AGF皆為等腰直角三角形，∴BD＝AD，F(xiàn)G＝AF＝AD+DF，∵∠FAE+∠DFB＝∠FAE+∠DCA＝90°，∴∠DFB＝∠DCA，又∵∠FDB＝∠CDA＝90°，BD＝AD，∴△BDF≌△ADC（AAS），∴DF＝DC，∴FG、DC、AD之間的數(shù)量關(guān)系為：FG＝DC+AD．【點(diǎn)撥】本題綜合考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，利用三角形全等證明線段相等是經(jīng)常使用的重要方法，注意熟練掌握．已知，中，，，直線m過點(diǎn)A，且于D，于E，當(dāng)直線m繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至圖1位置時(shí)，我們可以發(fā)現(xiàn)．(1)當(dāng)直線m繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至圖2位置時(shí)，問：與、的關(guān)系如何？請(qǐng)予證明；(2)直線m在繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一周的過程中，、、存在哪幾種不同的數(shù)量關(guān)系？（直接寫出，不必證明）【分析】（1）利用條件證明，再結(jié)合線段的和差可得出結(jié)論；（2）根據(jù)圖，可得、、存在3種不同的數(shù)量關(guān)系；【詳解】（1）證明：如圖2，∵，，∴，∴．∵，∴，∴．在和中，，∴（AAS），∴，∵，∴．（2）直線m在繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一周的過程中，、、存在3種不同的數(shù)量關(guān)系：，，．如圖1時(shí)，，如圖2時(shí)，，如圖3時(shí)，，（證明同理）【點(diǎn)撥】本題主要考查三角形全等，注意證三角形全等的方法及三角形全等后的性質(zhì)．（1）如圖1，已知中，90°，，直線經(jīng)過點(diǎn)直線，直線，垂足分別為點(diǎn)．求證：．（2）如圖2，將（1）中的條件改為：在中，三點(diǎn)都在直線上，并且有．請(qǐng)寫出三條線段的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【分析】（1）利用已知得出∠CAE=∠ABD，進(jìn)而利用AAS得出則△ABD≌△CAE，即可得出DE=BD+CE；（2）根據(jù)∠BDA=∠AEC=∠BAC，得出∠CAE=∠ABD，在△ADB和△CEA中，根據(jù)AAS證出△ADB≌△CEA，從而得出AE=BD，AD=CE，即可證出DE=BD+CE；【詳解】（1）DE=BD+CE．理由如下：∵BD⊥，CE⊥，∴∠BDA=∠AEC=90°又∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠CAE=90°，∠BAD+∠ABD=90°，∴∠CAE=∠ABD在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（AAS）∴BD=AE，AD=CE，∵DE=AD+AE，∴DE=CE+BD；（2），理由如下：∵∠BDA=∠AEC=∠BAC，∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE，∴∠CAE=∠ABD，在△ADB和△CEA中，，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴AE=BD，AD=CE，∴BD+CE=AE+AD=DE；【點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)綜合中的“一線三等角”模型：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等．也考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)．一、單選題1．如圖，在四邊形中，是的平分線，且．若，則四邊形的周長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】在線段AC上作AF=AB，證明△AEF≌△AEB可得∠AFE=∠B，∠AEF=∠AEB，再證明△CEF≌△CED可得CD=CF，即可求得四邊形的周長(zhǎng)．【詳解】解：在線段AC上作AF=AB，∵AE是的平分線，∴∠CAE=∠BAE，又∵AE=AE，∴△AEF≌△AEB（SAS），∴∠AFE=∠B，∠AEF=∠AEB，∵AB∥CD，∴∠D+∠B=180°，∵∠AFE+∠CFE=180°，∴∠D=∠CFE，∵，∴∠AEF+∠CEF=90°，∠AEB+∠CED=90°，∴∠CEF=∠CED，在△CEF和△CED中∵,∴△CEF≌△CED（AAS）∴CE=CF，∴四邊形的周長(zhǎng)=AC+AB+BD+CD=AC+AF+CF+BD=2AC+BD=，故選：B．【點(diǎn)撥】本題考查全等三角形的性質(zhì)和判斷．能正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵．2．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，若∠DAB的平分線AE交CD于E，連結(jié)BE，且BE也平分∠ABC，則以下的命題中正確的個(gè)數(shù)是（）①BC+AD=AB；②Ｅ為CD中點(diǎn)③∠AEB=90°；④S△ABE=S四邊形ABCDA．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】在AB上截取AF=AD．證明△AED≌△AEF，△BEC≌△BEF．可證4個(gè)結(jié)論都正確．【詳解】解：在AB上截取AF=AD．則△AED≌△AEF（SAS）．∴∠AFE=∠D．∵AD∥BC，∴∠D+∠C=180°．∴∠C=∠BFE．∴△BEC≌△BEF（AAS）．∴①BC=BF，故AB=BC+AD；②CE=EF=ED，即E是CD中點(diǎn)；③∠AEB=∠AEF+∠BEF=∠DEF+∠CEF=×180°=90°；④S△AEF=S△AED，S△BEF=S△BEC，∴S△AEB=S四邊形BCEF+S四邊形EFAD=S四邊形ABCD．故選D．【點(diǎn)撥】此題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，運(yùn)用了截取法構(gòu)造全等三角形解決問題，難度中等．二、填空題3．如圖，點(diǎn)E是CD上的一點(diǎn)，Rt△ACD≌Rt△EBC，則下結(jié)論：①AC＝BC，②AD∥BE，③∠ACB＝90°，④AD+DE＝BE，成立的有_____個(gè)．【答案】1【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可以得出AC=BE，CD=BC，，根據(jù)以上結(jié)論可以推導(dǎo)出，，即可求解．【詳解】解：∵Rt△ACD≌Rt△EBC，∴AC＝BE，∵在Rt△BEC中，BE＜BC，∴AC＜BC，∴①錯(cuò)誤；∵∠CAD＝∠CEB＝∠BED＝90°，∠D＜∠CAD，∴∠D≠∠BED，∴AD和BE不平行，∴②錯(cuò)誤；∵Rt△ACD≌Rt△EBC，∴∠ACD＝∠CBE，∠D＝∠BCE，∵∠CAD＝90°，∴∠ACD+∠D＝90°，∴∠ACB＝∠ACD+∠BCE＝90°，∴③正確；∵Rt△ACD≌Rt△EBC，∴AD＝CE，CD＝BC，CD＝CE+DE＝AD+DE＝BC，∵BE＜BC，∴AD+DE＞BE，∴④錯(cuò)誤；故答案為：1．【點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，直角三角形斜邊大于直角邊等知識(shí)，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．4．如圖，已知在中，平分，，則___________.（用含的代數(shù)式表示）.【答案】a-b【分析】在CB上截取CA′=CA，連接DA′，根據(jù)SAS證明△ADC≌△A′DC，根據(jù)△ADC≌△A′DC，得出DA′=DA，∠CA′D=∠A，再證明DA′=A′B即可解決問題.【詳解】在CB上截取CA′=CA，連接DA′，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠A′CD，在△ADC和△A′DC中，，∴△ADC≌△A′DC（SAS），∴DA′=DA，∠CA′D=∠A，∵∠A=2∠B，∠CA′D=∠B+∠A′DB，∴∠A′DB=∠B，∴BA′=A′D=AD，∴BC=CA′+BA′=AC+AD∴AD=BC-AC=a-b，故答案為：a-b.【點(diǎn)撥】本題屬于三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定等，正確添加輔助線，熟練掌握和靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.三、解答題5．如圖，△ABC中，∠ABC＝60°，AD、CE分別平分∠BAC、∠ACB，AD、CE相交于點(diǎn)P．(1)求∠APC的度數(shù)；(2)若AE＝4，CD＝4，求線段AC的長(zhǎng)．【答案】(1)120°(2)8【分析】（1）利用∠ABC＝60°，AD、CE分別平分∠BAC，∠ACB，即可得出答案；（2）由題中條件可得△APE≌△APF，進(jìn)而得出∠APE＝∠APF，通過角之間的轉(zhuǎn)化可得出△CPF≌△CPD，進(jìn)而可得出線段之間的關(guān)系，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：∵∠ABC＝60°，∴∠BAC＋∠BCA＝120°，∵AD、CE分別平分∠BAC，∠ACB，∴∠PAC＋∠PCA（∠BAC＋∠BCA）＝60°，∴∠APC＝120°；（2）解：在AC上截取AF＝AE，連接PF，如圖所示：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，在△APE和△APF中，，∴△APE≌△APF（SAS），∴∠APE＝∠APF，AF=AE，∵∠APC＝120°，∴∠APE＝60°，∴∠APF＝∠CPD＝60°＝∠CPF，在△CPF和△CPD中，，∴△CPF≌△CPD（ASA）∴CF＝CD，∴AC＝AF＋CF＝AE＋CD＝4＋4＝8．【點(diǎn)撥】本題主要考查了利用角平分線求角度和全等三角形的判定及性質(zhì)，根據(jù)在AC上截取AF＝AE得出△APE≌△APF是解題關(guān)鍵．6．如圖，△ABC中，∠B＝45°，∠ACB＝30°，CD平分∠ACB，AD⊥CD，求證：CD＝AB＋AD【分析】遇到這種CD＝AB＋AD線段和差問題一般都是截長(zhǎng)補(bǔ)短；方法1：補(bǔ)短AB，構(gòu)造BE＝AB＋AD，證明CD=BE即可；方法2：補(bǔ)短AD，構(gòu)造DF＝AB＋AD，證明CD=DF即可；方法3：截長(zhǎng)，在CD上截取DE使得DE＝AD，構(gòu)造等腰直角三角形ABF，證明AF=EC即可；方法4：截長(zhǎng)，在CD上截取DE使得DE＝AD，在CB延長(zhǎng)上取點(diǎn)H使得AH＝AC,證明AB=EC即可；【詳解】方法1：補(bǔ)短，構(gòu)造全等證明：延長(zhǎng)BA至點(diǎn)E，使得AD＝AE，連接CE∵AD⊥CD∴∠D＝90°∵∠B＝45°，∠ACB＝30°∴∠EAC＝∠B＋∠ACB＝45°＋30°＝75°∵CD平分∠ACB∴∠ACD＝15°∴∠DAC＝90°－15°＝75°∴∠EAC＝∠DAC在△ADC和△AEC中∵AD＝AE∠EAC＝∠DACAC＝AC∴△ADC≌△AEC(SAS)∴EC＝CD，∠E＝∠D＝90°，∠ECA=∠ACD＝15°∴∠ECB＝∠B＝45°∴EC＝BE∴EC＝BE＝CD∴CD＝AB＋AE＝AB＋AD方法2：補(bǔ)短，構(gòu)造全等證明：延長(zhǎng)DA至點(diǎn)F，使得AF＝AB∵∠B＝45°，∠ACB＝30°∴∠BAC＝180－∠B－∠ACB＝180°－45°－30°＝105°∵CD是∠ACB的角平分線∴∠ACD＝15°∵AD⊥CD，∴∠D=90°，∴∠EAC＝∠D＋∠ACD＝90°＋15°＝105°∴∠EAC＝∠BAC在△ABC和△AEC中AB＝AE∠EAC＝∠BACAC＝AC∴△ABC≌△AEC（SAS）∴∠E＝∠B＝45°,∴∠ECD＝90°-∠E=∠B＝45°∴CD＝DE＝AD＋AE＝AD＋AB方法3：截長(zhǎng)，構(gòu)造全等證明：在CD上截取DE使得DE＝AD∵AD⊥CD∴∠AED＝45°，∠AEC＝135°過點(diǎn)A作AF⊥AB交BC于點(diǎn)F∵∠B=45°，∴∠AFB＝∠B＝45°，∠AFC＝135°∴AB＝AF，∠AEC＝∠AFC∵CD平分∠ACB∴∠ACD＝15°∴∠DAC＝90°－∠ACD＝90°－15°＝75°∴∠EAC＝∠DAC－∠DAE＝75°－45°＝30°∴∠EAC＝∠ACF在△AEC和△CFA中∠EAC＝∠ACFAC＝AC∠AEC＝∠AFC∴△AEC≌△CFA(ASA)∴CE＝AF＝AB∴CD＝DE＋CE＝AD＋AB方法4：截長(zhǎng)，構(gòu)造全等證明：在CD上截取DE使得DE＝AD∵AD⊥CD∴∠AED＝45°，∠AEC＝135°在CB延長(zhǎng)上取點(diǎn)H，使得AH＝AC∵∠ABC＝45°∴∠ABH＝135°∴∠ABH＝∠AEC∵AH＝AC∴∠H＝∠ACB＝30°∵CD平分∠ACB∴∠ACD＝15°∴∠DAC＝90°－∠ACD＝90°－15°＝75°∴∠EAC＝∠DAC－∠DAE＝75°－45°＝30°∴∠H＝∠EAC在△ABH和△CEA中∠H＝∠EACAH＝AC∠ABH＝∠AEC∴△ABH≌△CEA(ASA)∴AB＝CE∴CD＝DE＋CE＝AD＋AB7．如圖，，、分別平分、，與交于點(diǎn)O．（1）求的度數(shù)；（2）說明的理由．【答案】（1）120°；（2）見解析【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義可得∠OAB+∠OBA=60°，從而得到∠AOB；（2）在AB上截取AE=AC，證明△AOC≌△AOE，得到∠C=∠AEO，再證明∠C+∠D=180°，從而推出∠BEO=∠D，證明△OBE≌△OBD，可得BD=BE，即可證明AC+BD=AB．【詳解】解：（1）∵AD，BC分別平分∠CAB和∠ABD，∠CAB+∠ABD=120°，∴∠OAB+∠OBA=60°，∴∠AOB=180°-60°=120°；（2）在AB上截取AE=AC，∵∠CAO=∠EAO，AO=AO，∴△AOC≌△AOE（SAS），∴∠C=∠AEO，∵∠C+∠D=（180°-∠CAB-∠ABC）+（180°-∠ABD-∠BAD）=180°，∴∠AEO+∠D=180°，∵∠AEO+∠BEO=180°，∴∠BEO=∠D，又∠EBO=∠DBO，BO=BO，∴△OBE≌△OBD（AAS），∴BD=BE，又AC=AE，∴AC+BD=AE+BE=AB．【點(diǎn)撥】本題考查了角平分線的定義，三角形內(nèi)角和，全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是截取AE=AC，利用全等三角形的性質(zhì)證明結(jié)論．8．如圖1，已知AB＝AC，AB⊥AC．直線m經(jīng)過點(diǎn)A，過點(diǎn)B作BD⊥m于D，CE⊥m于E．我們把這種常見圖形稱為“K”字圖．（1）悟空同學(xué)對(duì)圖1進(jìn)行一番探究后，得出結(jié)論：DE＝BD＋CE，現(xiàn)請(qǐng)你替悟空同學(xué)完成證明過程．（2）悟空同學(xué)進(jìn)一步對(duì)類似圖形進(jìn)行探究，在圖2中，若AB＝AC，∠BAC＝∠BDA＝∠AEC，則結(jié)論DE＝BD＋CE，還成立嗎？如果成立，請(qǐng)證明之．【分析】（1）先證∠ABD=∠EAC，再證△ABD≌△CAE（AAS）即可；（2）先證出∠ABD＝∠EAC，再證△ABD≌△CAE（AAS）即可．【詳解】證明：（1）∵AB⊥AC,BD⊥DE,CE⊥DE,∴∠BDA=∠AEC=∠BAC=90°,∴∠DAB+∠ABD=∠EAC+∠DAB=90°,∴∠ABD=∠EAC,在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（AAS），∴BD＝AE，AD＝CE，∴DE＝AE＋DA；（2）成立，理由如下：∵

∠BAC＋∠BAD＋∠EAC＝180°，

∠ADB＋∠BAD＋∠ABD

＝180°，∠BAC＝∠BDA，∴∠ABD＝∠EAC，在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（AAS），∴BD＝AE，AD＝CE，∴DE＝AE＋DA＝BD＋CE．【點(diǎn)撥】本題考查三角形全等的判定與性質(zhì)，掌握三角形全等的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．9．【問題提出】（1）如圖1，在四邊形ABCD中，，，，E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，探究當(dāng)為多少度時(shí)，使得成立．小亮同學(xué)認(rèn)為：延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G，使，連接AG，先證明，再證明，則可求出∠EAF的度數(shù)為______；【問題探究】（2）如圖2，在四邊形ABCD中，，，E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，當(dāng)∠EAF與∠BAD滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系時(shí)，依然有成立，并說明理由．【問題解決】（3）如圖3，在正方形ABCD中，，若的周長(zhǎng)為8，求正方形ABCD的面積．【答案】（1）60°；（2）當(dāng)時(shí)，成立，理由見解析；（3）16【分析】（1）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到證明得到根據(jù)題意，計(jì)算即可得出結(jié)果．（2）延長(zhǎng)FD到點(diǎn)H，使，連接AH，分別證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答即可．（3）根據(jù)（2）的結(jié)論得到，進(jìn)而求出AD，根據(jù)正方形的面積公式計(jì)算即可．【詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)，，理由如下，延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G，使，連接AG，在和中，在和中，；（2）當(dāng)時(shí)，成立，理由如下：如圖2，延長(zhǎng)FD到點(diǎn)H，使，連接AH，∵，，∴，在和中，，∴（SAS），∴，，∴，∵，∴，在和中，，∴（SAS），∴；（3）∵四邊形ABCD為正方形，∴．∵，∴，∴，∵的周長(zhǎng)為8，∴，∴，∴AD+CD=8，∴，∴正方形ABCD的面積．【點(diǎn)撥】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，正確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵．10．問題1：在數(shù)學(xué)課本中我們研究過這樣一道題目：如圖1，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥MN，AD⊥MN，垂足分別為E、D．圖中哪條線段與AD相等？并說明理由．問題2：試問在這種情況下線段DE、AD、BE具有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)寫出來，不需要說明理由．問題3：當(dāng)直線CE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2中直線MN的位置時(shí)，試問DE、AD、BE具有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)寫出這個(gè)等量關(guān)系，并說明理由．【答案】問題1，AD＝EC，證明見解析；問題2：DE+BE＝AD；問題3：DE＝AD+BE，證明見解析．【分析】（1）由已知推出∠ADC=∠BEC=90°，因?yàn)椤螦CD+∠BCE=90°，∠DAC+ACD=90°，推出∠DAC=∠BCE，根據(jù)AAS即可得到△ADC≌△CEB，即可得出AD=EC；（2）由（1）得到AD=CE，CD=BE，即可求出答案；（3）與（1）證法類似可證出∠ACD=∠EBC，能推出△ADC≌△CEB，得到AD=CE，CD=BE，即可得到DE、AD、BE之間的等量關(guān)系．【詳解】解：（1）AD＝EC；證明：∵AD⊥MN，BE⊥MN，∴∠ADC＝∠BEC＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠DAC+∠ACD＝90°，∴∠DAC＝∠BCE，∵∠ADC＝∠BEC，AC＝BC，∴△ADC≌△CEB，∴AD＝EC；（2）DE+BE＝AD；由（1）已證△ADC≌△CEB，∴AD＝EC，CD=EB，CE=AD∴CE=CD+DE=BE+DE=AD即DE+BE＝AD；（3）DE＝AD+BE．證明：∵BE⊥BC，AD⊥CE，∴∠ADC＝90°，∠BEC＝90°，∴∠EBC+∠ECB＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ECB+∠ACD＝90°，∴∠ACD＝∠CBE，∵∠ADC＝∠BEC，AC＝BC，∴△ADC≌△CEB，∴AD＝CE，CD＝BE，∵CD+CE＝DC，∴DE＝AD+BE．【點(diǎn)撥】此題主要考查了鄰補(bǔ)角的意義，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)點(diǎn)，能根據(jù)已知證出符合全等的條件是解此題的關(guān)鍵，題型較好，綜合性比較強(qiáng)．11．已知四邊形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB＝BC，∠ABC＝120°，∠MBN＝60°，∠MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交AD，DC（或它們的延長(zhǎng)線）于E，F(xiàn)．（1）當(dāng)∠MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到AE＝CF時(shí)（如圖1），求證：△ABE≌△CBF．（2）當(dāng)∠MBN繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到AE≠CF時(shí)，如圖2，猜想線段AE，CF，EF有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．（3）當(dāng)∠MBN繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到圖3這種情況下，猜想線段AE，CF，EF有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．【答案】（1）見解析；（2）AE+CF＝EF，證明見解析；（3）AE﹣CF＝EF，證明見解析【分析】（1）利用SAS定理證明△ABE≌△CBF；（2）延長(zhǎng)DC至點(diǎn)K，使CK＝AE，連接BK，分別證明△BAE≌△BCK、△KBF≌△EBF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)、結(jié)合圖形證明結(jié)論；（3）延長(zhǎng)DC至G，使CG＝AE，仿照（2）的證明方法解答．【詳解】（1）證明：在△ABE和△CBF中，，∴△ABE≌△CBF（SAS）；（2）解：AE+CF＝EF，理由如下：延長(zhǎng)DC至點(diǎn)K，使CK＝AE，連接BK，在△BAE與△BCK中，，∴△BAE≌△BCK（SAS），∴BE＝BK，∠ABE＝∠KBC，∵∠FBE＝60°，∠ABC＝120°，∴∠FBC+∠ABE＝60°，∴∠FBC+∠KBC＝60°，∴∠KBF＝∠FBE＝60°，在△KBF與△EBF中，，∴△KBF≌△EBF（SAS），∴KF＝EF，∴AE+CF＝KC+CF＝KF＝EF；（3）解：AE﹣CF＝EF，理由如下：延長(zhǎng)DC至G，使CG＝AE，由（2）可知，△BAE≌△BCG（SAS），∴BE＝BG，∠ABE＝∠GBC，∠GBF＝∠GBC﹣∠FBC＝∠ABE﹣∠FBC＝120°+∠FBC﹣60°﹣∠FBC＝60°，∴∠GBF＝∠EBF，∵BG＝BE，∠GBF＝∠EBF，BF＝BF，∴△GBF≌△EBF，∴EF＝GF，∴AE﹣CF＝CG﹣CF＝GF＝EF．【點(diǎn)撥】本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)，正確作出輔助線、掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．12．（1）問題背景：如圖1，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E，F(xiàn)分別是BC、CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝60°．探究圖中線段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系．小明同學(xué)探究此問題的方法是，延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G，使DG＝BE，連接AG，先證明ABE≌ADG，再證明AEF≌AGF，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是；（2）靈活運(yùn)用：如圖2，若在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝∠BAD，上述結(jié)論是否仍然成立，請(qǐng)說明理由；（3）探索延伸：如圖3，已知在四邊形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=AD，若點(diǎn)E在CB的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)F在CD的延長(zhǎng)線上，如圖3所示，且滿足EF=BE+FD，請(qǐng)直接寫出∠EAF與∠DAB的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）BE＋FD＝EF；（2）BE＋FD＝EF仍然成立，理由見解析；（3）∠EAF＝180°－∠DAB，理由見解析．【分析】（1）根據(jù)SAS可判定ABE≌ADG，進(jìn)而得出∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，再根據(jù)SAS判定AEF≌AGF，可得出EF＝GF＝DG＋DF＝BE＋DF，據(jù)此得出結(jié)論；（2）延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G，使DG＝BE，連接AG，先根據(jù)SAS判定ABE≌ADG，進(jìn)