重難專題01 全等三角形的倍長中線模型（原卷版）

重難專題01全等三角形的倍長中線模型如圖，在中，為邊上的中線．(1)按要求作圖：延長到點E，使；連接．(2)求證：．(3)求證：．(4)若，，求的取值范圍．【分析】（1）根據(jù)題目中語言描述畫出圖形即可；（2）直接利用證明即可；（3）根據(jù)，得，從而得出，再根據(jù)三角形三邊關系即可得出，即可得出結論；（4）根據(jù)三角形三邊關系得，又由，，，，代入即可求解．【詳解】（1）解：如圖所示，

（2）證明：如圖，

∵為邊上的中線，∴，在和中，，∴．（3）證明：如圖，∵，∴，∵，∴，在中，，∴．（4）在中，，由（3）得，，∵，，∴，∴，∴．【點撥】本題考查全等三角形的判定與性質，三角形三邊的關系，熟練掌握全等三角形的判定與性質以及三角形三邊的關系是解題的關鍵．“倍長中線法”是解決幾何問題的重要方法．所謂倍長中線法，就是將三角形的中線延長一倍，以便構造出全等三角形，具體做法是：如圖，是的中線，延長到，使，連接，構造出和．求證：．【分析】由是的中線，可得，再由，，即可證明．【詳解】證明：如圖所示：

，是的中線，，在和中，，．【點撥】本題主要考查了三角形全等的判定，倍長中線，熟練掌握三角形全等的判定，添加適當?shù)妮o助線是解題的關鍵．如圖，在中，是邊上的中線．延長到點，使，連接．(1)求證：；(2)與的數(shù)量關系是：____________，位置關系是：____________；(3)若，猜想與的數(shù)量關系，并加以證明．【分析】(1)根據(jù)三角形全等的判定定理，即可證得；(2)由，可得，，據(jù)此即可解答；(3)根據(jù)三角形全等的判定定理，可證得，據(jù)此即可解答．【詳解】（1）證明：是BC邊上的中線，，在與中，；（2）解：，，，，故答案為：，；（3）解：證明：，，，，在和中，，．【點撥】本題考查了全等三角形的判定與性質，平行線的判定與性質，熟練掌握和運用全等三角形的判定與性質是解決本題的關鍵．(1)閱讀理解：如圖1，在中，若，．求邊上的中線的取值范圍．解決此問題可以用如下方法：延長到點，使，再連接(或將繞著點逆時針旋轉得到)，把，，集中在中，利用三角形三邊的關系即可判斷中線的取值范圍是______；(2)問題解決：如圖2，在中，是邊上的中點，于點，交于點，交于點，連接，求證：；(3)問題拓展：如圖3，在四邊形中，，，，以為頂點作一個角，角的兩邊分別交，于，兩點，連接，探索線段，，之間的數(shù)量關系，并加以證明．【分析】（1）延長至，使，連接，證明，根據(jù)三角形三邊關系即可求解；（2）延長至點，使，連接，，同（1）得，，證明在中，由三角形的三邊關系得，即可得證；（3）延長至點，使，連接，證明，，根據(jù)求的三角形的性質即可得證．【詳解】（1）解：延長至，使，連接，如圖①所示：∵是邊上的中線，∴，在和中，∴，∴，在中，由三角形的三邊關系得：，∴，即，∴；故答案為：；（2）證明：延長至點，使，連接，，如圖所示同（1）得，，，，，在中，由三角形的三邊關系得，（3）證明如下：延長至點，使，連接，如圖所示，在和中，，，，，在和中，，．，【點撥】本題考查全等三角形的判定及性質、三角形三邊關系、角的和差等，解答此題的關鍵是作出輔助線，構造出與圖①中結構相關的圖形．數(shù)學興趣小組活動時，張老師提出了如下問題：如圖，在中，，求邊上的中線的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：①延長到M，使得；②連接，通過三角形全等把轉化在中；③利用三角形的三邊關系可得的取值范圍為，從而得到的取值范圍．問題：(1)依據(jù)小明的做法，請你補全圖形，并寫出的取值范圍；(2)根據(jù)你補全的圖形，寫出與的數(shù)量關系和位置關系，并加以證明．【分析】（1）延長到，使得，連接，根據(jù)題意證明，可知，在中，根據(jù)，即可；（2）由（1）知，，可知，，進而可知；【詳解】（1）解：如圖，延長到，使得，連接，∵是的中線，∴，在和中，，∴，∴，在中，，∴，，∴，故答案為：；（2），且，理由是：由（1）知，，∴，，∴【點撥】本題考查了三角形三邊關系，三角形全等的性質與判定，利用倍長中線輔助線方法是解題的關鍵．【問題情境】如圖1，A，B兩點分別位于一個池塘的兩端，小明想用繩子測量A，B間的距離，但繩子不夠長，一個叔叔幫他出了這樣一個主意：先在地上取一個可以直接到達A點和B點的點C，連接并延長到D，使；連接并延長到E，使，連接并測量出它的長度，如果米，那么間的距離為___________米．【探索應用】如圖2，在中，若，求邊上的中線的取值范圍．解決此問題可以用如下方法：延長到點E使，再連接（或將繞著點D逆時針旋轉得到），把集中在中，利用三角形三邊的關系即可判斷，中線的取值范圍是___________；【拓展提升】如圖3，在中，的延長線交于點F，求證：．【分析】（1）證明△ABC≌△DEC，由全等三角形的性質即可得AB＝DE；（2）延長到點E使，再連接，由“SAS”可證△ADC≌△EDB，可得AC＝BE＝3，由三角形三邊關系可得1＜AD＜4；（3）在BC上截取BG＝AF，易證△ABG≌△ADF，可得DF＝AG和∠DFA＝∠BGA，即可求證△ACG≌△EAF，可得GE＝AF，即可解題．【詳解】（1）解：在△ABC和△DEC中，，∴△ABC≌△DEC（SAS），∴DE＝AB=100米；故答案為：100米（2）延長到點E使，再連接如圖所示∵AD＝DE，CD＝BD，∠ADC＝∠BDE，∴△ADC≌△EDB（SAS）∴AC＝BE＝3，∵在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE∴2＜2AD＜8，∴1＜AD＜4，故答案為：1＜AD＜4；（3）證明：在BC上截取BG＝AF，∵∠BAD＝∠CAE＝∠ACB＝90°∴∠BAC+∠ABC＝∠BAC+∠DAF＝90°∴∠CBA＝∠DAF，在△ABG和△ADF中，，∴△ABG≌△ADF，（SAS）∴DF＝AG，∠DFA＝∠BGA，∴∠EFA＝∠CGA，∵在△ACG和△EAF中，，∴△ACG≌△EAF（AAS）∴EE＝AG＝FD．∴【點撥】考查了全等三角形的判定和性質，添加恰當輔助線構造全等三角形是本題的關鍵．一、單選題1．是的中線，，則的取值可能是（

）A．3 B．6 C．8 D．122．已知是中邊上的中線，，，則的取值范圍是（）A． B． C． D．3．如圖，在中，，，是邊上的中線，則的長度可能為（

）A．1 B．2 C．5 D．84．如圖，在中，為邊上的中線，若，，則的取值范圍是（）A． B． C． D．5．如圖，在中，，，是邊上的中線，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．6．如圖，在△ABC中，AB=5，AC=3，AD是BC邊上的中線，AD的取值范圍是（

）A．1＜AD＜6 B．1＜AD＜4 C．2＜AD＜8 D．2＜AD＜4二、填空題7．在中，，是邊上的中線，則的取值范圍是__．8．如圖，在中，為中線，且，則邊的取值范圍是___________．9．如圖，中，為的中點，是上一點，連接并延長交于，，且，，那么的長度為__．10．如圖，在△ABC中，∠BAC＝120°，點D是BC的中點，且AD⊥AC，若AC＝3，則AB的長為________．三、解答題11．如圖，在中，是邊上的中線，，，求的取值范圍．12．規(guī)定：有兩組邊相等，且它們所夾的角互補的兩個三角形叫兄弟三角形．如圖，，，，回答下列問題：(1)求證：和是兄弟三角形．(2)取的中點P，連接，請證明．13．在中，，，垂足為，點是延長線上一點，連接．(1)如圖①，若，，求的長；(2)如圖②，點是線段上一點，，點是外一點，，連接并延長交于點，且點是線段的中點，求證：．14．（1）已知：如圖，△ABC和△DEF，，，AP、DQ分別是BC和EF邊上的高，且．求證：；（2）如果（1）中的條件不變，“如圖”二字去掉，那么△ABC與△DEF全等嗎?如果全等請證明，如果不全等請舉出反例．（3）如果把（1）中的條件“AP、DQ分別是BC和EF邊上的高”改為“AP、DQ分別是BC和EF邊上的中線”，請證明：．15．如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，交BC于點D．(1)如圖①，延長AD到點E，使DE＝AD，連接BE．求證：△ACD≌△EBD；(2)如圖②，若∠BAC＝90°，試探究AD與BC有何數(shù)量關系，并說明理由．16．（1）已知如圖1，在中，，求邊上的中線的取值范圍．（2）思考：已知如圖2，是的中線，，試探究線段與的數(shù)量和位置關系，并加以證明．17．（1）基礎應用：如圖1，在△ABC中，AB＝5，AC＝7，AD是BC邊上的中線，延長AD到點E使DE＝AD，連接CE，把AB，AC，2AD利用旋轉全等的方式集中在△ACE中，利用三角形三邊關系可得AD的取值范圍是；（2）推廣應用：應用旋轉全等的方式解決問題如圖2，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，點E，F(xiàn)分別在AB，AC上，且DE⊥DF，求證：BE+CF＞EF；（3）綜合應用：如圖3，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝1