2024年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：12 正余弦定理與解三角形小題歸類1（原卷版）

12正余弦定理與解三角形小題1【題型一】解三角形基礎(chǔ)：角與對邊【典例分析】的內(nèi)角的對邊分別為，若(sinB+sinC)2?sin2A． B． C． D．4【提分秘籍】基本規(guī)律1.角與角所對應(yīng)的邊長已知2.一般情況下，對稱型多用余弦定理。3.通法為“正弦定理與外接圓半徑代換”【變式演練】1.在中，角，，的對邊分別為，，，若，，則的取值范圍是（）A． B． C． D．2.在中，角的對邊分別是，且.若，則面積的最大值為A． B． C． D．3.設(shè)銳角的內(nèi)角所對的邊分別為，若，則的取值范圍為（）A．(1，9] B．(3，9]C．(5，9] D．(7，9]【題型二】判斷三角形形狀【典例分析】已知的三條邊和與之對應(yīng)的三個角滿足等式則此三角形的形狀是（）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形【提分秘籍】基本規(guī)律1.正余弦定理恒等變形：化邊或者化角2.判斷邊或者角的大小?！咀兪窖菥殹?.在△ABC中，，則△ABC的形狀是（）A．等腰三角形但一定不是直角三角形B．等腰直角三角形C．直角三角形但一定不是等腰三角形D．等腰三角形或直角三角形2.在中，角，，的對邊分別為，，，若，則以下結(jié)論正確的是（）A． B． C． D．3.已知的三邊長分別為，，，若存在角使得：則的形狀為A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．以上都不對【題型三】最值與范圍1：先判斷角【典例分析】銳角的內(nèi)角，，的對邊分別為，，且，，若，變化時，存在最大值，則正數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【提分秘籍】基本規(guī)律每個角都要判斷。如銳角三角形，則三個角都要轉(zhuǎn)化判斷?！咀兪窖菥殹?.已知銳角三角形的內(nèi)角，，的對邊分別為，，.且，則的取值范圍為（）A． B． C． D．2.在銳角中，A=2B，則ABAC的取值范圍是A．?1,3 B．1,3C．(2,33.銳角△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，若2sinA(acosC+A．(12,2) B．(33,【題型四】最值與范圍2：余弦定理【典例分析】在中，內(nèi)角的對邊分別為，若的面積為18c2，則ab+A．2 B．4 C．25 D．【提分秘籍】基本規(guī)律1.余弦定理兩種基本形式：（1）；（2）2.一般情況下，邊的平方形式，可能就是余弦定理的變形。需要通過構(gòu)造與問題相關(guān)的形式和條件【變式演練】1.在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，且sinA=2sinBsinC，則cb+bc取得最大值時，內(nèi)角A． B．π4 C． D．2.滿足條件的三角形的面積的最大值是A． B． C． D．3.,則的最大面積為A．3 B． C．2 D．無法確定【題型五】最值與范圍3：輔助角【典例分析】在中，角所對應(yīng)的邊分別為，設(shè)的面積為，則的最大值為（）A． B． C． D．【提分秘籍】基本規(guī)律1.正余弦齊次式（同角一次式）2.引入變量，構(gòu)造輔助角，借助正余弦有界性求解【變式演練】1.若面積為1的滿足，則邊的最小值為（）A．1 B． C． D．22.在中，角的對邊分別為，的面積為，已知，，則的值為A． B． C． D．【題型六】最值與范圍4：均值不等式【典例分析】銳角中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，則的取值范圍是（）A．(） B．(）C．[) D．[，1)【提分秘籍】基本規(guī)律1.余弦定理形式可以用均值。一般式對稱構(gòu)造2.其他形式中邊的關(guān)系可以用均值【變式演練】1.在中，角、、的對邊分別為、、，已知且，則的最小值為（）A． B．2 C． D．42.在銳角中，角，，的對邊分別為，，(a>b>c)，已知不等式1a?b+1b?c≥ta?c恒成立，則當(dāng)實數(shù)t取得最大值T時，TcosA．0,125 B．2,125 C．3.已知的面積為，，則的最小值為（）A． B． C． D．【題型七】最值與范圍5：周長最值【典例分析】已知銳角的內(nèi)角所對的邊分別為，且，的面積為2，則的周長為（）A． B． C． D．【提分秘籍】基本規(guī)律1.角與對邊型：正弦定理2.對稱邊，可以余弦定理+均值不等式【變式演練】1.在中，角所對的邊分別為，若，，則周長的取值范圍是（）A． B． C． D．2.在中，角所對的邊分別為，若sinA+cos(A+π6)=32，b+c=4A．[6,8) B．[6,8] C．[4,6) D．(4,6]3..在銳角三角形ABC中，若，且滿足關(guān)系式，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【題型八】面積1:消角【典例分析】在銳角中，角，，的對邊分別為，，，為的面積，且，則的取值范圍為（）A． B． C． D．【提分秘籍】基本規(guī)律1.已知或者求出一角，則可以利用另外倆角和定值來消角2.廣義消角：已知或者求得一角（非特殊角）三角函數(shù)值，可以利用兩角和的正余弦來“消角”【變式演練】1.設(shè)銳角的三個內(nèi)角..的對邊分別為..，且，，則周長的取值范圍為（）A． B． C． D．2.在中，角，，的對邊分別為，，，且，的外接圓半徑為，若有最大值，則實數(shù)的取值范圍是_______________________．3.已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c．角B為鈍角．設(shè)△ABC的面積為S，若，則sinA+sinC的最大值是____________．【題型九】面積2：正切代換【典例分析】在銳角中，角，，的對邊分別為，，，為的面積，且，則的取值范圍為（）．A． B． C． D．【提分秘籍】基本規(guī)律1.正余弦齊次式，可以正切代換2.萬能公式形式也可以正切代換【變式演練】1.在中，角的對邊分別為，已知，則的面積為（）A． B． C． D．2.在銳角中，角，，的對邊分別為，，，為的面積，且，則的取值范圍為（）A． B． C． D．【題型十】最值與范圍6：建系設(shè)點【典例分析】已知邊長為的等邊三角形，是平面內(nèi)一點，且滿足，則三角形面積的最大值是（）A． B． C． D．【提分秘籍】基本規(guī)律1.滿足圓錐曲線定義，特別是“阿波羅尼斯圓”，可以適當(dāng)?shù)慕ㄏ翟O(shè)點2.利用正余弦平方形式可以建系設(shè)點3.具有幾何意義特征，如垂直，距離，斜率等?？梢赃m當(dāng)?shù)慕ㄏ翟O(shè)點【變式演練】1.已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，若的面積為，則的周長的最小值為（）A．4 B． C．6 D．2.在中，記角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，面積為S，則的最大值為______3.如圖所示,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點,分別在軸和軸非負(fù)半軸上,點在第一象限,且∠BAC=90°,AB=AC=4,那么,兩點間距離的A．最大值是42,最小值是4 B．最大值是8,最小值是C．最大值是42,最小值是 D．最大值是8,最小值是【題型十一】最值與范圍7：求正切的最值范圍【典例分析】在銳角中，角所對的邊分別為，若，則的取值范圍為A． B． C． D．【提分秘籍】基本規(guī)律解三角形題。對含有正切函數(shù)求最值范圍，屬于較難題型，一般從以下幾方面分析：1.切化弦2.在三角形中，有【變式演練】1.在銳角中，三內(nèi)角的對邊分別為，且，則的最小值為（）A．2 B．4 C．6 D．82.在銳角△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知a2+2abcos3.已知的三個內(nèi)角的對邊分別為，且滿足，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【題型十二】圖形1：中線【典例分析】以為底邊的等腰三角形中，腰邊上的中線長為9，當(dāng)面積取最大時，腰長為（）A． B．C． D．前三個答案都不對【提分秘籍】基本規(guī)律1.中線可分三角形得兩個三角形，分別運用余弦定理2.中線可延伸補形得平行四邊形【變式演練】1.已知△ABC為銳角三角形，D，E分別為AB、AC的中點，且CD丄BE，則cosA的取值范圍是A． B． C．[ D．2.如圖，在中，，，為中線，過點作于點，延長交于點，若，則的值為（）A． B． C． D．3.在中，，分別是邊，的中點，與交于點，若，則面積的最大值為（）A． B． C． D．【題型十三】圖形2：角平分線【典例分析】在中，的平分線交于點，則的面積的最大值為（）A． B． C． D．【提分秘籍】基本規(guī)律1.角平分線，可以借助面積“和”構(gòu)造等量關(guān)系2.角平分線也是兩邊的“對稱軸”3.三角形角平分線定理可以直接在小題中使用【變式演練】1.如圖，中，為鈍角，，，過點B向的角平分線引垂線交于點P，若，則的面積為（）A．4 B． C．6 D．2.如圖所示，在，已知∠A:∠B=1:2，角的平分線把三角形面積分為3:2兩部分，則cosA等于A．13 B． C．34 D．3.在中，，M為邊上的一點，且BM=2，若BM為的角平分線，則2AM?1CM的取值范圍為A．?32,C．?12,【題型十四】圖形3：高【典例分析】.△ABC中，BD是AC邊上的高，A=，cosB=-，則=（）A． B． C． D．【提分秘籍】基本規(guī)律1.一般給高，基本就與求面積聯(lián)系起來2.高也可以分開構(gòu)造直角三角形，得出對應(yīng)的三角函數(shù)值【變式演練】1.已知的面積等于1，若，則當(dāng)這個三角形的三條高的乘積取最大值時，______2.在中，內(nèi)角的對邊分別是，且邊上的高為，若，則當(dāng)取最小值時，內(nèi)角的大小為（）A． B．C． D．【題型十五】圖形4：四邊形【典例分析】在平面四邊形中，，，則的取值范圍是（）A． B．C． D．【提分秘籍】基本規(guī)律1.四邊形可以“劈成”倆三角形。2.四邊形可以“補成”三角形【變式演練】1.在平面四邊形中，連接對角線，已知，，，，則對角線的最大值為（）A．27 B．16 C．10 D．252.在平面內(nèi)，四邊形ABCD的與互補，，則四邊形ABCD面積的最大值=（）A． B． C． D．3.凸四邊形就是沒有角度數(shù)大于的四邊形，把四邊形任何一邊向兩方延長，其他各邊都在延長所得直線的同一旁，這樣的四邊形叫做凸四邊形，如圖，在凸四邊形中，，，，，當(dāng)變化時，對角線的最大值為A．3 B．4 C． D．模擬題1.銳角中，內(nèi)角的對邊分別為，且滿足，若，則的取值范圍是（）A． B． C． D．2.(河南省開封市五縣2021-2022學(xué)年上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題)已知的三個內(nèi)角所對的邊分別為，滿足cos2A?cos2B+cos2C=1+A．等邊三角形 B．等腰直角三角形C．頂角為150°的等腰三角形 D．頂角為1203.△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，設(shè)△ABC的面積為S，若，則的取值范圍為A．（0，+∞） B．（1，+∞） C． D．4.已知的內(nèi)角對的邊分別為，，當(dāng)內(nèi)角最大時，的面積等于()A． B． C． D．5.銳角中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，則的取值范圍為（）A． B．C． D．6.在中，角對應(yīng)的邊分別是，若，則的最大值為（）A． B． C． D．7.(安徽省六安市第二中學(xué)2022屆高三上學(xué)期第三次月考數(shù)學(xué)試題)在銳角三角形中，角??的對邊分別為??，且滿足，則的取值范圍為___________.8.在銳角中，角的對邊分別為，的面積為，若，則的最小值為（）A． B．2 C．1 D．9.(甘肅省蘭州第一中學(xué)2021-2022學(xué)年上學(xué)期數(shù)學(xué)試題)在中,B=30°,BC=3,AB=23,點在邊上,點B,C關(guān)于直線的對稱點分別為B',C'A．9?332 B．637 C．10..在中，分別是角的對邊，若，則的值為（