2024年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：25 軌跡八類求法(原卷版)

25軌跡一般情況下，求軌跡題，多在解析幾何大題第一問(wèn)，小題不太多。本專題例題所選大題，大多把第二問(wèn)隱去。第二問(wèn)放到下一個(gè)專題中歸納細(xì)講?！绢}型一】直接法求軌跡【典例分析】設(shè)點(diǎn)，，為動(dòng)點(diǎn)，已知直線與直線的斜率之積為定值，點(diǎn)的軌跡是（）A． B．C． D．【經(jīng)驗(yàn)總結(jié)】可以直接列出等量關(guān)系式解題步驟：1.根據(jù)已知條件及一些基本公式（兩點(diǎn)間距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式、直線斜率公式等。）2.根據(jù)公式直接列出動(dòng)點(diǎn)滿足的等量關(guān)系式，從而得到軌跡方程。3.注意“多點(diǎn)”和“少點(diǎn)”，一般情況下，斜率和三角形頂點(diǎn)等約束條件【變式演練】1.若兩定點(diǎn)A，B的距離為3，動(dòng)點(diǎn)M滿足，則M點(diǎn)的軌跡圍成區(qū)域的面積為（）A． B． C． D．2.已知點(diǎn)，直線，為平面上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，且，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡C的方程為（）A． B．C． D．已知M(4,0)，N(1,0)，若動(dòng)點(diǎn)P滿足eq\o(MN,\s\up6(→))·eq\o(MP,\s\up6(→))＝6|eq\o(NP,\s\up6(→))|.(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；【題型二】相關(guān)點(diǎn)代入法【典例分析】已知△ABC的頂點(diǎn)，頂點(diǎn)在拋物線上運(yùn)動(dòng)，求的重心的軌跡方程．【經(jīng)驗(yàn)總結(jié)】一般情況下，所求點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，依賴于另外一個(gè)或者兩個(gè)多個(gè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，可以通過(guò)對(duì)這些點(diǎn)設(shè)坐標(biāo)來(lái)尋求代換關(guān)系。求誰(shuí)設(shè)誰(shuí)，設(shè)所求點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y）所依賴的點(diǎn)稱之為“參數(shù)點(diǎn)”，設(shè)為或等“參數(shù)點(diǎn)”滿足某個(gè)（些）方程，可供代入尋找所求點(diǎn)與“參數(shù)點(diǎn)”之間的坐標(biāo)關(guān)系，反解參數(shù)值。代入方程，消去參數(shù)值【變式演練】1.已知拋物線的焦點(diǎn)為.(1)點(diǎn)滿足.當(dāng)點(diǎn)在拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí),求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程;2.已知圓與直線相切，點(diǎn)為圓上一動(dòng)點(diǎn)，軸于點(diǎn)，且動(dòng)點(diǎn)滿足，設(shè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線.（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡曲線的方程；3.設(shè)F(1,0)，M點(diǎn)在x軸上，P點(diǎn)在y軸上，且eq\o(MN,\s\up6(→))＝2eq\o(MP,\s\up6(→))，eq\o(PM,\s\up6(→))⊥eq\o(PF,\s\up6(→))，當(dāng)點(diǎn)P在y軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)N的軌跡方程．【題型三】定義法【典例分析】已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn)，且與圓相外切，求動(dòng)圓圓心的軌跡方程．【經(jīng)驗(yàn)總結(jié)】若動(dòng)點(diǎn)軌跡的條件符合某一基本軌跡的定義，就用定義直接求．橢圓，雙曲線，拋物線的定義一些特殊圖像的定義，如阿波羅尼斯圓兩個(gè)圓內(nèi)外切情況下，較多與圓錐曲線定義有關(guān)【變式演練】1、已知兩個(gè)定圓O1:(x+2)2＋y2＝1：和O2(x-2)2＋y2＝4，它們的半徑分別是1和2，.動(dòng)圓M與圓O1內(nèi)切，又與圓O2外切，求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程，2、已知點(diǎn)，直線，點(diǎn)是直線上動(dòng)點(diǎn)，若過(guò)垂直于軸的直線與線段的垂直平分線交于點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡是（）雙曲線B、拋物線C、橢圓D、圓3.已知點(diǎn)滿足條件.（Ⅰ）求點(diǎn)的軌跡的方程；【題型四】交軌法【典例分析】如圖，橢圓：，a，b為常數(shù))，動(dòng)圓，。點(diǎn)分別為的左，右頂點(diǎn)，與相交于A，B，C，D四點(diǎn)。(Ⅰ)求直線與直線交點(diǎn)M的軌跡方程;【經(jīng)驗(yàn)總結(jié)】交軌法，即軌跡交點(diǎn)法。所求點(diǎn)滿足條件方程1所求點(diǎn)滿足條件方程2動(dòng)點(diǎn)是兩軌跡方程，則滿足兩個(gè)軌跡所組成的方程組，通過(guò)兩個(gè)方程選擇適當(dāng)?shù)募记上?shù)得到軌跡的普通方程參數(shù)法求軌跡方程，關(guān)鍵有兩點(diǎn)：一是選參，容易表示出動(dòng)點(diǎn)；二是消參，消參的途徑靈活多變.【變式演練】1.已知是橢圓中垂直于長(zhǎng)軸的動(dòng)弦，、是橢圓長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)，求直線和的交點(diǎn)的軌跡方程。2.由圓外一定點(diǎn)向圓做割線，交圓周于A、B兩點(diǎn)，求弦AB中點(diǎn)的軌跡【題型五】參數(shù)法【典例分析】如圖3所示，過(guò)雙曲線C：的左焦點(diǎn)F作直線l與雙曲線交于P、Q，以O(shè)P、OQ為鄰邊作平行四邊形OPMQ，求點(diǎn)M的軌跡方程?！窘?jīng)驗(yàn)總結(jié)】解題步驟：1引入?yún)?shù)，用此參數(shù)分別表示動(dòng)點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)；2.消去參數(shù)，得到關(guān)于的方程，即為所求軌跡方程。【變式演練】1.已知拋物線y2＝4px(p>0)，O為頂點(diǎn)，A、B為拋物線上的兩動(dòng)點(diǎn)，且滿足OA⊥OB，如果OM⊥AB于M點(diǎn)，求點(diǎn)M的軌跡方程．2.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線上異于坐標(biāo)原點(diǎn)Ｏ的兩不同動(dòng)點(diǎn)Ａ、Ｂ滿足．（Ⅰ）求得重心Ｇ（即三角形三條中線的交點(diǎn)）的軌跡方程；3.設(shè)M是橢圓上的一點(diǎn)，P、Q、T分別為M關(guān)于y軸、原點(diǎn)、x軸的對(duì)稱點(diǎn)，N為橢圓C上異于M的另一點(diǎn)，且MN⊥MQ，QN與PT的交點(diǎn)為E，當(dāng)M沿橢圓C運(yùn)動(dòng)時(shí)，求動(dòng)點(diǎn)E的軌跡方程．【題型六】立體幾何中的軌跡本方法可參考立體幾何專題對(duì)應(yīng)的軌跡題型和方法總結(jié)【典例分析】已知正方體的棱長(zhǎng)為a，定點(diǎn)M在棱上（但不在端點(diǎn)A，B上），點(diǎn)P是平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)P到直線的距離與點(diǎn)P到點(diǎn)M的距離的平方差為，則點(diǎn)P的軌跡所在曲線為（）A．直線 B．圓 C．雙曲線 D．拋物線【經(jīng)驗(yàn)總結(jié)】立體幾何內(nèi)的軌跡，，嘗嘗從以下方向切入建系，利用空間坐標(biāo)系求出方程。通過(guò)轉(zhuǎn)化，把空間關(guān)系轉(zhuǎn)化為平面關(guān)系，把空間軌跡轉(zhuǎn)化為平面軌跡求解?！咀兪窖菥殹?.如圖，在正方體中，是棱的中點(diǎn)，是側(cè)面上的動(dòng)點(diǎn)，并且平面，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是（）A．圓 B．橢圓 C．拋物線 D．線段2.在棱長(zhǎng)為6的正方體中，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，是正方體（包括邊界）上運(yùn)動(dòng)，且滿足，則點(diǎn)的軌跡周長(zhǎng)為________.3.如圖，正方體中，為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)在底面和側(cè)面上運(yùn)動(dòng)并且使，那么點(diǎn)的軌跡是（）A．兩段圓弧 B．兩段橢圓弧C．兩段雙曲線弧 D．兩段拋物線弧【題型七】向量與軌跡【典例分析】已知O，A，B為平面上三點(diǎn)，若，，動(dòng)點(diǎn)P和實(shí)數(shù)，滿足，，，則動(dòng)點(diǎn)P軌跡的測(cè)度是__________.（注：當(dāng)動(dòng)點(diǎn)的軌跡是曲線時(shí)，其測(cè)度指其長(zhǎng)度；當(dāng)動(dòng)點(diǎn)的軌跡是平面區(qū)域時(shí)，其測(cè)度指該區(qū)域面積.）【經(jīng)驗(yàn)總結(jié)】向量背景下求軌跡1.向量幾何意義2.向量坐標(biāo)運(yùn)算或者數(shù)量積運(yùn)算【變式演練】1.已知為平面內(nèi)一定點(diǎn)且，平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)滿足：存在實(shí)數(shù)，使，若點(diǎn)的軌跡為平面圖形，則的面積為___________.2.如圖，B是AC的中點(diǎn)，，P是平行四邊形BCDE內(nèi)(含邊界)的一點(diǎn)，且，則下列結(jié)論正確的是（）A．當(dāng)P在C點(diǎn)時(shí)，，B．當(dāng)時(shí)，C．若為定值1，則在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P的軌跡是一條線段D．當(dāng)P是線段CE的中點(diǎn)時(shí)，，3.已知是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，以下說(shuō)法正確的是（）A．若動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡一定通過(guò)的重心．B．若點(diǎn)滿足，則點(diǎn)是的垂心．C．若為的外心，且，則是的內(nèi)心．D．若，則點(diǎn)為的外心【題型八】復(fù)數(shù)中的軌跡（新高考）【典例分析】已知復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，．若，在的軌跡上任取一點(diǎn)，求的面積取值范圍．【經(jīng)驗(yàn)總結(jié)】復(fù)數(shù)中的軌跡，基本是轉(zhuǎn)化為解析幾何來(lái)求利用復(fù)數(shù)的模運(yùn)算轉(zhuǎn)化利用復(fù)數(shù)的幾何意義【變式演練】1.若復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡圍成圖形的面積等于（）A． B． C． D．2.已知復(fù)數(shù)滿足，則的軌跡為（）A．線段 B．直線C．橢圓 D．橢圓的一部分3.設(shè)非零復(fù)數(shù)是復(fù)平面上一定點(diǎn)，為復(fù)平面上的動(dòng)點(diǎn)，其軌跡方程，為復(fù)平面上另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)滿足，則在復(fù)平面上的軌跡形狀是（）A．雙曲線 B．圓 C．一條直線 D．拋物線模擬題1．設(shè)是定直線的法向量，定點(diǎn)在直線上，定點(diǎn)在直線外，為一動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)滿足，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡為（）A．直線 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線2.已知O是所在平面內(nèi)的一定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過(guò)的（）A．內(nèi)心 B．外心 C．重心 D．垂心3.已知兩定點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)與?的距離之比（且），那么點(diǎn)的軌跡是阿波羅尼斯圓，若其方程為，則的值為（）A． B． C．0 D．44.已知橢圓（a>b>0）的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，設(shè)Р為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，角的外角平分線所在直線為l，過(guò)點(diǎn)F2做l的垂線，垂足為S，當(dāng)點(diǎn)Р在橢圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)S的軌跡所圍成的圖形的面積為：（）A．a(chǎn)2 B．4a2 C．' D．5.試運(yùn)用類似上面的解法解下列問(wèn)題：求函數(shù)的值域．6.古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯發(fā)現(xiàn)：平面上到兩定點(diǎn)A，B距離之比為常數(shù)（且）的點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓心在直線AB上的圓，該圓簡(jiǎn)稱為阿氏圓.根據(jù)以上信息，解決下面的問(wèn)題：如圖，在長(zhǎng)方體中，，點(diǎn)E在棱AB上，，動(dòng)點(diǎn)P滿足.若點(diǎn)P在平面ABCD內(nèi)運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)P所形成的阿氏圓的半徑為___________；若點(diǎn)P在長(zhǎng)方體內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，F(xiàn)為棱的中點(diǎn)，M為CP的中點(diǎn)，則點(diǎn)M到平面的距離的最小值為___________.7.滿足的點(diǎn)的軌跡是（）A．圓 B．雙曲線 C．直線 D．拋物線8.已知定點(diǎn)、，是動(dòng)點(diǎn)且直線、的斜率之積為，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡可能是（）A．圓的一部分 B．橢圓的一部分 C．雙曲線的一部分 D．拋物線的一部分9.如圖，設(shè)點(diǎn)