計(jì)算方法引論課后答案

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第一章誤差1.什么是模型誤差，什么是方法誤差？例如，將地球近似看為一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)球體，利用公式$A=4\pir$計(jì)算其表面積，這個(gè)近似看為球體的過(guò)程產(chǎn)生的誤差即為模型誤差。在計(jì)算過(guò)程中，要用到$\pi$，我們利用無(wú)窮乘積公式計(jì)算$\pi$的值：pi=2\cdot\frac{2}{1}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{4}{3}\cdot\frac{4}{5}\cdot\frac{6}{5}\cdot\frac{6}{7}\cdot\frac{8}{7}\cdot\frac{8}{9}\cdot\cdots我們?nèi)∏?項(xiàng)的乘積作為$\pi$的近似值，得$\pi\approx3.xxxxxxxx5$。這個(gè)去掉$\pi$的無(wú)窮乘積公式中第9項(xiàng)后的部分產(chǎn)生的誤差就是方法誤差，也稱為截?cái)嗾`差。2.按照四舍五入的原則，將下列各數(shù)舍成五位有效數(shù)字：816.956，76.000，.322，501.235，.182，130.015，236.23.解：816.96，76.000，.501.24，.130.02，236.23.3.下列各數(shù)是按照四舍五入原則得到的近似數(shù)，它們各有幾位有效數(shù)字？81.897，0.008，136.320，050.180.解：五位，三位，六位，四位。4.若$1/4$用0.25表示，問(wèn)有多少位有效數(shù)字？解：兩位。5.若$a=1.1062$，$b=0.947$，是經(jīng)過(guò)舍入后得到的近似值，問(wèn)：$a+b$，$a\timesb$各有幾位有效數(shù)字？已知$da<\frac{1}{2}\cdot10^{-4}$，$db<\frac{1}{2}\cdot10^{-3}$，又$a+b=0.\times10$。begin{aligned}d(a+b)&=da+db\leqda+db=\frac{1}{2}\cdot10^{-4}+\frac{1}{2}\cdot10^{-3}=0.55\times10^{-3}<\frac{1}{2}\cdot10^{-2}end{aligned}所以$a+b$有三位有效數(shù)字；因?yàn)?a\timesb=0.xxxxxxxx\times10$。begin{aligned}d(a\timesb)&=bda+adb=0.947\times\frac{1}{2}\cdot10^{-4}+1.1062\times\frac{1}{2}\cdot10^{-3}=0.\times10^{-3}<\frac{1}{2}\cdot10^{-2}end{aligned}所以$a\timesb$有三位有效數(shù)字。6.設(shè)$y_1=0.9863$，$y_2=0.0062$，是經(jīng)過(guò)舍入后作為$x_1$，$x_2$的近似值。求值的相對(duì)誤差限及$y_1\timesy_2$與真值的相對(duì)誤差限。已知$x_1=y_1+dx_1$，$x_2=y_2+dx_2$，$dx_1=1\times10^{-4}$，$dx_2=2\times10^{-4}$。begin{aligned}d(x_1+x_2)&=d(x_1)+d(x_2)=1\times10^{-4}+2\times10^{-4}=3\times10^{-4}\\frac{d(x_1+x_2)}{x_1+x_2}&=\frac{3\times10^{-4}}{(y_1+y_2)+dx_1+dx_2}\leq\frac{3\times10^{-4}}{y_1+y_2}=\frac{3\times10^{-4}}{0.9925}\approx0.0003end{aligned}所以$x_1+x_2$的相對(duì)誤差限為$0.0003$。begin{aligned}d(x_1\timesx_2)&=d(x_1)+d(x_2)=1\times10^{-4}+2\times10^{-4}=3\times10^{-4}\\frac{d(x_1\timesx_2)}{x_1\timesx_2}&=\frac{3\times10^{-4}}{(y_1+dx_1)\times(y_2+dx_2)}\leq\frac{3\times10^{-4}}{y_1\timesy_2}=\frac{3\times10^{-4}}{0.}\approx0.049end{aligned}所以$x_1\timesx_2$的相對(duì)誤差限為$0.049$，即$y_1\timesy_2$的相對(duì)誤差限為$0.049$。1.給定函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$[a,b]$上的$n+1$個(gè)節(jié)點(diǎn)$x_0,x_1,\cdots,x_n$，以及對(duì)應(yīng)的函數(shù)值$f(x_0),f(x_1),\cdots,f(x_n)$，構(gòu)造$n$次插值多項(xiàng)式$p_n(x)$，使得$p_n(x_i)=f(x_i)$，$i=0,1,\cdots,n$。則$p_n(x)$的表達(dá)式為：p_n(x)=\sum_{i=0}^nf(x_i)L_i(x)$$其中$L_i(x)$為$n$次拉格朗日插值基函數(shù)，即：L_i(x)=\prod_{j=0,j\neqi}^n\frac{x-x_j}{x_i-x_j}$$2.在插值多項(xiàng)式$p_n(x)$的基礎(chǔ)上，可以通過(guò)牛頓插值法來(lái)遞推計(jì)算出$p_{n+1}(x)$，即在原有的節(jié)點(diǎn)$x_0,x_1,\cdots,x_n$的基礎(chǔ)上，再添加一個(gè)節(jié)點(diǎn)$x_{n+1}$，并計(jì)算出對(duì)應(yīng)的函數(shù)值$f(x_{n+1})$。則$p_{n+1}(x)$的表達(dá)式為：p_{n+1}(x)=p_n(x)+\omega_{n+1}(x-x_0)(x-x_1)\cdots(x-x_n)$$其中$\omega_{n+1}$為插值節(jié)點(diǎn)$x_0,x_1,\cdots,x_{n+1}$上的$n+1$階差商，即：omega_{n+1}=\frac{f[x_0,x_1,\cdots,x_{n+1}]}{(n+1)!}$$3.在數(shù)值微分中，常用的方法有前向差分、后向差分和中心差分。前向差分公式為：f'(x)\approx\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$后向差分公式為：f'(x)\approx\frac{f(x)-f(x-h)}{h}$$中心差分公式為：f'(x)\approx\frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}$$其中$h$為步長(zhǎng)，一般取較小的正數(shù)。對(duì)于高階導(dǎo)數(shù)的數(shù)值計(jì)算，可以通過(guò)多次應(yīng)用上述公式來(lái)遞推計(jì)算。設(shè)$y=x$，在$x=100,121,144$三處的值是很容易求得的。試以這三個(gè)點(diǎn)建立$y=x$的二次插值多項(xiàng)式，并用此多項(xiàng)式計(jì)算$115$的近似值，且給出誤差估計(jì)。用其中的任意兩點(diǎn)，構(gòu)造線性插值函數(shù)，用得到的三個(gè)線性插值函數(shù)，計(jì)算$115$的近似值，并分析其結(jié)果不同的原因。解：已知$x=100,x_1=121,x_2=144;y=10,y_1=11,y_2=12$，建立二次Lagrange插值函數(shù)可得：L_2(x)=\frac{(x-121)(x-144)}{(100-121)(100-144)}\cdot10+\frac{(x-100)(x-144)}{(121-100)(121-144)}\cdot11+\frac{(x-100)(x-121)}{(144-100)(144-121)}\cdot12$$所以$115\approxL_2(115)=10.7228$。誤差$R_2(x)=\frac{f'''(\xi)}{3!}(x-x_1)(x-x_2)(x-x)$，$\xi\in(x,x_1,x_2)$，所以$|R_2(115)|<0.xxxxxxx$。利用前兩個(gè)節(jié)點(diǎn)建立線性插值函數(shù)可得：L_1(x)=\frac{(x-121)}{(100-121)}\cdot10+\frac{(x-100)}{(121-100)}\cdot11$$所以$115\approxL_1(115)=10.7143$。利用后兩個(gè)節(jié)點(diǎn)建立線性插值可得：L_1(x)=\frac{(x-144)}{(121-144)}\cdot11+\frac{(x-121)}{(144-121)}\cdot12$$所以$115\approxL_1(115)=10.7391$。利用前后兩個(gè)節(jié)點(diǎn)建立線性插值可得：L_2(x)=\frac{(x-144)}{(100-144)}\cdot10+\frac{(x-100)}{(144-100)}\cdot12$$所以$115\approxL_2(115)=10.6818$。與115的真實(shí)值比較，二次插值比線性插值效果好，利用前兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的線性插值比其他兩個(gè)線性插值效果好。這說(shuō)明，二次插值比線性插值效果好，內(nèi)插比外插效果好。2.利用$(2.9)$式證明$R(x)\leq\maxf''(x)\frac{(x-x_1)(x-x_2)}{8}$，$x_1\leqx\leqx_2$。證明：由$(2.9)$式R(x)=\frac{f''(\xi)}{2!}(x-x_1)(x-x_2),x_1<\xi<x_2$$當(dāng)$x_1\leqx\leqx_2$時(shí)，$f''(\xi)\leq\maxf''(x)$，$(x-x_1)(x-x_2)\leq\frac{(x_2-x_1)^2}{4}$，所以R(x)\leq\maxf''(x)\cdot\frac{(x_2-x_1)^2}{8}=\maxf''(x)\cdot\frac{(x-x_1)(x-x_2)}{8}$$當(dāng)$x=x_1$或$x=x_2$時(shí)，$R(x)=0$，結(jié)論成立。1yxxxx1xx3yxx1xx2xx3XXX2xx2x1XXX2x31xxxx1xx2yxx1xx2xx3XXX3xx3x1XXX3x21xxxx2xx3XXX插值函數(shù):fx0fx0fx0,x1xx0fx0,x1,x2xx0xx1fx0,x1,x2,x3xx0xx1xx2其中fx0y0,fx0,x1y1y0x1x0fx0,x1,x2fx1,x2fx0,x1x2x0fx0,x1,x2,x3fx1,x2,x3fx0,x1,x2x3x0代入數(shù)據(jù)得:Lagrange插值函數(shù):XXX13x3x0x32x112x3x0x33x1XXX插值函數(shù):y132x3322x1x312x0x32x1723x1x0x32x1牛頓插值法和Hermite插值法是數(shù)值分析中常用的插值方法。牛頓插值法通過(guò)差商的計(jì)算來(lái)構(gòu)造插值多項(xiàng)式，可以利用等距節(jié)點(diǎn)或非等距節(jié)點(diǎn)進(jìn)行插值。Hermite插值法則是通過(guò)給定的函數(shù)值和導(dǎo)數(shù)值來(lái)構(gòu)造插值多項(xiàng)式。下面對(duì)這兩種插值方法進(jìn)行簡(jiǎn)要介紹。首先是XXX插值法。通過(guò)差商的計(jì)算，可以得到一個(gè)n次插值多項(xiàng)式，其中n為給定節(jié)點(diǎn)數(shù)減1.可以利用等距節(jié)點(diǎn)或非等距節(jié)點(diǎn)進(jìn)行插值。等距節(jié)點(diǎn)的情況下，插值多項(xiàng)式的形式為：N_n(x)=f(x_0)+f[x_0,x_1](x-x_0)+f[x_0,x_1,x_2](x-x_0)(x-x_1)+\cdots+f[x_0,x_1,\cdots,x_n](x-x_0)(x-x_1)\cdots(x-x_{n-1})$$其中$f[x_0,x_1,\cdots,x_k]$表示$k$階差商，可以通過(guò)遞歸的方式計(jì)算得到。非等距節(jié)點(diǎn)的情況下，插值多項(xiàng)式的形式為：N_n(x)=\sum_{k=0}^{n}f[x_0,x_1,\cdots,x_k]\prod_{j=0}^{k-1}(x-x_j)$$其中$f[x_0,x_1,\cdots,x_k]$同樣表示$k$階差商。其次是Hermite插值法。給定函數(shù)值和導(dǎo)數(shù)值，可以構(gòu)造一個(gè)2n+1次插值多項(xiàng)式。具體的，可以先利用重節(jié)點(diǎn)計(jì)算差商，然后構(gòu)造插值多項(xiàng)式。插值多項(xiàng)式的形式為：H_{2n+1}(x)=\sum_{i=0}^{n}\left(f(x_i)+\sum_{k=0}^{1}\frac{f^{(k)}(x_i)}{k!}(x-x_i)\right)\prod_{j=0,j\neqi}^{n}\frac{(x-x_j)^2}{(x_i-x_j)^2}$$其中$f^{(k)}(x_i)$表示在$x_i$處的$k$階導(dǎo)數(shù)，$k=0,1$。最后，需要注意的是，在實(shí)際應(yīng)用中，我們需要根據(jù)具體問(wèn)題選擇合適的插值方法和節(jié)點(diǎn)，以保證插值結(jié)果的精度和穩(wěn)定性。2)根據(jù)第二類邊界條件,可得到三次樣條插值多項(xiàng)式為:S3x0.0003x30.0803x27.2805x268.3367x75,76;0.002x30.5057x242.0743x1038.3964x76,77;0.0013x30.3525x229.5615x724.8901x77,78;3)代入x=75.5計(jì)算得到分段線性插值函數(shù)的函數(shù)值為2.7905,三次樣條插值多項(xiàng)式的函數(shù)值為2.7919;代入x=78.3計(jì)算得到分段線性插值函數(shù)的函數(shù)值為2.962,三次樣條插值多項(xiàng)式的函數(shù)值為2.9589.x=79$時(shí)，$f(x)=79$；$x\in[78,79)$時(shí)，$f(x)=79-x$；$x\notin[76,79]$時(shí)，$f(x)=0$；$x\in[79,80)$時(shí)，$f(x)=80-x$；$x\notin[78,80]$時(shí)，$f(x)=0$。根據(jù)已知節(jié)點(diǎn)值，代入$M$關(guān)系式可得$M_1=0.0058$，$M_2=0.0067$，$M_3=0.0036$，$M_4=0.0071$。因此，在每個(gè)區(qū)間上的三次樣條函數(shù)的表達(dá)式為$s(x)=\frac{M_{j-1}}{6}(x_j-x)^3+\frac{M_j}{6}(x-x_{j-1})^3+\frac{y_{j-1}-M_{j-1}(x_j-x_{j-1})^2}{6}(x_j-x)+\frac{y_j-M_j(x_j-x_{j-1})^2}{6}(x-x_{j-1})$。當(dāng)$x=75.5$時(shí)，$I_5(75.5)=2.768l(75.5)+2.833l_1(75.5)=2.8005$，$s(75.5)=78.3$時(shí)，$I_5(75.5)=3.062l_4(78.3)+3.0039l_3(78.3)=3.0034$。給出$\sinx$，$\cosx$，$\tanx$的函數(shù)表如下。begin{center}begin{tabular}{|c|c|c|c|}XXXx$&$\sinx$&$\cosx$&$\tanx$\\XXX0^\circ$&0&1&0\\XXX15^\circ$&0.2588&0.9659&0.2679\\XXX30^\circ$&0.5&0.866&0.5774\\XXX45^\circ$&0.7071&0.7071&1\\XXX60^\circ$&0.866&0.5&1.7321\\XXX75^\circ$&0.9659&0.2588&3.7321\\XXX90^\circ$&1&0&不定義\\XXXend{tabular}end{center}使用表格中的數(shù)據(jù)和插值公式，求解以下問(wèn)題：1.直接使用tan表格計(jì)算tan1.5695，利用Lagrange插值計(jì)算sin和cos，再用sin/cos計(jì)算tan1.5695.結(jié)果為tan1.5695≈771.xxxxxxxx.由于出現(xiàn)小除數(shù)，誤