專題08 韋達(dá)定理應(yīng)用問題（解析版）

2023年中考不常考滿分當(dāng)成寶數(shù)學(xué)10個(gè)特色專題精煉（中等難度）專題08韋達(dá)定理應(yīng)用問題1.（2020湖北天門）關(guān)于x的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，且，那么m的值為（）A. B. C.或1 D.或4【答案】A【解析】通過根與系數(shù)之間的關(guān)系得到，，由可求出m的值，通過方程有實(shí)數(shù)根可得到，從而得到m的取值范圍，確定m的值．∵方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，∴，，∵，∴，整理得，，解得，，，若使有實(shí)數(shù)根，則，解得，所以【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)之間的關(guān)系和跟的判別式，注意使一元二次方程有實(shí)數(shù)根的條件是解題的關(guān)鍵．2.（2020貴州遵義）已知，是方程的兩根，則的值為（）A.5 B.10 C.11 D.13【答案】D【解析】先利用完全平方公式，得到，再利用一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系：，即可求解．【詳解】故選：D．【點(diǎn)睛】此題主要考查完全平方公式的應(yīng)用和一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系，靈活運(yùn)用完全平方公式和一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系是解題關(guān)鍵．3.（2021黑龍江綏化）已知是一元二次方程的兩個(gè)根，則__________．【答案】【解析】運(yùn)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求解即可．∵是一元二次方程的兩個(gè)根，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得：，，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，熟知是解題關(guān)鍵．4.（2022內(nèi)蒙古呼和浩特）已知，是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則代數(shù)式的值是（）A.4045 B.4044 C.2022 D.1【答案】A【解析】根據(jù)一元二次方程的解，以及一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系即可求解．∵，是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴，，【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，一元二次方程根的定義，掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．5.（2022四川眉山）設(shè)，是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的值為________．【答案】10【解析】由根與系數(shù)的關(guān)系，得到，，然后根據(jù)完全平方公式變形求值，即可得到答案．根據(jù)題意，∵，是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，完全平方公式變形求值，解題的關(guān)鍵是掌握得到，．9.已知α，β是關(guān)于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣x+1＝0兩個(gè)實(shí)根，且滿足（α+1）（β+1）＝m+1，則m的值為．【答案】-1【解析】根據(jù)題意可得α+β＝﹣＝﹣＝，αβ＝＝，∴（α+1）（β+1）＝αβ+α+β+1＝++1＝m+1，即m2﹣m﹣2＝0，解得m＝﹣1或m＝2，∵m﹣1≠0，∴m≠1，當(dāng)m＝2時(shí)，△＝b2﹣4ac＝﹣3＜0，無實(shí)數(shù)根，故m≠2，當(dāng)m＝﹣1時(shí)，△＝b2﹣4ac＝9＞0，有實(shí)數(shù)根，故m＝﹣1．6．（2021湖北鄂州）已知實(shí)數(shù)a、b滿足+|b+3|＝0，若關(guān)于x的一元二次方程x2﹣ax+b＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為x1、x2，則+＝．【答案】﹣．【解析】根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得出a＝2，b＝3，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得x1+x2＝2，x1?x2＝3，將+變形為，整體代入即可求得．∵實(shí)數(shù)a、b滿足+|b+3|＝0，∴a＝2，b＝﹣3，∵關(guān)于x的一元二次方程x2﹣ax+b＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為x1、x2，∴x1+x2＝a＝2，x1?x2＝b＝﹣3，∴+＝＝﹣．10.（2021南京）設(shè)是關(guān)于x的方程的兩個(gè)根，且，則_______．【答案】2【解析】先利用根與系數(shù)的關(guān)系中兩根之和等于3，求出該方程的兩個(gè)根，再利用兩根之積得到k的值即可．由根與系數(shù)的關(guān)系可得：，，∵，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)之間的關(guān)系，解決本題的關(guān)鍵是牢記公式，即對于一元二次方程，其兩根之和為，兩根之積為．7．（2021湖南永州）若x1，x2是關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的兩個(gè)根，則x1+x2＝﹣，x1?x2＝．現(xiàn)已知一元二次方程px2+2x+q＝0的兩根分別為m，n．（1）若m＝2，n＝﹣4，求p，q的值；（2）若p＝3，q＝﹣1，求m+mn+n的值．【答案】見解析?！窘馕觥浚?）利用根與系數(shù)的關(guān)系得到2﹣4＝﹣，2×（﹣4）＝，然后分別解方程求出p與q的值；（2）利用根與系數(shù)的關(guān)系得到m+n＝﹣，mn＝﹣，然后利用整體代入的方法計(jì)算．解：（1）根據(jù)題意得2﹣4＝﹣，2×（﹣4）＝，所以p＝1，q＝﹣8；（2）根據(jù)m+n＝﹣＝﹣，mn＝﹣，所以m+mn+n＝m+n+mn＝﹣﹣＝﹣1．8.已知關(guān)于的一元二次方程．（1）求證：無論取何值，此方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）若方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，且，求的值．【答案】（1）見解析；（2）．【解析】【分析】（1）求出△的值即可證明；（2），根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到，代入，得到關(guān)于m的方程，然后解方程即可．【詳解】（1）證明：依題意可得故無論m取何值，此方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．（2）由根與系數(shù)的關(guān)系可得：由，得，解得．【點(diǎn)睛】本題考查了利用一元二次方程根的判別式證明根的情況以及一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與系數(shù)的關(guān)系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根時(shí)，x1+x2=?，x1x2=．9.已知關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．（1）求k的取值范圍；（2）若，求k的值．【答案】(1)；(2)【解析】(1)根據(jù)建立不等式即可求解；(2)先提取公因式對等式變形為，再結(jié)合韋達(dá)定理求解即可．【詳解】(1)由題意可知，，整理得：，解得：，∴的取值范圍是：．故答案為：．(2)由題意得：，由韋達(dá)定理可知：，，故有：，整理得：，解得：，又由(1)中可知，∴的值為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程判別式、根與系數(shù)的關(guān)系、韋達(dá)定理、一元二次方程的解法等知識(shí)點(diǎn)，當(dāng)＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)＜0時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根．10.（2020湖北鄂州）已知關(guān)于x方程有兩實(shí)數(shù)根．（1）求k的取值范圍；（2）設(shè)方程兩實(shí)數(shù)根分別為、，且，求實(shí)數(shù)k的值．【答案】（1）k≤3；（2）．【解析】（1）根據(jù)方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根得出△＝≥0，解之可得．（2）利用根與系數(shù)的關(guān)系可用k表示出x1＋x2和x1x2的值，根據(jù)條件可得到關(guān)于k的方程，可求得k的值，注意利用根的判別式進(jìn)行取舍．【詳解】（1）∵關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴△≥0，即≥0，解得：k≤3，故k的取值范圍為：k≤3．（2）由根與系數(shù)的關(guān)系可得，由可得，代入x1＋x2和x1x2值，可得：解得：，（舍去），經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的根，故．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0，a，b，c為常數(shù)）根的判別式．當(dāng)△＞0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＝0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0，方程沒有實(shí)數(shù)根以及根與系數(shù)的關(guān)系，也考查了解一元二次方程和分式方程，注意分式方程要驗(yàn)根．11.已知關(guān)于的一元二次方程．（1）求證：無論為何實(shí)數(shù)，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）若方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，滿足，求的值．【答案】（1）見解析（2）0，-2【解析】（1）根據(jù)根的判別式即可求證出答案；（2）可以根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得與的、的關(guān)系式，進(jìn)一步可以求出答案.【詳解】(1)證明：∵，∵無論為何實(shí)數(shù)，，∴，∴無論為何實(shí)數(shù)，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2)由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得：，，∵，∴，∴，∴，化簡得：，解得，．【點(diǎn)睛】本題主要考查根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握概念和運(yùn)算技巧即可解題.12.（2020湖北黃石）已知：關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．（1）求m的取值范圍；（2）設(shè)方程的兩根為、，且滿足，求m的值．【答案】（1）m≥0（2）9【解析】本題主要考查了根的判別式，以及根與系數(shù)的關(guān)系，關(guān)鍵是掌握一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系：（1）△＞0?方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）△＝0?方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；（3）△＜0?方程沒有實(shí)數(shù)根．以及根與系數(shù)的關(guān)系：x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的兩根時(shí)，x1＋x2＝?，x1?x2＝．（1）根據(jù)題意得△＝（）2?4×（?2）≥0，且m≥0，解得m≥?8且m≥0．故m的取值范圍是m≥0；（2）方程的兩根為、，∴=-，=-2∵∴即m+8=17解得m＝9∴m的值為9．13．（2021湖北荊門）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣6x+2m﹣1＝0有x1，x2兩實(shí)數(shù)根．（1）若x1＝1，求x2及m的值；（2）是否存在實(shí)數(shù)m，滿足（x1﹣1）（x2﹣1）＝？若存在，求出實(shí)數(shù)m的值；若不存在，請說明理由．【答案】見解析?！窘馕觥浚?）先利用判別式的意義得到m≤5，再利用根與系數(shù)的關(guān)系得到x1+x2＝6，x1x2＝2m﹣1，然后利用x1＝1可求出x2和m的值；（2）利用（x1﹣1）（x2﹣1）＝得到2m﹣1﹣6＝，整理得m2﹣8m+12＝0，解得m1＝2，m2＝6，然后利用m的范圍確定m的值．解：（1）根據(jù)題意得△＝（﹣6）2﹣4（2m﹣1）≥0，解得m≤5，x1+x2＝6，x1x2＝2m﹣1，∵x1＝1，∴1+x2＝6，x2＝2m﹣1，∴x2＝5，m＝3；（2）存在．∵（x1﹣1）（x2﹣1）＝，∴x1x2﹣（x1+x2）+1＝，即2m﹣1﹣6＝，整理得m2﹣8m+12＝0，解得m1＝2，m2＝6，∵m≤5且m≠5，∴m＝2．14．（2021湖北黃石）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m＝0有實(shí)數(shù)根．（1）求m的取值范圍；（2）若該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為x1、x2，且x12+x22＝12，求m的值．【答案】見解析?！窘馕觥浚?）根據(jù)判別式的意義得到Δ＝（2m）2﹣4（m2+m）≥0，然后解關(guān)于m的不等式即可；（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到x1+x2＝﹣2m，x1x2＝m2+m，利用整體代入的方法得到m2﹣m﹣6＝0，然后解關(guān)于m的方程即可．【解答】解：（1）根據(jù)題意得Δ＝（2m）2﹣4（m2+m）≥0，解得m≤0．故m的取值范圍是m≤0；（2）根據(jù)題意得x1+x2＝﹣2m，x1x2＝m2+m，∵x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1?x2＝12，∴（﹣2m）2﹣2（m2+m）＝12，即m2﹣m﹣6＝0，解得m1＝﹣2，m2＝3（舍去）．故m的值為﹣2．15.（2022湖北十堰）已知關(guān)于的一元二次方程．（1）求證：