專題07函數(shù)的零點問題及應(yīng)用（知識串講熱考題型專題訓(xùn)練）（原卷版）

專題07函數(shù)的零點問題及應(yīng)用知識點1函數(shù)的零點與方程的根1、零點定義：如果函數(shù)在實數(shù)處的值等于零，即，則叫做這個函數(shù)的零點.2、注意事項：（1）函數(shù)的零點是一個實數(shù)，當函數(shù)的自變量取這個實數(shù)時，其函數(shù)值等于零；（2）函數(shù)的零點也就是函數(shù)的圖象與軸交點的橫坐標；（3）函數(shù)的零點就是方程的實數(shù)根．3、方程、函數(shù)、圖象之間的關(guān)系方程有實數(shù)根函數(shù)的圖象與軸有交點函數(shù)有零點．知識點2零點存在定理及其推論1、定理：如果函數(shù)在區(qū)間上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且，那么，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)至少有一個零點，即存在，使得，這個也就是方程的解?！咀⒁狻浚?）定義不能確定零點的個數(shù)；（2）不滿足定理條件時依然可能有零點；（3）定理中的“連續(xù)不斷”是必不可少的條件；（4）定理反之是不成立的.2、重要推論：（1）推論1：函數(shù)在區(qū)間上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，，且具有單調(diào)性，則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個零點.（2）推論2：函數(shù)在區(qū)間上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點，且函數(shù)具有單調(diào)性，則3、判斷函數(shù)零點所在區(qū)間的步驟第一步：將區(qū)間端點代入函數(shù)求函數(shù)的值；第二步：將所得函數(shù)值相乘，并進行符號判斷；第三步：若符號為正切在該區(qū)間內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，則函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)無零點；若符號為負且函數(shù)圖象連續(xù)，則函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)至少一個零點。知識點3零點個數(shù)的判斷方法1、直接法：直接求零點，令，如果能求出解，則有幾個不同的解就有幾個零點.2、定理法：利用零點存在定理，函數(shù)的圖象在區(qū)間上是連續(xù)不斷的曲線，且，結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個零點.3、圖象法：（1）單個函數(shù)圖象：利用圖象交點的個數(shù)，畫出函數(shù)的圖象，函數(shù)的圖象與軸交點的個數(shù)就是函數(shù)的零點個數(shù)；（2）兩個函數(shù)圖象：將函數(shù)拆成兩個函數(shù)和的差，根據(jù)，則函數(shù)的零點個數(shù)就是函數(shù)和的圖象的交點個數(shù)4、性質(zhì)法：利用函數(shù)性質(zhì)，若能確定函數(shù)的單調(diào)性，則其零點個數(shù)不難得到；若所考查的函數(shù)是周期函數(shù)，則只需解決在一個周期內(nèi)的零點的個數(shù)知識點4已知零點個數(shù)求參數(shù)范圍的方法1、直接法：利用零點存在的判定定理構(gòu)建不等式求解；2、數(shù)形結(jié)合法：將函數(shù)的解析式或者方程進行適當?shù)淖冃?，把函?shù)的零點或方程的根的問題轉(zhuǎn)化為兩個熟悉的函數(shù)圖象的交點問題，再結(jié)合圖象求參數(shù)的取值范圍；3、分離參數(shù)法：分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域(最值)問題求解．知識點5二分法的定義及應(yīng)用1、二分法的定義：對于區(qū)間上圖象連續(xù)不斷且的函數(shù)，通過不斷把它的零點所在區(qū)間一分為二，使所得區(qū)間的兩個端點逐漸逼近零點，進而得到近似值的方法。注意點：（1）二分法的求解原理是函數(shù)零點存在定理；（2）函數(shù)圖象在零點附近連續(xù)不斷；（3）用二分法只能求變號零點，即零點在左右兩側(cè)的函數(shù)值的符號相反，比如，該函數(shù)有零點0，但不能用二分法求解。2、用二分法求函數(shù)零點給定精確度，用二分法求函數(shù)零點的近似值的步驟（1）確定零點的初始區(qū)間，驗證；（2）求區(qū)間的中點；（3）計算，進一步確定零點所在的區(qū)間：=1\*GB3①若（此時），則就是函數(shù)的零點；=2\*GB3②若（此時），則令；=3\*GB3③若（此時），則令.（4）判斷是否達到精確度：若，則得到零點近似值（或）；否則重復(fù)（2）~（4）【注意】初始區(qū)間的確定要包含函數(shù)的變號零點；精確度表示當區(qū)間的長度小于時停止二分.考點1求函數(shù)的零點【例1】（2021·甘肅·臨夏高一期末）函數(shù)的零點是（）A．1，﹣3B．3，﹣1C．1，2D．，【變式1-1】（2022·福建福州·高一期中）（多選）已知函數(shù)，則函數(shù)的零點是（）A．-1B．0C．1D．2【變式1-2】（2022·北京二高一階段練習(xí)）函數(shù)的零點為___________．【變式1-3】（2022·河北·邢臺高一階段練習(xí)）已知在定義域上為單調(diào)函數(shù)，對，恒有，則函數(shù)的零點是（）A．2B．1C．D．考點2函數(shù)零點個數(shù)的判斷【例2】（2022·遼寧·沈陽市第十一高一期中）函數(shù)的零點個數(shù)為（）A．4B．3C．2D．1【變式2-1】（2022·北京·清華附中朝陽高一期中）已知函數(shù)，則的零點個數(shù)為（）個A．1B．2C．3D．4【變式2-2】（2022·河北·正定高一階段練習(xí)）已知，均是定義在的函數(shù)，其中函數(shù)是奇函數(shù)且在上的圖象如圖1，函數(shù)在定義域上的圖象如圖2，則方程的根的個數(shù)是（）A．3B．4C．5D．6【變式2-3】（2022·黑龍江·哈爾濱高一階段練習(xí)）若函數(shù)的定義域為為偶函數(shù)，當時，，則函數(shù)的零點個數(shù)為（）A．0B．1C．2D．4考點3函數(shù)零點所在區(qū)間的判斷【例3】（2022·北京育才高一期中）函數(shù)的零點所在區(qū)間是（）A．B．C．D．【變式3-1】（2022·廣東·廣州市第九十七高一階段練習(xí)）函數(shù)的零點所在的區(qū)間是（）A．B．C．D．【變式3-2】（2022·北京高一階段練習(xí)）函數(shù)的零點所在區(qū)間是（）A．B．C．D．【變式3-3】（2020·內(nèi)蒙古·北方重工集團第五高一階段練習(xí)（文））函數(shù)的零點所在區(qū)間是（）A．B．C．D．【變式3-4】（2022·江蘇·金沙高一階段練習(xí)）函數(shù)在區(qū)間上的零點所在的區(qū)間為（）A．B．C．D．【變式3-5】（2022·內(nèi)蒙古包頭·高一期末）已知為冪函數(shù)，（，且）的圖象過點．，若的零點所在區(qū)間為，那么（）A．3B．2C．1D．0考點4根據(jù)零點所在區(qū)間求參數(shù)【例4】（2022·天津南開·高一期末）已知函數(shù)（a>0，且a≠1），，若，則實數(shù)a的取值范圍是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，+）【變式4-1】（2022·河南焦作·高一期末）若函數(shù)在區(qū)間上存在零點，則實數(shù)a的取值范圍為（）A．B．C．D．【變式4-2】（2022·海南·高一期末）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在零點，則實數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．【變式4-3】（2022·新疆·烏市高一期末）（多選）若函數(shù)在上有零點，則整數(shù)m的值可以是（）A．B．C．0D．考點5根據(jù)零點個數(shù)求參數(shù)【例5】（2022·浙江省杭州學(xué)軍高一期中）已知，函數(shù)，若方程恰有2個實數(shù)解，則可能的值為是（）A．B．C．D．【變式5-1】（2022·遼寧·渤海大學(xué)附屬高級高一期中）若關(guān)于x的方程有四個不同的實數(shù)解，則實數(shù)k的取值范圍為（）A．B．C．D．【變式5-2】（2021·遼寧實驗高一階段練習(xí)）已知函數(shù)有4個零點，則k的取值范圍是（）A．B．C．D．【變式5-3】（2022·上海市南洋模范高一階段練習(xí)）若關(guān)于的不等式恰好有4個整數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．【變式5-4】（2022·陜西·戶縣第三高級高一期中）已知函數(shù)()，若函數(shù)有三個零點，則a的取值范圍是()A．B．C．D．考點6復(fù)合函數(shù)的零點問題【例6】（2022·安徽師范大學(xué)附屬高一階段練習(xí)）（多選）已知函數(shù)，則函數(shù)的零點個數(shù)不可能為（）A．4B．5C．6D．7【變式6-1】（2022·浙江嘉興·高一期中）（多選）已知函數(shù)則方程的根的個數(shù)可能為（）A．6B．5C．4D．3【變式6-2】（2022·浙江省普陀高一期中）已知函數(shù)關(guān)于x的方程有5個不同的實數(shù)根，則實數(shù)c的取值范圍是（）A．B．C．D．【變式6-3】（2022·廣東·高一期中）已知函數(shù)，若關(guān)于x的方程有8個不同的實數(shù)根，則實數(shù)k的值可以是（）A．B．C．D．1考點7函數(shù)零點的大小與范圍【例7】（2022·陜西·長安高一期末）函數(shù)的圖象如圖所示，則在區(qū)間上的零點之和為（）A．B．C．D．【變式7-1】（2022·重慶高一期中）定義在上的函數(shù)滿足，，且當時，，則方程所有的根之和為（）A．44B．40C．36D．32【變式7-2】（2022·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)，若且，則（）A．B．C．D．隨值變化【變式7-3】（2022·全國·高一課時練）已知三個函數(shù)的零點依次為，則的大小關(guān)系（）A．B．C．D．【變式7-4】（2022·湖南·周南高一階段練習(xí)）已知函數(shù)，若方程有4個不同的根，，，，且，則的取值范圍是（）A．B．C．D．【變式7-5】（2022·浙江·溫州市第八高級高一期中）設(shè)函數(shù)，若關(guān)于x的方程有四個實根，則的最小值為（）A．B．C．10D．9考點8二分法及其應(yīng)用【例8】（2022·北京·人大附中高一階段練習(xí)）用二分法求函數(shù)零點的近似解，可以取的初始區(qū)間是（）A．B．C．D．【變式8-1】（2021·甘肅·高臺縣第一高一期中）已知函數(shù)的一個零點附近的函數(shù)值的參考數(shù)據(jù)如下表：x00.50.531250.56250.6250.7510.0660.2150.5121.099由二分法，方程的近似解（精確度為0.05）可能是（）A．0.625B．C．0.5625D．0.066【變式8-2】（2022·黑龍江·賓縣第二高一期中）設(shè)，現(xiàn)用二分法求關(guān)于的方程在區(qū)間內(nèi)的近似解，已知，則方程的根落在區(qū)間（）內(nèi)A．B．C．D．不能確定【變式8-3】（2022·全國·高一課時練習(xí)）用二分法求函數(shù)的一個零點的近似值（誤差不超過）時，依次計算得到如下數(shù)據(jù)：，，，，關(guān)于下一步的說法正確的是（）A．已經(jīng)達到對誤差的要求，可以取作為近似值B．已經(jīng)達到對誤差的要求，可以取作為近似值C．沒有達到對誤差的要求，應(yīng)該接著計算D．沒有達到對誤差的要求，應(yīng)該接著計算【變式8-4】（2022·全國·高一課時練習(xí)）（多選）某同學(xué)用二分法求函數(shù)的零點時，計算出如下結(jié)果：，，，，．下列說法正確的有（）A．的零點在區(qū)間內(nèi)B．的零點在區(qū)間內(nèi)C．精確到0.1的近似值為1.4D．精確到0.1的近似值為1.51．（2022·福建泉州·高一階段練習(xí)）若函數(shù)在區(qū)間上的圖像是連續(xù)不斷的曲線，且在內(nèi)有唯一的零點，則的值（）A．大于零B．小于零C．等于零D．不能確定2．（2022·陜西省安康高一期末）已知函數(shù)，下列含有函數(shù)零點的區(qū)間是（）A．B．C．D．3．（2022·江蘇南京·高一期末）設(shè)函數(shù)在區(qū)間(k，k+1)()內(nèi)有零點，則k的值為（）A．-1B．0C．1D．24．（2022·黑龍江·大慶外國語高一期末）函數(shù)零點的個數(shù)為（）A．4B．3C．2D．05．（2022·河南信陽·高一期末）已知函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，且，當時，，則在區(qū)間上零點的個數(shù)為（）A．2B．3C．4D．56．（2022·四川攀枝花·高一期末）已知函數(shù)，則方程的實數(shù)根的個數(shù)為（）A．B．C．D．7．（2022·天津河西·高一期末）已知定義域為的單調(diào)遞增函數(shù)滿足：，有，則方程的解的個數(shù)為（）A．3B．2C．1D．08．（2022·河南洛陽·高一期末（文））已知函數(shù)，，的零點分別為，，，則，，的大小順序為（）A．B．C．D．9．（2022·海南·嘉積高一期末）已知函數(shù)的最大值為2，若方程在區(qū)間內(nèi)有四個實數(shù)根，，，，且，則（）A．B．C．D．10．（2022·陜西省商洛高一期末）已知函數(shù)，若與在區(qū)間內(nèi)的零點個數(shù)之和為4，則的取值范圍是（）A．B．C．D．11．（2022·江蘇·南京師大附中高一階段練習(xí)）設(shè)m是不為0的實數(shù)，已知函數(shù)，若函數(shù)有7個零點，則m的取值范圍是（）A．B．C．D．12．（2020·天津·高一期末