廣東省南粵名校2024屆高三上學期9月學科綜合素養(yǎng)評價聯(lián)考數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1廣東省南粵名校2024屆高三上學期9月學科綜合素養(yǎng)評價聯(lián)考數(shù)學試題一、單項選擇題1.已知集合，，那么（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗，，故.故選：D.2.復數(shù)在復平面內對應的點在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗A〖解析〗根據(jù)復數(shù)的除法運算可得，所以復數(shù)在復平面內對應的點的坐標為，在第一象限.故選：A3.函數(shù)的一個單調減區(qū)間是（）A B. C. D.〖答案〗C〖解析〗畫出的圖象，如下，可以看出的一個單調減區(qū)間為，其他選項不合要求.故選：C.4.拋物線的焦點，點在拋物線上，且，的延長線交軸于點，若為線段FN的中點，則（）A.2 B. C.4 D.6〖答案〗C〖解析〗過點作⊥軸于點，交拋物線的準線于點，由題意得，設，由拋物線定義可知，，因為若為線段FN的中點，所以，所以，將其代入中，解得.故選：C5.從正整數(shù)1，2，……10中任意取出兩個不同的數(shù)，則取出的兩個數(shù)的和等于某個正整數(shù)的平方的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗從1，2，……10中任意取出兩個不同數(shù)，共有種選擇，其中滿足取出的兩個數(shù)的和等于某個正整數(shù)的平方，故取出的兩個數(shù)的和等于某個正整數(shù)的平方的概率為.故選：C6.已知角的頂點在原點，始邊與軸的非負半軸重合，終邊經過點，求的值（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗，因為角的頂點在原點，始邊與軸的非負半軸重合，終邊經過點，所以，因此，故選：A7.直線被圓截得的弦長最大值為（）A. B. C.2 D.〖答案〗A〖解析〗將圓方程化為標準式可得，即可知圓心，半徑；根據(jù)弦長公式可知，當圓心到直線距離最小時，截得的弦長最大，易知圓心到直線的距離為，由三角函數(shù)值域可知當時，，此時弦長為.故選：A8.已知定義在R上的函數(shù)滿足，且當時，，則不等式的解集為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗當時，，當且僅當，即時，等號成立，故在上單調遞增，因為，所以關于中心對稱，所以在R上單調遞增，當時，，故只需，解得，與取交集，結果為，當時，，故只需，解得，與取交集，結果為，故不等式的解集為.故選：D二、多項選擇題9.某學校隨機抽取200名學生數(shù)學周測成績的頻率分布直方圖如圖所示，據(jù)此估計該校本次數(shù)學周測的總體情況（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表），下列說法正確的是（）A.眾數(shù)為60或70 B.分位數(shù)為65C.平均數(shù)為73 D.中位數(shù)為75〖答案〗BC〖解析〗A：由頻率分布直方圖可知：小矩形最高是這一小組，所以眾數(shù)為，因此本選項不正確；B：這一小組的小矩形面積為，這一小組的小矩形面積為，設分位數(shù)為，所以有，因此本選項正確；C：平均數(shù)為，因此本選項正確；D：這一小組的小矩形面積為，設中位數(shù)為，則結合B選項有，因此本選項不正確.故選：BC10.下列不等式正確的是（）A.B.，則C.是不等式成立的必要不充分條件D.函數(shù)的最大值是〖答案〗BCD〖解析〗A選項，當時，，不滿足要求，A錯誤；B選項，，因為，所以，故，B正確；C選項，由解得，由解得或，故的解集為或或，由于或，但或，故是不等式成立的必要不充分條件，C正確；D選項，，因為，所以當時，取得最大值，最大值為，D正確.故選：BCD11.數(shù)列滿足，且，則下列說法正確的是（）A.若，則數(shù)列為常數(shù)數(shù)列B.若，則數(shù)列等差數(shù)列C.若，則數(shù)列前項和為D.對于任意的，，數(shù)列都不可能為等比數(shù)列〖答案〗BC〖解析〗對于A，若，可得，同理可得，即，所以數(shù)列不是常數(shù)數(shù)列，即A錯誤；對于B，若，由可得，即為常數(shù)，根據(jù)定義可知數(shù)列為等差數(shù)列，即B正確；對于C，若，則，即可得，即數(shù)列是以為首項，公差為的等差數(shù)列，所以，即，所以，可得數(shù)列前項和為，即C正確；對于D，不妨取，可得，此時數(shù)列為常數(shù)數(shù)列，即，此時數(shù)列的公比為1，滿足數(shù)列為等比數(shù)列，即D錯誤.故選：BC12.在直三棱柱中，，且，為線段的中點，為棱上的動點，平面過三點，則下列命題正確的是（）A.三棱錐的體積不變B.平面平面ABEC.當與重合時，截此三棱柱的外接球所得的截面面積為；D.存在點，使得直線BC與平面所成角的大小為．〖答案〗ABC〖解析〗A選項，由于為棱上的動點，故為定值，又到平面的距離為2，故為定值，A正確；B選項，以為坐標原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系，則，設，設平面的法向量為，則，解得，令，則，故，設平面的法向量為，則，令，則，故，由于，故平面平面；C選項，連接相交于點，直三棱柱中，，故此三棱柱的外接球即為以為長寬高的長方體的外接球，則此點即為外接球球心，其中，故，外接球半徑為，設平面的法向量為，則，解得，令，則，故，故點到平面的距離為，則截此三棱柱的外接球所得的截面圓的半徑為，故截面面積.故當與重合時，截此三棱柱的外接球所得的截面面積為，C正確；D選項，設，由B選項可知，平面的法向量為，假設存在點，使得直線BC與平面所成角的大小為，則，即，整理得，，由于，方程無解，故直線BC與平面所成角的大小不為，D錯誤.故選：ABC.三、填空題13.的二項展開式中的系數(shù)為______．〖答案〗〖解析〗展開式的通項公式為，令，解得，故，則展開式中的系數(shù)為.故〖答案〗為：.14.已知向量，，求向量在向量方向上的投影向量為______．〖答案〗〖解析〗根據(jù)題意可知，；由投影向量公式可得，向量在向量方向上的投影向量為.故〖答案〗為：15.若函數(shù)在處取得極小值，則函數(shù)的極大值為______．〖答案〗〖解析〗，由題意得，解得，故，，當時，，單調遞減，當或時，，單調遞增，故在處取得極大值，故極大值為.故〖答案〗為：16.已知橢圓的左、右焦點分別為，點在橢圓上，且，（為原點），則______．〖答案〗〖解析〗根據(jù)題意，如下圖所示：由橢圓定義易知，，在中由余弦定理可得；解得，又是的中點，所以可得，即；所以.故〖答案〗為：四、解答題17.在中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知．（1）求角的大??；（2）設，，求的值．解：（1）在中，由正弦定理可得，，故，因為中，且，故，因為，所以，即；（2）在中，由余弦定理及，，可得，，故．由正弦定理，可得．因為，故，所以為銳角，故，∴.18.已知數(shù)列的首項，其前項和為，且，（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設，求數(shù)列的前項和．解：（1）由已知，∴時，，兩式相減，得，即，從而，又當時，，∴又，∴，從而．故總有，．又∵，∴，從而．即是以為首項，公比為3的等比數(shù)列．∴，∴，（2）由（1）知．∴．設，設前項和為，則①，②①－②有，故，從而.19.三棱柱中，是正方形的中心，，平面，且．（1）是棱的中點，求證：平面；（2）求面與面夾角的大小．（1）證明：連接，是正方形的中心，，則，又平面，平面，∴，又，由勾股定理得，同理，，∴，均為等邊三角形，又為中點，∴，，，又∵平面，平面，∴平面，∵，∴平面；（2）解：以為原點，分別為軸正方向，建立空間直角坐標系，，，，，∴，，，設面的法向量，則，解得，令，則，故，由（1）知，面的法向量為，設面與面的夾角為，則，∵，∴.20.甲、乙兩位同學決定進行一次投籃比賽，他們每次投中的概率均為P，且每次投籃相互獨立，經商定共設定5個投籃點，每個投籃點投球一次，確立的比賽規(guī)則如下：甲分別在5個投籃點投球，且每投中一次可獲得1分；乙按約定的投籃點順序依次投球，如投中可繼續(xù)進行下一次投籃，如沒有投中，投籃中止，且每投中一次可獲得2分.按累計得分高低確定勝負．（1）若乙得6分概率，求；（2）由（1）問中求得的值，判斷甲、乙兩位選手誰獲勝的可能性大？解：（1）若乙得6分，則需乙前3個投籃投中，第4個投籃未中，其概率為，又，故，解得；（2）設為甲累計獲得的分數(shù)，則，所以，設為乙累計獲得的分數(shù)，則的可能取值為0，2，4，6，8，10，，，，，，，所以的分布列為：0所以，因為，所以甲獲勝的可能性大21.已知雙曲線的離心率為2，右焦點到漸近線的距離為．（1）求雙曲線的標準方程；（2）若點為雙曲線右支上一動點，過點與雙曲線相切的直線，直線與雙曲線的漸近線分別交于M，N兩點，求的面積的最小值．解：（1）由已知得漸近線方程為，右焦點，∴，又∵，所以，解得，又因為離心率，解得，，∴雙曲線的標準方程為；（2）解法1：的漸近線方程為，當直線的斜率不存在時，此時，直線方程為，代入漸近線方程，得到，故，又，故的面積；當直線的斜率存在時，設其方程為，直線與雙曲線聯(lián)立得，因為相切，所以，解得，另設，，聯(lián)立，∴，，，，在中，，，∴，所以，所以，因為，所以，綜上所述，，其最小值為；解法2：由條件知，若直線的斜率存在，則斜率不為零，故可設，直線與雙曲線聯(lián)立得，，因為相切，所以，即，又因為直線與雙曲線的漸近線交于兩點，設為，，聯(lián)立，由于，所以，則,由直線的方程得，直線與軸的交點坐標為，∴，∵，∴即，且，∴時，的最小值為，綜上所述，，其最小值為.22.已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調性；（2）若，證明：（1）解：令，當時，，當時，，當時，，所以在上單調遞