專題2.9 角的軸對(duì)稱性（直通中考）-2023-2024學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)基礎(chǔ)知識(shí)專項(xiàng)突破講與練（蘇科版）

專題2.9角的軸對(duì)稱性（直通中考）【要點(diǎn)回顧】【知識(shí)點(diǎn)一】角的平分線的性質(zhì)角的平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等.【知識(shí)點(diǎn)二】角的平分線的判定角平分線的判定：角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.【知識(shí)點(diǎn)三】角的平分線的尺規(guī)作圖角平分線的尺規(guī)作圖

（1）以O(shè)為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，交OA于D，交OB于E.

（2）分別以D、E為圓心，大于DE的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧在∠AOB內(nèi)部交于點(diǎn)C.

（3）畫射線OC.射線OC即為所求.近幾年以來，角平分線和線段垂直平分線多以作圖的為背景出現(xiàn)，同時(shí)融入了角平分線和垂直平分線的性質(zhì)定理和判定定理進(jìn)行證明和求值。一、單選題1．（2022·吉林長(zhǎng)春·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，根據(jù)尺規(guī)作圖痕跡，下列說法不一定正確的是（

）A． B．C． D．2．（2022·浙江舟山·中考真題）用尺規(guī)作一個(gè)角的角平分線，下列作法中錯(cuò)誤的是（

）A． B．C． D．3．（2023·福建·統(tǒng)考中考真題）閱讀以下作圖步驟：①在和上分別截取，使；②分別以為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在內(nèi)交于點(diǎn)；③作射線，連接，如圖所示．根據(jù)以上作圖，一定可以推得的結(jié)論是（

）

A．且 B．且C．且 D．且4．（2023·吉林長(zhǎng)春·統(tǒng)考中考真題）如圖，用直尺和圓規(guī)作的角平分線，根據(jù)作圖痕跡，下列結(jié)論不一定正確的是（

）

A． B． C． D．5．（2022·四川資陽·中考真題）如圖所示，在中，按下列步驟作圖：第一步：在上分別截取，使；第二步：分別以點(diǎn)D和點(diǎn)E為圓心、適當(dāng)長(zhǎng)（大于的一半）為半徑作圓弧，兩弧交于點(diǎn)F；第三步：作射線交于點(diǎn)M；第四步：過點(diǎn)M作于點(diǎn)N．下列結(jié)論一定成立的是(

)A． B． C． D．6．（2022·遼寧·統(tǒng)考中考真題）如圖，OG平分∠MON，點(diǎn)A，B是射線OM，ON上的點(diǎn)，連接AB．按以下步驟作圖：①以點(diǎn)B為圓心，任意長(zhǎng)為半徑作弧，交AB于點(diǎn)C，交BN于點(diǎn)D；②分別以點(diǎn)C和點(diǎn)D為圓心，大于CD長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)E；③作射線BE，交OG于點(diǎn)P．若∠ABN＝140°，∠MON＝50°，則∠OPB的度數(shù)為（）

A．35° B．45° C．55° D．65°7．（2021·四川廣元·統(tǒng)考中考真題）觀察下列作圖痕跡，所作線段為的角平分線的是（

）A． B．C． D．8．（2021·內(nèi)蒙古通遼·統(tǒng)考中考真題）如圖，中，，根據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡判斷以下結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A． B． C． D．二、填空題9．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，按以下步驟作圖：①以點(diǎn)為圓心，以小于長(zhǎng)為半徑作弧，分別交于點(diǎn)，；②分別以，為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑作弧，在內(nèi)兩弧交于點(diǎn)；③作射線，交于點(diǎn)．若點(diǎn)到的距離為，則的長(zhǎng)為．10．（2023·遼寧沈陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，直線，直線分別與，交于點(diǎn)，，小明同學(xué)利用尺規(guī)按以下步驟作圖：

（1）點(diǎn)為圓心，以任意長(zhǎng)為半徑作弧交射線于點(diǎn)，交射線于點(diǎn)；（2）分別以點(diǎn)，為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在內(nèi)交于點(diǎn)；（3）作射線交直線于點(diǎn)；若，則度．11．（2023·湖南岳陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，①在上分別截取線段，使；②分別以為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑畫弧，在內(nèi)兩弧交于點(diǎn)；③作射線．若，則．

12．（2023·吉林·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，分別以點(diǎn)B和點(diǎn)C為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩孤交于點(diǎn)D，作直線交于點(diǎn)E．若，則的大小為度．

13．（2022·湖南郴州·統(tǒng)考中考真題）如圖．在中，，．以點(diǎn)A為圓心，以任意長(zhǎng)為半徑作弧交AB，AC于D，E兩點(diǎn)；分別以點(diǎn)D，E為圓心，以大于長(zhǎng)為半徑作弧，在內(nèi)兩弧相交于點(diǎn)P；作射線AP交BC于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作，垂足用G．若，則的周長(zhǎng)等于cm．14．（2022·北京·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，平分若則．15．（2022·湖南株洲·統(tǒng)考中考真題）如圖所示，點(diǎn)在一塊直角三角板上（其中），于點(diǎn)，于點(diǎn)，若，則度．16．（2022·內(nèi)蒙古通遼·統(tǒng)考中考真題）如圖，依據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡，求的度數(shù)°．17．（2021·福建·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的角平分線．若，則點(diǎn)D到的距離是．18．（2021·湖南長(zhǎng)沙·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，平分交于點(diǎn)，，垂足為，若，，則的長(zhǎng)為．三、解答題19．（2022·山東青島·統(tǒng)考中考真題）已知：，．求作：點(diǎn)P，使點(diǎn)P在內(nèi)部，且．20．（2023·河南·統(tǒng)考中考真題）如圖，中，點(diǎn)D在邊上，且．

請(qǐng)用無刻度的直尺和圓規(guī)作出的平分線（保留作圖痕跡，不寫作法）．若（1）中所作的角平分線與邊交于點(diǎn)E，連接．求證：．21．（2022·陜西·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知是的一個(gè)外角．請(qǐng)用尺規(guī)作圖法，求作射線，使．（保留作圖痕跡，不寫作法）（2022·廣東·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知，點(diǎn)P在上，，，垂足分別為D，E．求證：．23．（2021·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，且AC=AD．（1）作∠BAC的平分線，交BC于點(diǎn)E；(要求尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡)（2）在（1）的條件下，連接DE，證明．24．（2023·甘肅蘭州·統(tǒng)考中考真題）綜合與實(shí)踐問題探究：（1）如圖1是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得所著的《幾何原本》第1卷命題9：“平分一個(gè)已知角．”即：作一個(gè)已知角的平分線，如圖2是歐幾里得在《幾何原本》中給出的角平分線作圖法：在和上分別取點(diǎn)C和D，使得，連接，以為邊作等邊三角形，則就是的平分線．

請(qǐng)寫出平分的依據(jù)：____________；類比遷移：（2）小明根據(jù)以上信息研究發(fā)現(xiàn)：不一定必須是等邊三角形，只需即可．他查閱資料：我國古代已經(jīng)用角尺平分任意角．做法如下：如圖3，在的邊，上分別取，移動(dòng)角尺，使角尺兩邊相同刻度分別與點(diǎn)M，N重合，則過角尺頂點(diǎn)C的射線是的平分線，請(qǐng)說明此做法的理由；拓展實(shí)踐：（3）小明將研究應(yīng)用于實(shí)踐．如圖4，校園的兩條小路和，匯聚形成了一個(gè)岔路口A，現(xiàn)在學(xué)校要在兩條小路之間安裝一盞路燈E，使得路燈照亮兩條小路（兩條小路一樣亮），并且路燈E到岔路口A的距離和休息椅D到岔路口A的距離相等．試問路燈應(yīng)該安裝在哪個(gè)位置？請(qǐng)用不帶刻度的直尺和圓規(guī)在對(duì)應(yīng)的示意圖5中作出路燈E的位置．（保留作圖痕跡，不寫作法）參考答案1．B【分析】根據(jù)尺規(guī)作圖痕跡，可得DF垂直平分AB，BE是的角平分線，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)和角平分線的定義，直角三角形兩銳角互余，等邊對(duì)等角的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可．【詳解】根據(jù)尺規(guī)作圖痕跡，可得DF垂直平分AB，BE是的角平分線，，，，綜上，正確的是A、C、D選項(xiàng)，故選：B．【點(diǎn)撥】本題考查了垂直平分線和角平分線的作圖，垂直平分線的性質(zhì)，角平分線的定義，直角三角形兩銳角互余，等邊對(duì)等角的性質(zhì)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．2．D【分析】根據(jù)作圖軌跡及角平分線的定義判斷即可得出答案．【詳解】A、如圖，由作圖可知：，又∵，∴，∴，∴平分．故A選項(xiàng)是在作角平分線，不符合題意；B、如圖，由作圖可知：，又∵，∴，∴，∴，∵,，∴，∴，∵，∴，∴，∴平分．故B選項(xiàng)是在作角平分線，不符合題意；C、如圖，由作圖可知：，∴,，∴，∴，∴平分．故C選項(xiàng)是在作角平分線，不符合題意；D、如圖，由作圖可知：，又∵，∴，∴故D選項(xiàng)不是在作角平分線，符合題意；故選：D【點(diǎn)撥】本題考查了角平分線的作圖，全等三角形的性質(zhì)與判定，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．3．A【分析】由作圖過程可得：，再結(jié)合可得，由全等三角形的性質(zhì)可得即可解答．【詳解】解：由作圖過程可得：，∵，∴．∴．∴A選項(xiàng)符合題意；不能確定,則不一定成立，故B選項(xiàng)不符合題意；不能確定,故C選項(xiàng)不符合題意，不一定成立，則不一定成立，故D選項(xiàng)不符合題意．故選A．【點(diǎn)撥】本題主要考查了角平分線的尺規(guī)作圖、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，理解尺規(guī)作圖過程是解答本題的關(guān)鍵．4．B【分析】根據(jù)作圖可得，進(jìn)而逐項(xiàng)分析判斷即可求解．【詳解】解：根據(jù)作圖可得，故A，C正確；∴在的垂直平分線上，∴，故D選項(xiàng)正確，而不一定成立，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤，故選：B．【點(diǎn)撥】本題考查了作角平分線，垂直平分線的判定，熟練掌握基本作圖是解題的關(guān)鍵．5．C【分析】根據(jù)題意可知，平分，即可得出正確答案．【詳解】解：由題意可知，平分，∵不一定等于90°，∴，因此A選項(xiàng)不正確；∵不一定等于90°，∴不一定等于，因此B選項(xiàng)不正確；∵平分，∴，因此C選項(xiàng)不正確；∵不一定等于90°，∴不一定等于，因此D選項(xiàng)不正確；故選C．【點(diǎn)撥】本題考查了尺規(guī)作圖——角平分線，角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定，掌握角平分線的作圖方法是本題的關(guān)鍵．6．B【分析】根據(jù)條件可知平分求出，根據(jù)平分求出，進(jìn)而利用即可求出答案．【詳解】解：由作法得BP平分,∵OG平分,，，．故選：B．【點(diǎn)撥】本題主要考查角平分線的定義，三角形的外角的定理，根據(jù)題目條件發(fā)現(xiàn)角平分線是解題的關(guān)鍵．7．C【分析】根據(jù)角平分線畫法逐一進(jìn)行判斷即可．【詳解】：所作線段為AB邊上的高，選項(xiàng)錯(cuò)誤；B：做圖痕跡為AB邊上的中垂線，CD為AB邊上的中線，選項(xiàng)錯(cuò)誤；C：CD為的角平分線，滿足題意。D：所作線段為AB邊上的高，選項(xiàng)錯(cuò)誤故選：Ｃ.【點(diǎn)撥】本題考查點(diǎn)到直線距離的畫法，角平分線的畫法，中垂線的畫法，能夠區(qū)別彼此之間的不同是解題切入點(diǎn)．8．D【分析】由尺規(guī)作圖可知AD是∠CAB角平分線，DE⊥AC，由此逐一分析即可求解．【詳解】解：由尺規(guī)作圖可知，AD是∠CAB角平分線，DE⊥AC，在△AED和△ABD中：∵，∴△AED≌△ABD(AAS)，∴DB=DE，AB=AE，選項(xiàng)A、B都正確，又在Rt△EDC中，∠EDC=90°-∠C，在Rt△ABC中，∠BAC=90°-∠C，∴∠EDC=∠BAC，選項(xiàng)C正確，選項(xiàng)D，題目中缺少條件證明，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤．故選：D.【點(diǎn)撥】本題考查了尺規(guī)作圖角平分線的作法，熟練掌握常見圖形的尺規(guī)作圖是解決這類題的關(guān)鍵．9．【分析】根據(jù)作圖可得為的角平分線，根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)作于點(diǎn)，依題意，根據(jù)作圖可知為的角平分線，∵∴，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了作角平分線，角平分線的性質(zhì)，熟練掌握基本作圖以及角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10．58【分析】由作圖得平分，再根據(jù)平行線的性質(zhì)“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”易得，即可獲得答案．【詳解】解：由作圖得：平分，∴，∵，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)撥】本題主要考查了尺規(guī)作圖-基本作圖以及平行線的性質(zhì)，由作圖得到平分是解題關(guān)鍵．11．【分析】由作圖可知是的角平分線，根據(jù)角平分線的定義即可得到答案．【詳解】解：由題意可知，是的角平分線，∴．故答案為：【點(diǎn)撥】此題考查角平分線的作圖、角平分線相關(guān)計(jì)算，熟練掌握角平分線的作圖是解題的關(guān)鍵．12．55【分析】首先根據(jù)題意得到是的角平分線，進(jìn)而得到．【詳解】∵由作圖可得，是的角平分線∴．故答案為：55．【點(diǎn)撥】此題考查了作角平分線，角平分線的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)．13．8【分析】由角平分線的性質(zhì)，得到，然后求出的周長(zhǎng)即可．【詳解】解：根據(jù)題意，在中，，，由角平分線的性質(zhì)，得，∴的周長(zhǎng)為：；故答案為：8【點(diǎn)撥】本題考查了角平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握角平分線的性質(zhì)．14．1【分析】作于點(diǎn)F，由角平分線的性質(zhì)推出，再利用三角形面積公式求解即可．【詳解】解：如圖，作于點(diǎn)F，∵平分，，，∴，∴．故答案為：1．【點(diǎn)撥】本題考查角平分線的性質(zhì)，通過作輔助線求出三角形ACD中AC邊上的高是解題的關(guān)鍵．15．15【分析】根據(jù)，，判斷OB是的角平分線，即可求解．【詳解】解：由題意，，，，即點(diǎn)O到BC、AB的距離相等，∴OB是的角平分線，∵，∴．故答案為：15．【點(diǎn)撥】本題考查角平分線的定義及判定，熟練掌握“到一個(gè)角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上”是解題的關(guān)鍵．16．60【分析】先根據(jù)矩形的性質(zhì)得出，故可得出∠ABD的度數(shù)，由角平分線的定義求出∠EBF的度數(shù)，再由EF是線段BD的垂直平分線得出∠EFB、∠BEF的度數(shù)，進(jìn)而可得出結(jié)論．【詳解】解：如圖，∵四邊形ABCD為矩形，∴，∴，由尺規(guī)作圖可知，BE平分∠ABD，∴，由尺規(guī)作圖可知EF垂直平分BD，∴∠EFB=90°，∴，∴∠α=∠BEF=60°．故答案為：60°．【點(diǎn)撥】本題主要考查了尺規(guī)作圖-基本作圖、角平分線以及垂直平分線的知識(shí)，解題關(guān)鍵是熟練掌握5種基本作圖（作一條線段等于已知線段；作一個(gè)角等于已知角；作已知線段的垂直平分線；作已知角的角平分線；過一點(diǎn)作已知直線的垂線）．17．【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)，角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等，即可求得．【詳解】如圖，過D作，則D到的距離為DE平分，，點(diǎn)D到的距離為．故答案為．【點(diǎn)撥】本題考查了角平分線的性質(zhì)，點(diǎn)到直線的距離等知識(shí)，理解點(diǎn)到直線的距離的定義，熟知角平分線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．18．【分析】先根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，再根據(jù)線段的和差即可得．【詳解】解：平分，，，，，，，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了角平分線的性質(zhì)，熟練掌握角平分線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．19．見解析【分析】分別以點(diǎn)B、C為圓心，大于BC長(zhǎng)的一半為半徑畫弧，交于兩點(diǎn)，連接這兩點(diǎn)，然后再以點(diǎn)B為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，交AB、BC于點(diǎn)M、N，以點(diǎn)M、N為圓心，大于MN長(zhǎng)一半為半徑畫弧，交于一點(diǎn)Q，連接BQ，進(jìn)而問題可求解．【詳解】解：如圖，點(diǎn)P即為所求：【點(diǎn)撥】本題主要考查角平分線與垂直平分線的尺規(guī)作圖，熟練掌握角平分線與垂直平分線的尺規(guī)作圖是解題的關(guān)鍵．20．(1)見解析(2)見解析【分析】（1）利用角平分線的作圖步驟作圖即可；（2）證明，即可得到結(jié)論．【詳解】（1）解：如圖所示，即為所求，

（2）證明：∵平分，∴，∵，，∴，∴．【點(diǎn)撥】此題考查了角平分線的作圖、全