最小相位系統(tǒng)的Bode圖的應(yīng)用增益裕度

本章知識點(diǎn)頻率特性的基本概念(復(fù)習(xí))系統(tǒng)頻率特性的極坐標(biāo)圖表示方法奈奎斯特穩(wěn)定理論最小相位與非最小相位系統(tǒng)及其區(qū)別系統(tǒng)的穩(wěn)定裕量的再討論系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性1.1頻率特性的基本概念(復(fù)習(xí))1.2極坐標(biāo)圖的繪制

1.3奈奎斯特穩(wěn)定理論

1.4系統(tǒng)穩(wěn)定裕量的再討論

1.5系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性

1.6本章小結(jié)第一章線性系統(tǒng)的頻域分析

系統(tǒng)對正弦輸入信號的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。討論線性定常系統(tǒng)(包括開環(huán)、閉環(huán)系統(tǒng))在正弦輸入信號作用下的穩(wěn)態(tài)輸出。系統(tǒng)或?qū)ο?.1頻率特性的基本概念(復(fù)習(xí))

為系統(tǒng)的幅頻特性,它反映系統(tǒng)在不同頻率正弦信號作用下,輸出穩(wěn)態(tài)幅值與輸入穩(wěn)態(tài)幅值的比值。稱１．頻率特性的定義

為系統(tǒng)的相頻特性,它反映系統(tǒng)在不同頻率正弦信號作用下，輸出信號相對輸入信號的相移。稱定義頻率特性的數(shù)學(xué)描述形式為：

是系統(tǒng)的幅頻特性。其中：是系統(tǒng)的相頻特性。頻率特性又稱頻率響應(yīng)，它是系統(tǒng)（或元件）對不同頻率正弦輸入信號的響應(yīng)特性。

輸出的振幅和相位一般均不同于輸入量，且隨著輸入信號頻率的變化而變化

1.1頻率特性的基本概念(復(fù)習(xí))（１）幅頻特性反映系統(tǒng)對不同頻率正弦信號的穩(wěn)態(tài)衰減（或放大）特性．（２）相頻特性表示系統(tǒng)在不同頻率正弦信號下輸出的相位移．（３）已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，令，可得系統(tǒng)的頻率特性。（４）頻率特性包含了系統(tǒng)的全部動態(tài)結(jié)構(gòu)參數(shù)，反映了系統(tǒng)的內(nèi)在性質(zhì)．幾點(diǎn)說明：1.1頻率特性的基本概念(復(fù)習(xí))在系統(tǒng)的輸入端輸入一正弦信號，測出不同頻率時系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)輸出的振幅Y和相移φ，便可得到它的幅頻特性和相頻特性。1)解析法2)實(shí)驗(yàn)法２．獲取系統(tǒng)頻率特性的途徑1.1頻率特性的基本概念(復(fù)習(xí))3.

(半)對數(shù)坐標(biāo)圖(Bode圖)對數(shù)相頻特性的縱軸是線性分度：對數(shù)相頻特性的縱軸是線性分度:半對數(shù)坐標(biāo)系1.1頻率特性的基本概念(復(fù)習(xí))當(dāng)時，二階震蕩系統(tǒng)的準(zhǔn)確的對數(shù)幅頻特性：幅值誤差與關(guān)系二階震蕩環(huán)節(jié)的頻率特性是對數(shù)幅頻特性為當(dāng)時，二階震蕩系統(tǒng)的近似折線的對數(shù)幅頻特性：由此得幅值誤差與關(guān)系1.1頻率特性的基本概念(復(fù)習(xí))繪制系統(tǒng)開環(huán)頻率特性伯德圖的步驟1）將開環(huán)傳遞函數(shù)寫成典型環(huán)節(jié)乘積形式；2）如存在交接頻率，在ω軸上標(biāo)出交接頻率的坐標(biāo)位置；3）各串聯(lián)環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性疊加后得到系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)幅頻特性的漸近線；4）修正誤差，畫出比較精確的對數(shù)幅頻特性；5）畫出各串聯(lián)典型環(huán)節(jié)相頻特性，將它們相加后得到系統(tǒng)開環(huán)相頻特性;1.1頻率特性的基本概念(復(fù)習(xí))思考題：1、互為倒數(shù)的傳遞函數(shù)的BODE圖有什么關(guān)系？

2、最小相位環(huán)節(jié)和對應(yīng)的非最小相位環(huán)節(jié)的BODE圖有什么關(guān)系？已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為:1）由一個放大環(huán)節(jié)和兩個慣性環(huán)節(jié)串聯(lián)而成，其對應(yīng)的頻率特性是幅頻特性和相頻特性分別為例1-1系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的繪制解：3）各環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性疊加；4）修正誤差；5）畫出各串聯(lián)環(huán)節(jié)相頻特性，相加得到系統(tǒng)開環(huán)相頻特性;2）存在交接頻率，在ω軸上標(biāo)出；dBφ(ω)

ω2040-45o-90o-180o-225o20lgK-40dB/dec-20dB/dec-60dB/dec幅頻特性的繪制1、比例環(huán)節(jié)2、慣性環(huán)節(jié)3、震蕩環(huán)節(jié)4、各環(huán)節(jié)疊加相頻特性的繪制1、比例環(huán)節(jié)2、慣性環(huán)節(jié)3、震蕩環(huán)節(jié)4、各環(huán)節(jié)疊加1）由Bode圖判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性

穩(wěn)定裕量就是表征系統(tǒng)穩(wěn)定程度的量．它是描述系統(tǒng)特性的重要的量，與系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)指標(biāo)有密切的關(guān)系。這里討論由Bode圖求系統(tǒng)穩(wěn)定余量，并判斷穩(wěn)定性的方法。系統(tǒng)的穩(wěn)定裕量用相角裕度和增益裕度來表示．最小相位系統(tǒng)的Bode圖的應(yīng)用增益裕度

—在相角特性等于的頻率處的一個數(shù)值，剪切頻率

—對應(yīng)于的頻率，記為相角裕量

—在剪切頻率處，使系統(tǒng)達(dá)到臨界穩(wěn)定狀態(tài)所要附加的相角遲后量．為使系統(tǒng)穩(wěn)定，相角裕量必須為正值．穩(wěn)定的系統(tǒng)，如果。例1-2解已知某系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：(1)繪制折線Bode圖；(2)求ωc、γ、GM、ωg；(3)判定穩(wěn)定性。(1)繪制Bode圖dBφ(ω)

ω2040-45o-90o20lg10-20dB/dec-60dB/dec2）由Bode圖計(jì)算參數(shù)(2)求ωc、γ、GM、ωg；(3)判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性因?yàn)橄到y(tǒng)是最小相位的，并且系統(tǒng)穩(wěn)定3）穩(wěn)態(tài)誤差的分析——

系統(tǒng)類型和系統(tǒng)的開環(huán)放大倍數(shù)系統(tǒng)類型與對數(shù)幅值之間的關(guān)系考慮單位反饋控制系統(tǒng)。靜態(tài)位置、速度和加速度誤差常數(shù)分別描述了0型、1型和2型系統(tǒng)的低頻特性。系統(tǒng)的類型確定了低頻時對數(shù)幅值曲線的斜率。因此，對于給定的輸入信號，控制系統(tǒng)是否存在穩(wěn)態(tài)誤差，以及穩(wěn)態(tài)誤差的大小，都可以從觀察對數(shù)幅值曲線的低頻區(qū)特性予以確定。

當(dāng)趨近于零時，回路增益越高，靜態(tài)誤差值就越小。

靜態(tài)位置誤差常數(shù)的確定假設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

當(dāng)γ=0時，由于此時最低頻段的幅頻特性斜率為0，其與縱軸的交點(diǎn)是20lgK，可以利用此值確定K。dBφ(ω)

ω2040-45o-90o-20dB/dec-60dB/decω1ω220lgK

靜態(tài)速度誤差常數(shù)的確定的起始線段/或其延長線與的直線的交點(diǎn)具有的幅值為定理1：斜率為dBφ(ω)

ω2040-45o-90o-20dB/dec-60dB/dec(1,20lgk)ω=1kv的起始線段/或其延長線與軸的交點(diǎn)為。定理2：斜率為

靜態(tài)加速度誤差常數(shù)的確定的直線的交點(diǎn)具有的起始線段/或其延長線與定理3：斜率為的幅值為的起始線段/或其延長線與軸的交點(diǎn)為。定理4：斜率為

4)由Bode圖求GK(S)這里只要求對最小相位系統(tǒng)會從Bode圖求得GK(S)。①根據(jù)最低頻段的斜率確定系統(tǒng)的類型γ。②根據(jù)最低頻段的參數(shù)求系統(tǒng)的開環(huán)放大系數(shù)K。Ⅰ型系統(tǒng)：最低頻段的幅頻特性過，最低頻段的幅頻特性在通過橫軸。0型系統(tǒng)：最低頻段的幅頻特性與縱軸的焦點(diǎn)是20lgK。Ⅱ型系統(tǒng)：最低頻段的幅頻特性過，最低頻段的幅頻特性在通過橫軸。③根據(jù)轉(zhuǎn)折頻率和其前后斜率的變化量確定各典型環(huán)節(jié)。④根據(jù)二階環(huán)節(jié)的修正情況確定ξ。例1-3dBφ(ω)

ω2040-45o-90o-180o-20dB/dec-60dB/dec0.5525下圖是一最小相位系統(tǒng)的Bode圖，試寫出其傳遞函數(shù)。dBφ(ω)

ω2040-45o-90o-180o-20dB/dec-60dB/dec0.5525解1、系統(tǒng)的類型γ=0。2、根據(jù)最低頻段的參數(shù)求系統(tǒng)的開環(huán)放大系數(shù)K。因?yàn)?0lgK=20，所以K=10。3、根據(jù)轉(zhuǎn)折頻率和其前后斜率的變化量確定各典型環(huán)節(jié)。4、確定ξ。

由于人們的直覺是建立在時間域中的，所以，工程上提出的指標(biāo)往往都是時域指標(biāo)。對于二階系統(tǒng)來說，時域指標(biāo)與頻域指標(biāo)之間有著嚴(yán)格的數(shù)學(xué)關(guān)系。對于高階系統(tǒng)來說，這種關(guān)系比較復(fù)雜，工程上常常用近似公式來表達(dá)它們之間的關(guān)系。1、二階系統(tǒng)性能指標(biāo)、與開環(huán)頻域指標(biāo)、ωc的關(guān)系

5）由Bode進(jìn)行動態(tài)分析——瞬態(tài)計(jì)算（1）與之間的關(guān)系開環(huán)傳遞函數(shù)幅頻特性：令所以相位裕量：當(dāng)時，與為近似直線關(guān)系，如右圖中虛線所示，此時:

超調(diào)量：與的關(guān)系是通過中間參數(shù)ξ相聯(lián)系結(jié)論：對于二階系統(tǒng)來說，越小，越大；反之亦然。為使二階系統(tǒng)不至于振蕩得太厲害以及調(diào)節(jié)時間太長，一般?。海?）與、之間的關(guān)系

因?yàn)閷⒋肷鲜降玫剑嚎梢钥闯觯害未_定以后，增益剪切頻率ωc大的系統(tǒng)，過渡過程時間短，而且正好是反比關(guān)系。2、高階系統(tǒng)

對于高階系統(tǒng)，開環(huán)頻域指標(biāo)與時域指標(biāo)之間難以找到準(zhǔn)確的關(guān)系式。介紹如下兩個經(jīng)驗(yàn)公式：式中可以看出，超調(diào)量隨相位裕度的減小而增大；過渡過程時間也隨的減小而增大，但隨ωc的增大而減小。結(jié)論由上面對二階系統(tǒng)和高階系統(tǒng)的分析可知，系統(tǒng)開環(huán)頻率特性中頻段的兩個重要參數(shù)

、ωc，反映了閉環(huán)系統(tǒng)的時域響應(yīng)特性。所以可以這樣說：

閉環(huán)系統(tǒng)的動態(tài)性能主要取決于開環(huán)對數(shù)幅頻特性的中頻段。解某系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：試估算該系統(tǒng)的時域性能指標(biāo)。開環(huán)放大系數(shù)K=250，所以20lgK=20lg250=48(db)各環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率分別為：例1-4圖中ωc=12s-1，它是最小相位系統(tǒng)，故相位裕量：

所以，閉環(huán)系統(tǒng)的最大超調(diào)量σp及過渡過程時間：應(yīng)用頻率特性研究線性系統(tǒng)的經(jīng)典方法稱為頻域分析法本節(jié)小結(jié)頻率特性與傳遞函數(shù)具有十分相的形式

一、模型關(guān)系二、

頻率特性的表示法

對數(shù)頻率特性曲線對數(shù)幅頻特性相頻特性縱坐標(biāo)均按線性分度橫坐標(biāo)是角速率10倍頻程按分度三、

頻率特性的應(yīng)用

穩(wěn)定性分析G(S)的獲得穩(wěn)定余量及有關(guān)參數(shù)的計(jì)算γ、ωc、

κ

g

、

ωg

以上內(nèi)容是同學(xué)們在控制工程基礎(chǔ)課程中學(xué)習(xí)過，我們用了兩個多學(xué)時復(fù)習(xí)了一下。

現(xiàn)在有這樣幾個問題，請同學(xué)們想一想：1、在BODE圖中，幅頻特性和相頻特性是分別繪制的，可以一起繪制嗎？畫出來什么樣？2、為什么在最小相位系統(tǒng)中，γ>0o系統(tǒng)就是穩(wěn)定的？如果是非最小相位系統(tǒng)，這個判據(jù)還可以用嗎？深刻地說，在頻率域中線性控制系統(tǒng)穩(wěn)定理論是怎樣的？3、BODE圖繪制的系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性，能夠繪制閉環(huán)頻率特性嗎？本章下面講解的目的就是要回答上面的問題。1.2極坐標(biāo)圖的繪制可用幅值和相角組成的向量表示。由零變化到無窮大時，向量的幅值和相位也隨之作相應(yīng)的變化，其端點(diǎn)在復(fù)平面上移動的軌跡稱為極坐標(biāo)圖。當(dāng)輸入信號的頻率1、積分環(huán)節(jié)所以，積分環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖是負(fù)虛軸。積分環(huán)節(jié)極坐標(biāo)圖2、微分環(huán)節(jié)所以，微分環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖是正虛軸。3、一階慣性環(huán)節(jié)一階慣性環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖4、一階微分環(huán)節(jié)5、二階慣性環(huán)節(jié)的高頻部分與負(fù)實(shí)軸相切。極坐標(biāo)圖的精確形狀與阻尼比ξ有關(guān)，但對于欠阻尼和過阻尼的情況，極坐標(biāo)圖的形狀大致相同。

二階慣性環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖思考題：對于二階微分環(huán)節(jié)的情況，同學(xué)們仿照前面講過的內(nèi)容自行繪制。ξ變化對二階慣性環(huán)節(jié)極坐標(biāo)圖曲線形狀的影響對于

二階微分環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖6、二階微分環(huán)節(jié)極坐標(biāo)圖的低頻部分為：極坐標(biāo)圖的高頻部分為：

考慮下列二階傳遞函數(shù)：試畫出這個傳遞函數(shù)的極坐標(biāo)圖。例1-5解極坐標(biāo)圖的中頻部分為：極坐標(biāo)圖7、傳遞延遲當(dāng)時，兩者存在本質(zhì)的差別可見，低頻時傳遞延遲與一階環(huán)節(jié)的特性相似

當(dāng)時8、極坐標(biāo)圖的一般形狀0型系統(tǒng)：起點(diǎn)，是一個位于正實(shí)軸的有限值終點(diǎn),極坐標(biāo)圖曲線的終點(diǎn)位于坐標(biāo)原點(diǎn)，并且這一點(diǎn)上的曲線與一個坐標(biāo)軸相切。1型系統(tǒng)：的相角是在總的相角中項(xiàng)產(chǎn)生的

極坐標(biāo)是一條漸近平行于虛軸的直線段。幅值為零，且曲線收斂于原點(diǎn)并與一個坐標(biāo)軸相切。在總相角中的相角是由項(xiàng)產(chǎn)生的2型系統(tǒng)：高頻(ω→∞)區(qū)域的極坐標(biāo)圖對于的軌跡將沿者順時針方向收斂于原點(diǎn)。時，軌跡將與實(shí)軸或虛軸相切。當(dāng)思考題：1、互為倒數(shù)的傳遞函數(shù)的極坐標(biāo)圖有關(guān)系嗎？

2、最小相位環(huán)節(jié)和對應(yīng)的非最小相位環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖有關(guān)系嗎？本課程只要求最小相位系統(tǒng)的極坐標(biāo)圖的繪制。極坐標(biāo)圖的一般繪制方法(最小相位系統(tǒng))2、與(負(fù))實(shí)軸的交點(diǎn)3、變化過程和范圍1、起點(diǎn)和終點(diǎn)γ＝0，起自于實(shí)軸G(0)；γ

>0，起自于無窮遠(yuǎn)，相角＝－90γ。起點(diǎn)終點(diǎn)n=m，終止于實(shí)軸G(∞)；n>m，終止于原點(diǎn)，相角＝－90(n-m)。令：得可求得。注意從小到大變化的過程中，各環(huán)節(jié)在幅相特性變化中的作用。注意分子環(huán)節(jié)和分母環(huán)節(jié)的作用是不同的。N.Nyquist

（1889-1976），美國Bell實(shí)驗(yàn)室著名科學(xué)家，他的工作為數(shù)據(jù)傳輸，通信工程，火炮控制及經(jīng)典控制中的反饋系統(tǒng)穩(wěn)定性分析奠定了基礎(chǔ)。他于1960年獲得IEEEMedalof.Honor.1.3奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)(NyquistStabilityCriterion)

閉環(huán)系統(tǒng)

雖然開環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)和零點(diǎn)可能位于右半s平面，但如果閉環(huán)傳遞函數(shù)的所有極點(diǎn)均位于左半s平面，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

閉環(huán)傳遞函數(shù)為：為了保證系統(tǒng)穩(wěn)定，特征方程的全部根，都必須位于左半s平面。閉環(huán)線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件

在右半s平面內(nèi)的零點(diǎn)數(shù)和極點(diǎn)數(shù)聯(lián)系起來的判據(jù)。這種方法無須求出閉環(huán)極點(diǎn)，得到廣泛應(yīng)用。奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)正是將開環(huán)頻率響應(yīng)與

由解析的方法和實(shí)驗(yàn)的方法得到的開環(huán)頻率特性曲線，均可用來進(jìn)行穩(wěn)定性分析

奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)是建立在復(fù)變函數(shù)理論中的函數(shù)映射基礎(chǔ)上的。對于物理上可實(shí)現(xiàn)的系統(tǒng)，閉環(huán)傳遞函數(shù)的分母多項(xiàng)式的階數(shù)必須大于或等于分子多項(xiàng)式的階數(shù)，這表明，當(dāng)s趨于無窮大時，任何物理上可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的的極限，或趨于零，或趨于常數(shù)。

1.3.1預(yù)備知識

可以證明，對于S平面上任意一條不通過任何奇點(diǎn)的連續(xù)封閉曲線，在平面上必存在一條封閉曲線與之對應(yīng)。幅角定理

設(shè)s平面閉合曲線Γ包圍F(s)的Z個零點(diǎn)和P個極點(diǎn)，則S沿Γ順時針運(yùn)動一周時，在F(S)平面上，F(xiàn)(S)閉合曲線ΓF包圍原點(diǎn)的圈數(shù)：R>0和R<0分別表示ΓF順時針包圍和逆時針包圍F(s)平面的原點(diǎn)，R＝0表示不包圍F(s)平面的原點(diǎn)。當(dāng)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為則其輔助函數(shù)是除奇點(diǎn)和外,在S平面上任取一點(diǎn),如則S平面與平面的映射關(guān)系例1-6分析例1-7試分別用下面兩個特殊函數(shù)檢驗(yàn)幅角定理。F1平面S平面F2平面1.3.2奈奎斯特穩(wěn)定定理考察可見，的分子是閉環(huán)特征多項(xiàng)式，其對應(yīng)的是閉環(huán)極點(diǎn)，與系統(tǒng)的穩(wěn)定性有關(guān)。分母是開環(huán)特征多項(xiàng)式。如果我們適當(dāng)設(shè)計(jì)，就有可能利用幅角定理分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

假設(shè)F(S)在S平面的虛軸上沒有零極點(diǎn)，在S平面上作一條完整的封閉曲線

s，使它包圍S平面右半部且按順時針環(huán)繞。這一封閉無窮大半圓稱作奈氏軌跡。顯然奈氏軌跡包圍的極點(diǎn)數(shù)P和零點(diǎn)數(shù)Z，就是F(s)位于S平面右半部的極點(diǎn)數(shù)和零點(diǎn)數(shù)。注意，這時的極點(diǎn)數(shù)P就是系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)中的不穩(wěn)定極點(diǎn)數(shù)，而不穩(wěn)定零點(diǎn)數(shù)Z就是我們要求的閉環(huán)不穩(wěn)定極點(diǎn)數(shù)。如果能夠知道F(S)包圍原點(diǎn)的圈數(shù)N，那么問題就解決了。曲線對原點(diǎn)的包圍，恰等于軌跡對-1+j0點(diǎn)的包圍?，F(xiàn)在看起來似乎問題已經(jīng)都解決了，請注意這樣一個問題?？窗鼑鶶右半平面的圖，ω的變化范圍是(-∞→0→∞),而在繪制極坐標(biāo)圖時，ω的變化范圍是(0→∞)。（這個問題請同學(xué)們自己想辦法來解決辦法。）3、如果H(s)H(s)在右半s平面內(nèi)無任何極點(diǎn)，即P等于零，這意味著H(s)H(s)必須不包圍-1+j0點(diǎn)。2、如果H(s)H(s)在右半s平面內(nèi)無任何極點(diǎn)，即P不等于零，對于穩(wěn)定的控制系統(tǒng)，必須R=-P，這意味著H(s)H(s)必須反時針方向包圍-1+j0點(diǎn)P次。奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)在右半s平面內(nèi)的零點(diǎn)數(shù)，是對-1+j0點(diǎn)順時針包圍的次數(shù)(注意ω的變化范圍是(-∞→0→∞))，是在S右半平面的極點(diǎn)數(shù)。。式中為這一判據(jù)可表示為：1、如果z=0，則系統(tǒng)穩(wěn)定，Z>0則系統(tǒng)不穩(wěn)定，且S右半平面上有z個不穩(wěn)定極點(diǎn)。1.3.3含有位于上極點(diǎn)和/或零點(diǎn)的特殊情況設(shè)，顯然在S=0處有一個極點(diǎn)，這時奈奎斯特軌跡取為下圖形式，于是軌跡沒有經(jīng)過起點(diǎn)。平面sswj￥+0j-0j￥+j￥-j1<<eABCFED當(dāng)ω從(0ˉ→0→0＋)，從(∞＋→0→∞－)。￥平面GHReIm-￥=w￥=w''',,FED'A'B'C+=0w-=0w在中將有：對于包含因子的開環(huán)傳遞函數(shù)，當(dāng)變量s沿半徑為()的半圓運(yùn)動時，即例如，考慮開環(huán)傳遞函數(shù)：在中，當(dāng)時，有中的設(shè)閉環(huán)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為，分析其穩(wěn)定性。的軌跡如圖所示。在右半s平面內(nèi)沒有任何極點(diǎn)，并且分析例1-8的軌跡不包圍的值，該系統(tǒng)都是穩(wěn)定的。，所以對于任何設(shè)系統(tǒng)具有下列開環(huán)傳遞函數(shù):試確定以下兩種情況下，系統(tǒng)的穩(wěn)定性：

增益K較小增益K較大。小K值時是穩(wěn)定的大K值時是不穩(wěn)定的分析例1-8￥平面GHReIm-￥=w￥=w+=0w-=0w1-′000===ZRP￥平面GHReIm-￥=w￥=w+=0w-=0w1-′220===ZRP設(shè)一個閉環(huán)系統(tǒng)具有下列試確定該閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。開環(huán)傳遞函數(shù)：表明閉環(huán)系統(tǒng)有兩個極點(diǎn)在右半s平面，故系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。開環(huán)傳遞函數(shù)在s右半平面內(nèi)有一個極點(diǎn)()，奈奎斯特曲線如圖示，軌跡順時針方向包圍點(diǎn)一次,因此分析例1-9根據(jù)根軌跡，我們知道：對于大的K值，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。當(dāng)增益減小到一定值時，系統(tǒng)可能穩(wěn)定。一、相對穩(wěn)定性（b）（a）-11.4系統(tǒng)穩(wěn)定裕量的再討論

圖(a)和(b)所示的兩個最小相位系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性曲線（實(shí)線）沒有包圍點(diǎn)，由奈氏判據(jù)知它們都是穩(wěn)定的系統(tǒng)，但圖(a)所示系統(tǒng)的頻率特性曲線與負(fù)實(shí)軸的交點(diǎn)A距離點(diǎn)較遠(yuǎn)，圖(b)所示系統(tǒng)的頻率特性曲線與負(fù)實(shí)軸的交點(diǎn)B距離點(diǎn)較近。

（b）（a）-1假定系統(tǒng)的開環(huán)放大系統(tǒng)由于系統(tǒng)參數(shù)的改變比原來增加了50%，則圖(a)中的A點(diǎn)移動到點(diǎn),仍在點(diǎn)右側(cè)，系統(tǒng)還是穩(wěn)定的；而圖(b)中的B點(diǎn)則移到的左側(cè)點(diǎn)，系統(tǒng)便不穩(wěn)定了?？梢娗罢咻^能適應(yīng)系統(tǒng)參數(shù)的變化，即它的相對穩(wěn)定性比后者好。（a）（b）二、穩(wěn)定裕度

通常用穩(wěn)定裕度來衡量系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性或系統(tǒng)的穩(wěn)定程度，其中包括系統(tǒng)的相角裕度和幅值裕度。（一）相角裕度

我們把GH平面上的單位圓與系統(tǒng)開環(huán)頻率特性曲線的交點(diǎn)頻率稱為幅值穿越頻率或剪切頻率，它滿足：所謂相角裕度是指幅值穿越頻率所對應(yīng)的相移與角的差值，即

對于最小相位系統(tǒng)，如果相角度系統(tǒng)是穩(wěn)定的(下圖)且值愈大，系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性愈好。如果相角裕度,系統(tǒng)則不穩(wěn)定(下圖右)。當(dāng)時，系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性曲線穿過點(diǎn)，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。（二）幅值裕度

把系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性曲線與GH平面負(fù)實(shí)軸的交點(diǎn)頻率稱為相位穿越頻率，顯然它應(yīng)滿足

對于最小相位系統(tǒng)，當(dāng)幅值裕度Kg>1,系統(tǒng)穩(wěn)定，且Kg值愈大,系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性愈好。如果則系統(tǒng)不穩(wěn)定.

所謂幅值裕度Kg是指相位穿越頻率所對應(yīng)的開環(huán)幅頻特性的倒數(shù)值，即幅值裕度的含義

使系統(tǒng)到達(dá)臨界狀態(tài)時的開環(huán)頻率特性的幅值增大(對應(yīng)穩(wěn)定系統(tǒng))或縮小(不穩(wěn)定系統(tǒng))的倍數(shù)。幅值裕度也可以用分貝數(shù)來表示。

分貝因此，可根據(jù)系統(tǒng)的幅值裕度大于、等于或小于零分貝來判斷最小相位系統(tǒng)是穩(wěn)定、臨界穩(wěn)定或不穩(wěn)定。這里要指出的是，系統(tǒng)相對穩(wěn)定性的好壞必須同時考慮相角和幅角裕度。通常要求相角裕度=～,幅值裕度(6分貝)

三、穩(wěn)定裕度與系統(tǒng)的穩(wěn)定性

前面已經(jīng)介紹，求出系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度可以定量分析系統(tǒng)的穩(wěn)定程度。下面通過兩個示例進(jìn)一步說明。

已知最小相位系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為:試分析穩(wěn)定裕度與系統(tǒng)穩(wěn)定性之間的關(guān)系。例1-10

該系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性的極坐標(biāo)圖分別如圖(a)(當(dāng)時)和圖(b)(當(dāng)時)所示。由圖(a)可知，當(dāng)時,系統(tǒng)的相角裕度，由圖(b)可知,當(dāng)時，

系統(tǒng)的相角裕度。解系統(tǒng)的幅頻特性和相頻特性分別為時，，有,該系統(tǒng)不穩(wěn)定；

時，，該系統(tǒng)是穩(wěn)定的。令,則有，故或。對應(yīng)S平面的坐標(biāo)原點(diǎn)，舍去。由，求出系統(tǒng)的幅值裕度為￥=gw)()(1￥==gggjHjGKww四、由Bode圖判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性

穩(wěn)定裕量就是表征系統(tǒng)穩(wěn)定程度的量．它是描述系統(tǒng)特性的重要的量，與系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)指標(biāo)有密切的關(guān)系。這里討論由Bode圖求系統(tǒng)穩(wěn)定余量，并判斷穩(wěn)定性的方法。的軌跡越接近于包圍點(diǎn)，系統(tǒng)的穩(wěn)定程度越差．因此，系統(tǒng)開環(huán)頻率特性靠近點(diǎn)的程度可以用來衡量系統(tǒng)的穩(wěn)定程度。系統(tǒng)的穩(wěn)定裕量用相角裕度和增益裕度來表示．§５－４乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)和系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性剪切頻率—對應(yīng)于的頻率，記為相角裕量—在剪切頻率處，使系統(tǒng)達(dá)到臨界穩(wěn)定狀態(tài)所要附加的相角遲后量．為使系統(tǒng)穩(wěn)定，相角裕量必須為正值．增益裕度—在相角特性等于的頻率處，開環(huán)幅頻特性的倒數(shù)若系統(tǒng)增益Ｋ增大到，則系統(tǒng)達(dá)到臨界穩(wěn)定狀態(tài)?；颉欤担茨丝固胤€(wěn)定判據(jù)和系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性穩(wěn)定的系統(tǒng)，為正．

通過本章前面幾節(jié)的介紹，已經(jīng)了解到系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性對分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性和穩(wěn)定程度（即相對穩(wěn)定性）具有十分重要的意義。本小節(jié)將進(jìn)一步研究系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性。一般情況下，求解系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性十分復(fù)雜煩瑣,在實(shí)際中通常都是采用圖解法來求出系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性。1.5系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性1.5.1向量作圖法如圖所示單位負(fù)反饋系統(tǒng)，R(s)C(s)G(s)其閉環(huán)傳遞函數(shù)：用代入上式，就可得到系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性表示為：設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性如下圖所示。

是單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性。與閉環(huán)頻率特性間的關(guān)系。描述了系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性。下面說明

由圖可見，當(dāng)時由此得到時系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性為：當(dāng)時，系統(tǒng)閉環(huán)頻率特性的幅值等于向量與的幅值之比;其相角等于向量與的相角差。這樣，逐點(diǎn)測出不同頻率處對應(yīng)向量的幅值和相角，便可繪制如下圖所示的閉環(huán)幅頻特性和閉環(huán)相頻性。

二、等M圓圖由向量作圖法和上圖可看出，對于G平面上任一點(diǎn)A，總有一個閉環(huán)幅值與之對應(yīng)，如果令閉環(huán)幅值，那么它在G平面上是一個什么樣的圖形呢？

設(shè)單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性為：式中U、V都是角頻率ω的實(shí)函數(shù),故系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性為：令即若M=1則,這是在G平面上過點(diǎn),且平行于虛軸的直線方程。若，則上式可寫成：圓方程,圓心坐標(biāo)為,半徑是。當(dāng)M>1時，圓的半徑隨M值的增加而減小，圓心位于負(fù)實(shí)軸點(diǎn)的左側(cè),且收斂于(-1，j0)點(diǎn)；當(dāng)M<1時，圓的半徑隨M值的增加而增大，圓心位于正實(shí)軸點(diǎn)的右側(cè)，且收斂于(0，j0)點(diǎn)。由不同的M值在G平面上構(gòu)成的這簇圓叫做等M圓或等幅值軌跡。由下圖可以看出，等M圓在G平面上是以實(shí)軸為對稱的，它們的圓心均在實(shí)軸上。

等M圓圖在工程實(shí)踐中，應(yīng)用等M圓求閉環(huán)幅頻特性時，需在透明紙上繪制出系統(tǒng)的開環(huán)極坐標(biāo)圖，將它覆蓋在同樣坐標(biāo)比例的等M圓上，根據(jù)G(jω)曲線與等M圓簇的交點(diǎn)得到對應(yīng)的M值和ω值,便可繪制出閉環(huán)幅頻特性A（ω）（如圖5-39和圖5-40所示）。利用等M圓圖求取A(ω)

控制系統(tǒng)閉環(huán)幅頻特性圖用等M圓求取閉環(huán)幅頻特性得優(yōu)點(diǎn)：簡單方便，等M圓可重復(fù)利用?？芍苯涌吹疆?dāng)開環(huán)頻率特性G(jω)的形狀發(fā)生某種變化時，閉環(huán)幅頻特性A(ω)將會因之出現(xiàn)那些相應(yīng)的變化，以及這些變化的趨勢。與G(jω)曲線相切的圓所表示的M值就是閉環(huán)幅頻特性的諧振峰值Mr(如果M>1)，對應(yīng)的頻率值就是諧振頻率。諧振峰值Mr和諧振頻率是閉環(huán)幅頻特性的兩個重要特征量。它們與閉環(huán)系統(tǒng)的控制性能密切相關(guān)。三、等N圓圖單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性可以表示為：則其閉環(huán)頻率特性是用θ表示閉環(huán)頻率特性的相角，則有即令:則有:整理后得到:這也是一個標(biāo)準(zhǔn)圓方程，圓心坐標(biāo)是:半徑為。不管N值如何，當(dāng)U=V=0及U=-1，V=0時，方程總是成立的，即等N圓簇中每個圓都將通過點(diǎn)(-1，j0)和(0，j0）。

改變N或θ的大小，它們在G平面上就構(gòu)成了如右圖所示的一簇圓，這簇圓的圓心都在虛軸左側(cè)與虛軸距離為且平行于虛軸的直線上,我們稱這簇圓為等N圓。

等N園圖

對于給定的θ值對應(yīng)的等N值軌跡，實(shí)際上并不是一個完整的圓，而只是一段圓弧，這是因?yàn)橐粋€角度加上(或的倍數(shù))其正切值相等的緣故。等N圓以實(shí)軸為對稱，也對稱于直線。等N圓是多值的,這些θ值是，它們都滿足正切條件N=tgθ。因此,用等N圓來確定閉環(huán)系統(tǒng)的相角時，就必須確定適當(dāng)?shù)摩戎?。?yīng)從對應(yīng)于的零頻率開始，逐漸增加頻率直到高頻，所得到的閉環(huán)相頻曲線是連續(xù)的。利用等N圓求取閉環(huán)相頻特性與用等M圓圖求取閉環(huán)幅頻特性A（ω）的方法和步驟完全相同。10利用等N圓圖求取控制系統(tǒng)的閉環(huán)相頻性曲線