5.7三角函數(shù)的應(yīng)用（精講）

5.7三角函數(shù)的應(yīng)用（精講）一.在適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系下，簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)可以用函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)，x∈[0，＋∞)表示，其中A>0，ω>0.(1)A就是這個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振幅，它是做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物體離開(kāi)平衡位置的最大距離；(2)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期是T＝eq\f(2π,ω)，它是做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物體往復(fù)運(yùn)動(dòng)一次所需要的時(shí)間；(3)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的頻率由公式f＝eq\f(1,T)＝eq\f(ω,2π)給出，它是做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物體在單位時(shí)間內(nèi)往復(fù)運(yùn)動(dòng)的次數(shù)；(4)ωx＋φ稱為相位；x＝0時(shí)的相位φ稱為初相.2.三角函數(shù)作為描述現(xiàn)實(shí)世界中周期現(xiàn)象的一種數(shù)學(xué)模型，在刻畫周期變化預(yù)測(cè)其未來(lái)等方面發(fā)揮著十分重要的作用.具體地，我們可以利用搜集到的數(shù)據(jù)，先畫出相應(yīng)的“散點(diǎn)圖”，觀察散點(diǎn)圖，然后進(jìn)行函數(shù)擬合獲得具體的函數(shù)模型，最后利用這個(gè)函數(shù)模型來(lái)解決相應(yīng)的實(shí)際問(wèn)題.3.在物理學(xué)中，當(dāng)物體做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)時(shí)，可以用正弦型函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0，A>0)來(lái)表示運(yùn)動(dòng)的位移y隨時(shí)間x的變化規(guī)律，其中：(1)A稱為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振幅，它表示物體運(yùn)動(dòng)時(shí)離開(kāi)平衡位置的最大位移；(2)T＝eq\f(2π,ω)稱為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期，它表示物體往復(fù)運(yùn)動(dòng)一次所需的時(shí)間；(3)f＝eq\f(1,T)＝eq\f(ω,2π)稱為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的頻率，它表示單位時(shí)間內(nèi)物體往復(fù)運(yùn)動(dòng)的次數(shù).考點(diǎn)一三角函數(shù)在物理中的應(yīng)用【例11】（2023云南）(多選)如圖所示為一簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的圖象，則下列判斷不正確的是（

）A．該質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)周期為B．該質(zhì)點(diǎn)的振幅為C．該質(zhì)點(diǎn)在和時(shí)的振動(dòng)速度最大D．該質(zhì)點(diǎn)在和時(shí)的加速度為零【答案】ABC【解析】由圖象可知該質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)周期為,故A是錯(cuò)誤的；該質(zhì)點(diǎn)的振幅為,故B是錯(cuò)誤的；該質(zhì)點(diǎn)在和時(shí)的振動(dòng)速度是零，所以C是錯(cuò)誤的，該質(zhì)點(diǎn)在和時(shí)處于平衡位置，速度達(dá)到最大，加速度為零，D正確，故選：D【例12】（2023春·北京·高一?？计谥校┤鐖D，彈簧掛著的小球上下振動(dòng)，它在t（單位：s）時(shí)相對(duì)于平衡位置的高度h（單位：cm）由關(guān)系式確定，下列結(jié)論正確的是（

）A．小球的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)相距 B．小球在時(shí)的高度C．每秒鐘小球往復(fù)運(yùn)動(dòng)的次數(shù)為 D．從到，彈簧長(zhǎng)度逐漸變長(zhǎng)【答案】D【解析】由題意彈簧掛著的小球上下振動(dòng)，它相對(duì)于平衡位置的高度由關(guān)系式確定，則小球的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)相距平衡位置都是，故小球的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)相距，A錯(cuò)誤；小球在時(shí)的高度，B錯(cuò)誤；由知，最小正周期，則頻率為，則每秒鐘小球往復(fù)運(yùn)動(dòng)的次數(shù)為，C錯(cuò)誤；由題意知當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，時(shí)，小球在平衡位置，因?yàn)榍?，故，所以即遞減，時(shí)，小球在平衡位置以上位置，時(shí)，小球在平衡位置以下位置，即小球此時(shí)從平衡位置以上位置逐漸向平衡位置以下位置運(yùn)動(dòng)，故彈簧長(zhǎng)度逐漸變長(zhǎng)，D正確，故選：D【一隅三反】1．（2023春·遼寧沈陽(yáng)）（多選）已知彈簧上掛的小球做上下振動(dòng)，它在時(shí)間t（s）時(shí)離開(kāi)平衡位置的位移s（cm）滿足函數(shù)關(guān)系式．給出的下列說(shuō)法中正確的是（

）．A．小球開(kāi)始時(shí)在平衡位置上方2cm處B．小球下降到最低點(diǎn)時(shí)在平衡位置下方2cm處C．經(jīng)過(guò)小球重復(fù)振動(dòng)一次D．小球振動(dòng)的頻率為【答案】BCD【解析】A選項(xiàng)，時(shí)，，即小球開(kāi)始時(shí)在平衡位置上方cm處，故A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，由題可知s的最小值為，即小球下降到最低點(diǎn)時(shí)在平衡位置下方2cm處，故B正確；C選項(xiàng)，由題可知，最小正周期為，即經(jīng)過(guò)小球重復(fù)振動(dòng)一次，故C正確；D選項(xiàng)，由C選項(xiàng)分析可知周期為，則振動(dòng)的頻率為，故D正確.故選：BCD2．（2023·全國(guó)·高一假期作業(yè)）（多選）如圖所示的是一質(zhì)點(diǎn)做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的圖象，則下列結(jié)論正確的是（

）A．該質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)周期為0.7sB．該質(zhì)點(diǎn)的振幅為5cmC．該質(zhì)點(diǎn)在0.1s和0.5s時(shí)運(yùn)動(dòng)速度為零D．該質(zhì)點(diǎn)在0.3s和0.7s時(shí)運(yùn)動(dòng)速度為零【答案】BC【解析】由題圖可知，運(yùn)動(dòng)周期為，故A錯(cuò)誤；該質(zhì)點(diǎn)的振幅為5cm，B正確；由簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)知，在0.1s和0.5s時(shí)運(yùn)動(dòng)速度為零，質(zhì)點(diǎn)在0.3s和0.7s時(shí)運(yùn)動(dòng)速度最大，故C正確，D錯(cuò)誤．故選：BC．3．（2023秋·安徽阜陽(yáng)）阻尼器是一種以提供阻力達(dá)到減震效果的專業(yè)工程裝置.我國(guó)第一高樓上海中心大廈的阻尼器減震裝置，被稱為“定樓神器”，如圖1.由物理學(xué)知識(shí)可知，某阻尼器的運(yùn)動(dòng)過(guò)程可近似為單擺運(yùn)動(dòng)，其離開(kāi)平衡位置的位移和時(shí)間的函數(shù)關(guān)系為，如圖2，若該阻尼器在擺動(dòng)過(guò)程中連續(xù)三次到達(dá)同一位置的時(shí)間分別為，，，且，，則在一個(gè)周期內(nèi)阻尼器離開(kāi)平衡位置的位移大于0.5m的總時(shí)間為（

）A． B． C．1s D．【答案】C【解析】因?yàn)?，，，所以，又，所以，則，由可得，所以，，所以，，故，所以在一個(gè)周期內(nèi)阻尼器離開(kāi)平衡位置的位移大于0.5m的總時(shí)間為1s.故選：C.4．（2023春·云南紅河·高一開(kāi)遠(yuǎn)市第一中學(xué)校校考階段練習(xí)）如圖，一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在半徑為2的圓O上以點(diǎn)P為起始點(diǎn)，沿逆時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)，每轉(zhuǎn)一圈．則該質(zhì)點(diǎn)到x軸的距離y關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)解析式是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】設(shè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，由題意可得，得.因?yàn)槠鹗键c(diǎn)在第四象限，所以初相，由圖可知，所以.所以該質(zhì)點(diǎn)到x軸的距離y關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)解析式是.故選:A.考點(diǎn)二三角函數(shù)在生活中的應(yīng)用【例2】（2023秋·四川綿陽(yáng)）（多選）如圖（1），筒車是我國(guó)古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，因其經(jīng)濟(jì)又環(huán)保，至今在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中仍得到使用.如圖（2），一個(gè)筒車按照逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，筒車上的某個(gè)盛水筒到水面的距離為(單位：m)(在水下則為負(fù)數(shù))、與時(shí)間(單位：s)之間的關(guān)系是，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．筒車的半徑為3m，旋轉(zhuǎn)一周用時(shí)60sB．筒車的軸心距離水面的高度為C．盛水筒出水后至少經(jīng)過(guò)20s才可以達(dá)到最高點(diǎn)D．時(shí)，盛水筒處于向上運(yùn)動(dòng)狀態(tài)【答案】AC【解析】對(duì)于A，的振幅為筒車的半徑，筒車的半徑為；的最小正周期，旋轉(zhuǎn)一周用時(shí)，A正確；對(duì)于B，，筒車的半徑，筒車的軸心距離水面的高度為，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，令，，，解得：，又，當(dāng)時(shí)，，即盛水筒出水后至少經(jīng)過(guò)才可以達(dá)到最高點(diǎn)，C正確.對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減，盛水筒處于處于向下運(yùn)動(dòng)的狀態(tài)，D錯(cuò)誤.故選：AC.【一隅三反】1．（2023·北京）如圖，某港口某天從到的水深（單位：m）與時(shí)間（單位：h）之間的關(guān)系可用函數(shù)近似刻畫，據(jù)此可估計(jì)當(dāng)天的水深為（

）A． B．4mC． D．【答案】A【解析】由題圖可得，，則，當(dāng)時(shí)，取得最小值，即，解得，∵函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，∴，又，則，所以，∴，∴．當(dāng)時(shí)，，即估計(jì)當(dāng)天的水深為．故選：A.2．（2023秋·遼寧沈陽(yáng)）（多選）如圖（1），筒車是我國(guó)古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，因其經(jīng)濟(jì)又環(huán)保，至今在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中仍得到使用.如圖（2），一個(gè)筒車按照逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，筒車上的某個(gè)盛水筒到水面的距離為（單位：m）（在水下則為負(fù)數(shù)）、與時(shí)間（單位：s）之間的關(guān)系是，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．筒車的半徑為3m，旋轉(zhuǎn)一周用時(shí)30sB．筒車的軸心距離水面的高度為C．時(shí)，盛水筒處于向上運(yùn)動(dòng)狀態(tài)D．盛水筒出水后至少經(jīng)過(guò)20s才可以達(dá)到最高點(diǎn)【答案】BD【解析】對(duì)于A，的振幅為筒車的半徑，筒車的半徑為；的最小正周期，旋轉(zhuǎn)一周用時(shí)，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，筒車的半徑，筒車的軸心距離水面的高度為，B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減，盛水筒處于處于向下運(yùn)動(dòng)的狀態(tài)，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，令，，，解得：，又，當(dāng)時(shí)，，即盛水筒出水后至少經(jīng)過(guò)才可以達(dá)到最高點(diǎn)，D正確.故選：BD.3．（2023秋·湖南株洲）（多選）如圖（1）是一段依據(jù)正弦曲線設(shè)計(jì)安裝的過(guò)山車軌道.建立平面直角坐標(biāo)系如圖（2），（單位：m）表示在時(shí)間時(shí)，過(guò)山車到達(dá)最高點(diǎn)，時(shí)，過(guò)山車到達(dá)最低點(diǎn).設(shè)，下列結(jié)論正確的是（

）A．函數(shù)的最小正周期為12B．C．時(shí)，過(guò)山車距離地平面40mD．一個(gè)周期內(nèi)過(guò)山車距離地平面低于20m的時(shí)間是4s【答案】ACD【解析】由題意可知，周期滿足，得，所以，得，又，解得，.所以，又，即，得，因?yàn)?，所以，所?對(duì)于A，，A正確；對(duì)于B，，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，C正確；對(duì)于D，由，得，即，，，解得，，所以一個(gè)周期內(nèi)過(guò)山車距離底面低于20m的時(shí)間是，D正確.故選：ACD.考點(diǎn)三三角函數(shù)模型的擬合【例3】t與位移s之間的測(cè)量數(shù)據(jù)，那么能與這些數(shù)據(jù)擬合的振動(dòng)函數(shù)的解析式為（

）t0123456789101112sA．， B．C． D．，【答案】D【解析】設(shè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的解析式為，其中由表格可知：振幅，周期，過(guò)點(diǎn)，由周期，且，可得，由過(guò)點(diǎn)，可得，即，則，可得，所以簡(jiǎn)諧振動(dòng)的解析式為.故選：D.【一隅三反】1．（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）已知某海濱浴場(chǎng)海浪的高度（米）是時(shí)間（，單位：時(shí)）的函數(shù)，記作：，下表是某日各時(shí)的浪高數(shù)據(jù)：（時(shí)）03691215182124（米）經(jīng)長(zhǎng)期觀察，的曲線可近似地看成是函數(shù)的圖象.(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求函數(shù)的最小正周期，振幅及函數(shù)解析式；(2)依據(jù)規(guī)定，當(dāng)海浪高度高于1米時(shí)才對(duì)沖浪愛(ài)好者開(kāi)放，請(qǐng)依據(jù)（1）中的結(jié)論，判斷一天內(nèi)的10：00至20：00之間，有多少時(shí)間可供沖浪者進(jìn)行運(yùn)動(dòng)？【答案】(1)，，(2)5個(gè)小時(shí)【解析】（1）由表中數(shù)據(jù)知，所以.由，，得.由，，得，故，，所以函數(shù)解析式為：.（2）由題意知，當(dāng)時(shí)才可對(duì)沖浪者開(kāi)放，所以，所以，所以，，即，.又因?yàn)?，故可令得，或，?所以在規(guī)定時(shí)間10：00至20：00之間，有5個(gè)小時(shí)可供沖浪者活動(dòng)，即上午10：00至下午3：00.2．（2023春·江西吉安·高一校聯(lián)考期中）某港口水深（米是時(shí)間（，單位：小時(shí)）的函數(shù)，下表是水深數(shù)據(jù)：（小時(shí)）03691215182124（米根據(jù)上述數(shù)據(jù)描成的曲線如圖所示，經(jīng)擬合，該曲線可近似地看成正弦函數(shù)的圖象.(1)試根據(jù)數(shù)據(jù)表和曲線，求出的表達(dá)式；(2)一般情況下，船舶航行時(shí)船底與海底的距離不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度（船底與水面的距離）為7米，那么該船在什么時(shí)間段能夠安全進(jìn)港？若該船欲當(dāng)天安全離港，它在港內(nèi)停留的時(shí)間最多不能超過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間？（忽略離港所用的時(shí)間）【答案】(1)(2)16小時(shí).【解析】（1）根據(jù)數(shù)據(jù)，，，，，，函數(shù)的表達(dá)式為；（2）由題意，水深，即，，，，1，或；所以，該船在至或至能安全進(jìn)港，若欲于當(dāng)天安全離港，它在港內(nèi)停留的時(shí)間最多不能超過(guò)16小時(shí).3．（2023春·上海寶山·高一上海交大附中校考期中）在月亮和太陽(yáng)的引力作用下，海水水面發(fā)生的周期性漲落現(xiàn)象叫做潮汐．一般早潮叫潮，晚潮叫汐．受潮汐影響，港口的水深也會(huì)相應(yīng)發(fā)生變化．下圖記錄了某港口某一天整點(diǎn)時(shí)刻的水深y（單位：米）與時(shí)間x（單位：時(shí)）的大致關(guān)系：假設(shè)4月份的每一天水深與時(shí)間的關(guān)系都符合上圖所示．(1)請(qǐng)運(yùn)用函數(shù)模型，根據(jù)以上數(shù)據(jù)寫出水深y與時(shí)間x的函數(shù)的近似表達(dá)式；(2)根據(jù)該港口的安全條例，要求船底與水底的距離必須不小于3.5米，否則該船必須立即離港．一艘船滿載貨物，吃水（即船底到水面的距離）6米，計(jì)劃明天進(jìn)港卸貨．①求該船可以進(jìn)港的時(shí)間段；②該船今天會(huì)到達(dá)港口附近，明天0點(diǎn)可以及時(shí)進(jìn)港并立即開(kāi)始卸貨，已知卸貨時(shí)吃水深度以每小時(shí)0.3米的速度勻速減少，卸完貨后空船吃水3米．請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)卸貨方案，在保證嚴(yán)格遵守該港口安全條例的前提下，使該船明天盡早完成卸貨（不計(jì)?？看a頭和駛離碼頭所需時(shí)間）．【答案】(1)；(2)①0點(diǎn)到4點(diǎn)以及12點(diǎn)到16點(diǎn)進(jìn)入港口；②該船在0點(diǎn)進(jìn)港開(kāi)始卸貨，5點(diǎn)暫時(shí)駛離港口，11點(diǎn)返回港口繼續(xù)卸貨，16點(diǎn)完成卸貨任務(wù).【解析】（1）觀察圖形知，，解得，，，解得，顯然函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，即，又，因此