專題03 弦圖模型與勾股樹模型（原卷版）

專題03弦圖模型與勾股樹模型趙爽弦圖分為內(nèi)弦圖與外弦圖，是中國古代數(shù)學(xué)家趙爽發(fā)現(xiàn)，既可以證明勾股定理，也可以以此命題，相關(guān)的題目有一定的難度，但解題方法也常常是不唯一的。弦圖之美，美在簡約，然不失深厚，經(jīng)典而久遠(yuǎn)，被譽(yù)為“中國數(shù)學(xué)界的圖騰”。弦圖蘊(yùn)含的割補(bǔ)思想，數(shù)形結(jié)合思想、圖形變換思想更是課堂教學(xué)中數(shù)學(xué)思想滲透的絕佳載體。一個(gè)弦圖集合了初中平面幾何線與形，位置與數(shù)量，方法與思想，小身板，大能量，它就是數(shù)學(xué)教育里的不老神話。廣受數(shù)學(xué)教師和數(shù)學(xué)愛好者研究，近年來也成為了各地中考的熱點(diǎn)問題。模型1、弦圖模型（1）內(nèi)弦圖模型：如圖1，在正方形ABCD中，AE⊥BF于點(diǎn)E，BF⊥CG于點(diǎn)F，CG⊥DH于點(diǎn)G，DH⊥AE于點(diǎn)H，則有結(jié)論：△ABE≌△BCF≌△CDG≌△DAH；S正方形ABCD=4S△EAB+S正方形EFGH。圖1圖2圖3（2）外弦圖模型：如圖2，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是正方形ABCD各邊上的點(diǎn)，且四邊形EFGH是正方形，則有結(jié)論：△AHE≌△BEF≌△CFG≌△DGH；S正方形ABCD=4S△EAB+S正方形EFGH。（3）內(nèi)外組合型弦圖模型：如圖3，2S正方形EFGH=S正方形ABCD+S正方形PQMN.例1．（2023春·廣西河池·八年級統(tǒng)考期末）如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成一個(gè)大正方形，設(shè)直角三角形較長直角邊長為，較短直角邊長為，若，大正方形的面積為129．則小正方形的邊長為（

）

A．7 B．8 C．9 D．10例2．（2023.成都市八年級期中）如圖，我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的“趙爽弦圖”，它是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形．連結(jié)，交于點(diǎn)P，若正方形的面積為48，．則的值是__________．例3．（2023·山西八年級期末）如圖，圖1是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個(gè)全等的直角三角形圍成的，若，將四個(gè)直角三角形中的邊長為的直角邊分別向外延長一倍，得到圖2所示的“數(shù)學(xué)風(fēng)車”，則這個(gè)風(fēng)車的外圍周長是（）A． B． C． D．例4．（2022·杭州市九年級月考）我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”．如圖是由弦圖變化得到，它是用八個(gè)全等的直角三角形拼接而成，記圖中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面積分別為S1，S2，S3．若S1+S2+S3＝12，則下列關(guān)于S1、S2、S3的說法正確的是（）A．S1＝2 B．S2＝3 C．S3＝6 D．S1+S3＝8例5．（2023春·浙江溫州·八年級?？茧A段練習(xí)）公元三世紀(jì)，我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》題時(shí)給出了“趙爽弦圖”．將兩個(gè)“趙爽弦圖”（如圖）中的兩個(gè)正方形和八個(gè)直角三角形按圖方式擺放圍成正方形，記空隙處正方形，正方形的面積分別為，．若，，則正方形的面積為（）

A．144 B．104 C．72 D．52模型2.勾股樹模型例1．（2022·四川成都·八年級期末）如圖是株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形，，，的面積分別為3，7，1，3，則最大的正方形的面積是__________．例2．（2022·重慶涪陵·八年級期末）如圖，在四邊形ABCD中，，分別以四邊形ABCD的四條邊為邊長，向外作四個(gè)正方形，面積分別為，，和．若，，，則的值是（

）A．6 B．8 C．9 D．10例3．（2022秋·廣東佛山·八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖所示的是一種“羊頭”形圖案，全部由正方形與等腰直角三角形構(gòu)成，其作法是從正方形①開始，以它的一條邊為斜邊，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角邊為邊，分別向外作正方形②和②’，再分別以正方形②和②’的一條邊為斜邊，向外作等腰直角三角形，...，若正方形⑤的面積為2cm2，則正方形①的面積為（

）A．8cm2 B．16cm2 C．32cm2 D．64cm2例4．（2023春·山西呂梁·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）“勾股樹”是以正方形－邊為斜邊向外作直角三角形，再以該直角三角形的兩直角邊分別向外作正方形，重復(fù)這－過程所畫出來的圖形，因?yàn)橹貜?fù)數(shù)次后的形狀好似－－棵樹而得名．假設(shè)下圖分別是第一代勾股樹、第二代勾股樹、第三代勾股樹，按照勾股樹的作圖原理作圖，則第五代勾股樹中正方形的個(gè)數(shù)為（

）A． B． C． D．例5．（2023·浙江八年級期中）如圖，以的三邊為直徑，分別向外作半圓，構(gòu)成的兩個(gè)月牙形面積分別為、，的面積．若，，則的值為________．例6．（2022·上饒市初二期中）已知如圖，以的三邊為斜邊分別向外作等腰直角三角形，若斜邊，則圖中陰影部分的面積為_______．例7．（2023·浙江·八年級專題練習(xí)）勾股定理是人類重大科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一．我國古代數(shù)學(xué)書《周髀算經(jīng)》記載，約公元前11世紀(jì)，我國古代勞動(dòng)人民就知道“若勾三，股四，則弦五”，比西方早500多年．請你運(yùn)用學(xué)到的知識、方法和思想探究以下問題．【探究一】我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽創(chuàng)制了“趙爽弦圖”，通過圖形切割、拼接，巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理．古往今來，人們對勾股定理的證明一直保持著極大的熱情．意大利著名畫家達(dá)·芬奇用兩張一樣的紙片，拼出不一樣的空洞，利用空洞面積相等也成功地證明了勾股定理（如圖）．請你寫出這一證明過程（圖中所有的四邊形都是正方形，三角形都是直角三角形）．【探究二】在學(xué)習(xí)勾股定理的過程中，我們獲得了以下數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)：分別以直角三角形的三邊為邊向外側(cè)作正方形（如圖2），它們的面積，，之間滿足的等量關(guān)系是：__________．遷移應(yīng)用：如圖3，圖中所有的四邊形都是正方形，三角形都是直角三角形．若正方形，，，的邊長分別是，，，，則正方形的面積是________．【探究三】如圖4，分別以直角三角形的三邊為直徑向外側(cè)作半圓，則它們的面積，，之間滿足的等量關(guān)系是________．遷移應(yīng)用：如圖5，直角三角形的兩條直角邊長分別為，，斜邊長為，分別以三邊為直徑作半圓．若，，則圖中陰影部分的面積等于________．【探究四】《九章算術(shù)》卷九“勾股”中記載：今有立木，系索其末，委地三尺．引索卻行，去本八尺而索尺．問索長幾何．譯文：今有一豎立著的木柱，在木樁的上端系有繩索，繩索從木柱上端順木柱下垂后，堆在地面的部分尚有尺．牽著繩索（繩索與地面接觸）退行，在距木柱根部尺處時(shí)繩索用盡．問繩索長多少？課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·八年級期中）如圖，分別以直角△ABC的三邊AB、BC、CA為直徑向外作半圓，圖中陰影部分面積分別為S1，S2，S3，S1=13平方厘米，S2=10平方厘米，則S3的值為（

）A．6 B．5 C．4 D．32．（2022·云南九年級一模）如圖是按照一定規(guī)律“生長”的“勾股樹”：經(jīng)觀察可以發(fā)現(xiàn)：圖（1）中共有3個(gè)正方形，圖（2）在圖（1）的基礎(chǔ)上增加了4個(gè)正方形，圖（3）在圖（2）的基礎(chǔ)上增加了8個(gè)正方形，……，照此規(guī)律“生長”下去，圖（6）應(yīng)在圖（5）的基礎(chǔ)上增加的正方形的個(gè)數(shù)是（）A．12 B．32 C．64 D．1283．（2022·廣東揭陽·七年級期末）如圖所示，所有的四邊形都是正方形，所有三角形都是等腰直角三角形，且最大的正方形的邊長為4．若按照圖①至圖③的規(guī)律設(shè)計(jì)圖案，則在第個(gè)圖中所有等腰直角三角形的面積和為（）A． B． C． D．324．（2022·浙江初三學(xué)業(yè)考試）勾股定理是人類最偉大的科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一，在我國古算書《周髀算經(jīng)》中早有記載．如圖，以直角三角形的各邊為邊分別向外作正方形，再把較小的兩張正方形紙片按圖的方式放置在最大正方形內(nèi)．若圖中陰影部分的面積為，且，則的長為（）圖1圖2A． B． C． D．5．（2022·青海西寧·八年級期末）如圖，直線上有三個(gè)正方形，若，的面積分別為5和11，則的面積為（

）A．13 B．16 C．36 D．556．（2023·浙江·杭州八年級階段練習(xí)）如圖，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，分別以△ABC的三邊為邊作正方形ABDE，正方形BCFG，正方形ACHI，AI交CF于點(diǎn)J．三個(gè)正方形沒有重疊的部分為陰影部分，設(shè)四邊形BGFJ的面積為S1，四邊形CHIJ的面積為S2，若S1﹣S2＝12，S△ABC＝4，則正方形BCFG的面積為（）A．16 B．18 C．20 D．227．（2022·渦陽縣初二月考）“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國古代數(shù)學(xué)的驕傲，如圖所示的“趙爽弦圖”是由三角形較長直角邊長為a，較短直角邊長為b，若（a＋b）2＝21，大正方形的面積為13，則小正方形的面積為（）A．3 B．4 C．5 D．68．（2022·河南南陽·八年級期末）如圖，我國古代的“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形密鋪構(gòu)成的大正方形，若小正方形的面積為1，大正方形的面積為13，則直角三角形較短的直角邊a與較長的直角邊b的比的值是（）A． B． C． D．9．（2023春·湖北黃岡·八年級統(tǒng)考期中）“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國古代數(shù)學(xué)的驕傲，設(shè)直角三角形較長直角邊長為，較短直角邊長為．若，大正方形的面積為，則的長為（

）

A． B． C． D．10．（2022·重慶江津·八年級期中）如圖，分別以等腰Rt△ACD的邊AD，AC，CD為直徑畫半圓，AD＝2，則陰影部分的面積是__________11．（2022·貴州銅仁·八年級期中）如圖，以的三邊向外作正方形，其面積分別為且，則___________；以的三邊向外作等邊三角形，其面積分別為，則三者之間的關(guān)系為___________．12．（2023春·湖北孝感·八年級統(tǒng)考期中）下圖是“畢達(dá)哥拉斯樹”的“生長”過程：如圖①，一個(gè)邊長為的正方形，經(jīng)過第一次“生長”后在它的上側(cè)長出兩個(gè)小正方形，且三個(gè)正方形所圍成的三角形是直角三角形；再經(jīng)過一次“生長”后變成了②；如此繼續(xù)“生長”下去，則第2023次“生長”后，這棵“畢達(dá)哥拉斯樹”上所有正方形的面積和為．13．（2022·江蘇·八年級專題練習(xí)）如圖1，四個(gè)全等的直角三角形圍成一個(gè)大正方形，中間是一個(gè)小正方形，這個(gè)圖形是我國漢代趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”．連接四條線段得到如圖2的新的圖案．如果圖1中的直角三角形的長直角邊為5，短直角邊為3，圖2中陰影部分的面積為S，那么S的值為______．14．（2023春·陜西西安·七年級高新一中?？茧A段練習(xí)）用八個(gè)全等的直角三角形拼接了一幅“弦圖”，記圖中正方形，正方形，正方形的面積分別為，，，若，則．

15．（2023·浙江臺(tái)州·八年級?？计谥校┤鐖D1，是一個(gè)封閉的勾股水箱，其中Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ部分是可盛水的正方形，且相互聯(lián)通，已知∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，開始時(shí)Ⅲ剛好盛滿水，而Ⅰ，Ⅱ無水．（1）如圖2擺放時(shí)，Ⅰ剛好盛滿水，而Ⅱ無水，則Ⅲ中有水部分的面積為；（2）如圖3擺放時(shí)，水面剛好經(jīng)過Ⅲ的中心O（正方形兩條對角線的交點(diǎn)），則Ⅱ中有水部分的面積為．16．（2022·廣東·八年級課時(shí)練習(xí)）如圖①，直角三角形的兩個(gè)銳角分別是40°和50°，其三邊上分別有一個(gè)正方形．執(zhí)行下面的操作：由兩個(gè)小正方形向外分別作銳角為40°和50°的直角三角形，再分別以所得到的直角三角形的直角邊為邊長作正方形，圖②是1次操作后的圖形．（1）試畫出2次操作后的圖形．（2）如果原來直角三角形斜邊長為，寫出2次操作后的圖形中所有正方形的面積和．（3）如果一直畫下去，你能想象出它的樣子嗎？（4）圖③是重復(fù)上述步驟若干次后得到的圖形，人們把它稱為“畢達(dá)哥拉斯樹”．如果最初的直角三角形是等腰直角三角形，你能想象出此時(shí)“畢達(dá)哥拉斯樹”的形狀嗎？17．（2022·湖南·八年級課時(shí)練習(xí)）如圖①，美麗的弦圖，蘊(yùn)含著四個(gè)全等的直角三角形．(1)弦圖中包含了一大，一小兩個(gè)正方形，已知每個(gè)直角三角形較長的直角邊為a，較短的直角邊為b，斜邊長為c，結(jié)合圖①，試驗(yàn)證勾股定理．(2)如圖②，將這四個(gè)直角三角形緊密地拼接，形成飛鏢狀，已知外圍輪廓（粗線）的周長24，，求該飛鏢狀圖案的面積．(3)如圖③，將八個(gè)全等的直角三角形緊密地拼接，記圖中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面積分別為，若，求．18．（2022·山東濰坊·八年級期中）閱讀理解：我國是最早了解勾股