湖北省宜荊荊隨2024屆高三上學(xué)期10月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1湖北省宜荊荊隨2024屆高三上學(xué)期10月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一?選擇題1.已知集合，集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗，，，∴.故選：D．2.“”是“復(fù)數(shù)為純虛數(shù)”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗為純虛數(shù)的充要條件為因此應(yīng)為復(fù)數(shù)為純虛數(shù)的充分不必要條件，故選：A．3.公差不為零的等差數(shù)列的前為項和為，若，則（）A.8 B.12 C.16 D.9〖答案〗C〖解析〗由等差數(shù)列的性質(zhì)，，又，，，，.故選：C.4.已知鈍角，，則（）A. B. C.7 D.〖答案〗D〖解析〗由為鈍角，得，，所以.故選：D5.長時間玩手機可能影響視力.據(jù)調(diào)查，某校學(xué)生大約的人近視，而該校大約有的學(xué)生每天玩手機超過1小時，這些人的近視率約為，現(xiàn)從每天玩手機不超過1小時的學(xué)生中任意調(diào)查一名學(xué)生，則他近視的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗令“玩手機時間超過的學(xué)生”，“玩手機時間不超過的學(xué)生”，“任意調(diào)查一人，此人近視”，則，且互斥，，，依題意，，解得，所以所求近視的概率為.故選：B6.已知均為正數(shù)，且，則的最小值為（）A.11 B.13 C.10 D.12〖答案〗A〖解析〗，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立.故選：A.7.已知橢圓C：的左右焦點為，過的直線與交于兩點，若滿足成等差數(shù)列，且，則C的離心率為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由得到，設(shè)，,在中，由余弦定理得，，解得，為等邊三角形，則在中，，，又，，得，解得.故選：B.8.為三個互異的正數(shù)，滿足，則下列說法正確的是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗由得且，構(gòu)造函數(shù)，所以，易得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，其函數(shù)圖象如下圖所示：由圖可得，易知函數(shù)及交于點，作出函數(shù)及的圖象如下圖所示：由圖知所以，即，由此可得，即.故選：A.二?多選題9.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.的最小正周期為B.C.是圖象的一條對稱軸D.將的圖象向左平移個單位后，得到的圖象關(guān)于原點對稱〖答案〗BCD〖解析〗由，故B正確；，故A錯誤；又，由正弦函數(shù)的性質(zhì)可知，是圖像的一條對稱軸，故C正確；將的圖像向左平移個單位，得，是奇函數(shù)圖像關(guān)于原點對稱，故D正確.故選：BCD.10.下列命題中，正確的是（）A.已知隨機變量服從正態(tài)分布，若，則B.已知，則C.若兩組成對數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)分別為，則組數(shù)據(jù)比組數(shù)據(jù)的相關(guān)性較強D.將總體劃分為兩層，通過分層抽樣，得到樣本數(shù)為的兩層樣本，其樣本平均數(shù)和樣本方差分別為和，若，則總體方差〖答案〗ABD〖解析〗A選項，由正態(tài)曲線的性質(zhì)可得，根據(jù)對稱性可知，則，，故A正確；B選項，由得，即，所以事件A，B相互獨立，所以結(jié)論正確；C選項，越接近于1，相關(guān)性越強，故C錯誤；D選項，設(shè)兩層的數(shù)據(jù)分別是和，總體的平均數(shù)為，則，又，，，，總體方差.故D正確.故選：ABD.11.已知是拋物線上三個不同的點，的焦點是的重心，則（）A.的準(zhǔn)線方程是B.過的焦點的最短弦長為8C.以為直徑的圓與準(zhǔn)線相離D.線段的長為19〖答案〗AC〖解析〗對于A，由在拋物線上可得拋物線方程為，，準(zhǔn)線方程是，故A正確；對于B，當(dāng)過拋物線的焦點且與軸垂直時弦長最短，把代入，得，所以此時弦長為16，故B錯誤；對于C，D，設(shè)，又，，由重心的坐標(biāo)公式得，即，所以的中點坐標(biāo)為，因為不過焦點，所以，的中點到準(zhǔn)線的距離為，所以C正確，D錯誤.故選：AC.12.如圖，長方體中，，點是半圓弧上的動點（不包括端點），點是半圓弧上的動點（不包括端點），則下列說法正確的是（）A.的取值范圍是B.若與平面所成的角為，則C.的最小值為D.若三棱錐的外接球表面積為，則〖答案〗BCD〖解析〗如圖，，連接，在中，，所以，因為，所以，所以的取值范圍是，故A錯誤；連接，由于平面，所以與平面所成的角為，如圖，所以，因為，所以，故B正確；設(shè)在底面的射影為，為中點，連接，則，又，則，而，所以，故，故C正確；以為坐標(biāo)原點，直線為軸，為軸，為軸，如圖，則點的坐標(biāo)滿足，可設(shè)的坐標(biāo)為，由球心在BC的中垂線（即過外接圓圓心且與底面垂直的直線）上，可設(shè)球心坐標(biāo)為，因為，所以，解得，故，所以外接球的半徑，所以，故D選項正確.故選：BCD.三?填空題13.已知的二項展開式中只有第5項的二項式系數(shù)最大，則展開式中的系數(shù)為__________.〖答案〗〖解析〗因為的二項展開式中只有第5項的二項式系數(shù)最大，所以，二項式的通項公式為，令，所以展開式中的系數(shù)為，故〖答案〗為：14.暑期安排包括大睿和小濤在內(nèi)的7名學(xué)生去參加A，B，C三個夏令營，其中營安排3人，B，C各安排2人，要求大睿和小濤不能在同一夏令營，則不同的安排方案有__________種.〖答案〗160〖解析〗間接法：.故〖答案〗為：160.15.已知定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，滿足，，則不等式的解集為__________.〖答案〗〖解析〗因為，，所以，，或，所以函數(shù)在上遞減，上遞增，因此當(dāng)時，當(dāng)時，，顯然不滿足，當(dāng)時，，綜上所述：不等式的解集為，故〖答案〗為：.16.如圖，一塊邊長為的正方形鐵片上有四塊陰影部分，將這些陰影部分裁下來，然后用余下的四個全等的等腰三角形加工成一個正四棱錐容器，則該容器的最大容積為__________.〖答案〗〖解析〗設(shè)正四棱錐的底面邊長為，則高為，體積當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.故〖答案〗為：.四?解答題17.已知分別是的三個內(nèi)角的對邊，且.（1）求角；（2）若在邊上且，求面積的最大值.解：（1）由及正弦定理得因為，所以，因為，所以，因為，所以，所以，得，（2）因為在邊上且，所以為中點，所以，兩邊平方得，因為，所以得到，由，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以當(dāng)時，即為等邊三角形時面積的最大值為18.如圖，在四棱錐中，底面為矩形，底面為線段的中點，為線段上的動點.（1）求證：平面平面；（2）試求的長，使平面與平面所成的銳二面角為.（1）證明：平面，平面，，為矩形，，又，平面，平面，平面，，，為線段的中點，，又，平面，平面，又平面，所以平面平面.（2）解：以A為坐標(biāo)原點，，，分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，，設(shè)，，設(shè)平面的一個法向量為，則，，令，則，，設(shè)平面的一個法向量為，則，，令，則，，平面與平面所成的銳二面角為，，解得，，即，當(dāng)時，平面與平面所成的銳二面角為.19.已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）設(shè)，若，且對任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍.解：（1），①當(dāng)時，因，所以在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增；②當(dāng)時，令，得，由，即在上單調(diào)遞增，由，即在上單調(diào)遞減，綜上，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）時，，，令，由，在上單調(diào)遞增，由，即在上單調(diào)遞減，，，對成立，只要，即對恒成立，，對恒成立，令，則，且在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，，，.20.已知數(shù)列的前項和為，且滿足：（1）求數(shù)列的通項公式；（2）在與之間插入個數(shù)，使這個數(shù)組成一個公差為的等差數(shù)列，在數(shù)列中是否存在三項（其中成等差數(shù)列）成等比數(shù)列？若存在，求出這三項；若不存在，請說明理由.解：（1）簡可得結(jié)論.由①得時②①-②得，①中令得，是以為首項，為公比的等比數(shù)列，，（2）假設(shè)存在這樣的三項成等比數(shù)列，為遞增數(shù)列，不妨設(shè)，則則，成等差數(shù)列，，，由，得，所以，與題設(shè)矛盾不存在這樣的三項（其中成等差數(shù)列）成等比數(shù)列.21.為了檢測某種抗病毒疫苗的免疫效果，需要進行動物與人體試驗.研究人員將疫苗注射到400只小白鼠體內(nèi)，一段時間后測量小白鼠的某項指標(biāo)值，按分組，繪制頻率分布直方圖如圖所示，實驗發(fā)現(xiàn)小白鼠體內(nèi)產(chǎn)生抗體的共有320只，其中該項指標(biāo)值不小于60的有220只.抗體指標(biāo)值合計小于60不小于60有抗體沒有抗體合計（1）填寫完成上面的列聯(lián)表（單位：只），并根據(jù)列聯(lián)表及的獨立性檢驗，判斷能否認(rèn)為注射疫苗后小白鼠產(chǎn)生抗體與指標(biāo)值不小于60有關(guān).（2）為檢驗疫苗二次接種的免疫抗體性，對第一次注射疫苗后沒有產(chǎn)生抗體的小白鼠進行第二次注射疫苗，結(jié)果又有60只小白鼠產(chǎn)生抗體.（i）用頻率估計概率，求一只小白鼠最多注射兩次疫苗后產(chǎn)生抗體的概率；（ii）以（i）中確定的概率作為人體最多注射兩次疫苗后產(chǎn)生抗體的概率，進行人體接種試驗，現(xiàn)有40人進行接種試驗，設(shè)最多注射兩次疫苗后產(chǎn)生抗體的人數(shù)為隨機變量，當(dāng)時，取得最大值，求.參考公式：（其中為樣本容量）0.500.400.250.150.1000.05000250.4550.7081.3232.0722.7063.8415.024解：（1）由頻率分布直方圖知，該項指標(biāo)值不小于60的頻率為，有（只），則列聯(lián)表如下：（單位：只）抗體指標(biāo)值合計小于60不小于60有抗體100220320沒有抗體404080合計140260400零假設(shè)為：注射疫苗后小白鼠產(chǎn)生抗體與指標(biāo)值不小于60無關(guān)聯(lián)，根據(jù)列聯(lián)表中數(shù)據(jù)，得根據(jù)的獨立性檢驗，推斷不成立，即認(rèn)為注射疫苗后小白鼠產(chǎn)生抗體與指標(biāo)值不小于60有關(guān)，此推斷犯錯誤的概率不大于0.025.（2）（i）令事件“小白鼠第一次注射疫苗產(chǎn)生抗體”，事件“小白鼠第二次注射疫苗產(chǎn)生抗體”，事件“小白鼠最多注射2次疫苗后產(chǎn)生抗體”，記事件發(fā)生的概率分別為，則，，所以一只小白鼠最多注射2次疫苗后產(chǎn)生抗體的概率.（ii）依題意，隨機變量，因為最大，顯然，且，因此，則，，解得，而是整數(shù)，所以.22.已知雙曲線的離心率為2，過上的動點作曲線的兩漸近線的垂線，垂足分別為和的面積為.（1）求曲線的方程；（2）如圖，曲線的左頂點為