均布載荷作用下功能梯度懸臂梁的彈性半逆解

均布載荷作用下功能梯度懸臂梁的彈性半逆解

0功能梯度材料的彈性力學分析方法功能梯度材料作為材料設(shè)計的概念，日本科學家在上個世紀80年代中期首次提出了該問題。為了解決航天技術(shù)行業(yè)在高溫環(huán)境下的材料熱應力問題，第一個在宇宙高溫環(huán)境下使用的功能梯度材料通常由耐高溫工程陶瓷和高承載能力的金屬組成。其設(shè)計理念是在材料制備過程中連續(xù)控制陶瓷和金屬體積的分布，并在空間位置上顯示宏觀材料的特性。沒有明顯的材料性能界面。為了緩解高溫和高使用環(huán)境下材料的內(nèi)在熱應力，現(xiàn)在日本科學家發(fā)現(xiàn)了電子、化學、光學、聲音、醫(yī)學和其他技術(shù)領(lǐng)域的功能梯度材料。梁、板、殼是功能梯度材料部件的主要結(jié)構(gòu)形式,主要的理論分析方法有簡化模型法、層合模型法和精確解法等.簡化模型法將經(jīng)典的或考慮剪切變形的一維梁理論或二維板、殼理論直接套用到功能梯度材料結(jié)構(gòu)的分析上,但是這些理論的基本假設(shè)是基于均勻或?qū)雍喜牧献龀龅?并不能完全適用于功能梯度材料.層合模型法將功能梯度材料梁、板、殼等結(jié)構(gòu)沿厚度方向分成若干層,每一層等效為均勻材料,當分層足夠多時,分析結(jié)果將趨近于彈性力學精確解.精確解法則是嚴格求解問題的控制方程和邊界條件,目前只能獲得特殊邊界條件(如簡單支撐)下的結(jié)果.Sankar給出了功能梯度簡支梁受橫向載荷作用問題的二維彈性解,并采用Euler-Bernoulli梁理論的基本假設(shè)建立了功能梯度梁的一維簡化模型.但是Sankar的彈性解是在簡支邊界條件下并假設(shè)材料彈性模量沿梁厚度方向呈指數(shù)函數(shù)變化的前提下獲得的.本文從正交各向異性材料基本方程出發(fā),考慮材料常數(shù)沿梁厚度方向梯度變化,采用彈性力學半逆解法,求取了按任意梯度函數(shù)分布的懸臂梁在均布載荷作用下的通解.并給出了指數(shù)函數(shù)梯度變化時的算例.1材料本構(gòu)模型考慮如圖1所示的正交各向異性功能梯度懸臂梁(長度為l,寬度為b,厚度為h).當三維彈性介質(zhì)在y軸方向的尺寸較其它兩軸方向尺寸小得多,且全部載荷均作用于x-z平面內(nèi)且不沿y軸方向變化時,問題可簡化為x-z平面內(nèi)的平面應力問題,其平衡方程為?σx?x+?τzx?z=0,?τzx?x+?σz?z=0(1)物理方程為εx=s11σx+s13σz,εz=s13σx+s33σz,γzx=s44τzx(2)幾何方程為εx=?u?x,εz=?w?z,γzx=?u?z+?w?x(3)應變協(xié)調(diào)方程為?2εx?z2+?2εz?x2-?2γzx?z?x=0(4)上述各式中u和w為位移,σx、σz和τzx為應力,εx、εz和γzx為應變.s11、s33、s13、和s44為彈性材料的柔度系數(shù),對于功能梯度材料,其材料常數(shù)沿厚度方向連續(xù)變化,因此是坐標z的連續(xù)函數(shù).在本文的研究中,我們假設(shè)上述材料常數(shù)沿厚度方向按同一函數(shù)規(guī)律變化sij=s0ijF(z)(5)sij代表s11、s33、s13和s44,s0ij為相應的材料常數(shù)在z0(z0滿足F(z0)=1)處的值.根據(jù)圣維南原理,自由端(x=0)的邊界條件可寫為∫h/2-h/2σxdz=0,∫h/2-h/2σxzdz=0,τzx=0(6)下表面(z=h/2)的自由邊界條件為σz=τzx=0(7)上表面(z=-h/2)作用均布豎向荷載,邊界條件為σz=-q,τzx=0(8)固支端的邊界條件可近似為:在z=0,x=1處u=w=?w?x=0(9)2應力、應變和位移的公式引入應力函數(shù)U,使?jié)M足σx=?2U?z2,σz=?2U?x2,τzx=-?2U?z?x(10)將式(2)和(10)代入應變協(xié)調(diào)方程(4)得?2?z2(s11?2U?z2+s13?2U?x2)+??z(s44?3U?x2?z)+s13?4U?x2?z2+s33?4U?x4=0(11)令U=x22f(z)+xf1(z)+f2(z)(12)則有{σx=x22d2f(z)dz2+xd2f1(z)dz2+d2f2(z)dz2τzx=-xdf(z)dz-df1(z)dz,σz=f(z)(13)由力邊界條件:x=0時,τzx=0,得到df1(z)/dz=0,則f1(z)為常數(shù)項,對應力無影響,可略去.為了表達方便,引入如下符號{Ηi(z)=∫z0zidzF(z)?Ηi(z)=∫z0Ηi(z)dz?Η1i(z)=∫z0?Η1i(z)dz?Η11i(z)=∫z0?Ηi(z)zdz?i=0?1,2,3,4{G0(z)=∫z0F(z)dz,G1(z)=∫z0F(z)zdz?G0(z)=∫z0G0(z)dz,G10(z)=∫z0G0(z)F(z)dzG110(z)=∫z0G0(z)F(z)zdz,G11(z)=∫z0G1(z)F(z)dz{Τ0(z)=∫z0Η0(z)F(z)dzΤ1(z)=∫z0Η1(z)F(z)dz?Τ0(z)=∫z0Τ0(z)dz,?Τ1(z)=∫z0Τ1(z)dz{Ν0(z)=∫z0Τ0(z)F(z)dz,Ν1(z)=∫z0Τ1(z)F(z)dzΝ10(z)=∫z0Τ0(z)zF(z)dz,Ν11(z)=∫z0Τ1(z)zF(z)dzY0(z)=∫z0?Η0(z)F(z)dz,Y1(z)=∫z0?Η1(z)F(z)dz將式(12)代入式(11),可得{d2dz2[s11d2f(z)dz2]=0d2dz2[s11d2f2(z)dz2+s13f(z)]+ddz[s44df(z)dz]+s13d2f(z)dz2=0(14)解之,得由此可求得應力、應變和位移的表達式σx=x22s011[C1zF(z)+C2F(z)]-s013(s011)2[C1?Η1(z)+C2?Η0(z)]-s013s011(C3z+C4)+1s011F(z)?{-s013s011(C1z36+C2z22)-s044s011[C1Τ1(z)+C2Τ0(z)]-C3s044G0(z)+C5z+C6}(17)σz=1s011[C1?Η1(z)+C2?Η0(z)]+C3z+C4(18)τzx=-x{1s011[C1Η1(z)+C2Η0(z)]+C3}(19)εx=x22(C1z+C2)+{-s013s011(C1z36+C2z22)-s044s011?[C1Τ1(z)+C2Τ0(z)]-C3s044G0(z)+C5z+C6}(20)εx=x22s130s110(C1z+C2)+s130s110{-s130s110(C1z36+C2z22)-s440s110[C1Τ1(z)+C2Τ0(z)]-C3s440G0(z)+C5z+C6}-[(s130s110)2-s330s110][C1Η?1(z)+C2Η?0(z)]?F(z)-[(s130)2s110-s330](C3z+C4)F(z)(21)γzx=-xs440s110F(z)[C1Η1(z)+C2Η0(z)]-xC3s440F(z)(22)u=x36(C1z+C2)+g1(z)+x{-s130s110?(C1z36+C2z22)-s440s110[C1Τ1(z)+C2Τ0(z)]-C3s440G0(z)+C5z+C6}(23)w=x22s130s110(C1z22+C2z)+g2(x)+s130s110{-s130s110(C1z424+C2z36)-s440s110[C1Τ?1(z)+C2Τ?0(z)]-C3s440G?0(z)+C5z22+C6z}-[(s130s110)2-s330s110][C1Y1(z)+C2Y0(z)]-[(s130)2s110-s330][C3G1(z)+C4G0(z)](24)其中g(shù)2(x)=ax-x22C5-x424C1+d(25)g1(z)=-az+e(26)這里a、d和e為待定常數(shù).由邊界條件(7)和(8),求得{C1=s110qk1[Η0(h2)-Η0(-h2)]C2=-s110qk1[Η1(h2)-Η1(-h2)]C3=qk1[Η1(h2)Η0(-h2)-Η1(-h2)Η0(h2)]C4=-qk1{[Η0(h2)-Η0(-h2)]Η?1(h2)-[Η1(h2)-Η1(-h2)]Η?0(h2)+h2?[Η1(h2)Η0(-h2)-Η1(-h2)Η0(h2)]}(27)其中k1=[Η?1(h2)-Η?1(-h2)][Η0(h2)-Η0(-h2)]+[Η?0(h2)-Η?0(-h2)][Η1(-h2)-Η0(h2)]+[Η1(h2)Η0(-h2)-Η1(-h2)Η0(h2)]h由邊界條件(6),可得{C5=A[Η1(h2)-Η1(-h2)]k2-B[Η0(h2)-Η0(-h2)]k2C6=-A[Η2(h2)-Η2(-h2)]k2+B[Η1(h2)-Η1(-h2)]k2(28)其中A=s130s110{C16[Η3(h2)-Η3(-h2)]+C22[Η2(h2)-Η2(-h2)]}+s440s110{C1[Ν1(h2)-Ν1(-h2)]+C2[Ν0(h2)-Ν0(-h2)]}+C3s440[G01(h2)-G01(-h2)]+s130s110{C1[Η?11(h2)-Η?11(-h2)]+C2[Η?01(h2)-Η?01(-h2)]}+s130C4hB=s130s110{C16[Η4(h2)-Η4(-h2)]+C22[Η3(h2)-Η3(-h2)]}+s440s110{C1[Ν11(h2)-Ν11(-h2)]+C2[Ν01(h2)-Ν01(-h2)]}+C3s440[G011(h2)-G011(-h2)]+s130s110{C1[Η?111(h2)-Η?111(-h2)]+C2[Η?011(h2)-Η?011(-h2)]}+s130C3h312k2=[Η1(h2)-Η1(-h2)]2-[Η2(h2)-Η2(-h2)][Η0(h2)-Η0(-h2)]由邊界條件(9),求得a=C5l+C1l36e=-C2l36+l{s440s110[C1Τ1(0)+C2Τ0(0)]+C3s404G0(0)-C66}d=s130s110{s440s110[C1Τ?1(0)+C2Τ?0(0)]+C3s440G?0(0)}+[(s130s110)2-s330s110][C1Y1(0)+C2Y0(0)]+[(s130)2s110-s330][C3G1(0)+C4G0(0)]-C5l22-C1l483懸臂梁受均布載荷作用算例1考慮均勻各向同性彈性懸臂梁受均布載荷作用q作用,這時梯度函數(shù)F(z)=1,設(shè)材料的彈性模量為E,泊松比為ν,則有s110=1E,s130=-νE,s330=1Es440=1G=2(1+ν)E求得各應力分量為σx=-q2Ιx2z+q2Ι(23z3-h210z)σz=-q2(1-3hz+4h3z3),τzx=q2Ιx(z2-h24)其中I=h3/12.以上結(jié)果與經(jīng)典彈性力學解(參見文獻)一致.算例2功能梯度懸臂梁(l=1m,h=0.2m,b=0.04m)受均布載荷作用,q=1N/m2.假設(shè)梯度函數(shù)為F(z)=expαzh(29)其中α是梯度指數(shù),在這里分別取α為-3、-1、0、1、3.在z=0處的材料常數(shù)為石墨/環(huán)氧(T)型材料的相應數(shù)據(jù)s110=5.14×10-12/Ρa,s130=-1.51×10-12/Ρas330=9.52×10-11/Ρa,s440=1.37×10-10/Ρa圖2～圖6給出了受均布載荷作用時,懸臂梁上的物理量隨坐標z的變化情況.由圖中可見,功能梯度材料(α≠0)的自由端位移u沿厚度方向近似線性變化,而自由端位移w沿厚度方向幾乎不發(fā)生變化,近似為常量.固定端應力σx、σz和τzx沿厚度方向呈非線性變化.綜合上述算例的計算結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)當α≠0時,梯度懸臂梁的中性軸已不再位于中面,而是略偏向材料較剛的一面.因