薄壁箱梁剪力滯剪切變形效應分析的有限元列式

薄壁箱梁剪力滯剪切變形效應分析的有限元列式

1應變分量的計算在圖1中，1（、、）中，當p型薄熱梁以直角排列時，截面的垂直彎曲角為v（），傾角為（）。考慮到剪滯效應的翼板最大縱向位移差函數(shù)為x（）時，薄熱梁截面上的上軸向位移為x（、、）。分布規(guī)律如下。X(ζ,ξ,η)=-η[θ(ζ)+(1-η3/h3)x(ζ)](1)在上下翼板處的正應變和剪應變分別為εζ=-η[θ?θ/?ζ+(1-ξ3/h3)?x/?ζ](2)γζξ=ηx(ζ)3ξ2/h(3)腹板上的正應變和剪應變分別為εζ=-η?θ/?ζ(4)γζη=?V/?ζ-θ(ζ)(5)略去其它微量應變分量,全梁的應變能可寫為Π=12?(Eε2ζ+Gγ2ζξ+Gγ2ζη)dζdξdη(6)外力功為W=∫l0q(ζ)V(ζ)dζ-(Μθ-QV)|l0(7)系統(tǒng)的總勢能為T=Π-W,由最小勢能原理δT=0得由δθ、δx、δV的任意性,并注意邊界條件,經(jīng)整理后得到EΙθ?+3EΙsx?/4-q=0(9)EΙV?0+34EΙsx′0+Μ=0(10)9G5Eb2x0-34V?0-914x?0=0(11)[32V?0+97x′0]δx0|l0=0(12)EΙV?0+34EΙsx?0-q=0(13)式中:V0、x0分別為不考慮剪切變形時的撓度及最大縱向位移差函數(shù),從而可得x?0-k2x0=7n6EΙQ(ζ)及x?-k2x=7n6EΙQ(ζ)?n、k的意義參見文獻。2e型圖1所示的單室薄壁箱梁除彎矩外,其余位移與內(nèi)力均以坐標軸正向為正,注意梁單元的平衡條件,由前述方程得x?-k2x=-7n6EΙ(Q0+qζ)(14)方程式(14)的通解為x=x0cζa11ζQ0+a12ζM0-a13ζMx0-a14ζq(15)由式(5)還可得EΙ?2θ?ζ2+34EΙs?2x?ζ2+Q=0(16)對上式積分,并注意邊界條件得關(guān)于θ的解答θ=θ0+c1ζx0-a21ζQ0-a22ζM0-a12ζMx0-a24ζq(17)由式(5)得到變換式為:?V?ζ=αsGAQ+θ,對其積分可得V=V0+θ0ζ+sζ0-a31ζQ0-a21ζΜ0-a14ζΜx0+a34ζq(18)3蘇霍姆林斯基關(guān)于shkle333箱梁單元i、j兩端的結(jié)點位移和結(jié)點力的正向如圖2所示,將x=0、l代入方程(15)、(17)和(18)中,整理可得均布荷載作用下單元平衡方程為[S]e{Λ}e={F}e+{R}e(19)式中:[S]e8×8為單元剛度矩陣;結(jié)點位移矩陣{Λ}e、結(jié)點力{F}e及等效結(jié)點力{R}e列陣為{Λ}e=[uiViθixiujVjθjxj]Τ(20){F}e=[ΝiQiΜiΜxiΝjQjΜjΜxj]Τ(21){R}e=[R1R2R3R4R5R6R7R8]Τ(22)式(19)所表示的單元剛度矩陣[S]e8×8為對稱矩陣,即sij=sji,其中為零的元素可表示為sij=0,而ij的組合為:(i=1;j=2,3,4,6,7,8);(i=5,j=6,7,8);(i=2,3,4;j=5),[S]e8×8中的非零元素為s11=s55=EAl,s15=-EAl,s22=-s26=e11Δ1,s23=e11l-e12Δ1,s24=1Δ13Ιs4Ιl-shklke11-3Ιs4Ι(1-chkl)e12-chkle13,s27=e12Δ1,s28=e13Δ1,s33=-e21l-e22Δ2,s34=-1Δ23Ιs4Ιl-shklke21-3Ιs4Ι(1-chkl)e22-chkle23,s36=e21Δ2,s37=-e22Δ2,s38=-e23Δ2,s44=-1Δ33Ιs4Ιl-shklke31-3Ιs4Ι(1-chkl)e32-chkle33,s46=e31Δ3,s47=-e32Δ3,s48=-e33Δ3,s66=s22,s67=-s27,s68=-s28,s77=e12Δ1l+e22Δ2,s78=e13Δ1l+e23Δ2,s24=3Ιs4Ιl-shklke13Δ1+3Ιs4Ι(1-chkl)e23Δ2+chkle33Δ3。豎向均布荷載作用下的等效結(jié)點荷載列陣{R}e中的元素為R1=R5=0,R2=e14Δ1q,R3=e24Δ2q,R4=e34Δ3q?R6=-(l+e14Δ1)q,R7=-(e14Δ1l+e24Δ2+l22)q,R8=-R4以上各式中各符號的意義如下:a11=e11=a13(a13a22-a12a23),e12=a13(a13a32-a12a33),e13=a23(a13a32-a12a33)-a33(a13a22-a12a23),e14=(a13a34-a14a33)(a13a22-a12a23)-(a13a24-a14a23)(a13a32-a12a33),Δ1=(a13a31-a11a33)(a13a22-a12a23)-(a13a21-a11a23)(a13a32-a12a33),e21=a11(a11a23-a13a21),e22=a11(a11a33-a13a31),e23=a21(a11a33-a13a31)-a31(a11a23-a13a21),e24=(a11a23-a13a21)(a11a34-a14a31)-(a11a24-a14a21)(a11a33-a13a31),Δ2=(a11a32-a12a31)(a11a23-a13a21)-(a11a22-a12a21)(a11a33-a13a31),e31=a11(a11a22-a12a21),e32=a11(a11a32-a12a31),e33=a21(a11a32-a12a31)-a31(a11a22-a12a21),e34=(a11a22-a12a21)(a11a34-a14a31)-(a11a24-a14a21)(a11a32-a12a31),Δ3=-Δ2,(1-chkl),a12=-7n6EΙkshkl,a13=14n9EΙskshkl,a14=-7n6EΙk2(l-shklk),a21=7nΙs8EΙ2k2(1-chkl)-l22EΙ,a22=-(7nΙs8EΙ2kshkl+lEΙ),a23=-a12,a24=l36EΙ-7nΙs8EΙ2k2l-shklk)],a31=7nΙs8EΙ2k2l-shklk-l36EΙ+αslGA,a32=a21,a33=-a11,a34=7nΙs16EΙ2k2l2+7nΙs8EΙ2k4(1-chkl)-l424EΙ+αs2GAl2],此外,注意文中anmζ即為aij中將l代換為ζ的表達式,cζ=chkζ,sζ=2Ιs4Ι(ζ-shkζk)。4模型的離散計算在自由端受集中荷載P=300kN作用的懸臂梁,其懸臂長度為600mm。梁高沿懸臂梁的長度按二次拋物線規(guī)律變化,其截面尺寸如圖3、4所示。按照文獻將懸臂梁沿全長分成15段,每段長度為4cm,共16個結(jié)點,1號結(jié)點在固定端。利用SAP90程序?qū)⒛Ｐ碗x散為板殼單元進行計算。本文與SAP90部分結(jié)點位移的計算結(jié)果如表1所示,與SAP90及文獻關(guān)于頂板剪力滯系數(shù)的計算結(jié)果如表2所示?？梢?本文結(jié)果與文獻及SAP90結(jié)果吻合良好。算例表明,本文計算方法正確,結(jié)果可靠,計算精度高,更為重要的是使分析變截面、連續(xù)薄壁箱梁等復雜結(jié)構(gòu)的剪力滯問題變得簡單易行,只需與分析普通梁單元一樣,將結(jié)構(gòu)劃分成“單元”,輸入斷面常數(shù),運行程序,即可得到結(jié)構(gòu)上任一斷面的應力分布和位移,使得計算大大簡化。本文計算方法具有廣泛的工程實用性。5模型試驗結(jié)果與計算結(jié)果對比,計算結(jié)果符合現(xiàn)狀筆者在獲得控制微分方程解析解的基