寧夏2022年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)針對(duì)性訓(xùn)練-全國(guó)真題·提技能第二十三講　圓的有關(guān)計(jì)算

1．(2021·云南中考)如圖，等邊△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在⊙O上，AD是⊙O的直徑．若OA＝3，則劣弧BD的長(zhǎng)是(B)A．eq\f(π,2)B．πC．eq\f(3π,2)D．2π2．(2021·柳州中考)如圖所示，點(diǎn)A，B，C對(duì)應(yīng)的刻度分別為1，3，5，將線段CA繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)A首次落在矩形BCDE的邊BE上時(shí)，記為點(diǎn)A′，則此時(shí)線段CA掃過的圖形的面積為(D)A．4eq\r(3)B．6C．eq\f(4,3)πD．eq\f(8,3)π3．(2021·綏化中考)一條弧所對(duì)的圓心角為135°，弧長(zhǎng)等于半徑為5cm的圓的周長(zhǎng)的3倍，則這條弧的半徑為__40__cm.4．(2021·臺(tái)州中考)如圖，將線段AB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°，得到線段AC.若AB＝12，則點(diǎn)B經(jīng)過的路徑eq\o(BC,\s\up8(︵))長(zhǎng)度為__2π__．(結(jié)果保留π)5．(2021·鹽城中考)設(shè)圓錐的底面半徑為2，母線長(zhǎng)為3，該圓錐的側(cè)面積為__6π__．6．(2021·河南中考)如圖所示的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，點(diǎn)A，B，D均在小正方形的頂點(diǎn)上，且點(diǎn)B，C在eq\o(AD,\s\up8(︵))上，∠BAC＝22.5°，則eq\o(BC,\s\up8(︵))的長(zhǎng)為____．7．(2021·吉林中考)如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2.以點(diǎn)C為圓心，CB長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交AC，AB于點(diǎn)D，E，則圖中陰影部分的面積為____(結(jié)果保留π).1．(2021·青海中考)如圖，一根5m長(zhǎng)的繩子，一端拴在圍墻墻角的柱子上，另一端拴著一只小羊A(羊只能在草地上活動(dòng))，那么小羊A在草地上的最大活動(dòng)區(qū)域面積是(B)A．eq\f(17,12)πm2B．eq\f(77,12)πm2C．eq\f(25,4)πm2D．eq\f(17,6)πm22．(2021·遂寧中考)如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O分別與BC，AC交于點(diǎn)D，E，過點(diǎn)D作DF⊥AC，垂足為點(diǎn)F，若⊙O的半徑為4eq\r(3)，∠CDF＝15°，則陰影部分的面積為(A)A．16π－12eq\r(3) B．16π－24eq\r(3)C．20π－12eq\r(3) D．20π－24eq\r(3)3．(2021·聊城中考)用一塊弧長(zhǎng)16πcm的扇形鐵片，做一個(gè)高為6cm的圓錐形工件側(cè)面(接縫忽略不計(jì))，那么這個(gè)扇形鐵片的面積為__80π__cm2.4．(2021·東營(yíng)中考)如圖，在?ABCD中，E為BC的中點(diǎn)，以E為圓心，BE長(zhǎng)為半徑畫弧交對(duì)角線AC于點(diǎn)F，若∠BAC＝60°，∠ABC＝100°，BC＝4，則扇形BEF的面積為____．5．(2021·濟(jì)寧中考)如圖，△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，AC＝4，點(diǎn)O為BC的中點(diǎn)，以O(shè)為圓心，以O(shè)B為半徑作半圓，交AC于點(diǎn)D，則圖中陰影部分的面積是____．6．(2021·邵陽(yáng)中考)某種冰激凌的外包裝可以視為圓錐，它的底面圓直徑ED與母線AD長(zhǎng)之比為1∶2.制作這種外包裝需要用如圖所示的等腰三角形材料，其中AB＝AC，AD⊥BC.將扇形AEF圍成圓錐時(shí)，AE，AF恰好重合．(1)求這種加工材料的頂角∠BAC的大小；(2)若圓錐底面圓的直徑ED為5cm，求加工材料剩余部分(圖中陰影部分)的面積．(結(jié)果保留π)【解析】(1)設(shè)∠BAC＝n°.由題意得π·DE＝eq\f(nπ·AD,180)，AD＝2DE，∴n＝90，∴∠BAC＝90°；(2)∵AD＝2DE＝10(cm)，∴S陰＝eq\f(1,2)·BC·AD－S扇形AEF＝eq\f(1,2)×10×20－eq\f(90π·102,360)＝(100－25π)cm2.7.(2021·麗水中考)如圖，在△ABC中，AC＝BC，以BC為直徑的半圓O交AB于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作半圓O的切線，交AC于點(diǎn)E.(1)求證：∠ACB＝2∠ADE；(2)若DE＝3，AE＝eq\r(3)，求eq\o(CD,\s\up8(︵))的長(zhǎng)．【解析】(1)連接OD，CD，∵DE是⊙O的切線，∴∠ODE＝90°，∴∠ODC＋∠EDC＝90°，∵BC為⊙O直徑，∴∠BDC＝90°，∴∠ADC＝90°，∴∠ADE＋∠EDC＝90°，∴∠ADE＝∠ODC，∵AC＝BC，∴∠ACB＝2∠DCE＝2∠OCD，∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD，∴∠ACB＝2∠ADE；(2)由(1)知，∠ADE＋∠EDC＝90°，∠ADE＝∠DCE，∴∠AED＝90°，∵DE＝3，AE＝eq\r(3)，∴AD＝eq\r(32＋（\r(3)）2)＝2eq\r(3)，tanA＝eq\r(3)，∴∠A＝60°，∵AC＝BC，∴△ABC是等邊三角形，∴∠B＝60°，BC＝AB＝2AD＝4eq\r(3)，∴∠COD＝2∠B＝120°，OC＝2eq\r(3)，∴eq\o(CD,\s\up8(︵))的長(zhǎng)為eq\f(nπr,180)＝eq\f(120·π×2\r(3),180)＝eq\f(4\r(3)π,3).8.(2021·襄陽(yáng)中考)如圖，直線AB經(jīng)過⊙O上的點(diǎn)C，直線BO與⊙O交于點(diǎn)F和點(diǎn)D，OA與⊙O交于點(diǎn)E，與DC交于點(diǎn)G，OA＝OB，CA＝CB.(1)求證：AB是⊙O的切線；(2)若FC∥OA，CD＝6，求圖中陰影部分面積．【解析】(1)連接OC，∵OA＝OB，CA＝CB，∴OC⊥AB，∵OC是⊙O的半徑，∴AB是⊙O的切線；(2)∵DF是⊙O的直徑，∴∠DCF＝90°，∵FC∥OA，∴∠DGO＝∠DCF＝90°，∴OG⊥CD，∴DG＝eq\f(1,2)CD＝eq\f(1,2)×6＝3，∵OD＝OC，∴∠DOG＝∠COG，∵OA＝OB，AC＝CB，∴∠AOC＝∠BOC，∴∠DOE＝∠AOC＝∠BOC＝eq\f(1,3)×180°＝60°，在Rt△ODG中，∵sin∠DOG＝eq\f(DG,OD)，cos∠DOG＝eq\f(OG,OD)，∴OD＝eq\f(DG,sin∠DOG)＝eq\f(3,\f(\r(3),2))＝2eq\r(3)，OG＝OD·cos∠DOG＝2eq\r(3)×eq\f(1,2)＝eq\r(3)，∴S陰影＝S扇形ODE－S△DOG＝eq\f(60π·（2\r(3)）2,360)－eq\f(1,2)×eq\r(3)×3＝2π－eq\f(3\r(3),2).【素養(yǎng)提升題】(2021·隨州中考)等面積法是一種常用的、重要的數(shù)學(xué)解題方法．它是利用“同一個(gè)圖形的面積相等”、“分割圖形后各部分的面積之和等于原圖形的面積”、“同底等高或等底同高的兩個(gè)三角形面積相等”等性質(zhì)解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題，在解題中，靈活運(yùn)用等面積法解決相關(guān)問題，可以使解題思路清晰，解題過程簡(jiǎn)便快捷．(1)在直角三角形中，兩直角邊長(zhǎng)分別為3和4，則該直角三角形斜邊上的高的長(zhǎng)為__________，其內(nèi)切圓的半徑長(zhǎng)為________；(2)①如圖1，P是邊長(zhǎng)為a的正△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，點(diǎn)O為△ABC的中心，設(shè)點(diǎn)P到△ABC各邊距離分別為h1，h2，h3，連接AP，BP，CP，由等面積法，易知eq\f(1,2)a(h1＋h2＋h3)＝S△ABC＝3S△OAB，可得h1＋h2＋h3＝__________________；(結(jié)果用含a的式子表示)②如圖2，P是邊長(zhǎng)為a的正五邊形ABCDE內(nèi)任意一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P到五邊形ABCDE各邊距離分別為h1，h2，h3，h4，h5，參照①的探索過程，試用含a的式子表示h1＋h2＋h3＋h4＋h5的值．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(參考數(shù)據(jù)：tan36°≈\f(8,11)，tan54°≈\f(11,8)))(3)①如圖3，已知⊙O的半徑為2，點(diǎn)A為⊙O外一點(diǎn)，OA＝4，AB切⊙O于點(diǎn)B，弦BC∥OA，連接AC，則圖中陰影部分的面積為__________；(結(jié)果保留π)②如圖4，現(xiàn)有六邊形花壇ABCDEF，由于修路等原因需將花壇進(jìn)行改造，若要將花壇形狀改造成五邊形ABCDG，其中點(diǎn)G在AF的延長(zhǎng)線上，且要保證改造前后花壇的面積不變，試確定點(diǎn)G的位置，并說明理由．【解析】(1)如圖所示，AC＝3，BC＝4，∠ACB＝90°，∴AB＝eq\r(32＋42)＝5，設(shè)斜邊上高為h，由等面積法可知：AC·BC＝h·AB，h＝eq\f(AC·BC,AB)＝eq\f(3×4,5)＝eq\f(12,5)；設(shè)其內(nèi)切圓半徑為r，利用分割圖形后各部分的面積之和等于原圖形的面積可得：S△ABC＝S△ACO＋S△BCO＋S△ABO.即3×4÷2＝eq\f(1,2)AC·r＋eq\f(1,2)BC·r＋eq\f(1,2)AB·r，即eq\f(1,2)r(AC＋BC＋AB)＝6，∴r＝eq\f(12,AC＋BC＋AB)＝eq\f(12,3＋4＋5)＝1.答案：eq\f(12,5)1(2)①：由已知圖可知，△ABC的面積為eq\f(1,2)a·eq\f(\r(3),2)a＝eq\f(\r(3),4)a2，由等面積法，易知eq\f(1,2)a(h1＋h2＋h3)＝S△ABC＝eq\f(\r(3),4)a2，解得：h1＋h2＋h3＝eq\f(\r(3),2)a.答案：eq\f(\r(3),2)a②：類比①中方法可知eq\f(1,2)a(h1＋h2＋h3＋h4＋h5)＝S五邊形ABCDE，設(shè)點(diǎn)O為正五邊形ABCDE的中心，連接OA，OB，如圖2，易知S五邊形ABCDE＝5S△OAB，過O作OQ⊥AB于點(diǎn)Q，∠EAB＝eq\f(1,5)×180°×(5－2)＝108°，故∠OAQ＝54°，OQ＝AQ·tan54°＝eq\f(1,2)atan54°，故eq\f(1,2)a(h1＋h2＋h3＋h4＋h5)＝5×eq\f(1,2)a×eq\f(1,2)atan54°，從而得到：h1＋h2＋h3＋h4＋h5＝eq\f(5,2)atan54°≈eq\f(55,16)a.(3)①：若以BC作為△OCB和△ACB的底，則△OCB和△ACB等高，∴S△OCB＝S△ACB.∴圖中陰影部分的面積即為扇形OCB的面積．∵AB切⊙O于點(diǎn)B，∴∠OBA＝90°，又OB＝2，OA＝4，∴∠OAB＝30°，∠AOB＝60°，∵BC∥OA，∴∠OBC＝∠AOB＝60°，∴△OCB