重難專題04 證一條線段等于兩條線段和差問題（原卷版）

重難專題04證一條線段等于兩條線段和差問題如圖所示，，，分別是，的平分線，點E在上，求證：．【分析】運用截長補短的方法，在上取點F，使，由角平分線定義得，，可證，得，結合平行線的性質可證，進一步證得，所以，得證結論．【詳解】在上取點F，使

∵，分別是，的平分線∴，∵∴在和中∴∴∴∵∴在和中，∴∴∵∴．【點撥】本題考查角平分線的定義，平行線的性質，全等三角形的判定和性質；運用截長補短的方法構造全等三角形求證線段相等是解題的關鍵．已知：如圖，在中，，、分別為、上的點，且、交于點．若、為的角平分線．(1)求的度數(shù)；(2)若，，求的長．【分析】（1）由題意，根據，即可解決問題；（2）在上截取，連接．只要證明，推出，，再證明，推出，由此即可解決問題．【詳解】（1）解：、分別為的角平分線，，，，；（2）解：在上截取，連接．、分別為的角平分線，，，，在和中，，，，，在和中，，，，．【點撥】本題考查等腰三角形的判定和性質、全等三角形的判定和性質、角平分線的定義等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線構造全等三角形解決問題．如圖，在中，，的角平分線交于D，交的角平分線于E，過點E作，交于點F，求證：．【分析】延長，相交于點M，分別證明和即可得解．【詳解】證明：延長，相交于點M，∵，∴，∵平分，平分，∴，∴，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，，，∵平分，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴．【點撥】本題考查角平分線的定義和全等三角形的判定和性質．熟練掌握角平分線的定義，通過添加輔助線證明三角形全等是解題的關鍵．已知的高AD所在直線與高BE所在直線相交于點F，過點F作，交直線AB于點G．(1)如圖，若為銳角三角形，．求證：①，②．(2)如圖，當為135°時，寫出FG，DC，AD之間的等量關系，說明相應理由．【分析】（1）①可以證明為等腰直角三角形，得到AD＝BD，再利用ASA判定三角形全等即可；②由上一小問中三角形全等可知DF＝DC，再去證明FA＝FG，則FG+DC＝FA+DF＝AD；（2）易知△ABD、△AGF為等腰直角三角形，BD＝AD，F(xiàn)G＝AF＝AD+DF，再證明△BDF≌△ADC，得到DF＝DC，則得到FG＝DC+AD．【詳解】（1）①證明：∵∠ADB＝90°，∠ABC＝45°，∴∠BAD＝∠ABC＝45°，∴AD＝BD，∵∠BEC＝90°，∴∠CBE+∠C＝90°又∵∠DAC+∠C＝90°，∴∠CBE＝∠DAC，∵∠FDB＝∠CDA＝90°，∴△FDB≌△CDA（ASA）②∵FDB≌△CDA，∴DF＝DC；∵GFBC，∴∠AGF＝∠ABC＝45°，∴∠AGF＝∠BAD，∴FA＝FG，∴FG+DC＝FA+DF＝AD．（2）FG、DC、AD之間的數(shù)量關系為：FG＝DC+AD．理由：∵∠ABC＝135°，∴∠ABD＝45°，△ABD、△AGF皆為等腰直角三角形，∴BD＝AD，F(xiàn)G＝AF＝AD+DF，∵∠FAE+∠DFB＝∠FAE+∠DCA＝90°，∴∠DFB＝∠DCA，又∵∠FDB＝∠CDA＝90°，BD＝AD，∴△BDF≌△ADC（AAS），∴DF＝DC，∴FG、DC、AD之間的數(shù)量關系為：FG＝DC+AD．【點撥】本題綜合考查了三角形全等的判定和性質，利用三角形全等證明線段相等是經常使用的重要方法，注意熟練掌握．已知，中，，，直線m過點A，且于D，于E，當直線m繞點A旋轉至圖1位置時，我們可以發(fā)現(xiàn)．(1)當直線m繞點A旋轉至圖2位置時，問：與、的關系如何？請予證明；(2)直線m在繞點A旋轉一周的過程中，、、存在哪幾種不同的數(shù)量關系？（直接寫出，不必證明）【分析】（1）利用條件證明，再結合線段的和差可得出結論；（2）根據圖，可得、、存在3種不同的數(shù)量關系；【詳解】（1）證明：如圖2，∵，，∴，∴．∵，∴，∴．在和中，，∴（AAS），∴，∵，∴．（2）直線m在繞點A旋轉一周的過程中，、、存在3種不同的數(shù)量關系：，，．如圖1時，，如圖2時，，如圖3時，，（證明同理）【點撥】本題主要考查三角形全等，注意證三角形全等的方法及三角形全等后的性質．（1）如圖1，已知中，90°，，直線經過點直線，直線，垂足分別為點．求證：．（2）如圖2，將（1）中的條件改為：在中，三點都在直線上，并且有．請寫出三條線段的數(shù)量關系，并說明理由．【分析】（1）利用已知得出∠CAE=∠ABD，進而利用AAS得出則△ABD≌△CAE，即可得出DE=BD+CE；（2）根據∠BDA=∠AEC=∠BAC，得出∠CAE=∠ABD，在△ADB和△CEA中，根據AAS證出△ADB≌△CEA，從而得出AE=BD，AD=CE，即可證出DE=BD+CE；【詳解】（1）DE=BD+CE．理由如下：∵BD⊥，CE⊥，∴∠BDA=∠AEC=90°又∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠CAE=90°，∠BAD+∠ABD=90°，∴∠CAE=∠ABD在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（AAS）∴BD=AE，AD=CE，∵DE=AD+AE，∴DE=CE+BD；（2），理由如下：∵∠BDA=∠AEC=∠BAC，∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE，∴∠CAE=∠ABD，在△ADB和△CEA中，，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴AE=BD，AD=CE，∴BD+CE=AE+AD=DE；【點撥】本題考查了全等三角形的判定與性質綜合中的“一線三等角”模型：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的對應邊相等．也考查了等邊三角形的判定與性質．一、單選題1．如圖，在四邊形中，是的平分線，且．若，則四邊形的周長為（

）A． B． C． D．2．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，若∠DAB的平分線AE交CD于E，連結BE，且BE也平分∠ABC，則以下的命題中正確的個數(shù)是（）①BC+AD=AB；②Ｅ為CD中點③∠AEB=90°；④S△ABE=S四邊形ABCDA．1 B．2 C．3 D．4二、填空題3．如圖，點E是CD上的一點，Rt△ACD≌Rt△EBC，則下結論：①AC＝BC，②AD∥BE，③∠ACB＝90°，④AD+DE＝BE，成立的有_____個．4．如圖，已知在中，平分，，則___________.（用含的代數(shù)式表示）.三、解答題5．如圖，△ABC中，∠ABC＝60°，AD、CE分別平分∠BAC、∠ACB，AD、CE相交于點P．(1)求∠APC的度數(shù)；(2)若AE＝4，CD＝4，求線段AC的長．6．如圖，△ABC中，∠B＝45°，∠ACB＝30°，CD平分∠ACB，AD⊥CD，求證：CD＝AB＋AD7．如圖，，、分別平分、，與交于點O．（1）求的度數(shù)；（2）說明的理由．8．如圖1，已知AB＝AC，AB⊥AC．直線m經過點A，過點B作BD⊥m于D，CE⊥m于E．我們把這種常見圖形稱為“K”字圖．（1）悟空同學對圖1進行一番探究后，得出結論：DE＝BD＋CE，現(xiàn)請你替悟空同學完成證明過程．（2）悟空同學進一步對類似圖形進行探究，在圖2中，若AB＝AC，∠BAC＝∠BDA＝∠AEC，則結論DE＝BD＋CE，還成立嗎？如果成立，請證明之．9．【問題提出】（1）如圖1，在四邊形ABCD中，，，，E、F分別是BC、CD上的點，探究當為多少度時，使得成立．小亮同學認為：延長FD到點G，使，連接AG，先證明，再證明，則可求出∠EAF的度數(shù)為______；【問題探究】（2）如圖2，在四邊形ABCD中，，，E、F分別是BC、CD上的點，當∠EAF與∠BAD滿足怎樣的數(shù)量關系時，依然有成立，并說明理由．【問題解決】（3）如圖3，在正方形ABCD中，，若的周長為8，求正方形ABCD的面積．10．問題1：在數(shù)學課本中我們研究過這樣一道題目：如圖1，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥MN，AD⊥MN，垂足分別為E、D．圖中哪條線段與AD相等？并說明理由．問題2：試問在這種情況下線段DE、AD、BE具有怎樣的等量關系？請寫出來，不需要說明理由．問題3：當直線CE繞點C旋轉到圖2中直線MN的位置時，試問DE、AD、BE具有怎樣的等量關系？請寫出這個等量關系，并說明理由．11．已知四邊形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB＝BC，∠ABC＝120°，∠MBN＝60°，∠MBN繞B點旋轉，它的兩邊分別交AD，DC（或它們的延長線）于E，F(xiàn)．（1）當∠MBN繞B點旋轉到AE＝CF時（如圖1），求證：△ABE≌△CBF．（2）當∠MBN繞點B旋轉到AE≠CF時，如圖2，猜想線段AE，CF，EF有怎樣的數(shù)量關系，并證明你的猜想．（3）當∠MBN繞點B旋轉到圖3這種情況下，猜想線段AE，CF，EF有怎樣的數(shù)量關系，并證明你的猜想．12．（1）問題背景：如圖1，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E，F(xiàn)分別是BC、CD上的點，且∠EAF＝60°．探究圖中線段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關系．小明同學探究此問題的方法是，延長FD到點G，使DG＝BE，連接AG，先證明ABE≌ADG，再證明AEF≌AGF，可得出結論，他