專題1.5 二次函數(shù)與線段最值面積最值綜合應(yīng)用（四大題型）（解析版）

專題1.5二次函數(shù)與線段最值/面積最值綜合應(yīng)用（四大題型）重難點(diǎn)題型歸納【題型1線段差最大問題】【題型2線段和最小】【題型3周長(zhǎng)最值問題】【題型4求面積最值】【題型1線段差最大問題】【典例1】（2023?汝南縣一模）如圖，已知拋物線過點(diǎn)O（0，0），A（5，5），其對(duì)稱軸為x＝2．（1）求該拋物線的解析式；（2）若點(diǎn)B是拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，且點(diǎn)B在第一象限．①當(dāng)△OAB的面積為15時(shí)，求點(diǎn)B的坐標(biāo)；②在①的條件下，P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PA﹣PB取得最大值時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】（1）y＝x2﹣4x；（2）①點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，8）；②P（﹣2，12）．【解答】解：（1）∵拋物線過點(diǎn)O（0，0），A（5，5），且它的對(duì)稱軸為x＝2，∴拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0），設(shè)拋物線解析式為y＝ax（x﹣4），把A（5，5）代入，得5a＝5，解得：a＝1，∴y＝x（x﹣4）＝x2﹣4x，故此拋物線的解析式為y＝x2﹣4x；（2）①∵點(diǎn)B是拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，且點(diǎn)B在第一象限，∴設(shè)B（2，m）（m＞0），設(shè)直線OA的解析式為y＝kx，則5k＝5，解得：k＝1，∴直線OA的解析式為y＝x，設(shè)直線OA與拋物線對(duì)稱軸交于點(diǎn)H，則H（2，2），∴BH＝m﹣2，∵S△OAB＝15，∴×（m﹣2）×5＝15，解得：m＝8，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，8）；②設(shè)直線AB的解析式為y＝cx+d，把A（5，5），B（2，8）代入得：，解得：，∴直線AB的解析式為y＝﹣x+10，如圖2，當(dāng)PA﹣PB的值最大時(shí)，A、B、P在同一條直線上，∵P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，∴，解得：，（舍去），∴P（﹣2，12）．【變式1-1】（秋?椒江區(qū)校級(jí)月考）如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+3（a≠0）經(jīng)過點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C．（1）求此拋物線的解析式；（2）若點(diǎn)T為對(duì)稱軸直線x＝2上一點(diǎn)，則TC﹣TB的最大值為多少？【解答】解：（1）設(shè)拋物線的表達(dá)式為y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）＝a（x﹣1）（x﹣3）＝a（x2﹣4x+3）＝ax2+bx+3，解得a＝1，故拋物線的表達(dá)式為y＝x2﹣4x+3①；（2）點(diǎn)B關(guān)于函數(shù)對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)A，連接CA交函數(shù)對(duì)稱軸于點(diǎn)T，則點(diǎn)T為所求點(diǎn)，則TC﹣TB＝TC﹣TA＝AC為最大，故TC﹣TB的最大值為AC＝＝，故答案為；【變式1-2】（連云港）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，把與x軸交點(diǎn)相同的二次函數(shù)圖象稱為“共根拋物線”．如圖，拋物線L1：y＝x2﹣x﹣2的頂點(diǎn)為D，交x軸于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），交y軸于點(diǎn)C．拋物線L2與L1是“共根拋物線”，其頂點(diǎn)為P．（1）若拋物線L2經(jīng)過點(diǎn)（2，﹣12），求L2對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；（2）當(dāng)BP﹣CP的值最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；【解答】解：（1）當(dāng)y＝0時(shí)，x2﹣x﹣2＝0，解得x＝﹣1或4，∴A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣2），由題意設(shè)拋物線L2的解析式為y＝a（x+1）（x﹣4），把（2，﹣12）代入y＝a（x+1）（x﹣4），﹣12＝﹣6a，解得a＝2，∴拋物線的解析式為y＝2（x+1）（x﹣4）＝2x2﹣6x﹣8．（2）∵拋物線L2與L1是“共根拋物線”，A（﹣1，0），B（4，0），∴拋物線L1，L2的對(duì)稱軸是直線x＝，∴點(diǎn)P在直線x＝上，∴BP＝AP，如圖1中，當(dāng)A，C，P共線時(shí)，BP﹣PC的值最大，此時(shí)點(diǎn)P為直線AC與直線x＝的交點(diǎn)，∵直線AC的解析式為y＝﹣2x﹣2，∴P（，﹣5）【題型2線段和最小】【典例2】（2023?棗莊）如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過A（﹣1，0），C（0，3）兩點(diǎn)，并交x軸于另一點(diǎn)B，點(diǎn)M是拋物線的頂點(diǎn)，直線AM與y軸交于點(diǎn)D．（1）求該拋物線的表達(dá)式；（2）若點(diǎn)H是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，分別連接MH，DH，求MH+DH的最小值；【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）MH+DH的最小值為；【解答】解：（1）∵拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過A（﹣1，0），C（0，3）兩點(diǎn)，∴，解得：，∴該拋物線的表達(dá)式為y＝﹣x2+2x+3；（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴頂點(diǎn)M（1，4），設(shè)直線AM的解析式為y＝kx+d，則，解得：，∴直線AM的解析式為y＝2x+2，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝2，∴D（0，2），作點(diǎn)D關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)D′（0，﹣2），連接D′M，D′H，如圖，則DH＝D′H，∴MH+DH＝MH+D′H≥D′M，即MH+DH的最小值為D′M，∵D′M＝＝，∴MH+DH的最小值為；【變式2-1】（2023?新疆三模）如圖，拋物線C1：y＝x2﹣2x與拋物線C2：y＝ax2+bx開口大小相同、方向相反，它們相交于O，C兩點(diǎn)，且分別與x軸的正半軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)A，OA＝2OB．?（1）求拋物線C2的解析式；（2）在拋物線C2的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使PA+PC的值最?。咳舸嬖?，求出PA+PC的最小值及點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，說明理由；【答案】（1）y＝﹣x2+4x；（2）（2，2）；【解答】解：（1）令：y＝x2﹣2x＝0，則x＝0或2，即點(diǎn)B（2，0），∵C1、C2：y＝ax2+bx開口大小相同、方向相反，則a＝﹣1，則點(diǎn)A（4，0），將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入C2的表達(dá)式得：0＝﹣16+4b，解得：b＝4，故拋物線C2的解析式為：y＝﹣x2+4x；（2）聯(lián)立C1、C2表達(dá)式并解得：x＝0或3，故點(diǎn)C（3，3），作點(diǎn)C關(guān)于C2對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)C′（1，3），連接AC′交函數(shù)C2的對(duì)稱軸于點(diǎn)P，此時(shí)PA+PC的值最小為：線段AC′的長(zhǎng)度＝3，此時(shí)點(diǎn)P（2，2）；【變式2-2】（2023?紅花崗區(qū)校級(jí)模擬）如圖，拋物線y＝ax2+bx﹣2與x軸交于點(diǎn)A（﹣2，0），B（1，0），與y軸交于點(diǎn)C．（1）求拋物線的解析式；（2）M是拋物線對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求MB+MC的最小值；【答案】（1）y＝x2+x﹣2；（2）2；（3）存在；P（﹣1，﹣2）．【解答】解：（1）將點(diǎn)A（﹣2，0）、B（1，0）代入y＝ax2+bx﹣2，得：，解得，∴y＝x2+x﹣2；（2）如圖，∵A、B關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，∴AM＝BM，∴MB+MC＝AM+MC，當(dāng)A、C、M三點(diǎn)共線時(shí)，MB+MC的值最小，最小值為AC，令x＝0，則y＝﹣2，∴C（0，﹣2），∴AC＝＝2，∴MB+MC的最小值為2；【變式2-3】（2023?瓊山區(qū)校級(jí)三模）如圖，拋物線y＝ax2+3x+c（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（﹣2，0）和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C（0，8），頂點(diǎn)為D，連接AC，CD，DB，P是第一象限內(nèi)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，連接PB，PC，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t．（1）求拋物線的解析式；（2）當(dāng)t為何值時(shí)，△PBC的面積最大？并求出最大面積；（3）M為直線BC上一點(diǎn)，求MO+MA的最小值；【答案】（1）拋物線的解析式為：y＝﹣x2+3x+8；（2）當(dāng)t＝4時(shí)，△PBC的面積最大，最大面積為32；（3）2；【解答】解：（1）將點(diǎn)A（﹣2，0），C（0，8）代入y＝ax2+3x+c中，得，解得：，∴拋物線的解析式為：y＝﹣x2+3x+8；（2）令y＝0，解得x＝﹣2或x＝8，∴B（8，0），∵C（0，8），∴直線BC的解析式為y＝﹣x+8．如圖，過點(diǎn)P作PG⊥x軸，交BC于點(diǎn)G．設(shè)點(diǎn)P（t，﹣t2+3t+8），G（t，﹣t+8）．∴PG＝﹣t2+3t+8﹣（﹣t+8）＝﹣t2+4t．∴S△PBC＝×PG×（xB﹣xO）＝×（﹣t2+4t）×8＝﹣2（t﹣4）2+32，∵﹣2＜0，∴當(dāng)t＝4時(shí)，△PBC的面積最大，最大面積為32；（3）如圖，作點(diǎn)M關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)N，連接AN，交BC于點(diǎn)M，點(diǎn)M即為所求，此時(shí)AN的長(zhǎng)即可為所求；連接ON交BC于點(diǎn)J，分別過點(diǎn)J，N作x軸的垂線，垂足為K，H，則ON⊥BC，JK∥y軸，OJ＝JN，∵B（8，0），C（0，8），∴OB＝OC＝8，∴△OBC是等腰直角三角形，且點(diǎn)J是BC的中點(diǎn)，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，∴△BJK是等腰直角三角形，即∠JOB＝45°，∴JK＝BK＝OK＝4，△ONH是等腰直角三角形，∴NH＝OH＝8，∴AH＝10，在Rt△ANH中，AH＝＝2；【變式2-4】（2023?寧夏）如圖，拋物線y＝ax2+bx+3（a≠0）與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．已知點(diǎn)A的坐標(biāo)是（﹣1，0），拋物線的對(duì)稱軸是直線x＝1．（1）直接寫出點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）在對(duì)稱軸上找一點(diǎn)P，使PA+PC的值最小．求點(diǎn)P的坐標(biāo)和PA+PC的最小值；【答案】（1）點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0）；（2）P（1，2），3；【解答】解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+3（a≠0）的對(duì)稱軸是直線x＝1，∴﹣＝1，∴b＝﹣2a①，∵拋物線y＝ax2+bx+3（a≠0）與x軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（﹣1，0），∴a﹣b+3＝0②，聯(lián)立①②得，解得，∴二次函數(shù)的解析式為y＝﹣x2+2x+3，令y＝0得﹣x2+2x+3＝0，解得x＝3或x＝﹣1，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0）；（2）如圖，連接BC，線段BC與直線x＝1的交點(diǎn)就是所求作的點(diǎn)P，設(shè)直線CB的表達(dá)式為y＝kx+b′，把C（0，3）和B（3，0）代入得：解得，∴直線CB的表達(dá)式為y＝﹣x+3，∴當(dāng)x＝1時(shí)，y＝2，∴P（1，2），∵OB＝OC＝3，在Rt△BOC中，BC＝，∵點(diǎn)A，B關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，∴PA＝PB，∴PA+PC＝PB+PC＝BC＝3；【題型3周長(zhǎng)最值問題】【典例3】（2023?張家界）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象與x軸交于點(diǎn)A（﹣2，0）和點(diǎn)B（6，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，6）．點(diǎn)D為線段BC上的一動(dòng)點(diǎn)．（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）如圖1，求△AOD周長(zhǎng)的最小值；【答案】（1）拋物線的表達(dá)式為y＝﹣x2+2x+6；（2）△AOD周長(zhǎng)的最小值為12；【解答】解：（1）由題意可知，設(shè)拋物線的表達(dá)式為y＝a（x+2）（x﹣6），將（0，6）代入上式得：6＝a（0+2）（0﹣6），解得，∴拋物線的表達(dá)式為y＝﹣（x+2）（x﹣6）＝﹣x2+2x+6；（2）作點(diǎn)O關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)E，連接EC、EB，∵B（6，0），C（0，6），∠BOC＝90°，∴OB＝OC＝6，∵O、E關(guān)于直線BC對(duì)稱，∴四邊形OBEC為正方形，∴E（6，6），連接AE，交BC于點(diǎn)D，由對(duì)稱性|DE|＝|DO|，此時(shí)|DO|+|DA|有最小值為AE的長(zhǎng)，∴AE＝＝＝10，∵△AOD的周長(zhǎng)為DA+DO+AO，AO＝2，DA+DO的最小值為10，∴△AOD的周長(zhǎng)的最小值為10+2＝12，【變式3-1】（2023?盤錦三模）如圖，已知拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A，B，AB＝2，與y軸交于點(diǎn)C，對(duì)稱軸為直線x＝2．（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）設(shè)P為對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，求△APC周長(zhǎng)的最小值；?【答案】（1）y＝x2﹣4x+3；（2）3+；【解答】解：（1）∵AB＝2，對(duì)稱軸為直線x＝2．∴點(diǎn)A的坐標(biāo)是（1，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)是（3，0）．∵拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A，B，∴1、3是關(guān)于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的兩根．由韋達(dá)定理，得1+3＝﹣b，1×3＝c，∴b＝﹣4，c＝3，∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y＝x2﹣4x+3；（2）如圖1，連接AC、BC，BC交對(duì)稱軸于點(diǎn)P，連接PA．由（1）知拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y＝x2﹣4x+3，A（1，0），B（3，0），∴C（0，3），∴BC＝＝3，AC＝＝．∵點(diǎn)A、B關(guān)于對(duì)稱軸x＝2對(duì)稱，∴PA＝PB，∴PA+PC＝PB+PC．此時(shí)，PB+PC＝BC．∴點(diǎn)P在對(duì)稱軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，（PA+PC）的最小值等于BC．∴△APC的周長(zhǎng)的最小值＝AC+AP+PC＝AC+BC＝3+；【變式3-2】（富拉爾基區(qū)模擬）如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+3（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B（﹣3，0），與y軸交于點(diǎn)C．（1）求拋物線解析式；（2）若M是拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，則△ACM周長(zhǎng)的最小值為多少？【解答】解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+3（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B（﹣3，0），∴，解得，∴拋物線解析式為y＝﹣x2﹣2x+3；（2）∵△ACM周長(zhǎng)的值最小，∴MC+AM的值最小，即點(diǎn)M即為直線BC與拋物線對(duì)稱軸的交點(diǎn)，∴△ACM周長(zhǎng)的最小值為BC+AC，∵點(diǎn)B（﹣3，0），C（0，3），∴BC＝＝3，AC＝＝，∴△ACM周長(zhǎng)的最小值為，故答案為：；【變式3-3】（2022?齊河縣模擬）如圖1，拋物線y＝ax2+bx+3過A（1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C．（1）求拋物線的函數(shù)解析式；（2）在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)M，使△ACM的周長(zhǎng)最??？若存在，求出△ACM周長(zhǎng)的最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【解答】解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+3過A（1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)，∴方程ax2+bx+3＝0的兩根為x＝1或x＝3，∴1+3＝﹣，1×3＝，∴a＝1，b＝﹣4，∴二次函數(shù)解析式是y＝x2﹣4x+3；（2）∵二次函數(shù)解析式是y＝x2﹣4x+3，∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝2，C（0，3）．∵點(diǎn)A、B關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，∴點(diǎn)M為BC與對(duì)稱軸的交點(diǎn)時(shí)，MA+MC＝BC的值最小．設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+t（k≠0），則，解得：．∴直線BC的解析式為y＝﹣x+3．∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝2．∴當(dāng)x＝2時(shí)，y＝1．∴拋物線對(duì)稱軸上存在點(diǎn)M（2，1）符合題意，∵A（1，0）、B（3，0），C（0，3）．∴AC＝＝，BC＝＝3，∴AC+BC＝+3，∴在拋物線的對(duì)稱軸上存在點(diǎn)M，使△ACM的周長(zhǎng)最小，△ACM周長(zhǎng)的最小值為+3；【題型4求面積最值】【典例4】（2023?阜新）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝﹣x2+bx﹣c的圖象與x軸交于點(diǎn)A（﹣3，0）和點(diǎn)B（1，0），與y軸交于點(diǎn)C．（1）求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式．（2）如圖1，二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸與直線AC：y＝x+3交于點(diǎn)D，若點(diǎn)M是直線AC上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求△MCD面積的最大值．【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；（2）；（3）Q（3﹣，﹣）或（3+，）．【解答】解：（1）由題意得，y＝﹣（x+3）（x﹣1）＝﹣x2﹣2x+3；（2）如圖1，作MQ⊥AC于Q，作ME⊥AB于F，交AC于E，∵OA＝OC＝3，∠AOC＝90°，∴∠CAO＝∠ACO＝45°，∴∠MEQ＝∠AEF＝90°﹣∠CAO＝45°，拋物線的對(duì)稱軸是直線：x＝，∴y＝x+3＝﹣1+3＝2，∴D（1，2），∵C（0，3），∴CD＝，故只需△MCD的邊CD上的高最大時(shí)，△MCD的面積最大，設(shè)過點(diǎn)M與AC平行的直線的解析式為：y＝x+m，當(dāng)直線y＝x+m與拋物線相切時(shí)，△MCD的面積最大，由x+m＝﹣x2﹣2x+3得，x2+3x+（m﹣3）＝0，由Δ＝0得，32﹣4（m﹣3）＝0得，m﹣3＝，∴x2+3x+＝0，∴x1＝x2＝﹣，∴y＝﹣（﹣）2﹣2×+3＝，y＝x+3＝﹣+3＝，∴ME＝，∴MQ＝ME?sin∠MEQ＝ME?sin45°＝，∴S△MCD最大＝＝；【變式4-1】（2022秋?曲周縣期末）如圖1，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A（2，0），B（﹣4，0）兩點(diǎn)．（1）求該拋物線的解析式；（2）在拋物線的第二象限圖象上是否存在一點(diǎn)P，使得△PBC的面積最大？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)及△PBC的面積最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）將A（2，0），B（﹣4，0）代入得：，解得：，則該拋物線的解析式為：y＝﹣x2﹣2x+8；（3）如圖2，過點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E，P點(diǎn)（x，﹣x2﹣2x+8）（﹣4＜x＜0）∵S△BPC＝S四邊形BPCO﹣S△BOC＝S四邊形BPCO﹣16若S四邊形BPCO有最大值，則S△BPC就最大∴S四邊形BPCO＝S△BPE+S直角梯形PEOC＝BE?PE+OE（PE+OC）＝（x+4）（﹣x2﹣2x+8）+（﹣x）（﹣x2﹣2x+8+8）＝﹣2（x+2）2+24，當(dāng)x＝﹣2時(shí)，S四邊形BPCO最大值＝24，∴S△BPC最大＝24﹣16＝8，當(dāng)x＝﹣2時(shí)，﹣x2﹣2x+8＝8，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣2，8）．【變式4-2】（2023?樂東縣二模）如圖1，拋物線y＝ax2+bx+3與x軸交于點(diǎn)A（﹣3，0），B（1，0），與y軸交于點(diǎn)C，對(duì)稱軸直線x＝m交拋物線于點(diǎn)D，交x軸于點(diǎn)E，連接AD，CD．（1）求該拋物線的表達(dá)式以及m的值；（2）求四邊形OADC的面積；?【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；（2）；【解答】解：（1）將點(diǎn)A（﹣3，0），B（1，0）代入y＝ax2+bx+3，∴，解得，∴拋物線的解析式為y＝﹣x2﹣2x+3，∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，∴對(duì)稱軸為直線x＝﹣1，∴m＝﹣1；（2）令x＝0，則y＝3，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3），當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＝﹣（﹣1）2+2+3＝4，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣1，4），∴OC＝3，OE＝1，DE＝4，AE＝3﹣1＝2，∴S四邊形OADC＝S△ADE+S梯形OCDE＝2×4+×（3+4）×＝；【變式4-3】（2023?東坡區(qū)模擬）已知拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）過A（﹣1，0），B（﹣3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，OC＝3．（1）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）點(diǎn)P為拋物線在直線BC下方圖形上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PBC面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；【答案】（1）D（﹣2，﹣1）；（2）P（﹣，﹣）；【解答】（1）根據(jù)題意，將A（﹣1，0），B（﹣3，0）代入函數(shù)表達(dá)式，則y＝a（x+1）（x+3）＝a（x2+4x+3），∵OC＝3，解得：a＝1，故拋物線的表達(dá)式為：y＝x2+4x+3，則頂點(diǎn)D（﹣2，﹣1）；（2）將點(diǎn)B（﹣3，0）、C（0，3）代入：y＝mx+n，則一次函數(shù)y＝x+3，過點(diǎn)P作y軸的平行線交BC于點(diǎn)N，設(shè)點(diǎn)P（x，x2+4x+3），則點(diǎn)N（x，x+3），則?|OB|＝（x+3﹣x2﹣4x﹣3）＝﹣（x2+3x）﹣＜0，∵﹣＜0，故S△PBC有最大值，此時(shí)x＝﹣．故點(diǎn)P（﹣，﹣）；【變式4-4】（2023?肇東市三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象與x軸交于A，B點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，3），點(diǎn)A在原點(diǎn)的左側(cè)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），點(diǎn)P是拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且在直線BC的上方．（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△BPC的面積最大？請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)和△BPC面積的最大值．【答案】（1）二次函數(shù)的解析式為y＝﹣x2+2x+3．（2）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（），△CPB的面積的最大值為．【解答】解：（1）將B（3，0），C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，得，解得，∴二次函數(shù)的解析式為y＝﹣x2+2x+3．答：二次函數(shù)的解析式為y＝﹣x2+2x+3．（2）如圖，過點(diǎn)P作y軸的平行線與BC交于點(diǎn)Q，設(shè)P（x，﹣x2+2x+3），直線BC的解析式為y＝mx+n，則，解得，∴直線BC的解析式為y＝﹣x+3，則Q（x，﹣x+3），∴＝，當(dāng)x＝時(shí)，△CPB的面積最大，此時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（），△CPB的面積的最大值為．【變式4-5】（2022秋?朝陽(yáng)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y＝ax2+b