2022-2023學年江蘇省泰州市靖江高級中學高一年級上冊期末數(shù)學試題（解析版）

2022-2023學年江蘇省泰州市靖江高級中學高一上學期期末數(shù)學試題

一、單選題

I.已知集合4y="^,xeN},B={0』,2,3,4,5},則A與8之間的關(guān)系是（）

A.A=BB.AC.AGBD.A=B

【答案】D

【分析】計算得到A={0,1,2,3,4},據(jù)此得到集合的關(guān)系.

【詳解】A={x|y=^4^,xeN}={0,1,2,3,4},8={0,1,2,3,4,5},

故A=3錯誤；3。A錯誤，A錯誤；Au3正確.

故選：D

2.“角A為鈍角”是“角4€6,兀卜的（）條件

A.充分不必要B.必要不充分

C.充要D.既不充分也不必要

【答案】C

【分析】利用充分、必要條件的概念即得.

【詳解】由角A為鈍角可推出角

由角Aegj可推出角A為鈍角，

所以“角A為鈍角”是“角4?信兀）”的充要條件.

故選：C

3.以下四組數(shù)中大小關(guān)系正確的是（）

0303

A.log3l47t<logn3.14B.O.5<0,4

C.兀42<兀皿D.0.4M<0.1°-7

【答案】C

【分析】結(jié)合指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、幕函數(shù)性質(zhì)即可求解.

【詳解】對A,log314n>l,log?3.14<l,故log”47t>log,3.14,錯誤；

對B,y=x03在第一象限為增函數(shù)，故0.5。-、>0.403,錯誤；

對C,y=k'為增函數(shù)，故;正確;

對D,0.40J>0.1°3,0.1°3>0.1°7,故0.4°3>O.l07,錯誤；

故選：C

4.已知x,ycR,角。的頂點在坐標原點，始邊與X軸的非負半軸重合,終邊上有兩點A（X,1）,B（-2,y）

且sin6?=g,則（）

A.±4B.-2C.±2D.4

【答案】B

【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義即得.

【詳解】由三角函數(shù)的定義可知1

即孫=-2.

故選：B.

5.某同學參加研究性學習活動，得到如下實驗數(shù)據(jù)：

X1.02.04.08.0

y0.010.992.023

現(xiàn)欲從理論上對這些數(shù)據(jù)進行分析并預(yù)測，則下列模擬函數(shù)合適的是（）A.y=log2x

B.y=2xC.y=x2+2x-3D.y=2x-3

【答案】A

【分析】由表中數(shù)據(jù)的增大趨勢和函數(shù)的單調(diào)性判斷可得選項.

【詳解】解：由表中的數(shù)據(jù)看出：），隨x的增大而增大，且增大的幅度越來越小，

而函數(shù)y=21y=d+2x-3在（（）,+8）的增大幅度越來越大，函數(shù)y=2x-3呈線性增大，只有函數(shù)

y=log,x與已知數(shù)據(jù)的增大趨勢接近，

故選：A.

6.已知函數(shù)/（x）=x-e-，的部分函數(shù)值如下表所示

X10.50.750.6250.5625

“X)0.6321-0.10650.27760.0897-0.007

那么函數(shù)/(X)的一個零點的近似值(精確度為0.1)為()A.().55B.0.57C.0.65D.0.7

【答案】B

【分析】根據(jù)給定條件直接判斷函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合零點存在性定理判斷作答.

【詳解】函數(shù)〃x)=x-1口在R上單調(diào)遞增，

由數(shù)表知：/(0.5)</(0.5625)<0<./(0.625)</(0.75)</(I),

由零點存在性定義知，函數(shù)f(x)的零點在區(qū)間(0.5625,0.625)內(nèi),

所以函數(shù)/(x)的一個零點的近似值為0.57.

故選：B

7.函數(shù)y=log,(x—l)+13>0且“xl)的圖象恒過定點A,且A點在直線如+〃y=l上,

的>0,〃>0),則空1+2的最小值為()

mn

A.6+2&B.10C.8+20D.8

【答案】B

【分析】先得出42,1),再由基本不等式得出答案.

【詳解】當x-l=l時，y=10gfll+l=l,即函數(shù)的圖象恒過定點A(2,l),

因為A在直線mx+〃y-l=0上，所以2〃?+"=1,

2m+1212Al2、n4/?i

---------1—=2H----1—=2+(2n?+〃)—I—=6H-----1----->6+2

tnntnn\mn)mn

當且僅當”=2/n=!時，取等號，即空1+2的最小值為10.

2mn

故選：B

8.設(shè)函數(shù)/(x)=2sin?x+夕)-1(0>0,04/4"與83=3(；_￥+。)有相同的對稱軸,且/(力在

［。，5句內(nèi)恰有3個零點，則9的取值范圍為()

71兀

B.

畤392

兀兀

D.

3,2

【答案】D

［分析］根據(jù)“X)與g(x)有相同對稱軸，求出。的值，對“X)的相位進行換元，根據(jù)0404］,確定定

義域大致范圍，畫出新函數(shù)圖象，分夕在第一個零點前后兩種情況討論,根據(jù)有3個零點，寫出不等式求

出范圍即可.

【詳解】解:由題知，因為/（X）與g（X）有相同對稱軸,

所以0=g,

即/（x）=2sin（；x+0）-l,O494^,

1「5兀

令+*，萬+9,

571

即y=2sinf-l在（p,^+（p上有3個零點，

7T57r57r

因為所以三4三+夕437t

y=2sin，-l在夕，弓~+夕上有3個零點,

r令13冗，5兀17K

只需=4?+9<丁，

oZo

解得亨夕嚀

故049J；

6

當言夕三吐

62

y=2sinz-l在0,g+g上有3個零點,

lr17兀，5兀，c

只需——<—+（p<3ii,

62

解得90日，

綜上:0494或白尹蕓.

632

故選:D

二、多選題

9.下列結(jié)論正確的是()

A.若兩個函數(shù)的定義域與值域相同，則這兩個函數(shù)為同一個函數(shù)

X

B.函數(shù)、=耳寸的定義域為

C.若函數(shù)yTog的MV+x+a)的值域為R，則實數(shù)”的取值范圍為

D.函數(shù)y=/(x)的定義域為［T3］則y=/(x)+〃—x)的定義域為

【答案】BD

【分析】利用特例可判斷A,求函數(shù)的定義域可判斷B,根據(jù)對數(shù)函數(shù)及二次函數(shù)的性質(zhì)可判斷C,

根據(jù)抽象函數(shù)的定義域可判斷D.

【詳解】對于A,如y=21與y=2*定義域與值域相同，但不是同一個函數(shù)，故A不正確;

XX

X

對于B,函數(shù)y=定義域為(1，y)，故B正確;

y/x-l

對于C,要使函數(shù)丁=1082023卜2+犬+。)的值域為區(qū)，令yV+x+a,則A=l-4a20naq,故C

錯誤;

對于D,因為函數(shù)y=/(x)定義域為［-1,3］,則要使y=/(x)+/(-x)有意義，必須

-14x43

=^>-1<X<1

-l<-x<3

所以y=〃x)+〃-x)定義域為［-1,1］,故D正確.

故選：BD.

10.函數(shù)〃x)=2sin(2x-￡|+l,則下列結(jié)論正確的為()

A.函數(shù)〃x)的圖象關(guān)于總,0卜寸稱

B.函數(shù)“X)的圖象關(guān)于直線x對稱

C.若xe?,則函數(shù)/(x)的值域為［1-6,1+6］

D.函數(shù)“X)的單調(diào)減區(qū)間為也+卷兀,也+勞兀(ZeZ)

【答案】BD

【分析】代入驗證正弦型函數(shù)的對稱性判斷AB,求正弦型函數(shù)在給定區(qū)間的值域判斷C,求解正弦

型函數(shù)的遞減區(qū)間判斷D.

【詳解】選項A：$巾'弓-5|=0,則函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點目卜寸稱，故A錯誤；

選項B：sin(2x1^-m)=l，則函數(shù)〃x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱，故B正確；

選項C：由xe[o,5,可得一方亨，貝I]42sin12x-g142,1-642sin(2x-1)+l43

即若T。,；],則函數(shù)〃x)的值域為[1-6,3],故C錯誤；

選項D：由2E+￥?2x-工42E+包，％eZ,可得E+型4x4E+小，keZ,

2321212

即函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為E+W兀,也+￡兀(kwZ),故D正確.

故選：BD.

11.下列函數(shù)中，最小值不為4的函數(shù)為()

A.y=x+—B.'=卜問+_I

x|sinx|

C.y=e*+4e*D.y=log3x+logv81

【答案】ABD

【分析】利用基本不等式逐項分析判斷即得.

4

【詳解】對于A,當x<0時,y=x+-<0,所以A最小值不為4；

x

扁>°，卜皿|+忌^2"=4,

對于B,卜而乂>0,

當且僅當卜訪x|=品，

即卜吊目=2時，取得最小值4,但卜皿聞=2無解,故B最小值不為4；

對于C,因為e*>0,所以y=e*+4e-'22,4e*?€-*=4，

當且僅當e*=4ef,即x=ln2時取等號,

所以y=e*+4eT的最小值為4,所以C最小值為4；

對于D,當0cx<1,^=log3x+logA81<0,所以D最小值不為4.

故選：ABD.

12.已知“X)是定義域為R的奇函數(shù)，且滿足:“x+2)=-"x),當x?0,l]時，/(x)=2石,

則下列結(jié)論正確的是()

A.〃x)為周期函數(shù)

B./(-3)=-2

C.不等式/(x)Z0的解集為{x|4A4x44k+2,&eZ}

D.關(guān)于X的方程/(X)=7HT恰有三個不同的解，則機=2

【答案】AC

【分析】利用周期性的定義可判斷A選項，計算出/(-3)的值，可判斷B選項，求出不等式〃x)>0

在-24x42上的解，結(jié)合周期可判斷C選項，數(shù)形結(jié)合可判斷D選項.

【詳解】對于A,由已知可得f(x+4)=-〃x+2)=〃x),故函數(shù)/(x)為周期函數(shù)，A對；

對于B,由A知f(-3)=f(-3+4)=/(l)=2xVi=2,B錯；

對于C,由奇函數(shù)的性質(zhì)可得"0)=0,則〃2)=-40)=0,/(—2)=/(2)=0,

當xw(O,l]時，/(x)=2Vx>0,

當xe[-l,0)時，-xe(O,l],貝i]f(x)=-/(—x)<0,

當x?l,2)時，x-2e(-l,0),則〃x)=-〃x-2)>(),

當2,-1)時,x+2e(O,l),則〃x)=_〃x+2)<0.

故當-2<xV2時，不等式〃上0的解為04x42,

又因為函數(shù)“X)的周期為4,故不等式/(x)20的解集是{X|4AWXV4Z+2,%￡Z},C對；

對于D,作出函數(shù)/(x)與函數(shù)丫=如的部分圖象如下圖所示：

由圖可知，當加=1時，直線y=2x與函數(shù)/(x)的圖象也有三個交點，D錯.

故選：AC

三、填空題

13.已知全集為R,A=伸嗚(x+1)<2},則aA=.

【答案】QA={x|x4-l或X23}

【分析】先化簡集合A,再根據(jù)補集的定義寫出結(jié)果即可.

【詳解】解油題知4=仲。氏(》+1)<2},

解得:A={止l<x<3},

故。4={收_1或xN3}.

故答案為:今4=3=或xN3}

-vl+2sin20sin110…士、」

14.-----------/,的值為__________.

cos20+V1-COS2160

【答案】1

【分析】根據(jù)誘導公式，平方關(guān)系即可解出.

［詳解］原式=Jl+2sin20cos20_“sin20+cos20)_sin20+cos20

cos20+sin160sin20+cos20sin20+cos20

故答案為：1.

15.已知定義在R上的函數(shù)〃x)=202HT-l(feR)為偶函數(shù)，記:a=/(log053),

fe=/(log25),c=/(2r),則4,4c的大小關(guān)系按從大到小排列為.

【答案】b>a>c

【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性及函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合條件即得.

【詳解】因為函數(shù)〃x)=2023M-1(止R)為偶函數(shù)，

所以/(-%)=2023卜T一1=2023M-1=/(X),即2023^=2023HI,

所以f=0,即/(司=2023“-1,函數(shù)在［0,+8)上單調(diào)遞增，

又a=/(log()53)=/(-log23)=/(log,3),c=/(2f)=/(0),log,5>log,3>0,

所以。>a>c.

故答案為：b>a>c.

16.已知〃x)=(x「2+1,廠>?,關(guān)于x的方程嚴(同一3〃x)+a-l=0(aeR)有8個不等的

一廠一2x+l(x<0)

實數(shù)根，貝IJa的取值范圍為.

【答案】0,?)

【分析】令,結(jié)合的圖象將問題轉(zhuǎn)化為“方程r-3f+a-1=0在(1,2)上有兩不等實根”,

利用韋達定理結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)求解出a的取值范圍.

【詳解】作〃x)的圖象如下圖所示,

令/(x)=f,因為關(guān)于x的方程U(x)-3/(x)+a-1=0有8個不等的實數(shù)根，

結(jié)合圖象可知，關(guān)于，的方程，-3f+a-l=0有兩不等實根，記為4,%,且4名6(1,2),

因為4+芍=3,/也=a—1,所以a—1=4(3—4)=—(a—：)+:，

又因為4?1,2),#明即f尸|，所以的取值范圍是(2；),

所以〃的取值范圍是卜，?)，

故答案為：(3,：］.

四、解答題

17.已知角a的終邊經(jīng)過點P(-4,3),

tana

⑴求sin(^-a)-cos^y+a^值；

(2)求sin2a+sinacosa+2cos2a的值.

【答案】(l)-￡

o

29

⑵一

25

【分析】(1)根據(jù)點坐標求出正余弦三角函數(shù)值結(jié)合誘導公式和同角的三角函數(shù)關(guān)系即可求出結(jié)果;

(2)直接代入正余弦值即可.

34

【詳解】(1)由題意sina=g,cosa=--,貝lj

sina

原式_cosa_]__5；

sina+sina2cosa8

/八,42i121629

(2)原式=1+sin2cosa+cos~2=1--+—.

18.已知/(x)=log4x,當尤eW，4時的值域為集合A,關(guān)于x的不等式：([*”>2"(aeR)的解

集為B,集合C={H^^2O1,集合Q={X|，〃+14X<2〃？一1}

(1)若AuB=3,求實數(shù)。的取值范圍；

(2)若OqC,求實數(shù)，”的取值范圍.

【答案】(1)(—,-4);

⑵S，3].

【分析】(1)根據(jù)對數(shù)函數(shù)及指數(shù)函數(shù)性質(zhì)可得集合AB,由題可得AqB,由此列出不等式求解,

即得；

(2)先解分式不等式，根據(jù)OqC,分別討論加+122機-1,6+1<2機-1兩種情況，即得.

【詳解】⑴由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得，“司=1%》在住，41上單調(diào)遞增，

1O

所以其值域A=/(七]，〃4)=[-2,1],

又由(g)>2x(aeR),可得2T3-。)>2，，

所以一3x-a>x,,

4

所以2=1-00,-怖)，

又Au8=8,所以A=8,

所以-=>1,所以a<-4,

即實數(shù)。的取值范圍為(yoT);

(2)由三20,可得小40,

x+lX+1

所以—l<x45,即C=(-l,5],

對于集合。={X|〃Z+14X<2〃?T}UC有:

當利+1之2%一1時，即mK2時，0=0,滿足。qC；

當加+1<2〃2-1時，即機>2時，￡>。0,

m>2

所以vm+l>-l,

2m-l<5

所以2W3；

綜上，實數(shù)m的取值范圍為(—,3].

19.解決下列問題：

⑴若不等式加+(。一2卜-222/—3對于xeR恒成立，求實數(shù)。的范圍；

⑵函數(shù)以力=幺一(〃+1卜+4,若存在xe0,1使得/z(x)4—l成立，求實數(shù)。的范圍.

【答案】(1)24。<6

(2)a<-l

【分析】對于(1),+(a-2)%—2N2x?-3(a-2)d+(a-2)x+120,

分。=2,a*2兩種情況討論可得答案；

對于(2),存在xe0,1使得〃(x)4—l等價于<-1,其中xe0,1

【詳解】(1)+(a-2)x-2之2x~-3<=>(a-2)%2+(a-2)x+120.

①當。=2時，有120,則a=2符合題意；

6?—2>0

②當a*2時，有〈/、2/、=2<aW6.

A=(a-2)-4(a-2)<0

綜上，實數(shù)。的范圍是24a46.

(2)存在xw0,1使得〃(x)4—l等價于Mx%,4—1,其中xe0,g.

又〃(x)=x2-(a+l)x+a=(x-^|^J-SJ,

①當V」<0=>?<-1,網(wǎng)力在0,上單調(diào)遞增，

則〃卜)…=/?(())=a4-1,得此時a4-1；

②當0<<gn-1<a<0時，〃(x)在0,V」)在單調(diào)遞減，在

上單調(diào)遞增，則〃⑺==一反二)<-1

122」IAlin(2J4

=。23或。4—1,結(jié)合—l<a<0,可知此時。不存在；

③當暇2gna20時，〃(x)在0,；上單調(diào)遞減，

則〃(%=嗚)=<-1a<-|,結(jié)合”20,得此時〃不存在.

綜上：實數(shù)〃的范圍是“4-1

20.已知l<a<b<c,且log/+log/=；+log“c.

⑴若c=/,求log/的值；

(2)求log/+log/?的最小值.

【答案】(l)log/=13或2

⑵2+四

37

【分析】(1)由對數(shù)的運算得=解方程可得答案；

log/2

(2)由;+log“c=log/+log...2Jlog/Jog/得(log/)。-31og"C+；..0,解不等式得log?c...|+a,

根據(jù)bg/+logF=g+bg〃c可得答案.

I373

【詳解】(1)由題意，log/+log/3=5+log“/,即log/+e=5,解得log/=：或2.

(2)因為l<a<6<c,所以地/〉］,"/〉［,"/〉］,

所以;+log?c=log/+log/..2jlog//og%c,

因此g+log“c..2jlog.c,即(log“c『-310gtic+；..0,

解得log“c..|+血或log?c?|-V2,

因為10glic>1，所以log“c…g+0，

故log/+log盧=；+log?c..2+>/2,

當log/=log/=1+與時取等號，

所以log/+Qg/的最小值為2+應(yīng).

21.己知函數(shù)/(x)=Asin?x+e)(A>O,<y>O,O<e<兀)在一個周期內(nèi)的圖象如圖所示:

(1)求函數(shù)的解析式，并寫出它是由V=2sin2x的圖象經(jīng)過怎樣的變換而得到的函數(shù)圖象所對應(yīng)

的函數(shù)；

⑵若存在詞0,。吏得關(guān)于x的不等式渙X-?卜2cos設(shè)…成立，求實數(shù)小的最小值.

【答案】⑴/(x)=2sin(2x+尊，向左平移三個單位長度；

。J

⑵1

【分析】(1)由函數(shù)的圖象的頂點坐標求出A,由周期求出。，由五點法作圖求出。的值，可得函數(shù)

的解析式，再由函數(shù)圖象的平移求解即可；

(2)假設(shè)存在與€(05],使得不等式成立，分離參數(shù)可轉(zhuǎn)化為存在X。e使加2.2-sin,2x成

立，求出2-si)2x的最小值即可得解.

1+sin2x

【詳解】⑴由所給函數(shù)圖象可知，A=2,1=^-(-^)=1，即7=兀，

所以。=與=2,又圖象過點(*,2),所以2x(q)+g=]+2E,keZ,

2冗

解得^=—+2kjt,keZ,

2兀

因為0</<兀，所以當左=0時，^=—,

故f(x)=2sin(2x+g).

7Tjr27r

由y=2sin2x的圖象向左平移]個單位長度可得函數(shù)y=sin2(x+-)=sin(2x+y),即

27r

/(x)=2sin(2x+—)的圖象.

(2)存在x°€(0,少,使得關(guān)于X的不等式5/1一5)-128$22》7"成立，

即存在與￡（°，］｝使得關(guān)于x的不等式心in2x22-sin?2x-m成立，

即存在x°ejo,g］,使得,”42-上in12x成立.

12，14-sin2x

當與w（0,，卜寸，sin2xe（0,ll,令，=sin2xc（0,1］時，

*=匕5=1一/+_1_+J_+2為減函數(shù)，

1+r1+rr+1f+1

所以當f=l