專題03 正方形的性質(zhì)與判定（八大類型）（原卷版）

專題03正方形的性質(zhì)與判定（八大類型）【題型1正方形的性質(zhì)】【題型2正方形的判定】【題型3矩形的性質(zhì)與判定綜合運(yùn)用】【題型4正方形中最小值問題】【題型5正方形-對(duì)角互模型】【題型6正方形-半角互模型】【題型7正方形-手拉手模型】【題型8正方形-十字架模型】【題型1正方形的性質(zhì)】1．（2023春?增城區(qū)期中）如圖，在正方形ABCD的外側(cè)作等邊三角形ADE，則∠AEB度數(shù)為（）?A．10° B．15° C．22.5° D．30°2．（2023春?鼓樓區(qū)期中）矩形、正方形都具有的性質(zhì)是（）A．對(duì)角線相等 B．鄰邊相等 C．對(duì)角線互相垂直 D．對(duì)角線平分對(duì)角3．（2023春?張北縣校級(jí)期中）四邊形ABCD是正方形，E為CD．上一點(diǎn)，連接AE，過B作BF⊥AE于E，∠ABF＝30°且，則正方形ABCD的周長為（）A． B． C．24 D．64．（2023?官渡區(qū)校級(jí)模擬）用四根長度相等的木條制作學(xué)具，先制作圖（1）所示的正方形ABCD，測得BD＝10cm，活動(dòng)學(xué)具成圖（2）所示的四邊形ABCD，測得∠A＝120°，則圖（2）中BD的長是（）A．cm B．cm C．cm D．cm5．（2023?龍川縣一模）如圖，P為AB上任意一點(diǎn)，分別以AP，PB為邊在AB同側(cè)作正方形APCD、正方形PBEF，連接AF，BC，設(shè)∠CBE＝x°，∠AFP＝y(tǒng)°，則y與x的關(guān)系為（）A．y＝x B．y＝2x C．y＝180﹣x D．y＝90﹣x6．（2023?巧家縣一模）如圖，在邊長為4cm的正方形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)E，F(xiàn)為線段BC的中點(diǎn)，連接EF，則線段EF的長為（）A． B． C．1 D．27．（2023?新華區(qū)模擬）一個(gè)正方形和一個(gè)直角三角形的位置如圖所示，若∠1＝α，則∠2＝（）A．α﹣45° B．α﹣90° C．270°﹣α D．180°﹣α8．（2023春?蘇州期中）如圖，在正方形ABCD中，E為AD上一點(diǎn)，連接BE，BE交對(duì)角線于點(diǎn)F，連接DF，若∠ABE＝35°，則∠CFD的度數(shù)為（）A．80° B．70° C．75° D．45°9．（2023?碑林區(qū)校級(jí)二模）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)P在對(duì)角線BD上，PE⊥BC，PF⊥CD，E，F(xiàn)分別為垂足，連接AP，EF，若AP＝5，則EF＝（）A．5 B．5 C．2.5 D．10．（2023?五華區(qū)校級(jí)模擬）如圖，有六根長度相同的木條，小明先用四根木條制作了能夠活動(dòng)的菱形學(xué)具，他先將該活動(dòng)學(xué)具調(diào)成圖1所示菱形，測得∠B＝60°，對(duì)角線AC＝10cm，接著將該活動(dòng)學(xué)具調(diào)成圖2所示正方形，最后用剩下的兩根木條搭成了如圖3所示的圖形，連接BE，則圖3中△BCE的面積為（）A．cm2 B．50cm2 C．cm2 D．25cm211．（2023春?天津期中）如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，點(diǎn)E，點(diǎn)F分別是BC，AB上的點(diǎn)，連接DE，DF，EF，滿足∠DEF＝∠DEC．若AF＝1，則EF的長為（）A． B． C． D．12．（2022春?漢陰縣期末）如圖，E、F分別是正方形ABCD的邊CD，AD上的點(diǎn)，且CE＝DF，AE，BF相交于點(diǎn)O，下列結(jié)論①AE＝BF；②AE⊥BF；③AO＝OE；④S△AOB＝S四邊形DEOF中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)13．（2022春?新泰市期中）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)O是對(duì)角線AC、BD的交點(diǎn)，過點(diǎn)O作射線OM、ON分別交BC、CD于點(diǎn)E、F，且∠EOF＝90°，OC、EF交于點(diǎn)G．給出下列結(jié)論：①△COE≌△DOF；②△OBE≌△OCF；③四邊形CEOF的面積為正方形ABCD面積的；④DF2+CE2＝EF2.其中正確的為.（將正確的序號(hào)都填入）14．（2022春?長春期末）小明用四根長度相同的木條制作了能夠活動(dòng)的菱形學(xué)具，他先活動(dòng)學(xué)具成為圖1所示菱形，并測得∠B＝60°，接著活動(dòng)學(xué)具成為圖2所示正方形，并測得正方形的對(duì)角線AC＝40cm，則圖1中對(duì)角線AC的長為cm．【題型2正方形的判定】15．（2023春?黃埔區(qū)期中）下列說法錯(cuò)誤的是（）A．對(duì)角線相等的菱形是正方形 B．對(duì)角線互相平分且垂直的四邊形是菱形 C．對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形 D．對(duì)角線垂直且相等的四邊形是正方形16．（2023?雁塔區(qū)校級(jí)二模）如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，要使該矩形成為正方形，則應(yīng)添加的條件是（）A．CD＝AD B．OD＝CD C．BD＝AC D．∠AOB＝60°17．（2022春?鐵嶺縣期中）小明在學(xué)習(xí)了正方形以后，給同桌小文出了道題：從下列四個(gè)條件：①AB＝BC；②∠ABC＝90°；③AC＝BD；④AC⊥BD中選兩個(gè)作為補(bǔ)充條件，使平行四邊形ABCD為正方形．現(xiàn)有下列四種選法你認(rèn)為錯(cuò)誤的是（）A．①② B．①③ C．②③ D．②④18．（2022?鼓樓區(qū)校級(jí)開學(xué)）如圖，E、F、M、N分別是正方形ABCD四條邊上的點(diǎn)，AE＝BF＝CM＝DN，則四邊形EFMN的形狀是（）A．平行四邊形 B．矩形 C．菱形 D．正方形19．（2022春?河西區(qū)期末）如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)，P，Q分別是正方形ABCD的四條邊上的點(diǎn)，并且AF＝BP＝CQ＝DE，則下列結(jié)論不一定正確的是（）A．∠AFP＝∠BPQ B．EF∥QP C．四邊形EFPQ是正方形 D．四邊形PQEF的面積是四邊形ABCD面積的一半20．（2023?萊西市一模）四邊形ABCD為矩形，E是AB延長線上的一點(diǎn)，AC＝EC．（1）求證：△BCD≌△CBE；（2）△ACE添加一個(gè)條件，矩形ABCD為正方形．請(qǐng)說明理由．21．（2023春?鼓樓區(qū)校級(jí)月考）如圖，在四邊形ABCD中，點(diǎn)E是線段AD上的任意一點(diǎn)（E與A，D不重合），G、F、H分別是BE、BC、CE的中點(diǎn)．連接EF，若BE⊥EC，EF⊥BC，說明：四邊形EGFH是正方形．22．（2022秋?皇姑區(qū)期末）如圖，AD是△ABC的一條角平分線，DE∥AC交AB于點(diǎn)E，DF∥AB交AC于點(diǎn)F．（1）求證：四邊形AEDF是菱形；（2）若∠B＝35°，當(dāng)∠C＝度時(shí)，四邊形AEDF為正方形（直接填空）．23．（2022秋?東港市期末）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D是邊AB的中點(diǎn)，連接CD，過點(diǎn)C作CE∥AB，過點(diǎn)B作BE∥CD，CE，BE交于點(diǎn)E．（1）判斷四邊形CDBE是什么特殊的四邊形，并證明；（2）直接寫出當(dāng)△ABC再滿足什么條件時(shí)，四邊形CDBE是正方形．24．（2022春?隆陽區(qū)期中）如圖，點(diǎn)B，C，F(xiàn)在同一條直線上，AC⊥BF于點(diǎn)C，且AC＝BC，連接AB，取AB的中點(diǎn)D，連接CD，過點(diǎn)A作CE的垂線，垂足為E，已知點(diǎn)E到直線AC和CF的距離相等．求證：四邊形ADCE是正方形．25．（2021秋?平遠(yuǎn)縣期末）如圖，在矩形ABCD中，M，N分別是邊AD，BC的中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是線段BM，CM的中點(diǎn)．（1）判斷四邊形MENF是什么特殊四邊形，并證明你的結(jié)論；（2）當(dāng)AD，AB滿足什么條件時(shí)，四邊形MENF是正方形．【題型3正方形的性質(zhì)與判定綜合運(yùn)用】26．（2023春?任城區(qū)校級(jí)月考）如圖所示△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B的平分線交于D點(diǎn)，DE⊥BC于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F．（1）求證：四邊形CEDF為正方形；（2）若AC＝12，BC＝16，求CE的長．27．（2022春?南譙區(qū)校級(jí)月考）如圖1，四邊形ABCD為正方形，E為對(duì)角線AC上一點(diǎn)，連接DE，BE．（1）求證：BE＝DE；（2）如圖2，過點(diǎn)E作EF⊥DE，交邊BC于點(diǎn)F，以DE，EF為鄰邊作矩形DEFG，連接CG．①求證：矩形DEFG是正方形；②若正方形ABCD的邊長為9，CG＝3，求正方形DEFG的邊長．28．（2022春?海陽市期末）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB，BC上，AF⊥DE，且AF＝DE，AF與DE相交于點(diǎn)G．（1）求證：矩形ABCD為正方形：（2）若AE：EB＝2：1，△AEG的面積為4，求四邊形BEGF的面積．29．（2022春?關(guān)嶺縣期末）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，DE∥AB，交AC于點(diǎn)E，DF∥AC，交AB于點(diǎn)F．（1）求證：四邊形AFDE是正方形；（2）若AD＝3，求四邊形AFDE的面積．30．（2022春?覃塘區(qū)期末）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC，CD邊上，且AE＝AF，∠CEF＝45°．（1）求證：四邊形ABCD是正方形；（2）若，BE＝1，求四邊形ABCD的面積．31．（2022春?交口縣期末）如圖，已知四邊形ABCD和CEFG均是正方形，點(diǎn)K在BC上，延長CD到點(diǎn)H，使DH＝BK＝CE，連接AK，KF，HF，AH．（1）求證：AK＝AH；（2）求證：四邊形AKFH是正方形；（3）若四邊形AKFH的面積為10，CE＝1，求點(diǎn)A，E之間的距離．【題型4正方形中最小值問題】32.（2021春?龍口市期末）如圖，在邊長為6的正方形ABCD中，點(diǎn)P為對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)，PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，則EF的最小值為（）A． B． C．4 D．333.（河西區(qū)一模）如圖，正方形ABCD的邊長為4，E為BC上的一點(diǎn)，BE＝1，F(xiàn)為AB的中點(diǎn)，P為AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PF+PE的最小值為（）A．2 B．4 C． D．234．（銅仁地區(qū)）以邊長為2的正方形的中心O為端點(diǎn)，引兩條相互垂直的射線，分別與正方形的邊交于A、B兩點(diǎn)，則線段AB的最小值．35．（2021?威海）如圖，在正方形ABCD中，AB＝2，E為邊AB上一點(diǎn)，F(xiàn)為邊BC上一點(diǎn)．連接DE和AF交于點(diǎn)G，連接BG．若AE＝BF，則BG的最小值為．36．（2021秋?江漢區(qū)月考）已知正方形ABCD與正方形CEFG，M是AF的中點(diǎn)，連接DM，EM．（1）如圖1，點(diǎn)E在CD上，點(diǎn)G在BC的延長線上，請(qǐng)判斷DM，EM的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系，并證明；（2）如圖2，點(diǎn)E在DC的延長線上，點(diǎn)G在BC上，（1）中結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)證明你的結(jié)論；（3）如圖3，連接BG，N為BG中點(diǎn)，若AB＝13，CE＝5，則MN的最大值為．【題型5正方形-對(duì)角互模型】37.（2021秋?錦江區(qū)期末）如圖，正方形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，以點(diǎn)O為頂點(diǎn)的正方形OEGF的兩邊OE，OF分別交正方形ABCD的兩邊AB，BC于點(diǎn)M，N，記△AOM的面積為S1，△CON的面積為S2，若正方形的邊長AB＝10，S1＝16，則S2的大小為（）A．6 B．7 C．8 D．938.（2021?重慶）如圖，正方形ABCD的對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，M是邊AD上一點(diǎn)，連接OM，過點(diǎn)O作ON⊥OM，交CD于點(diǎn)N．若四邊形MOND的面積是1，則AB的長為（）A．1 B． C．2 D．239．（2022春?龍勝縣期中）如圖，兩個(gè)邊長相等的正方形ABCD和OEFG，若將正方形OEFG繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)150°，則兩個(gè)正方形的重疊部分四邊形OMCN的面積（）A．不變 B．先增大再減小 C．先減小再增大 D．不斷增大40．（2021春?正陽縣期中）將n個(gè)邊長都為1cm的正方形按如圖所示的方法擺放，點(diǎn)A1、A2、…An分別是正方形對(duì)角線的交點(diǎn)，則2021個(gè)正方形形成的重疊部分的面積和為（）A．cm2B．505cm2 C．cm2D．（）2021cm241.（2020?呼倫貝爾）已知：如圖，在正方形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊BC，CD上的點(diǎn)，且∠EOF＝90°．求證：CE＝DF．42.（2021?深圳模擬）如圖，正方形ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)O，點(diǎn)E、F分別在AB、BC上（AE＜BE），且∠EOF＝90°，OE、DA的延長線交于點(diǎn)M，OF、AB的延長線交于點(diǎn)N，連接MN．（1）求證：OM＝ON；（2）若正方形ABCD的邊長為6，OE＝EM，求MN的長．【題型6正方形-半角互模型】43．（1）如圖①，正方形ABCD①中，點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上，∠EAF＝45°，延長CD到點(diǎn)C，使DG＝BE，連接EF、AG，求證：EF＝FG；（2）如圖②，在△ABC中，∠BAC＝90°，點(diǎn)M、N在邊BC上，且∠MAN＝45°，若BM＝2，AB＝AC，CN＝3，求MN的長．44．已知：正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交CB，DC（或它們的延長線）于點(diǎn)M，N．（1）當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到（如圖1）時(shí)，求證：BM+DN＝MN；（2）當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置時(shí)，猜想線段BM，DN和MN之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系呢？請(qǐng)直接寫出你的猜想．（不需要證明）45．把一個(gè)含45°的三角板的銳角頂點(diǎn)與正方形ABCD的頂點(diǎn)A重合，然后把三角板繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交直線CB、DC于點(diǎn)M、N．（1）當(dāng)三角板繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖（1）的位置時(shí)，求證：MN＝BM+DN．（2）當(dāng)三角板繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖（2）的位置時(shí)，試判斷線段MN、BM、DN之間具有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想，并給予證明．【題型7正方形-手拉手模型】46．如圖，點(diǎn)G是正方形ABCD對(duì)角線CA的延長線上任意一點(diǎn)，以線段AG為邊作一個(gè)正方形AEFG，線段EB和GD相交于點(diǎn)H．（1）求證：EB＝GD；（2）判斷EB與GD的位置關(guān)系，并說明理由；（3）若AB＝3，AG＝，求EB的長．47.點(diǎn)C為線段AB上一點(diǎn)，分別以AC、BC為邊在線段AB的同側(cè)作正方形ACDE和BCFG，連接AF、BD．（1）如圖①，AF與BD的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系分別為，；（2）將正方形BCFG繞著點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α角（0°＜α＜360°），①如圖②，第（1）問的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)說明理由；②若AC＝4，BC＝，當(dāng)正方形BCFG繞著點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)A、B、F三點(diǎn)共線時(shí)，求DB的長度．【題型8正方形-十字架模型】48.（2022春?沙坪壩區(qū)校級(jí)月考）如圖，F(xiàn)是正方形ABCD對(duì)角線BD上一點(diǎn)，連接AF，CF，并延長CF交AD于點(diǎn)E．若∠AFC＝140°，則∠DEC的度數(shù)為（）A．80° B．