第二十一章 一元二次方程 易錯(cuò)必考68題（10個(gè)考點(diǎn)）專練（原卷版）

第二十一章一元二次方程易錯(cuò)必考68題（10個(gè)考點(diǎn)）專練易錯(cuò)必考題一、一元二次方程的一般形式1．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）若關(guān)于x的一元二次方程的常數(shù)項(xiàng)是6，則一次項(xiàng)是（）A． B． C．x D．12．（2023春·八年級課時(shí)練習(xí)）將一元二次方程化成的形式則．3．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）已知關(guān)于y的一元二次方程，求出它各項(xiàng)的系數(shù)，并指出參數(shù)m的取值范圍．易錯(cuò)必考題二、一元二次方程的解4．（2023春·吉林長春·八年級?？计谀┤绻P(guān)于的一元二次方程的一個(gè)解是，則代數(shù)式的值為（

）A． B．2021 C． D．20255．（2023春·福建廈門·八年級廈門外國語學(xué)校?？计谀﹥蓚€(gè)關(guān)于x的一元二次方程和，其中a，b，c是常數(shù)，且，如果是方程的一個(gè)根，那么下列各數(shù)中，一定是方程的根的是（

）A．2 B． C． D．16．（2023春·浙江金華·八年級統(tǒng)考期末）已知m為方程的根，那么的值為．7．（2023春·浙江溫州·八年級?？计谥校┮阎?，，是非零實(shí)數(shù)，關(guān)于的一元二次方程，，，有公共解，則代數(shù)式的值為．8．（2023秋·江蘇·九年級專題練習(xí)）已知x是一元二次方程的實(shí)數(shù)根，求代數(shù)式的值．9．（2023春·湖南長沙·八年級統(tǒng)考期末）請閱讀下列材料：問題：已知方程，求一個(gè)一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的2倍．解：設(shè)所求方程的根為，則，所以，把代入已知方程，得；化簡，得；故所求方程為．這種利用方程根的代換求新方程的方法，我們稱為“換根法”；請用閱讀材料提供的“換根法”求新方程（要求：把所求方程化為一般形式）：(1)已知方程，求一個(gè)一元二次方程，使它的根分別為已知方程根的相反數(shù)；(2)已知關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不等于零的實(shí)數(shù)根，求一個(gè)一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的倒數(shù)．易錯(cuò)必考題三、換元法解一元二次方程10．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）若整數(shù)，使成立，則滿足條件的，的值有（

）A．4對 B．6對 C．8對 D．無數(shù)對11．（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）用換元法解方程時(shí)，如果設(shè)，那么原方程可變形為（）A． B． C． D．12．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）如果關(guān)于的方程的解是，，那么關(guān)于的方程的解是．13．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）已知方程的根為，，則方程的根是．14．（2022秋·全國·九年級專題練習(xí)）閱讀下列材料：問題：已知方程，求一個(gè)一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的倍．解：設(shè)所求方程的根為，則，所以，把，代入已知方程，得．化簡，得，故所求方程為這種利用方程根的代換求新方程的方法，我們稱為“換根法”．請用閱讀材料提供的“換根法”求新方程（要求：把所求方程化為一般形式）：(1)已知方程，求一個(gè)一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的相反數(shù)，則所求方程為；(2)已知關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不等于零的實(shí)數(shù)根，求一個(gè)一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的倒數(shù)．15．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）閱讀材料：為了解方程，我們可以將看作一個(gè)整體，設(shè)，那么原方程可化為①，解得．當(dāng)，時(shí)，，∴．∴；當(dāng)時(shí)，，∴．∴．故原方程的解為，，，．解答問題：(1)上述解題過程，在由原方程得到方程①的過程中，利用法達(dá)到了降次的目的，體現(xiàn)了的數(shù)學(xué)思想；(2)請利用以上知識解方程：；(3)請利用以上知識解方程：．易錯(cuò)必考題四、配方法的應(yīng)用16．（2023春·山東威?！ぐ四昙壗y(tǒng)考期末）用配方法解方程，若配方后結(jié)果為，則n的值為（

）A． B．10 C． D．917．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）關(guān)于x的一元二次方程新定義：若關(guān)于x的一元二次方程：與，稱為“同族二次方程”．如與就是“同族二次方程”．現(xiàn)有關(guān)于x的一元二次方程：與是“同族二次方程”．那么代數(shù)式取的最大值是（）A．2020 B．2021 C．2022 D．202318．（2023秋·江蘇·九年級專題練習(xí)）實(shí)數(shù)x和y滿足，則．19．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）設(shè)為整數(shù)，且，方程有兩個(gè)不相等的整數(shù)根，則的值是．20．（2023春·安徽池州·八年級統(tǒng)考期中）【閱讀材料】把代數(shù)式通過配湊等手段，得到局部完全平方式，再進(jìn)行有關(guān)運(yùn)算和解題，這種解題方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值問題中都有著廣泛的應(yīng)用．例如：①用配方法因式分解：．

②求的最小值．解：原式

解：原式

．

，

，

即的最小值為2．請根據(jù)上述材料解決下列問題：(1)在橫線上添上一個(gè)常數(shù)項(xiàng)使之成為完全平方式：_______________．(2)因式分解：．(3)求的最小值．21．（2023春·浙江寧波·八年級統(tǒng)考期中）我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了利用配方法解一元二次方程，其實(shí)配方法還有其他重要應(yīng)用例如：已知可取任何實(shí)數(shù)，試求二次三項(xiàng)式的最小值．解：；無論取何實(shí)數(shù)，都有，，即的最小值為．【嘗試應(yīng)用】（1）請直接寫出的最小值______；【拓展應(yīng)用】（2）試說明：無論取何實(shí)數(shù)，二次根式都有意義；【創(chuàng)新應(yīng)用】（3）如圖，在四邊形中，，若，求四邊形的面積最大值．易錯(cuò)必考題五、一元二次方程中的因式分解22．（2022秋·上海普陀·八年級?？茧A段練習(xí)）若關(guān)于的一元二次方程的一個(gè)根是0，則的值是（

）A．或1 B． C． D．23．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）對于兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)a，b，我們規(guī)定符號表示a，b中的較大值，如：，因此，；按照這個(gè)規(guī)定，若，則x的值是（

）A．5 B．5或 C．或 D．5或24．（2022秋·全國·九年級專題練習(xí)）閱讀下列解方程的過程，并解決相關(guān)問題．解：將方程左邊分解因式，得，…第一步方程兩邊都除以，得，…第二步解得…第三步①第一步方程左邊分解因式的方法是，解方程的過程從第步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤，錯(cuò)誤的原因是；②請直接寫出方程的根為．25．（2023秋·江蘇·九年級專題練習(xí)）已知：且，，那么的值等于．26．（2022春·湖南長沙·九年級統(tǒng)考期末）已知關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根．(1)求的取值范圍；(2)如果是符合條件的最大整數(shù)，且一元二次方程與方程有一個(gè)相同的根，求此時(shí)的值．27．（2023春·江蘇揚(yáng)州·八年級統(tǒng)考期末）已知關(guān)于x的一元二次方程．(1)求證：無論m取何值，方程都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2)如果方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為，，且為整數(shù)，求整數(shù)m所有可能的值．易錯(cuò)必考題六、根據(jù)一元二次方程根的情況求參數(shù)28．（2023春·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·九年級校考期中）若關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m的值可以是（

）A． B． C． D．1029．（2023春·山東泰安·八年級統(tǒng)考期末）若關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍（

）A． B． C．且 D．且30．（2023·遼寧阜新·校聯(lián)考一模）若關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（

）．A． B．且 C． D．且31．（2023春·廣東廣州·九年級統(tǒng)考開學(xué)考試）已知關(guān)于x的一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根，且a滿足，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．且32．（2023秋·黑龍江哈爾濱·九年級哈爾濱市第四十七中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知關(guān)于的一元二次方程有實(shí)根，則的取值范圍是．33．（2023春·浙江杭州·八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）已知關(guān)于的一元一次方程與一元二次方程有一個(gè)公共解，若關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)解，則的值為．34．（2023春·山東泰安·八年級校考階段練習(xí)）已知關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是．35．（2023·遼寧撫順·統(tǒng)考三模）若關(guān)于x的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則k的最大整數(shù)值是．36．（2022秋·上海普陀·八年級?？茧A段練習(xí)）已知關(guān)于的方程．(1)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求m的取值范圍；(2)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，求m的值，并求出此時(shí)方程的根；(3)有實(shí)根，求m的最小整數(shù)值．37．（2023春·山東煙臺·八年級統(tǒng)考期中）關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．(1)求的取值范圍．(2)是否存在的值，使為非負(fù)整數(shù)，且方程的兩根均為有理數(shù)？若存在，請求出滿足條件的的值；若不存在，請說明理由．38．（2022秋·江蘇南京·九年級?？茧A段練習(xí)）已知關(guān)于的方程．(1)求證：無論取任何實(shí)數(shù)，方程總有實(shí)數(shù)根；(2)若等腰三角形的一邊長為4，另兩邊長恰好是這個(gè)方程的兩個(gè)根，求此時(shí)的值和這個(gè)等腰三角形的周長．39．（2023秋·九年級課時(shí)練習(xí)）已知關(guān)于x的方程．(1)求證：無論k取何值，此方程總有實(shí)數(shù)根；(2)若此方程有兩個(gè)根，請用含有k的式子表示出方程的解；(3)在（2）的情況下，若這兩個(gè)方程的根為整數(shù)根，試求出正整數(shù)k的值；易錯(cuò)必考題七、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系40．（2023秋·福建泉州·九年級?？奸_學(xué)考試）已知關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為，，且，則k的值為（

）A．5 B．6 C．7 D．841．（2023秋·福建龍巖·九年級?？茧A段練習(xí)）若a，b是方程的兩根，則（）A．2024 B．2023 C．2022 D．202142．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）已知是方程的兩根，則代數(shù)式的值是（

）A． B． C． D．43．（2023春·安徽六安·八年級統(tǒng)考期中）已知，是關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且滿足，則的值為(

)A．或1 B．或3 C． D．344．（2023秋·福建莆田·九年級福建省莆田市中山中學(xué)校考開學(xué)考試）已知，是方程的兩實(shí)數(shù)根，則．45．（2023秋·陜西西安·九年級校考開學(xué)考試）已知方程的兩根分別為，則．46．（2023·四川成都·?？既＃┮阎?，是關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且．則的值為．47．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）已知、，滿足等式：，則．48．（2023秋·湖南長沙·九年級長沙市南雅中學(xué)校考開學(xué)考試）已知關(guān)于x的一元二次方程．(1)求證：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2)如果方程的兩實(shí)根為，且，求m的值．49．（2023春·浙江杭州·八年級校考階段練習(xí)）關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根，．(1)求實(shí)數(shù)k的取值范圍；(2)若方程兩實(shí)數(shù)根，滿足，求k的值；(3)已知方程的一個(gè)根為，求代數(shù)式的值．50．（2023秋·福建泉州·九年級校考開學(xué)考試）已知關(guān)于的一元二次方程．(1)求證：此方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2)設(shè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為，請解答下列問題：①若，，求的取值范圍；②請判斷的值能否等于，若能，請求出此時(shí)的值；若不能說明理由．51．（2023秋·黑龍江哈爾濱·九年級哈爾濱市第六十九中學(xué)校?？奸_學(xué)考試）閱讀材料：材料1：關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，和系數(shù)，，，有如下關(guān)系：，．材料2：已知一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為，，求的值．解：，是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，，則．根據(jù)上述材料，結(jié)合你所學(xué)的知識，完成下列問題：(1)應(yīng)用：一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為，，則________，________．(2)類比：已知一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為，，求的值．易錯(cuò)必考題八、一元二次方程與幾何動(dòng)點(diǎn)問題52．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在中，，，，點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿邊向點(diǎn)B以的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿向點(diǎn)C以的速度移動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，P，Q均停止運(yùn)動(dòng)，若的面積等于，則運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（）A．1秒 B．4秒 C．1秒或4秒 D．1秒或秒53．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，矩形中，，，動(dòng)點(diǎn)E從A出發(fā)，以的速度沿向B運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)F從C出發(fā)，以的速度沿著CD向D運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，兩個(gè)點(diǎn)同時(shí)停止．則的長為時(shí)點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間是（

）A． B． C．或 D．54．（2023春·八年級單元測試）如圖，在中，，，，動(dòng)點(diǎn)由點(diǎn)出發(fā)沿方向向點(diǎn)勻速移動(dòng)，速度為，動(dòng)點(diǎn)由點(diǎn)出發(fā)沿方向向點(diǎn)勻速移動(dòng)，速度為．動(dòng)點(diǎn)，同時(shí)從，兩點(diǎn)出發(fā)，當(dāng)?shù)拿娣e為時(shí)，動(dòng)點(diǎn)，的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．55．（2023春·安徽·八年級期中）如圖，在中，，，，點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，沿射線方向以1cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從B點(diǎn)出發(fā)，沿射線方向以4cm/s的速度移動(dòng)．（1）；（2）如果P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，問：經(jīng)過秒后的面積等于．56．（2023春·云南昆明·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在矩形中，，，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒個(gè)單位長度的速度沿方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長度的速度沿對角線方向運(yùn)動(dòng)．已知P，Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)A時(shí)，P，Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，連接．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

(1)______，______．(2)當(dāng)t為何值時(shí)，的面積為．(3)是否存在某一時(shí)刻t，使是以為底邊的等腰三角形？如果存在，求出t值，如果不存在，請說明理由．57．（2022秋·廣西桂林·九年級桂林市第一中學(xué)統(tǒng)考期中）在長方形中，，，點(diǎn)從點(diǎn)開始沿邊向終點(diǎn)以的速度移動(dòng)，與此同時(shí)，點(diǎn)從點(diǎn)開始沿向終點(diǎn)以的速度移動(dòng)，如果，分別從，同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．

(1)填空：，__________（用含的代數(shù)式表示）；(2)當(dāng)為何值時(shí)，的長度等于？(3)是否存在的值，使得五邊形的面積等于？若存在，請求出此時(shí)的值，若不存在，請說明理由．易錯(cuò)必考題九、一元二次方程中的營銷問題58．（2022秋·山西臨汾·九年級統(tǒng)考期末）品山西風(fēng)味，享三晉美食，就在司徒小鎮(zhèn)，十一假期某特色雜糧面店為擴(kuò)大銷售，增加盈利，計(jì)劃降價(jià)銷售，該雜糧面店的成本價(jià)為每碗4元，若每碗賣18元，平均每天將銷售200碗，若價(jià)格每降低1元，則平均每天多銷售20碗，為維護(hù)城市形象，店家現(xiàn)規(guī)定每碗售價(jià)不得超過15元，若每天盈利2800元，則每碗售價(jià)應(yīng)為（

）A．15元 B．14元 C．13元 D．12元59．（2023春·八年級課時(shí)練習(xí)）某網(wǎng)店銷售運(yùn)動(dòng)鞋，若每雙盈利40元，每天可以銷售20雙，該網(wǎng)店決定適當(dāng)降價(jià)促銷，經(jīng)調(diào)查得知，每雙運(yùn)動(dòng)鞋每降價(jià)1元，每天可多銷售2雙，若想每天盈利1200元，并盡可能讓利于顧客，贏得市場，則每雙運(yùn)動(dòng)鞋應(yīng)降價(jià)（

）A．10元或20元 B．20元 C．5元 D．5元或10元60．（2023秋·福建泉州·九年級?？奸_學(xué)考試）《安徽省電動(dòng)自行車管理?xiàng)l例》自2023年3月1日起施行．《條例》規(guī)定，駕駛?cè)撕痛钶d人應(yīng)當(dāng)規(guī)范佩戴安全頭盔，同時(shí)，針對不規(guī)范佩戴安全頭盔提出具體的處罰標(biāo)準(zhǔn)．某商店以每件元的價(jià)格購進(jìn)一批安全頭盔，經(jīng)市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)，該頭盔每周銷售量（件）與銷售單價(jià)（元/件）滿足一次函數(shù)，物價(jià)部門規(guī)定每件頭盔的利潤不能超過進(jìn)價(jià)的．若商店計(jì)劃每周銷售該頭盔獲利元，則每件頭盔的售價(jià)應(yīng)為元．61．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）端午節(jié)又稱端陽節(jié)，是中華民族重要的傳統(tǒng)節(jié)日，我國各地都有吃粽子的習(xí)俗，某超市以9元每袋的價(jià)格購進(jìn)一批粽子，根據(jù)市場調(diào)查，售價(jià)定為每袋15元，每天可售出200袋；若售價(jià)每降低1元，則可多售出70袋，問此種粽子售價(jià)降低多少元時(shí)，超市每天售出此種粽子的利潤可達(dá)到1360元？若設(shè)每袋粽子售價(jià)降低x元，則可列方程為．62．（2023春·安徽池州·八年級統(tǒng)考期中）威寧火腿是貴州的傳統(tǒng)特產(chǎn)，距今已有600多年的歷史，早就聞名海內(nèi)外．某火腿經(jīng)銷商統(tǒng)計(jì)了某款威寧火腿4月份到6月份的銷售量，該款火腿4月份銷售量為，6月份銷售量為，且從4月份到6月份銷售量的月增長率相同．(1)求該款火腿銷售量的月增長率；(2)若該款火腿的進(jìn)價(jià)為120元，經(jīng)在市場中測算，當(dāng)售價(jià)為160元時(shí)，月銷售量為，若在此基礎(chǔ)上售價(jià)每上漲0.5元，則月銷售量將減少，為使月銷售利潤達(dá)到9800元，則該款火腿的實(shí)際售價(jià)應(yīng)定為多少？（利潤=售價(jià)-進(jìn)價(jià)）63．（2023春·江蘇泰州·八年級統(tǒng)考期末）端午節(jié)前夕，某超市從廠家分兩次購進(jìn)蛋黃粽子、紅豆粽子，兩次進(jìn)貨時(shí)，兩種粽子的進(jìn)價(jià)不變．第一次購進(jìn)蛋黃粽子60袋和紅豆粽子90袋，總費(fèi)用為4800元；第二次購進(jìn)蛋黃粽子40袋和紅豆粽子80袋，總費(fèi)用為3600元．(1)求蛋黃粽子、紅豆粽子每袋的進(jìn)價(jià)各是多少元？(2)當(dāng)?shù)包S粽子銷售價(jià)為每袋70元時(shí)；每天可售出20袋，為了促銷，該超市決定對蛋黃粽子進(jìn)行降價(jià)銷售．經(jīng)市場調(diào)研，若每袋的銷售價(jià)每降低1元，則每天的銷售量將增加5袋．當(dāng)?shù)包S粽子每袋的銷售價(jià)為多少元時(shí)，每天售出蛋黃粽子所獲得的利潤為220