質(zhì)量工程師-第一章-概率統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)知識(shí)

主講人：李春pslichun@佛山市順德區(qū)質(zhì)量技術(shù)監(jiān)督標(biāo)準(zhǔn)與編碼所概率統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)知識(shí)11/23/20231第0節(jié)預(yù)備知識(shí)1、加法原理與乘法原理（1）加法原理一項(xiàng)工作可由k種方法獨(dú)立完成則：N=n1+n2+n3+…+

nk

(2)乘法原理一件工作可分成k個(gè)步驟完成則：N=n1×n2×n3×…×nk11/23/202322、排列（1）選排列與全排列定義：從n個(gè)不同的元素里，任意取出r個(gè)不同的元素（1≤r≤n），按一定的順序排成一列，稱為從n個(gè)不同元素中取出r個(gè)不同元素的一種排列，所有不同排列的總數(shù)為

rPn=n(n-1)(n-2)…(n-r+1)=n!/(n-r)!第0節(jié)預(yù)備知識(shí)11/23/20233(2)允許重復(fù)選取的排列如果從n個(gè)不同的元素里任取一個(gè)元素，然后把這個(gè)元素放回去，再取一個(gè)，又放回去，這樣有放回地選取r個(gè)元素，并按先后選取的順序排成一列，稱為從n個(gè)不同元素中允許重復(fù)地取出r個(gè)元素的排列。所有排列的總數(shù)為：

n×n×…×n=nr第0節(jié)預(yù)備知識(shí)11/23/202343、組合定義：從n個(gè)不同元素中，每次取出r個(gè)元素，不管它們之間的順序，合為一組，叫做從n個(gè)元素中每次取出r個(gè)元素的組合，這樣得出的所有不同組合的總數(shù)，叫組合數(shù)。

rrCn=Pn/r!=n(n-1)(n-2)…(n-r+1)/r!=n!/[r!×(n-r)!]

重要性質(zhì)：rn-rCn=Cn第0節(jié)預(yù)備知識(shí)11/23/202354、排列與組合的區(qū)分試分析一下如下說法，哪個(gè)是排列，哪個(gè)是組合：（1）從10本不同的書中取出3本排在書架上；（2）從10本不同的書中取出3本；（3）從一副牌中，任意取出5張；第0節(jié)預(yù)備知識(shí)11/23/20236一、事件與概率（一）隨機(jī)現(xiàn)象

1、定義：在一定條件下，并不總是出現(xiàn)相同結(jié)果的現(xiàn)象稱為隨機(jī)現(xiàn)象。

2、隨機(jī)現(xiàn)象的特點(diǎn)：（1）隨機(jī)現(xiàn)象的結(jié)果至少有兩個(gè)；（2）至于哪一個(gè)出現(xiàn)，事先人們并不知道。第一節(jié)概率基礎(chǔ)知識(shí)11/23/20237[例1]、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的研究對(duì)象是

。

A、確定性現(xiàn)象B、隨機(jī)現(xiàn)象

C、確定性現(xiàn)象和隨機(jī)現(xiàn)象

D、一般現(xiàn)象

[例2]、在一定條件下，并不總是出現(xiàn)相同結(jié)果的現(xiàn)象稱為

。

A、確定性現(xiàn)象B、偶然現(xiàn)象

C、隨機(jī)現(xiàn)象D、一般現(xiàn)象[例3]、隨機(jī)現(xiàn)象的特點(diǎn)是

。

A、隨機(jī)現(xiàn)象的結(jié)果至少有兩個(gè)

B、隨機(jī)現(xiàn)象的結(jié)果至少有一個(gè)

C、隨機(jī)現(xiàn)象的結(jié)果至多有兩個(gè)

D、隨機(jī)現(xiàn)象的哪一個(gè)結(jié)果會(huì)出現(xiàn)，事先人們并不知道第一節(jié)概率基礎(chǔ)知識(shí)11/23/202383、樣本點(diǎn)（抽樣單元）：隨機(jī)現(xiàn)象中的每一個(gè)可能結(jié)果，稱為一個(gè)樣本點(diǎn)，又稱為抽樣單元。4、樣本空間：隨機(jī)現(xiàn)象一切可能樣本點(diǎn)的全體稱為這個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象的樣本空間，常記為Ω。認(rèn)識(shí)一個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象首要的就是能羅列出它的一切可能發(fā)生的基本結(jié)果。第一節(jié)概率基礎(chǔ)知識(shí)11/23/20239第一節(jié)概率基礎(chǔ)知識(shí)[例1·1-1]⑴一天內(nèi)進(jìn)某超市的顧客數(shù):Ω={0,1,2,······}⑵一顧客在超市購買的商品數(shù):Ω={0,1,2,······}⑶一顧客在超市排隊(duì)等候付款的時(shí)間:Ω={t:t≥0}⑷一顆麥穗上長著的麥粒個(gè)數(shù):Ω={0,1,2,······}⑸新產(chǎn)品在未來市場(chǎng)的占有率:Ω={[0,1]}⑹一臺(tái)電視機(jī)從開始使用到發(fā)生第一次故障的時(shí)間:Ω={t:t≥0}⑺加工機(jī)構(gòu)軸的直徑尺寸:Ω={}⑻一罐午餐肉的重量：Ω={G±g}11/23/202310（二）隨機(jī)事件定義：隨機(jī)現(xiàn)象的某些樣本點(diǎn)組成的集合稱為隨機(jī)事件，簡稱事件，常用大寫字母A、B、C等表示。[例4]、在擲一顆骰子的實(shí)驗(yàn)中，“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”是：

A、樣本空間B、必然事件

C、不可能事件D、隨機(jī)事件第一節(jié)概率基礎(chǔ)知識(shí)11/23/202311★補(bǔ)充：事件的概念

在一個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象中，往往有多個(gè)事件發(fā)生，詳細(xì)分析事件之間的關(guān)系，不僅可以幫助我們深刻地認(rèn)識(shí)事件的本質(zhì)，而且可以簡化復(fù)雜事件的概率計(jì)算。第一節(jié)概率基礎(chǔ)知識(shí)11/23/202312事件：即隨機(jī)事件的簡稱，隨機(jī)現(xiàn)象的某些樣本點(diǎn)組成的集合稱為隨機(jī)事件?；臼录翰豢赡茉俜值氖录Q為基本事件。復(fù)合事件：由若干基本事件組合而成的事件，稱為復(fù)合事件。完備事件組：若試驗(yàn)的結(jié)果必然要在某些事件中出現(xiàn)一件，這些事件的總體便稱為一個(gè)完備事件組。第一節(jié)概率基礎(chǔ)知識(shí)11/23/202313[例5]：在0，1，2，···，9十個(gè)數(shù)字中任意選取一個(gè),有十個(gè)可能不同的結(jié)果?！叭〉靡粋€(gè)數(shù)是0”，···，“取得一個(gè)數(shù)是9”，都是基本事件。[例6]：上例中，“取得一個(gè)數(shù)是奇數(shù)”（即取得1，3，5，7，9），“取得一個(gè)數(shù)是大于4的數(shù)”（即取得5，6，7，8，9），“取得一個(gè)數(shù)是3的倍數(shù)”（即取得3，6，9），都是復(fù)合事件。第一節(jié)概率基礎(chǔ)知識(shí)11/23/2023141、隨機(jī)事件的特征⑴任一事件A是相應(yīng)樣本空間Ω中的一個(gè)子集；⑵事件A發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)A中某一樣本點(diǎn)發(fā)生；⑶事件A的表示可用集合，也可用語言，但所用的語言應(yīng)是明確無誤的；⑷任一樣本空間都有一個(gè)最大子集，這個(gè)最大子集就是Ω，它對(duì)應(yīng)的事件就是必然事件，仍用Ω表示；⑸任一樣本空間都有一個(gè)最小子集，這個(gè)最小子集就是空集，它對(duì)應(yīng)的事件稱為不可能事件，記為φ。第一節(jié)概率基礎(chǔ)知識(shí)11/23/202315[例7]隨機(jī)現(xiàn)象的重要特征是：

A、隨機(jī)性B、統(tǒng)計(jì)規(guī)律性

C、等可能性D、確定性[例8]隨機(jī)事件的特征有：

A、任一事件A是相應(yīng)樣本空間Ω中的一個(gè)子集

B、任一隨機(jī)事件都有無窮多個(gè)樣本點(diǎn)

C、任一樣本空間Ω都有一個(gè)最大子集和一個(gè)最小子集

D、事件A發(fā)生是指：當(dāng)且僅當(dāng)A中某一樣本點(diǎn)發(fā)生第一節(jié)概率基礎(chǔ)知識(shí)11/23/2023162、事件之間的關(guān)系（1）包含：若事件A發(fā)生必然導(dǎo)致事件B發(fā)生，則事件B包含事件A，記為BA或A

B。第一節(jié)概率基礎(chǔ)知識(shí)

BA426Ω11/23/202317第一節(jié)概率基礎(chǔ)知識(shí)

（3）相等：“若事件A包含事件B，事件B也包含事件A，則稱事件A和B相等”。

看一個(gè)例子：擲骰子：Ω=｛1，2，3，4，5，6｝，設(shè)事件A=“等于小于4的數(shù)”={1，2，3，4}，事件B=“偶數(shù)”={2，4，6}，顯然A與B有相同的樣本點(diǎn){2，4}，但事件A與B并不相等。可定義為“若事件A與B有完全相同的樣本點(diǎn)，則稱事件A與B相等”。B6A14325Ω11/23/202318[思考題一]如在擲骰子的隨機(jī)試驗(yàn)中，樣本點(diǎn)記為（x，y），其中x與y分別是第一顆和第二顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，定義如下的隨機(jī)事件：A={(x，y）:x+y=奇數(shù)}，其樣本空間用集合如何表示？[思考題二]上題中隨機(jī)事件A的樣本空間的樣本點(diǎn)數(shù)是：

A、15B、16C、17D、18第一節(jié)概率基礎(chǔ)知識(shí)11/23/202319第一節(jié)概率基礎(chǔ)知識(shí)（2）互不相容（互斥）：若事件A與B不能同時(shí)發(fā)生，即AB=φ，則稱事件A與B互不相容。兩個(gè)事件間的互不相容性可推廣到三個(gè)或更多個(gè)事件間的互不相容。基本事件都是互不相容事件。ABΩ11/23/202320第一節(jié)概率基礎(chǔ)知識(shí)（三）事件的運(yùn)算（1）對(duì)立事件（又稱為互逆事件或逆事件）：若事件A+B=Ω，AB=φ，則稱A與B為互逆事件（對(duì)立事件）。一般將A的逆事件記為（讀非A）。ΩA11/23/202321補(bǔ)充：互斥事件與互逆事件的區(qū)別：互斥事件：若事件A與B不能同時(shí)發(fā)生，即AB=φ，則稱事件A與B互不相容?；ツ媸录喝羰录嗀+B=Ω，AB=φ，則稱A與B為互逆事件（對(duì)立事件）。①兩事件互逆，必定互斥；但兩事件互斥，不一定互逆。②互斥事件適用于多個(gè)事件,但互逆事件只適用于兩個(gè)事件。③兩事件互斥，只表明兩事件不能同時(shí)出現(xiàn)，即至多只能出現(xiàn)其中一個(gè)，但可以都不出現(xiàn)。兩個(gè)事件互逆，則表示兩個(gè)事件之中有且僅有一個(gè)出現(xiàn)，即肯定了至少有一個(gè)出現(xiàn)。第一節(jié)概率基礎(chǔ)知識(shí)11/23/202322第一節(jié)概率基礎(chǔ)知識(shí)（2）事件A與B的并（又稱為和事件）：事件A與事件B至少有一個(gè)發(fā)生的事件稱為事件A與事件B的和事件，記為A∪B或A+B。ABΩ11/23/202323第一節(jié)概率基礎(chǔ)知識(shí)（3）事件A與B的交（又稱為積事件）：事件A與事件B都發(fā)生的事件稱為事件A與事件B的積事件，記為A∩B，簡記為AB。

ABΩ11/23/202324第一節(jié)概率基礎(chǔ)知識(shí)（4）事件A對(duì)B的差：事件A發(fā)生而事件B不發(fā)生的事件稱為事件A與B的差事件，記為A－B。

A

B

AΩΩB11/23/202325第一節(jié)概率基礎(chǔ)知識(shí)[例9]：打靶，最高環(huán)數(shù)為10環(huán)。若設(shè)事件A=擊中三環(huán)以上的事件={3，4，5，6，7，8，9，10}，事件B=最多擊中4環(huán)的事件={0，1，2，3，4}。則A－B={5，6，7，8，9，10}=擊中5環(huán)以上的事件；另B－A={0，1，2}=最多擊中2環(huán)的事件11/23/202326第一節(jié)概率基礎(chǔ)知識(shí)11/23/202327（四）概率—事件發(fā)生可能性大小的度量一個(gè)隨機(jī)事件A發(fā)生可能性的大小用這個(gè)事件的概率P（A）來表示。概率是一個(gè)介于0到1之間的數(shù)。概率越大，事件發(fā)生的可能性就愈大；概率愈小，事件發(fā)生的可能性也就愈小。特別地，不可能事件的概率為0，必然事件的概率為1。即：

P(φ)=0,P(Ω)=1第一節(jié)概率基礎(chǔ)知識(shí)11/23/202328☆補(bǔ)充：概率的公理化定義設(shè)Ω為樣本空間，A為事件,對(duì)于每一個(gè)事件A，都有一個(gè)實(shí)數(shù)P(A)與之對(duì)應(yīng)，稱P(A)為事件A的概率,并要求滿足如下公理：

1）P(A)≥0—非負(fù)性公理

2）P(Ω)=1—正則性公理

3）若A1、A2，…，An是n個(gè)互不相容事件，則有：P(A1∪A2∪…∪An）=P(A1)+P(A2)+…+P(An)—可加性公理第一節(jié)概率基礎(chǔ)知識(shí)11/23/202329[例10]在概率的公理化定義中，事件A的概率要求滿足：

A、P(A)≥0B、P(Ω)=1C、

P(A)≤1D、可加性公理[例11]可加性公理成立的條件是，該組事件

A、相互獨(dú)立B、互不相容

C、任意隨機(jī)事件D、概率均大于0[例12]一個(gè)試驗(yàn)僅有四個(gè)互不相容的結(jié)果：A、B、C、D。請(qǐng)檢查下列各組是否是概率？

A、P(A)=0.38,P(B)=0.16,P(C)=0.11,P(D)=0.35B、P(A)=0.31,P(B)=0.27,P(C)=0.28,P(D)=0.16C、P(A)=0.32,P(B)=0.27,P(C)=-0.06,P(D)=0.47D、P(A)=1/2,P(B)=1/4,P(C)=1/8,P(D)=1/16E、P(A)=5/18,P(B)=1/6,P(C)=1/3,P(D)=2/9第一節(jié)概率基礎(chǔ)知識(shí)11/23/202330第一節(jié)概率基礎(chǔ)知識(shí)二、概率的古典定義與統(tǒng)計(jì)定義（二）統(tǒng)計(jì)定義用概率的統(tǒng)計(jì)定義確定概率方法的要點(diǎn)如下：（1）此隨機(jī)現(xiàn)象是能大量重復(fù)試驗(yàn)的；（2）（3）頻率會(huì)隨重復(fù)試驗(yàn)次數(shù)增加而趨于穩(wěn)定。11/23/202331第一節(jié)概率基礎(chǔ)知識(shí)頻率定義：如果在相同條件下，對(duì)同一試驗(yàn)重復(fù)進(jìn)行n次，若事件A出現(xiàn)了kn次，那么我們稱比值kn/n為事件A出現(xiàn)的頻率。（統(tǒng)計(jì)）概率定義：當(dāng)試驗(yàn)的次數(shù)n逐漸增加時(shí)，頻率kn/n的變化幅度也就逐漸減小，而且隨著試驗(yàn)次數(shù)n愈來愈大，kn/n這一數(shù)值就逐漸穩(wěn)定于某一常數(shù)，所穩(wěn)定到的這一常數(shù)叫做理論頻率。我們把這個(gè)理論頻率稱為在已知條件下事件A出現(xiàn)的概率，并記為P(A)。亦稱之為統(tǒng)計(jì)概率，且有11/23/202332補(bǔ)充：古典概型

1、古典概型的概念“概型”是指某種概率的模型?！肮诺涓判汀笔歉怕收摪l(fā)展歷史上首先被人們研究的概率模型。它是一種最簡單、最直觀的概率模型，是在以一定條件下試驗(yàn)的客觀對(duì)稱性為基礎(chǔ)的。例如在拋擲骰子的隨機(jī)試驗(yàn)中，令A(yù)i為出現(xiàn)“i”這一事件（i=1，2，3，4，5，6），Ai是隨機(jī)試驗(yàn)的六種基本結(jié)果。由于骰子的對(duì)稱性，出現(xiàn)各個(gè)基本結(jié)果的可能性相同，都為1/6。第一節(jié)概率基礎(chǔ)知識(shí)11/23/202333如果某個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，只有有限個(gè)事件A1，A2，…，An可能發(fā)生，且A1，A2，…，An具有下面三條性質(zhì)：（1）A1，A2，…，An發(fā)生的可能性相等（等可能性）；（2）在任意一次試驗(yàn)中A1，A2，…，An至少有一個(gè)發(fā)生（完備性）；（3）在任意一次試驗(yàn)中A1，A2，…，An至多有一個(gè)發(fā)生（互不相容性）。則稱事件組A1，A2，…，An為等可能基本事件組。其中任一事件Ai（i=1，2，3，…，n），稱為基本事件。具有上述特性的問題稱為古典概型或等可能概型。第一節(jié)概率基礎(chǔ)知識(shí)11/23/202334第一節(jié)概率基礎(chǔ)知識(shí)（一）古典定義用概率的古典定義確定概率方法的要點(diǎn)如下：（1）所涉及的隨機(jī)現(xiàn)象只有有限個(gè)樣本點(diǎn)，設(shè)共有n

個(gè)樣本點(diǎn)；

（2）每個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性是相同的（等可能性）；（3）若被考察的事件A含有k

個(gè)樣本點(diǎn)，則事件A的概率定義為：11/23/202335第一節(jié)概率基礎(chǔ)知識(shí)2、古典概型的計(jì)算試驗(yàn)E的全體基本結(jié)果E1,E2,…,En構(gòu)成互不相容的完備組。由于等可能性的假定，Ei（i=1,2,3,…,n）每一個(gè)基本結(jié)果的概率為1/n。對(duì)于任一事件A，它總是由某些基本結(jié)果組成，設(shè)A包含k個(gè)基本結(jié)果，則由概率的性質(zhì)可以證明：11/23/202336[例13]

一個(gè)袋子中有紅、白兩個(gè)球，有放回地摸一次、摸兩次、摸三次、······，并考慮其摸出紅、白球的順序，其樣本空間的樣本數(shù)各為多少？解：這是一個(gè)摸球的問題（且有放回排序）。摸一次,Ω={紅或白}，n=21=2

摸兩次,Ω={(紅,白),(白,紅),(紅,紅),(白,白)}，

n=22=4

摸三次,Ω={(紅,紅,紅),(紅,紅,白),(紅,白,紅),(白,紅,紅),(紅,白,白),(白,白,紅),(白,紅,白),(白,白,白)}，

n=23=8第一節(jié)概率基礎(chǔ)知識(shí)11/23/202337第一節(jié)概率基礎(chǔ)知識(shí)[例15]某地區(qū)的電話號(hào)碼由七位數(shù)組成，請(qǐng)問如果不加任何限制，可以確定多少電話號(hào)碼？若是要求電話號(hào)碼的每一個(gè)數(shù)字都不相同，又可以確定多少電話號(hào)碼？解：數(shù)字由0~9，一共有10個(gè)不同的數(shù)字（1）每一位上都可以排上任何一個(gè)數(shù)字，有10種可能。七位就是重復(fù)七次，所以這是有放回的且排序，其樣本空間的樣本點(diǎn)數(shù)為：

n=107（2）不能重復(fù)相同的數(shù)字，這是不放回但排序的問題，其樣本空間的樣本點(diǎn)數(shù)為：

n=

=10！/（10-7）！=60480011/23/202338[思考題三]把12封信隨機(jī)地投入三只郵箱里，問“第一只郵箱里有3封信”這一事件A發(fā)生的概率？

A、0.35B、0.33C、0.25D、0.21[思考題四]一批產(chǎn)品共有100個(gè)，其中有3個(gè)次品，為了檢查產(chǎn)品質(zhì)量，從這批產(chǎn)品中連續(xù)取兩次。求“第一次取到正品、第二次取到次品”的概率。

A、0.029B、0.035C、0.049D、0.018第一節(jié)概率基礎(chǔ)知識(shí)11/23/202339第一節(jié)概率基礎(chǔ)知識(shí)三、概率的性質(zhì)及其運(yùn)算法則（一）概率的基本性質(zhì)及加法法則性質(zhì)1、概率是非負(fù)的，且數(shù)值介于0與1之間，

0≤P(A)≤1，特別，P(φ)=0,P(Ω)=1性質(zhì)2、或性質(zhì)3、若AB，則：性質(zhì)4、性質(zhì)5、A1,…,An是互不相容的事件，則11/23/202340第一節(jié)概率基礎(chǔ)知識(shí)（二）條件概率、概率的乘法法則及事件的獨(dú)立性（1）條件概率與概率的乘法法則條件概率要涉及兩個(gè)事件A與B，在事件B已發(fā)生的條件下，事件A再發(fā)生的概率稱為條件概率，記為P(A|B)。條件概率的計(jì)算公式為：11/23/202341性質(zhì)6：（乘法法則）對(duì)任意兩個(gè)隨機(jī)事件A與B，有

P（AB）=P(B)P（A|B）P(B)>0=P(A)P（B|A）P(A)>0[例1.1-10]P13[例1.1-11]P13第一節(jié)概率基礎(chǔ)知識(shí)11/23/202342第一節(jié)概率基礎(chǔ)知識(shí)（2）獨(dú)立性與獨(dú)立事件的概率設(shè)有兩個(gè)事件A與B，假如其中一個(gè)事件的發(fā)生不依賴另一個(gè)事件發(fā)生與否，則稱事件A與B相互獨(dú)立。性質(zhì)7：假如兩個(gè)事件A與B相互獨(dú)立，則A與B同時(shí)發(fā)生的概率為性質(zhì)8：假如兩個(gè)事件A與B相互獨(dú)立，則在事件B發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的條件概率P(A|B)等于事件A的(無條件)概率P(A)。

11/23/202343第一節(jié)概率基礎(chǔ)知識(shí)[思考題五]互不相容事件是否也是獨(dú)立事件？為什么？[思考題六]若隨機(jī)事件A與隨機(jī)事件B相互獨(dú)立，P(A)=0.3,P(B)=0.7,

則P(A+B)=A、1B、0.21C、0.7D、0.7911/23/202344第二節(jié)隨機(jī)變量及其分布一、隨機(jī)變量1、定義：用來表示隨機(jī)現(xiàn)象結(jié)果的變量稱為隨機(jī)變量。常用大寫字母X、Y、Z等表示隨機(jī)變量，而隨機(jī)變量的值用小寫字母x、y、z表示。2、分類：隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量11/23/202345第二節(jié)隨機(jī)變量及其分布[例1]⑴一天內(nèi)進(jìn)某超市的顧客數(shù):Ω={0,1,2,······}⑵一顧客在超市購買的商品數(shù):Ω={0,1,2,······}⑶一顧客在超市排隊(duì)等候付款的時(shí)間:Ω={t:t≥0}⑷一顆麥穗上長著的麥粒個(gè)數(shù):Ω={0,1,2,······}⑸新產(chǎn)品在未來市場(chǎng)的占有率:Ω={[0,1]}⑹一臺(tái)電視機(jī)從開始使用到發(fā)生第一次故障的時(shí)間:Ω={t:t≥0}⑺加工機(jī)構(gòu)軸的直徑尺寸:Ω={}⑻一罐午餐肉的重量：Ω={G±g}11/23/202346二、隨機(jī)變量的分布隨機(jī)變量的取值是隨機(jī)的，但其內(nèi)在還是有規(guī)律性的，這個(gè)規(guī)律可以用分布來描述。認(rèn)識(shí)一個(gè)隨機(jī)變量X的關(guān)鍵就是要知道它的分布。分布包含如下兩方面的內(nèi)容：

1）X可能取哪些值，或在哪個(gè)區(qū)間上取值。

2）X取這些值的概率各是多少，或X在任一小區(qū)間上取值的概率是多少？第二節(jié)隨機(jī)變量及其分布11/23/202347（一）離散型隨機(jī)變量的分布離散型隨機(jī)變量的分布可用分布列表示，或用一個(gè)簡明的數(shù)學(xué)式子表示出來。圖表法（分布列）：公式法：P（X=xi）=pi

i=1,2，···，n

要使其成為一個(gè)分布，應(yīng)滿足下列條件：

1)pi≥0,非負(fù)性

2）p1+p2+···+

pn=1正則性第二節(jié)隨機(jī)變量及其分布11/23/202348第二節(jié)隨機(jī)變量及其分布（二）連續(xù)型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量的分布可用概率密度函數(shù)p(x)表示，許多書上也用f(x)表示。連續(xù)型隨機(jī)變量還可用概率分布函數(shù)F(x)表示。概率密度函數(shù)f(x)

概率分布函數(shù)F(x)11/23/202349第二節(jié)隨機(jī)變量及其分布★補(bǔ)充:分布密度的性質(zhì)：p（x）≥0

非負(fù)性公理（它一定位于x軸的上方）

正則性公理（與x軸所夾面積恰好為1）③

為區(qū)間(a,b)上的面積11/23/202350★補(bǔ)充：分布函數(shù)的概念定義：設(shè)X為一個(gè)隨機(jī)變量，x為任意實(shí)數(shù)，稱函數(shù)F(x)=P(X≤x）為X的分布函數(shù)。即F(x)＝P（X≤x）＝P（－∞＜X≤x）＝P（－∞＜X＜

x）+P（X＝

x）注意：F(x)的累積性。在概率密度函數(shù)圖上，F(xiàn)(x)是區(qū)間

(－∞,x)上的面積。第二節(jié)隨機(jī)變量及其分布11/23/202351★補(bǔ)充：分布函數(shù)的性質(zhì)

1）F（-∞）=0，F(xiàn)（∞）=10≤F（x）≤12）F（x）=p（x）的積分

p（x）=F（x）的導(dǎo)數(shù)

3）F（x）是非減函數(shù)，當(dāng)x1＜x2時(shí)，F(xiàn)（x1）≤F（x2）第二節(jié)隨機(jī)變量及其分布11/23/202352三、隨機(jī)變量分布的均值、方差與標(biāo)準(zhǔn)差隨機(jī)變量X的分布（概率函數(shù)或密度函數(shù)）有幾個(gè)很重要的特征數(shù)，用來表示分布的集中位置（中心位置）和散布大小。兩個(gè)最重要的特征數(shù)：

1)均值：表示分布的中心位置，E(x)2)方差：表示分布的散布大小，Var(x)第二節(jié)隨機(jī)變量及其分布11/23/2023531、均值的計(jì)算公式2、方差的計(jì)算公式3、標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算公式第二節(jié)隨機(jī)變量及其分布11/23/202354第二節(jié)隨機(jī)變量及其分布[例2]有甲乙兩人進(jìn)行射擊比賽，射中環(huán)數(shù)的分布分別是:

甲：876乙：109876540.10.80.10.1

0.10.20.2

0.20.10.1

試問二人的射擊水平如何？解：1)計(jì)算二人的算術(shù)平均值

E(x)甲=7E(x)乙=72)計(jì)算二者的方差

Var(x)甲=0.2

Var(x)乙=311/23/202355[例3]甲、乙、丙、丁四個(gè)廠生產(chǎn)同一種零件，采購員為了了解各廠零件強(qiáng)度的差異，以便選擇訂貨工廠，現(xiàn)從市場(chǎng)各購買4只零件，測(cè)得強(qiáng)度，計(jì)算均值與標(biāo)準(zhǔn)差如下：工廠平均強(qiáng)度標(biāo)準(zhǔn)差甲1077.5

乙1107.2

丙919.3

丁11017.7

采購員應(yīng)購買（）廠的零件。

A、甲B、乙C、丙D、丁第二節(jié)隨機(jī)變量及其分布11/23/202356均值與方差的運(yùn)算性質(zhì)：（1）設(shè)X為隨機(jī)變量，a與b為任意常數(shù)，則有： E(aX+b)=aE(X)+b

Var(aX+b)=a2Var(X)（2）對(duì)任意兩個(gè)隨機(jī)變量X1與X2，有：

E(X1+X2)=E(X1)+E(X2)

（3）設(shè)隨機(jī)變量X1與X2獨(dú)立，則有：

Var(X1±X2)=Var(X1)+Var(X2)第二節(jié)隨機(jī)變量及其分布11/23/202357四、常用分布（一）常用離散型分布常用離散型隨機(jī)變量的分布有：單點(diǎn)分布（退化分布）、兩點(diǎn)分布（0-1分布）、二項(xiàng)分布、泊松分布、超幾何分布等，書上介紹了后三種。我們將補(bǔ)充介紹兩點(diǎn)分布，一共介紹四種分布。第二節(jié)隨機(jī)變量及其分布11/23/202358★補(bǔ)充：兩點(diǎn)分布：如果隨機(jī)變量X的分布為：

P（X=x1）=p

（0<p<1）

P（X=x2）=q=（1-p）則稱X服從兩點(diǎn)分布,記為b(1,p)。服從兩點(diǎn)分布的隨機(jī)變量很多，如只考慮產(chǎn)品合格不合格，就是一個(gè)兩點(diǎn)分布。其中：E(X)=p

Var(X)=pq=p(1-p)第二節(jié)隨機(jī)變量及其分布11/23/202359第二節(jié)隨機(jī)變量及其分布1、二項(xiàng)分布1）重復(fù)進(jìn)行n次試驗(yàn)；2）n次試驗(yàn)間相互獨(dú)立；3）每次試驗(yàn)僅有兩個(gè)可能結(jié)果；4）成功的概率為p，失敗的概率為1-p

在上述四個(gè)條件下，設(shè)x表示n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中成功出現(xiàn)的次數(shù)，則有這個(gè)分布稱為二項(xiàng)分布，記為b（n，p）。其均值、標(biāo)準(zhǔn)差為：E(x)=np

Var(x)=

np

(1-p)11/23/202360第二節(jié)隨機(jī)變量及其分布2、泊松分布泊松分布可用來描述不少隨機(jī)變量的概率分布。這個(gè)分布就稱為泊松分布，記為P(λ)。其均值、方差、標(biāo)準(zhǔn)差為：

E(x)=λ

Var(x)=λσ(x)=11/23/202361第二節(jié)隨機(jī)變量及其分布3、超幾何分布其中，r=min（n，M），這個(gè)分布稱為超幾何分布，記為h（n，N，M）。

其均值、方差為：11/23/202362常用離散型隨機(jī)變量分布匯總名稱符號(hào)均值方差兩點(diǎn)分布b(1,p)pp(1-p)二項(xiàng)分布b(n,p)npnp(1-p)超幾何分布h(n,N,M)泊松分布P(λ)λλ第二節(jié)隨機(jī)變量及其分布11/23/202363第二節(jié)隨機(jī)變量及其分布[例4]一大批產(chǎn)品，其廢品率為0.015，求任取100件產(chǎn)品，其中有1件不合格品的概率。解：此時(shí)

n=100p=0.015，

np=1.5

若按二項(xiàng)分布計(jì)算：若按泊松分布計(jì)算：比較兩種計(jì)算結(jié)果可以看出，兩者計(jì)算結(jié)果的誤差不超過1%。11/23/202364第二節(jié)隨機(jī)變量及其分布（二）正態(tài)分布1、正態(tài)分布的概率密度函數(shù)它的圖形是對(duì)稱的鐘形曲線，常稱為正態(tài)曲線。正態(tài)分布有兩個(gè)參數(shù)μ和σ，常記為N（μ，σ2）。11/23/202365[例5]有兩個(gè)正態(tài)分布N（μ1σ21）和

N（μ2σ22），它們的概率密度曲線如下面所示，它們的均值間與標(biāo)準(zhǔn)差間的關(guān)系是（）

A、μ1<μ2,σ1<σ2

B、μ1<μ2,σ1>σ2

C、μ1>μ2,σ1<σ2

D、μ1>μ2,σ1>σ2

第二節(jié)隨機(jī)變量及其分布11/23/202366[例6]隨機(jī)變量X~N（1，1），則

A、μ=1,σ=1B、μ=1,σ=-1C、μ=-1,σ=1D、μ=-1,σ=-1[例7]隨機(jī)變量X~N（-2，9），則

A、μ=2,σ=±3B、μ=-2,σ=3C、μ=-2,σ=9D、μ=2,σ=3第二節(jié)隨機(jī)變量及其分布11/23/2023672、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布

μ=0且σ=1的分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記為N（0，1），其隨機(jī)變量記為U。

1）標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表①P(U≤a

)=②P(U>a)=③Φ(-a)=④P(a≤U≤b)=⑤P(|U|≤a

)=

P(|U|≥a

)=第二節(jié)隨機(jī)變量及其分布Φ(a)1-Φ(a)1-Φ(a)

Φ(b)-Φ(a)

Φ(a)-Φ(-a)=2Φ(a)-12-2Φ(a)11/23/2023683、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分位數(shù)分位數(shù)是一個(gè)基本概念，結(jié)合標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N（0，1）來敘述分位數(shù)概念。一般說來，對(duì)任意介于0與1之間的實(shí)數(shù)α，標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N（0，1）的α分位數(shù)是這樣一個(gè)數(shù)，它的左側(cè)面積恰好為α，它的右側(cè)面積恰好為1-α，用概率的語言來說，α分位數(shù)是滿足下列等式的實(shí)數(shù)：

P(U≤uα)=α第二節(jié)隨機(jī)變量及其分布11/23/202369第二節(jié)隨機(jī)變量及其分布關(guān)于分位數(shù)的正負(fù)符號(hào)問題：

0.5分位數(shù),即50%分位數(shù),也稱為中位數(shù)。在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布場(chǎng)合：

u

0.5=0

當(dāng)α<0.5時(shí),uα<0(負(fù)數(shù))α>0.5時(shí),uα>0(正數(shù))α或1-α永遠(yuǎn)為正（概率必為正）11/23/202370第二節(jié)隨機(jī)變量及其分布4、有關(guān)正態(tài)分布的計(jì)算正態(tài)分布計(jì)算是基于下面的重要性質(zhì)：性質(zhì)1：性質(zhì)2：設(shè)X~N（μ，σ2），則對(duì)任意實(shí)數(shù)

a、b有：①②③11/23/202371第二節(jié)隨機(jī)變量及其分布[例8]某產(chǎn)品的質(zhì)量特性X~N(16,σ2),若要求P(12<X<20)≥0.8，則σ最大值應(yīng)為（）

A、u0.9/4B、4/u0.9

C、u0.9/2D、2/u0.9

解：11/23/202372第二節(jié)隨機(jī)變量及其分布產(chǎn)品質(zhì)量特性的不合格品率的計(jì)算

1、質(zhì)量特性X的分布，在受控的情況下，常為正態(tài)分布；

2、產(chǎn)品的規(guī)范限，常包括上規(guī)范限TU和下規(guī)范限TL

。產(chǎn)品質(zhì)量特性的不合格品率為：

p=pL+pU11/23/202373第二節(jié)隨機(jī)變量及其分布[例9]某廠生產(chǎn)產(chǎn)品的長度服從N(10.05,0.052)(單位cm)，規(guī)定長度在10.00cm±0.10cm內(nèi)為合格品,則此產(chǎn)品不合格的概率是()A、Φ(3)+Φ(1)B、Φ(3)-Φ(1)C、1-Φ(1)+Φ(-3)D、Φ(1)-Φ(-3)解:TL

=10.00–0.10=9.90

TU=10.00+0.10=10.10

pL

=P(X<TL)=Φ(-3)

pu=P(X>TU)=1-Φ(1)

p=

pL+

pu=1-Φ(1)+Φ(-3)11/23/202374第二節(jié)隨機(jī)變量及其分布（三）其他連續(xù)分布

1、均勻分布其均值、方差為：11/23/2023752、對(duì)數(shù)正態(tài)分布1）在正半軸（0，∞）上取值；2）“右偏分布”3）X服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布（“右偏分布”），而經(jīng)過對(duì)數(shù)變換Y=lnX后服從正態(tài)分布。第二節(jié)隨機(jī)變量及其分布11/23/202376第二節(jié)隨機(jī)變量及其分布4）5）11/23/202377第二節(jié)隨機(jī)變量及其分布3、指數(shù)分布其均值、方差為：

E（X）=1/λVar（X）=1/λ211/23/202378第二節(jié)隨機(jī)變量及其分布常用連續(xù)型隨機(jī)變量匯總名稱符號(hào)均值方差正態(tài)分布N(μ,σ2)μσ2均勻分布U(a，b)(b+a)/2(b-a)2/12對(duì)數(shù)正態(tài)分布LN(μ,σ2)指數(shù)分布Exp(λ)1/λ1/λ211/23/202379五、中心極限定理中心極限定理：設(shè)X1，X2，······X

n為相互獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，均值μ、σ2都存在，則在n較大時(shí)，樣本均值的分布總是近似服從正態(tài)分布第二節(jié)隨機(jī)變量及其分布11/23/202380一、總體、個(gè)體與樣本總體：研究、考察對(duì)象的全體稱為總體。個(gè)體：構(gòu)成總體的每個(gè)成員，稱為個(gè)體。樣本：從總體中抽取的部份個(gè)體組成一個(gè)樣本。樣本量：樣本中所包含的個(gè)體數(shù)目，稱為樣本量。第三節(jié)統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)知識(shí)11/23/202381二、隨機(jī)樣本隨機(jī)樣本：滿足下面兩個(gè)條件的樣本稱為簡單隨機(jī)樣本，簡稱隨機(jī)樣本。（1）隨機(jī)性：總體中每個(gè)個(gè)體都有相同的機(jī)會(huì)入樣。（2）獨(dú)立性：從總體中抽取的每個(gè)個(gè)體對(duì)其他個(gè)體的抽取無任何影響。第三節(jié)統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)知識(shí)11/23/202382第三節(jié)統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)知識(shí)三、統(tǒng)計(jì)量與抽樣分布（一）統(tǒng)計(jì)量的概念統(tǒng)計(jì)量：不含未知參數(shù)的函數(shù)稱為統(tǒng)計(jì)量。抽樣分布：統(tǒng)計(jì)量的分布稱為抽樣分布。常用統(tǒng)計(jì)量：常用統(tǒng)計(jì)量分兩類：一類用來描述樣本的中心位置；另一類用來描述樣本的分散程度。有序樣本：將從總體中抽取的一個(gè)樣本量為n的樣本：按從小到大的順序排列而成的11/23/202383直方圖：為研究數(shù)據(jù)變化規(guī)律而對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行加工整理的一種基本方法。1）計(jì)算R=xmax–xmin

2）決定分組數(shù)k及組距h3）確定組限：即每個(gè)區(qū)間的端點(diǎn)及組中值

4）計(jì)算落在每組的數(shù)據(jù)的頻數(shù)及頻率

5）作頻數(shù)頻率直方圖—頻率（概率）密度圖

6）作累積頻數(shù)和累積頻率直方圖—概率分布函數(shù)圖P132/P42第三節(jié)統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)知識(shí)11/23/202384〖數(shù)據(jù)集中位置的度量〗1、樣本均值

2、樣本中位數(shù)

3、樣本眾數(shù)——不是常用統(tǒng)計(jì)量(中級(jí))〖數(shù)據(jù)分散程度的度量〗1、樣本極差

2、樣本方差

3、樣本標(biāo)準(zhǔn)差

4、樣本變異系數(shù)(中級(jí))第三節(jié)統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)知識(shí)11/23/202385第三節(jié)統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)知識(shí)[例1]含幾個(gè)非負(fù)觀察值的的樣本，其均值為，標(biāo)準(zhǔn)差為s，樣本中有一個(gè)觀察值恰好等于，現(xiàn)將它刪去，用留下的n-1個(gè)數(shù)據(jù)再求樣本均值與樣本標(biāo)準(zhǔn)差，則有（）。

A、兩者都不變

B、兩者均有變化

C、均值不變，標(biāo)準(zhǔn)差變大

C、均值不變，標(biāo)準(zhǔn)差變小

D、均值變小，標(biāo)準(zhǔn)差不變11/23/202386（二）樣本均值的分布第三節(jié)統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)知識(shí)11/23/202387三、有關(guān)正態(tài)總體的幾個(gè)重要的抽樣分布（一）方差未知時(shí)，正態(tài)均值的分布

——t

分布（二）正態(tài)樣本方差的分布

——Χ2分布（三）兩個(gè)獨(dú)立的正態(tài)樣本方差之比的分布——F分布第三節(jié)統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)知識(shí)11/23/202388第四節(jié)參數(shù)估計(jì)參數(shù)估計(jì)有兩種基本形式：一、點(diǎn)估計(jì)（一）點(diǎn)估計(jì)的概念（P136/P53）（二）點(diǎn)估計(jì)優(yōu)良性標(biāo)準(zhǔn)(無偏、估計(jì)量方差小)（三）求點(diǎn)估計(jì)的方法——矩法估計(jì)（四）對(duì)幾種分布參數(shù)矩法估計(jì)的例子（P13