初中數(shù)學例題習題變式拓展輔導

初中數(shù)學例題習題變式拓展輔導本課件僅供大家學習學習學習完畢請自覺刪除謝謝本課件僅供大家學習學習學習完畢請自覺刪除謝謝開頭的話2016年《中國學生發(fā)展核心素養(yǎng)》內容的發(fā)布，標志著我國進入了素質教育2.0版。隨之，數(shù)學核心素養(yǎng)內容也新鮮出爐，分為數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、數(shù)學運算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析六個方面。史寧中先生認為，數(shù)學教學的最終目標，是要讓學習者會用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界，會用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界，會用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界。而數(shù)學的眼光就是抽象，數(shù)學的思維就是推理，數(shù)學的語言就是模型，因此，抽象、推理、模型應該是數(shù)學核心素養(yǎng)的關鍵。來源于八年級下冊第29頁第14題案例1基本模型基本結構1．如圖，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，點D在線段AB上，點E在線段AC上．請直接寫出線段BD與線段CE的關系：

．2．如圖，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，請判斷線段BD與線段CE的關系，并說明理由．變式1基本模型3．如圖，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，點D在線段AC上，請判斷線段BD與線段CE的關系，并說明理由．變式2基本模型4．如圖，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，請判斷線段BD與線段CE的關系，并說明理由．變式3基本模型5．如圖，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，點D在線段BC上，請判斷線段BD與線段CE的關系，并說明理由．變式4基本模型6．如圖，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，點D在線段BC上，試探索線段AD，BD，CD之間滿足的等量關系，并證明你的結論．變式5基本模型7．（2014武漢）如圖，在四邊形ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，求BD的長．變式6基本模型1．（2007南平）如圖，等腰直角△ABC中，∠ABC=90°，點P在AC上，將△ABP繞頂點B沿順時針方向旋轉90°后得到△CBQ．（1）求∠PCQ的度數(shù)；（2）當AB=4，AP：PC=1：3時，求PQ的大小；（3）當點P在線段AC上運動時（P不與A重合），請寫出一個反映PA2，PC2，PB2之間關系的等式，并加以證明．拓展1綜合拓展2．（2015鐵嶺）已知：點D是等腰直角三角形ABC斜邊BC所在直線上一點（不與點B重合），連接AD．（1）如圖1，當點D在線段BC上時，將線段AD繞點A逆時針方向旋轉90°得到線段AE，連接CE．求證：BD=CE，BD⊥CE．（2）如圖2，當點D在線段BC延長線上時，探究AD、BD、CD三條線段之間的數(shù)量關系，寫出結論并說明理由；（3）若BD=CD，直接寫出∠BAD的度數(shù)．拓展2綜合拓展3．（2015黃石）在△AOB中，C，D分別是OA，OB邊上的點，將△OCD繞點O順時針旋轉到△OC′D′．（1）如圖1，若∠AOB=90°，OA=OB，C，D分別為OA，OB的中點，證明：①AC′=BD′；②AC′⊥BD′；（2）如圖2，若△AOB為任意三角形且∠AOB=θ，CD∥AB，AC′與BD′交于點E，猜想∠AEB=θ是否成立？請說明理由．拓展3綜合拓展4．（2015貴港）已知：△ABC是等腰直角三角形，動點P在斜邊AB所在的直線上，以PC為直角邊作等腰三角形PCQ，其中∠PCQ=90°，探究并解決下列問題：（1）如圖①，若點P在線段AB上，猜想：PA2，PB2，PQ2三者之間的數(shù)量關系為

；（2）如圖②，若點P在AB的延長線上，在（1）中所猜想的結論仍然成立，請你利用圖②給出證明過程；（3）若動點P滿足PA︰PB=1︰3，求

的值．（提示：請利用備用圖進行探求）

拓展4綜合拓展5．(2016黃石)在△ABC中，AB=AC，∠BAC=2∠DAE=2α．（1）如圖1，若點D關于直線AE的對稱點為F，求證：△ADF∽△ABC；（2）如圖2，在（1）的條件下，若α=45°，求證：DE2=BD2+CE2；（3）如圖3，若α=45°，點E在BC的延長線上，則等式DE2=BD2+CE2還能成立嗎？請說明理由．

拓展5綜合拓展6．（2015威海）（1）如圖1，已知∠ACB=∠DCE=90°，AC=BC=6，CD=CE，AE=3，∠CAE=45°，求AD的長．（2）如圖2，已知∠ACB=∠DCE=90°，∠ABC=∠CED=∠CAE=30°，AC=3，AE=8，求AD的長．

拓展6綜合拓展7．（2015梅州）在Rt△ABC中，∠A=90°，AC=AB=4，D，E分別是AB，AC的中點．若等腰Rt△ADE繞點A逆時針旋轉，得到等腰Rt△AD1E1，設旋轉角為α（0<α≤180°），記直線BD1與CE1的交點為P．（1）如圖1，當α=90°時，線段BD1的長等于

，線段CE1的長等于

；（直接填寫結果）（2）如圖2，當α=135°時，求證：BD1=CE1，且BD1⊥CE1；（3）①設BC的中點為M，則線段PM的長為

；②點P到AB所在直線的距離的最大值為

．（直接填寫結果）

拓展7綜合拓展8．（2016達州）△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點D為直線BC上一動點（點D不與B，C重合），以AD為邊在AD右側作正方形ADEF，連接CF．（1）觀察猜想：如圖1，當點D在線段BC上時，①BC與CF的位置關系為：

；②BC，CD，CF之間的數(shù)量關系為：

；（將結論直接寫在橫線上）（2）數(shù)學思考：如圖2，當點D在線段CB的延長線上時，結論①，②是否仍然成立？若成立，請給予證明；若不成立，請你寫出正確結論再給予證明．（3）拓展延伸：如圖3，當點D在線段BC的延長線上時，延長BA交CF于點G，連接GE．若已知AB=2，CD=BC，請求出GE的長．拓展8綜合拓展9．（2013營口）如圖1，△ABC為等腰直角三角形，∠ACB=90°，F(xiàn)是AC邊上的一個動點（點F與A、C不重合），以CF為一邊在等腰直角三角形外作正方形CDEF，連接BF、

AD．（1）①猜想圖1中線段BF、AD的數(shù)量關系及所在直線的位置關系，直接寫出結論；②將圖1中的正方形CDEF，繞著點C按順時針（或逆時針）方向旋轉任意角度α，得到如圖2、圖3的情形．圖2中BF交AC于點H，交AD于點O，請你判斷①中得到的結論是否仍然成立，并選取圖2證明你的判斷；（2）將原題中的等腰直角三角形ABC改為直角三角形ABC，∠ACB=90°，正方形CDEF改為矩形CDEF，如圖4，且AC=4，BC=3，CD=4/3，CF=1，BF交AC于點H，交AD于點O，連接BD，AF，求BD2+AF2的值．拓展9綜合拓展10．（2016丹東）如圖①，△ABC與△CDE是等腰直角三角形，直角邊AC、CD在同一條直線上，點M、N分別是斜邊AB、DE的中點，點P為AD的中點，連接AE、BD．（1）猜想PM與PN的數(shù)量關系及位置關系，請直接寫出結論；（2）現(xiàn)將圖①中的△CDE繞著點C順時針旋轉α（0°＜α＜90°），得到圖②，AE與MP、BD分別交于點G、H．請判斷（1）中的結論是否成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由；（3）若圖②中的等腰直角三角形變成直角三角形，使BC=kAC，CD=kCE，如圖③，寫出PM與PN的數(shù)量關系，并加以證明．拓展10綜合拓展11．（2016三明）如圖，△ABC和△ADE是有公共頂點的等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，點P為射線BD，CE的交點.（1）求證：BD=CE；（2）若AB=2，AD=1，把△ADE繞點A旋轉，

①當∠EAC=90°時，求PB的長；

②直接寫出旋轉過程中線段PB長的最小值與最大值.拓展11綜合拓展拓展12綜合拓展拓展13綜合拓展案例2基本模型基本結構1．如圖，在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別為BC，DC邊上的點，∠EAF﹦45°，當BE﹦DF時，連結EF．求證：BE＋DF﹦EF．基本模型基本結構2．如圖，在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別為BC，DC邊上的點，∠EAF﹦45°，當BE≠DF時，連結EF．求證：BE＋DF﹦EF．基本模型基本結構3．如圖，在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別為BC，DC邊上的點，∠EAF﹦45°，連結BD,分別交AE，AF于點M，N．探究線段BM，MN，DN滿足的等量關系，并說明理由．1．如圖，已知正方形ABCD的邊長為5，點E，F(xiàn)分別在BC，CD邊上，分別連接AE，AF，EF，若∠EAF=45°，求△CEF的周長．變式1基本模型1．如圖，已知正方形ABCD的邊長為12，點E，F(xiàn)分別在BC，CD邊上，BE=4，分別連接AE，AF，EF，若∠EAF=45°，求△AEF的面積．變式2基本模型3．如圖，已知正方形ABCD的邊長為4，點E，F(xiàn)分別在BC，CD邊上，分別連接AE，AF，EF，若△CEF的周長是8，求∠EAF的度數(shù)．變式3基本模型4．（2013岳陽）某數(shù)學興趣小組開展了一次課外活動，過程如下：如圖，正方形ABCD中，AB＝6，將三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角頂點與D點重合．三角板的一邊交AB于點P，另一邊交BC的延長線于點Q．（1）求證：DP＝DQ；（2）如圖，小明在圖①的基礎上做∠PDQ的平分線DE交BC于點E，連接PE，他發(fā)現(xiàn)PE和QE存在一定的數(shù)量關系，請猜測他的結論并予以證明；（3）如圖，固定三角板直角頂點在D點不動，轉動三角板，使三角板的一邊交AB的延長線于點P，另一邊交BC的延長線于點Q，仍作∠PDQ的平分線DE交BC延長線于點E，連接PE，若AB:AP＝3:4，請幫小明算出△DEP的面積．變式4基本模型5．已知∠MAN135°，正方形ABCD繞點A旋轉．當正方形ABCD旋轉到∠MAN的外部（頂點A除外）時，AM，AN分別與正方形ABCD的邊CB，CD的延長線交于點M，N，連結MN．①如圖1，若BM

DN，則線段MN與BM＋DN之間的數(shù)量關系是

；②如圖2，若BM≠DN，請判斷①中的數(shù)量關系是否仍成立？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由．變式5基本模型6．如圖，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D、E是邊AB上的兩點，AD=3，BE=4，∠DCE=45°，則△ABC的面積是多少？變式6基本模型拓展1綜合拓展1．（2014日照）（1）如圖1，在正方形ABCD中，E是AB上一點，F(xiàn)是AD延長線上一點，且DF＝BE．求證：CE＝CF；（2）如圖2，在正方形ABCD中，E是AB上一點，G是AD上一點，如果∠GCE＝45°，請你利用（1）的結論證明：GE＝BE＋GD；（3）運用（1）（2）解答中所積累的經驗和知識，完成下題：如圖3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B＝90°，AB＝BC，E是AB上一點，且∠DCE＝45°，BE＝4，DE=10,求直角梯形ABCD的面積．拓展2綜合拓展2．（2013達州）如圖1，點E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上，∠EAF=45°，連接EF，則EF=BE+DF，試說明理由．（1）思路梳理：

∵AB=CD，∴把△ABE繞點A逆時針旋轉90°至△ADG，可使AB與AD重合．

∵∠ADC=∠B=90°，∴∠FDG=180°，點F，D，G共線．

根據(jù)____________，易證△AFG≌_______，得EF=BE+DF．（2）類比引申：如圖2，四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°點E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，∠EAF=45°．若∠B，∠D都不是直角，則當∠B與∠D滿足等量關系

時，仍有EF=BE+DF．（3）聯(lián)想拓展：如圖3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點D，E均在邊BC上，且∠DAE=45°．猜想BD，DE，EC應滿足的等量關系，并寫出推理過程．拓展3綜合拓展3．如圖，在正方形ABCD中，∠EBC=∠EAF=∠CDF=45°，探究BE，EF，DF之間滿足的等量關系．拓展4綜合拓展4．如圖，E，F(xiàn)分別在正方形ABCD的對角線BD的延長線上，∠EAF=135°．探究ED，EF，BF之間滿足的等量關系．拓展5綜合拓展5．（2016貴港）如圖1，在正方形ABCD內作∠EAF=45°，AE交BC于點E，AF交CD于點F，連接EF，過點A作AH⊥EF，垂足為H．（1）如圖2，將△ADF繞點A順時針旋轉90°得到△ABG．①求證：△AGE≌△AFE；②若BE=2，DF=3，求AH的長．（2）如圖3，連接BD交AE于點M，交AF于點N．請?zhí)骄坎⒉孪耄壕€段BM，MN，ND之間有什么數(shù)量關系？并說明理由．拓展6綜合拓展6．（2016淄博）如圖，正方形ABCD的對角線相交于點O，點M，N分別是邊BC，CD上的動點（不與點B，C，D重合），AM，AN分別交BD于點E，F(xiàn)，且∠MAN始終保持45°不變．（1）求證：AF⊥FM；（2）請?zhí)剿鳎涸凇螹AN的旋轉過程中，當∠BAM等于多少度時，∠FMN=∠BAM？寫出你的探索結論，并加以證明．拓展7綜合拓展7．（2011重慶）如圖，正方形ABCD中，AB＝6，點E在邊CD上，且CD＝3DE．將△ADE沿對折至△AFE，延長EF交邊BC于點G，連結AG，CF．下列結論：①△ABG≌△AFG；②BG＝GC；③AG∥CF；④.其中正確結論的個數(shù)是（

）A．1B．2C．3D．4拓展8綜合拓展拓展9綜合拓展9．（2015三明）在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．（1）將△ADF繞著點A順時針旋轉90°，得到△ABG（如圖①），求證：△AEG≌△AEF；（2）若直線EF與AB，AD的延長線分別交于點M，N（如圖②），求證：EF2=ME2+NF2；（3）將正方形改為長與寬不相等的矩形，若其余條件不變（如圖③），請你直接寫出線段EF，BE，DF之間的數(shù)量關系．拓展10綜合拓展10．（2016揚州）已知正方形ABCD的邊長為4，一個以點A為頂點的45°角繞點A旋轉，角的兩邊分別與邊BC，DC的延長線交于點E，F(xiàn)，連接EF．設CE=a，CF=b．（1）如圖1，當∠EAF被對角線AC平分時，求a，b的值；（2）當△AEF是直角三角形時，求a，b的值；（3）如圖3，探索∠EAF繞點A旋轉的過程中a，b滿足的關系式，并說明理由．拓展11綜合拓展11．（2018北京）如圖，在正方形ABCD中，E是邊AB上的一動點(不與點A，B重合)，連接DE，點A關于直線DE的對稱點為F，連接EF并延長交BC于點G，連接DG，過點E作EH⊥DE交DG的延長線于點H，連接BH．（1）求證：GF=GC；（2）用等式表示線段BH與AE的數(shù)量關系，并說明理由．拓展12綜合拓展12．（2014達州）如圖（1），點E，F(xiàn)分別在正方形ABCD的邊BC，CD上，∠EAF=45°，連接EF，則EF=BE+DF，說明理由．解答：∵正方形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠ADC=∠B=90°，∴把△ABE繞點A逆時針旋轉90°至△ADE′，點F，D，E′在一條直線上．∴∠E′AF=90°﹣45°=45°=∠EAF，又∵AE′=AE，AF=AF，∴△AE′F≌△AEF（SAS），∴EF=E′F=DE′+DF=BE+DF．觀察分析：觀察圖（1），由解答可知，該題有用的條件是①ABCD是四邊形，點E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上；②AB=