大題考法精研(三)-概率統(tǒng)計的綜合問題

大題考法精研(三)——概率統(tǒng)計的綜合問題12目錄3題型一概率統(tǒng)計中的決策性問題題型二概率統(tǒng)計與數(shù)列的綜合題型三概率統(tǒng)計與函數(shù)、不等式的綜合[例1]

(2023·煙臺二模)某企業(yè)擁有甲、乙兩條零件生產(chǎn)線，為了解零件質(zhì)量情況，采用分層隨機抽樣方法從兩條生產(chǎn)線共抽取180個零件，測量其尺寸(單位：mm)得到如下統(tǒng)計表，其中尺寸位于[55,58)的零件為一等品，位于[54,55)和[58,59)的零件為二等品，否則零件為三等品.題型一概率統(tǒng)計中的決策性問題生產(chǎn)線[53,54)[54,55)[55,56)[56,57)[57,58)[58,59)[59,60]甲49232824102乙214151716151(1)完成2×2列聯(lián)表，依據(jù)α＝0.05的獨立性檢驗能否認為零件為一等品與生產(chǎn)線有關(guān)聯(lián)？項目一等品非一等品合計甲

乙

合計

(2)將樣本頻率視為概率，從甲、乙兩條生產(chǎn)線中分別隨機抽取2個零件，每次抽取零件互不影響，以ξ表示這4個零件中一等品的數(shù)量，求ξ的分布列和數(shù)學期望E(ξ)；(3)已知該企業(yè)生產(chǎn)的零件隨機裝箱出售，每箱60個．產(chǎn)品出廠前，該企業(yè)可自愿選擇是否對每箱零件進行檢驗．若執(zhí)行檢驗，則每個零件的檢驗費用為5元，并將檢驗出的三等品更換為一等品或二等品；若不執(zhí)行檢驗，則對賣出的每個三等品零件支付120元賠償費用．現(xiàn)對一箱零件隨機檢驗了10個，檢出了1個三等品．將從兩條生產(chǎn)線抽取的所有樣本數(shù)據(jù)的頻率視為概率，以整箱檢驗費用與賠償費用之和的期望作為決策依據(jù)，是否需要對該箱余下的所有零件進行檢驗？請說明理由．[解]

(1)由題意得列聯(lián)表如下，項目一等品非一等品合計甲7525100乙483280合計12357180因為4.621>3.841＝x0.05，依據(jù)小概率值α＝0.05的獨立性檢驗，可以認為零件是否為一等品與生產(chǎn)線有關(guān)聯(lián)．所以ξ的分布列為設(shè)余下的50個零件中的三等品個數(shù)為X，設(shè)檢驗費用與賠償費用之和為Y，若不對余下的所有零件進行檢驗，則Y＝10×5＋120X，若對余下的所有零件進行檢驗，則總檢驗費用為60×5＝300元．因為350>300，所以應對剩下零件進行檢驗．[思維建模]解決決策性問題的關(guān)鍵是比較衡量指標的大小關(guān)系，所以根據(jù)題意準確求出衡量指標是根本．其基本的解題步驟：(1)準確定位，確定事件的性質(zhì)，這是準確建立模型、求解概率的基礎(chǔ)；(2)建立目標，根據(jù)概率知識求出衡量指標的目標式，如果沒有特殊要求，則需要求出數(shù)學期望與方差兩個方面的指標值；(3)比較大小，比較衡量指標的大小，一般采用作差法或作商法比較大小，如果沒有特殊要求，則需要先比較變量取值的平均水平——數(shù)學期望，若兩者相同，則進一步比較變量取值的離散集中程度——方差；(4)做出決策，根據(jù)衡量指標值的大小，做出相應的決策．

[針對訓練]1．(2023·泉州模擬)某技術(shù)部門對工程師進行達標等級考核，需要進行兩輪測試，每輪測試的成績在90分及以上的定為該輪測試通過，只有通過第一輪測試的人員才能進行第二輪測試，兩輪測試的過程相互獨立，并規(guī)定：①兩輪測試均通過的定為一級工程師；②僅通過第一輪測試，而第二輪測試沒通過的定為二級工程師；③第一輪測試沒通過的不予定級．(1)求經(jīng)過本次考核，甲、乙、丙三位工程師中恰有兩位被定為一級工程師的概率；(2)公司為鼓勵工程師參加等級考核設(shè)制兩套獎勵方案：方案一：獎勵定為一級工程師2000元，獎勵定為二級工程師1500元，未定級給予鼓勵獎500元；方案二：獲得一級或二級工程師均獎勵2000元，未獲得任何等級的不予獎勵．采用哪套方案，公司的獎勵支出會更少？解：(1)設(shè)甲、乙、丙被定為一級工程師的事件分別為A1，A2，A3，事件C表示三位工程師中恰有兩位被定為一級工程師．(2)方案一：設(shè)甲、乙、丙獲得的獎金分別為X，Y，Z，則X，Y，Z的可能取值均為2000,1500,500，方案二：設(shè)甲、乙、丙獲得的獎金分別為X′，Y′，Z′，則X′，Y′，Z′的可能取值均為2000,0，考法分析概率與數(shù)列的交匯應用比較廣泛，通過構(gòu)造數(shù)列模型，運用數(shù)列的思想構(gòu)造遞推數(shù)列模型，可以證明不等式、求解最值及生活中的最優(yōu)問題．主要題型有：(1)求通項公式：關(guān)鍵是找出概率Pn或數(shù)學期望E(Xn)的遞推關(guān)系式，然后根據(jù)構(gòu)造法(一般構(gòu)造等比數(shù)列)，求出通項公式；(2)求和：主要是數(shù)列中的倒序求和、錯位求和、裂項求和；(3)利用等差、等比數(shù)列的性質(zhì)，研究單調(diào)性、最值或求極限．題型二概率統(tǒng)計與數(shù)列的綜合[例2]

(2023·日照一模)第22屆世界杯于2022年11月21日至12月18日在卡塔爾舉辦．在決賽中，阿根廷隊通過點球戰(zhàn)勝法國隊獲得冠軍.[關(guān)鍵點撥]切入點判斷隨機變量X的分布模型隱藏點線性遞推數(shù)列轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列的技巧障礙點由條件確定pn，pn－1的關(guān)系故X的分布列為(2)①證明：第n次傳球之前球在甲腳下的概率為pn，則當n≥2時，第n－1次傳球之前球在甲腳下的概率為pn－1，第n－1次傳球之前球不在甲腳下的概率為1－pn－1，[思維建模]概率與數(shù)列問題的交匯，多以概率的求解為主線，建立關(guān)于概率的遞推關(guān)系．解決此類問題的基本步驟：(1)精準定性，即明確所求概率的“事件屬性”，這是確定概率概型的依據(jù)，也是建立遞推關(guān)系的準則；(2)準確建模，即通過概率的求解，建立遞推關(guān)系，轉(zhuǎn)化為數(shù)列模型問題；(3)解決模型，也就是遞推數(shù)列的求解，多通過構(gòu)造的方法轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列、等比數(shù)列的問題求解．求解過程應靈活運用數(shù)列的性質(zhì)，準確應用相關(guān)公式．[針對訓練]2．(2023·全國校聯(lián)考模擬預測)某公司生產(chǎn)A，B兩種型號的盲盒，每一種型號的盲盒有12款形態(tài)各異的玩偶，買家拆封之前，不知道盲盒里玩偶的款式．(1)小明看中了A型號盲盒，12款玩偶中有2款他特別喜歡，1款他不喜歡，另有3款他已經(jīng)擁有．小明從中隨機購買2款，若他購買到1款他特別喜歡的玩偶，積3分；購買到1款他不喜歡的玩偶，積－3分；購買到1款他已經(jīng)擁有的玩偶，積－1分；購買到1款其他款式玩偶，積1分．設(shè)X表示小明購買的2款玩偶的總積分，求X的分布列和數(shù)學期望；解：(1)由題意，知X的所有可能取值為－4，－2,0,2,4,6，考法分析概率統(tǒng)計與函數(shù)的交匯問題，綜合性較強，一是借助二次函數(shù)，分段函數(shù)的性質(zhì)，利用單調(diào)性求均值和方差的最值；二是利用導數(shù)研究函數(shù)的極值點，從而確定最優(yōu)解．但問題的本質(zhì)仍是以概率統(tǒng)計為主導，利用函數(shù)輔助求解．題型三概率統(tǒng)計與函數(shù)、不等式的綜合[例3]

(2023·新課標Ⅱ卷)某研究小組經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患病者的某項醫(yī)學指標有明顯差異，經(jīng)過大量調(diào)查，得到如下的患病者和未患病者該指標的頻率分布直方圖：利用該指標制定一個檢測標準，需要確定臨界值c，將該指標大于c的人判定為陽性，小于或等于c的人判定為陰性，此檢測標準的漏診率是將患病者判定為陰性的概率，記為p(c)；誤診率是將未患病者判定為陽性的概率，記為q(c)．假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布．以事件發(fā)生的頻率作為相應事件發(fā)生的概率．(1)當漏診率p(c)＝0.5%時，求臨界值c和誤診率q(c)；(2)設(shè)函數(shù)f(c)＝p(c)＋q(c)．當c∈[95,105]時，求f(c)的解析式，并求f(c)在區(qū)間[95,105]的最小值．[解]

(1)由題圖知(100－95)×0.002＝1%＞0.5%，所以95＜c＜100.設(shè)X為患病者的該指標，則p(c)＝P(X≤c)＝(c－95)×0.002＝0.5%，解得c＝97.5.設(shè)Y為未患病者的該指標，則q(c)＝P(Y＞c)＝(100－97.5)×0.01＋5×0.002＝0.035＝3.5%.(2)當95≤c≤100時，p(c)＝(c－95)×0.002＝0.002c－0.19，q(c)＝(100－c)×0.01＋5×0.002＝－0.01c＋1.01，所以f(c)＝p(c)＋q(c)＝－0.008c＋0.82；當100＜c≤105時，p(c)＝5×0.002＋(c－100)×0.012＝0.012c－1.19，q(c)＝(105－c)×0.002＝－0.002c＋0.21，所以f(c)＝p(c)＋q(c)＝0.01c－0.98.由一次函數(shù)的單調(diào)性知，函數(shù)f(c)在[95,100]上單調(diào)遞減，在(100,105]上單調(diào)遞增，作出f(c)在區(qū)間[95,105]上的大致圖象(略)，可得f(c)在區(qū)間[95,105]的最小值f(c)min＝f(100)＝－0.008×100＋0.82＝0.02.[思維建模]通過設(shè)置變量，利用數(shù)學期望、方差或概率的計算公式構(gòu)造函數(shù)，是概率與函數(shù)問題結(jié)合最常用的方式．解決此類問題，應注意兩個問題：(1)準確構(gòu)造函數(shù)，利用公式搭建函數(shù)模型時，由于隨機變量的數(shù)學期望、方差，隨機事件概率的計算中涉及變量較多，式子較為復雜，所以準確運算化簡是關(guān)鍵．(2)注意變量的取值范圍，一是題中給出的范圍，二是實際問題中變量自身取值的限制．[針對訓練]3．(2023·遼寧二模)根據(jù)以往大量的測量知某加工廠生產(chǎn)的鋼管內(nèi)徑尺寸X服從正態(tài)分布N(σ)，并把鋼管內(nèi)徑在(μ－σ，μ＋σ)內(nèi)的產(chǎn)品稱為一等品，鋼管內(nèi)徑在(μ＋σ，μ＋2σ)內(nèi)的產(chǎn)品稱為二等品，一等品與二等品統(tǒng)稱為正品，其余范圍內(nèi)的產(chǎn)品作為廢品回收．現(xiàn)從該企業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機抽取1000件，測得鋼管內(nèi)徑的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖如圖所示．(2)假如企業(yè)包裝時要求把2個一等品和n(n≥2，n∈N)個二等品裝在同一個箱子中，質(zhì)檢員從某箱子中摸出兩件產(chǎn)品進行檢驗，若抽取到的兩件產(chǎn)品等級相同，則該箱產(chǎn)品記為A，否則該箱產(chǎn)品記為B.①試用含n的代數(shù)式表示某箱產(chǎn)品抽檢被記為B的概率p；②設(shè)抽檢5箱產(chǎn)品恰有3箱被記為B的概率為f(p)，求當n為何值時，f(p)取得最大值，并求出最大值．參考數(shù)據(jù)：36.2×0.2＋36.4×0.25＋36.6×0.7＋36.8×0.8＋37×1.1＋37.2×0.8＋37.4×0.65＋37.6×0.4＋37.8×0.1＝185.解：(1)由題意估計從該企業(yè)生產(chǎn)的正品中隨機抽取1000件的平均數(shù)為所以μ＝37，σ＝s＝0.3.則μ－σ＝37－0.3＝36.7，μ＋σ＝37＋0.3＝37.3，μ＋2σ＝37＋0.6