高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第二部分 專題七 數(shù)學(xué)文化及數(shù)學(xué)思想 第1講 數(shù)學(xué)文化練典型習(xí)題 提數(shù)學(xué)素養(yǎng)（含解析）試題

第1講數(shù)學(xué)文化一、選擇題1．我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中有一衰分問題：今有北鄉(xiāng)八千一百人，西鄉(xiāng)七千四百八十八人，南鄉(xiāng)六千九百一十二人，凡三鄉(xiāng)，發(fā)役三百人，則北鄉(xiāng)遣()A．104人 B．108人C．112人 D．120人解析：選B.由題設(shè)可知這是一個分層抽樣的問題，其中北鄉(xiāng)可抽取的人數(shù)為300×eq\f(8100,8100＋7488＋6912)＝300×eq\f(8100,22500)＝108.故選B.2．“干支紀(jì)年法”是中國自古以來就一直使用的紀(jì)年方法．干支是天干和地支的總稱．天干、地支互相配合，配成六十組為一周，周而復(fù)始，依次循環(huán)．甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸十個符號為天干；子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥為地支．如：公元1984年為農(nóng)歷甲子年、公元1985年為農(nóng)歷乙丑年，公元1986年為農(nóng)歷丙寅年．則2049年為農(nóng)歷()A．己亥年 B．己巳年C．己卯年 D．戊辰年解析：選B.法一：由公元1984年為農(nóng)歷甲子年、公元1985年為農(nóng)歷乙丑年，公元1986年為農(nóng)歷丙寅年，可知以公元紀(jì)年的尾數(shù)在天干中找出對應(yīng)該尾數(shù)的天干，再將公元紀(jì)年除以12，用除不盡的余數(shù)在地支中查出對應(yīng)該余數(shù)的地支，這樣就得到了公元紀(jì)年的干支紀(jì)年.2049年對應(yīng)的天干為“己”，因其除以12的余數(shù)為9，所以2049年對應(yīng)的地支為“巳”，故2049年為農(nóng)歷己巳年．故選B.法二：易知(年份－3)除以10所得的余數(shù)對應(yīng)天干，則2049－3＝2046，2046除以10所得的余數(shù)是6，即對應(yīng)的天干為“己”．(年份－3)除以12所得的余數(shù)對應(yīng)地支，則2049－3＝2046，2046除以12所得的余數(shù)是6，即對應(yīng)的地支為“巳”，所以2049年為農(nóng)歷己巳年．故選B.3．(2019·山東淄博模擬)我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》有如下問題：“今有金箠，長五尺，斬本一尺，重四斤，斬末一尺，重二斤，問次一尺各重幾何？”意思是：“現(xiàn)有一根金箠，長5尺，一頭粗，一頭細(xì)，在粗的一端截下1尺，重4斤，在細(xì)的一端截下1尺，重2斤，問依次每一尺各重多少斤？”設(shè)該金箠由粗到細(xì)是均勻變化的，其重量為M，現(xiàn)將該金箠截成長度相等的10段，記第i段的重量為ai(i＝1，2，…，10)，且a1<a2<…<a10，若48ai＝5M，則i＝()A．4 B．5C．6 D．7解析：選C.由題意知，由細(xì)到粗每段的重量組成一個等差數(shù)列，記為{an}，設(shè)公差為d，則有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＋a2＝2，,a9＋a10＝4))?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a1＋d＝2，,2a1＋17d＝4))?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝\f(15,16)，,d＝\f(1,8).))所以該金箠的總重量M＝10×eq\f(15,16)＋eq\f(10×9,2)×eq\f(1,8)＝15.因為48ai＝5M，所以有48[eq\f(15,16)＋(i－1)×eq\f(1,8)]＝75，解得i＝6，故選C.4．《九章算術(shù)》是我國古代的數(shù)學(xué)名著，書中《均輸章》有如下問題：“今有五人分五錢，令上二人所得與下三人等，問各得幾何．”其意思為：已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5錢，甲、乙兩人所得與丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊每人所得依次成等差數(shù)列，問五人各得多少錢？(“錢”是古代的一種重量單位)在這個問題中，丙所得為()A．eq\f(7,6)錢 B．eq\f(5,6)錢C．eq\f(2,3)錢 D．1錢解析：選D.因為甲、乙、丙、丁、戊每人所得依次成等差數(shù)列，設(shè)每人所得依次為a－2d、a－d、a、a＋d、a＋2d，則a－2d＋a－d＋a＋a＋d＋a＋2d＝5，解得a＝1，即丙所得為1錢，故選D.5．《數(shù)術(shù)記遺》相傳是漢末徐岳(約公元2世紀(jì))所著，該書主要記述了：積算(即籌算)、太乙算、兩儀算、三才算、五行算、八卦算、九宮算、運籌算、了知算、成數(shù)算、把頭算、龜算、珠算、計數(shù)共14種計算方法．某研究性學(xué)習(xí)小組3人分工搜集整理該14種計算方法的相關(guān)資料，其中一人4種，其余兩人每人5種，則不同的分配方法種數(shù)是()A．eq\f(Ceq\o\al(4,14)Ceq\o\al(5,10)Ceq\o\al(5,5)Aeq\o\al(3,3),Aeq\o\al(2,2)) B．eq\f(Ceq\o\al(4,14)Ceq\o\al(5,10)Ceq\o\al(5,5)Aeq\o\al(2,2),Ceq\o\al(5,5)Aeq\o\al(3,3))C．eq\f(Ceq\o\al(4,14)Ceq\o\al(5,10)Ceq\o\al(5,5),Aeq\o\al(2,2)) D．Ceq\o\al(4,14)Ceq\o\al(5,10)Ceq\o\al(5,5)解析：選A.先將14種計算方法分為三組，方法有eq\f(Ceq\o\al(4,14)Ceq\o\al(5,10)Ceq\o\al(5,5),Aeq\o\al(2,2))種，再分配給3個人，方法有eq\f(Ceq\o\al(4,14)Ceq\o\al(5,10)Ceq\o\al(5,5),Aeq\o\al(2,2))×Aeq\o\al(3,3)種．故選A.6．我國古代的天文學(xué)和數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中記載：一年有二十四個節(jié)氣，每個節(jié)氣晷(ɡuǐ)長損益相同(晷是按照日影測定時刻的儀器，晷長即為所測量影子的長度)．二十四個節(jié)氣及晷長變化如圖所示，相鄰兩個節(jié)氣晷長的變化量相同，周而復(fù)始．若冬至晷長一丈三尺五寸，夏至晷長一尺五寸(一丈等于十尺，一尺等于十寸)，則夏至之后的那個節(jié)氣(小暑)晷長是()A．五寸 B．二尺五寸C．三尺五寸 D．四尺五寸解析：選B.設(shè)從夏至到冬至的晷長依次構(gòu)成等差數(shù)列{an}，公差為d，a1＝15，a13＝135，則15＋12d＝135，解得d＝10.所以a2＝15＋10＝25，所以小暑的晷長是25寸．故選B.7．(2019·江西七校第一次聯(lián)考)意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子繁殖問題時，發(fā)現(xiàn)有這樣一列數(shù)：1，1，2，3，5，8，13，…，該數(shù)列的特點是：前兩個數(shù)都是1，從第三個數(shù)起，每一個數(shù)都等于它前面兩個數(shù)的和，人們把這樣的一列數(shù)組成的數(shù)列{an}稱為“斐波那契數(shù)列”，則a2017·a2019－aeq\o\al(2,2018)等于()A．1 B．－1C．2017 D．－2017解析：選A.因為a1a3－aeq\o\al(2,2)＝1×2－1＝1，a2a4－aeq\o\al(2,3)＝1×3－22＝－1，a3a5－aeq\o\al(2,4)＝2×5－32＝1，a4a6－aeq\o\al(2,5)＝3×8－52＝－1，…，由此可知anan＋2－aeq\o\al(2,n＋1)＝(－1)n＋1，所以a2017a2019－aeq\o\al(2,2018)＝(－1)2017＋1＝1，故選A.8．《周易》歷來被人們視作儒家群經(jīng)之首，它表現(xiàn)了古代中華民族對萬事萬物深刻而又樸素的認(rèn)識，是中華人文文化的基礎(chǔ)，它反映出中國古代的二進(jìn)制計數(shù)的思想方法．我們用近代術(shù)語解釋為：把陽爻“”當(dāng)作數(shù)字“1”，把陰爻“”當(dāng)作數(shù)字“0”，則八卦所代表的數(shù)表示如下：卦名符號表示的二進(jìn)制數(shù)表示的十進(jìn)制數(shù)坤0000艮0011坎0102巽0113依次類推，則六十四卦中的“屯”卦，符號為“”，其表示的十進(jìn)制數(shù)是()A．33 B．34C．36 D．35解析：選B.由題意類推，可知六十四卦中的“屯”卦的符號“”表示的二進(jìn)制數(shù)為100010，轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制數(shù)為0×20＋1×21＋0×22＋0×23＋0×24＋1×25＝34.故選B.9．《算數(shù)書》竹簡于上世紀(jì)八十年代在湖北省江陵縣張家山出土，這是我國現(xiàn)存最早的有系統(tǒng)的數(shù)學(xué)典籍，其中記載有求“囷蓋”的術(shù)：“置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一．”該術(shù)相當(dāng)于給出了由圓錐的底面周長L與高h(yuǎn)，計算其體積V的近似公式V≈eq\f(1,36)L2h.它實際上是將圓錐體積公式中的圓周率π近似取為3.那么，近似公式V≈eq\f(7,264)L2h相當(dāng)于將圓錐體積公式中的π近似取為()A．eq\f(22,7) B．eq\f(25,8)C．eq\f(157,50) D．eq\f(355,113)解析：選A.依題意，設(shè)圓錐的底面半徑為r，則V＝eq\f(1,3)πr2h≈eq\f(7,264)L2h＝eq\f(7,264)(2πr)2h，化簡得π≈eq\f(22,7).故選A.10．中國古代名詞“芻童”原來是草堆的意思，關(guān)于“芻童”體積計算的描述，《九章算術(shù)》注曰：“倍上袤，下袤從之．亦倍下袤，上袤從之．各以其廣乘之，并，以高乘之，六而一．”其計算方法是：將上底面的長乘二，與下底面的長相加，再與上底面的寬相乘；將下底面的長乘二，與上底面的長相加，再與下底面的寬相乘；把這兩個數(shù)值相加，與高相乘，再取其六分之一．已知一個“芻童”的下底面是周長為18的矩形，上底面矩形的長為3，寬為2，“芻童”的高為3，則該“芻童”的體積的最大值為()A．eq\f(39,2) B．eq\f(75,2)C．39 D．eq\f(601,8)解析：選B.設(shè)下底面的長為xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,2)≤x<9))，則下底面的寬為eq\f(18－2x,2)＝9－x.由題可知上底面矩形的長為3，寬為2，“芻童”的高為3，所以其體積V＝eq\f(1,6)×3×[(3×2＋x)×2＋(2x＋3)(9－x)]＝－x2＋eq\f(17x,2)＋eq\f(39,2)，故當(dāng)x＝eq\f(9,2)時，體積取得最大值，最大值為－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(9,2)×eq\f(17,2)＋eq\f(39,2)＝eq\f(75,2).故選B.11．(多選)(2019·濟(jì)南模擬)如圖是謝賓斯基三角形，在所給的四個三角形圖案中，黑色的小三角形個數(shù)構(gòu)成數(shù)列{an}的前4項，則()A．a(chǎn)n＝3n－1B．a(chǎn)n＝2n－1C．a(chǎn)4＝27D．a(chǎn)n－an－1＝2·3n－2(n≥2)解析：選ACD.黑色的小三角形個數(shù)構(gòu)成數(shù)列{an}的前4項，分別為a1＝1，a2＝3，a3＝3×3＝32，a4＝32×3，因此{(lán)an}的通項公式可以是an＝3n－1.12．(多選)在《增刪算法統(tǒng)宗》中有這樣一則故事：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難；次日腳痛減一半，如此六日過其關(guān)．”則下列說法正確的是()A．此人第二天走了九十六里路B．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里C．此人第三天走的路程占全程的eq\f(1,8)D．此人后三天共走了42里路解析：選ABD.設(shè)此人第n天走an里路，前n天共走Sn里路．由題意可知，{an}是首項為a1，公比q＝eq\f(1,2)的等比數(shù)列，由等比數(shù)列前n項和公式得S6＝eq\f(a1\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,26))),1－\f(1,2))＝378，解得a1＝192.在A中，a2＝192×eq\f(1,2)＝96，故A正確；在B中，378－192＝186，192－186＝6，故B正確；在C中，a3＝192×eq\f(1,4)＝48，eq\f(48,378)>eq\f(1,8)，故C錯誤；在D中，a4＋a5＋a6＝192×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)＋\f(1,16)＋\f(1,32)))＝42，故D正確．13．(多選)中國傳統(tǒng)文化中很多內(nèi)容體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的“對稱美”．如圖所示的太極圖是由黑白兩個魚形紋組成的圓形圖案，充分體現(xiàn)了相互轉(zhuǎn)化、對稱統(tǒng)一的形式美、和諧美．定義：圖象能夠?qū)AO的周長和面積同時等分成兩部分的函數(shù)稱為圓O的一個“太極函數(shù)”，下列命題正確的是()A．對于任意一個圓O，其“太極函數(shù)”有無數(shù)個B．函數(shù)f(x)＝ln(x2＋eq\r(x2＋1))可以是某個圓的“太極函數(shù)”C．正弦函數(shù)y＝sinx可以同時是無數(shù)個圓的“太極函數(shù)”D．函數(shù)y＝f(x)是“太極函數(shù)”的充要條件為函數(shù)y＝f(x)的圖象是中心對稱圖形解析：選AC.過圓心的直線都可以將圓的周長和面積等分成兩部分，故對于任意一個圓O，其“太極函數(shù)”有無數(shù)個，故A正確；函數(shù)f(x)＝ln(x2＋eq\r(x2＋1))的圖象如圖1所示，故其不可能為圓的“太極函數(shù)”，故B錯誤；將圓的圓心放在正弦函數(shù)y＝sinx圖象的對稱中心上，則正弦函數(shù)y＝sinx是該圓的“太極函數(shù)”，從而正弦函數(shù)y＝sinx可以同時是無數(shù)個圓的“太極函數(shù)”，故C正確；函數(shù)y＝f(x)的圖象是中心對稱圖形，則y＝f(x)是“太極函數(shù)”，但函數(shù)y＝f(x)是“太極函數(shù)”時，圖象不一定是中心對稱圖形，如圖2所示，故D錯誤．二、填空題14.魯班鎖是中國傳統(tǒng)的智力玩具，起源于古代漢族建筑中首創(chuàng)的榫卯結(jié)構(gòu)，這種三維的拼插器具內(nèi)部的凹凸部分(即榫卯結(jié)構(gòu))嚙合，十分巧妙，外觀看是嚴(yán)絲合縫的十字立方體，其上下、左右、前后完全對稱．從外表上看，六根等長的正四棱柱體分成三組，經(jīng)90°榫卯起來，如圖，若正四棱柱體的高為6，底面正方形的邊長為1，現(xiàn)將該魯班鎖放進(jìn)一個球形容器內(nèi)，則該球形容器的表面積的最小值為________．(容器壁的厚度忽略不計)解析：表面積最小的球形容器可以看成長、寬、高分別為1、2、6的長方體的外接球．設(shè)其半徑為R，(2R)2＝62＋22＋12，解得R2＝eq\f(41,4)，所以該球形容器的表面積的最小值為4πR2＝41π.答案：41π15．《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，其中“勾股”章講述了“勾股定理”及一些應(yīng)用．直角三角形的三條邊分別稱為“勾”“股”“弦”．設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓eq\f(x2,4)＋y2＝1的左、右焦點，P是第一象限內(nèi)該橢圓上的一點，若線段PF2，PF1分別是Rt△F1PF2的“勾”“股”，則點P的橫坐標(biāo)為________．解析：由題意知半焦距c＝eq\r(3)，又PF1⊥PF2，故點P在圓x2＋y2＝3上，設(shè)P(x，y)，聯(lián)立，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＝3，,\f(x2,4)＋y2＝1，))得Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(6),3)，\f(\r(3),3))).故點P的橫坐標(biāo)為eq\f(2\r(6),3).答案：eq\f(2\r(6),3)16．公元前6世紀(jì)，古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派研究過正五邊形和正十邊形的作圖方