現(xiàn)代信號處理技術(shù)及應用第7章

2023年11月26日機械工程學院機自所動態(tài)室1現(xiàn)代信號處理技術(shù)及應用

ModernSignalProcessingTechnologyandItsApplication

何正嘉訾艷陽張西寧

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大

學

西安交通大學研究生創(chuàng)新教育系列教材

2023年11月26日機械工程學院機自所動態(tài)室2第七章基于第二代小波變換的信號處理

目前，相繼提出了很多構(gòu)造小波及其濾波器組的方法，為信號處理和工程應用領域提供了豐富的小波基函數(shù)。這些小波基函數(shù)大多數(shù)在頻域中構(gòu)造，其基本的變換工具是傅里葉變換，因此小波變換又稱為第一代小波變換。1995年，SweldensW.提出了一種在時域中采用提升方法構(gòu)造小波的第二代小波

(secondgenerationwavelet)方法。

相對于Mallat塔形算法而言，第二代小波方法是一種更為快速有效的小波變換實現(xiàn)方法。2023年11月26日機械工程學院機自所動態(tài)室3第七章基于第二代小波變換的信號處理

第二代小波的優(yōu)勢有以下四點：它不依賴于傅里葉變換，在時域中完成對雙正交小波的構(gòu)造，具有結(jié)構(gòu)化設計和自適應構(gòu)造的優(yōu)點；構(gòu)造方法靈活，可以通過提升(liftingscheme)改善小波函數(shù)的特性，從而構(gòu)造出具有期望特性的小波；不再是某一給定小波函數(shù)的伸縮和平移，它適合于不等間隔采樣問題的小波構(gòu)造；算法簡單，運算速度快，占用內(nèi)存少，執(zhí)行效率高，可以分析任意長度的信號。

1998年，Daubechies和Sweldens證明任意特性為有限沖擊響應濾波器(FIR)的離散小波變換都可以通過簡單的多步提升步驟來解決。

2023年11月26日機械工程學院機自所動態(tài)室4第七章基于第二代小波變換的信號處理7.1第二代小波變換原理7.2預測器和更新器7.3第二代小波包分析7.4冗余第二代小波變換2023年11月26日機械工程學院機自所動態(tài)室5第七章基于第二代小波變換的信號處理7.1第二代小波變換原理7.2預測器和更新器7.3第二代小波包分析7.4冗余第二代小波變換

2023年11月26日機械工程學院機自所動態(tài)室67.1第二代小波變換原理信號通常具有局部相關的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，其相鄰樣本之間的相關性比相距較遠的樣本之間的相關性強。利用剖分(split)運算，將信號分成奇樣本和偶樣本序列。在一定的精度下，兩個序列中的一個序列可以用預測(predict)運算來估計另一個序列，預測偏差為細節(jié)信號。利用細節(jié)信號對被預測的序列進行更新(update)運算，使序列得到修正，更新的結(jié)果為逼近信號?？梢缘玫交诓逯导毞衷淼牡诙〔ㄗ儞Q表示。2023年11月26日機械工程學院機自所動態(tài)室77.1第二代小波變換原理第二代小波變換的分解過程由三部分組成：剖分、預測和更新。其過程實現(xiàn)如圖7.1.1所示。原始信號序列為，其數(shù)據(jù)長度為L

圖7.1.1第二代小波分解過程

(1)剖分將原始信號分成偶樣本序列和奇樣本序列。

則偶樣本和奇樣本序列分別為，。2023年11月26日機械工程學院機自所動態(tài)室87.1第二代小波變換原理(2)

預測用相鄰的（，為正整數(shù)）個偶樣本預測奇樣本，將預測誤差定義為小波的細節(jié)信號，即(7.1.3)式中定義為點預測器算法。當無邊界影響時，預測器表示如下(7.1.4)式中為預測器系數(shù)。

左邊界受影響的情況有種，預測器統(tǒng)一表示為

(7.1.5)右邊界受影響的情況有種，預測器統(tǒng)一表示為(7.1.6)

為偶樣本序列的長度。

2023年11月26日機械工程學院機自所動態(tài)室97.1第二代小波變換原理(3)

更新根據(jù)細節(jié)信號，采用（，為正整數(shù)）個細節(jié)信號更新偶樣本，序列，定義為小波的逼近信號，即(7.1.7)式中定義為點更新器算法。當無邊界影響時，更新器表示如下(7.1.8)式中為預測器系數(shù)。

左邊界受影響的情況有種，更新器統(tǒng)一表示為

(7.1.9)右邊界受影響的情況有種，更新器統(tǒng)一表示為(7.1.10)

為細節(jié)信號的長度。

2023年11月26日機械工程學院機自所動態(tài)室107.1第二代小波變換原理當預測器系數(shù)為、更新器系數(shù)為時，基于插值細分原理的第二代小波變換分解過程如圖7.1.2所示。圖7.1.2基于插值細分原理的第二代小波分解原始信號剖分預測更新細節(jié)信號逼近信號2023年11月26日機械工程學院機自所動態(tài)室117.1第二代小波變換原理第二代小波變換的重構(gòu)過程由三部分組成：恢復更新、恢復預測和合并。其過程實現(xiàn)如圖7.1.3所示。圖7.1.3第二代小波重構(gòu)過程

(1)恢復更新由逼近信號和細節(jié)信號恢復偶樣本序列。(7.1.11)(2)恢復預測由偶樣本序列和細節(jié)信號恢復奇樣本序列。

(7.1.12)(3)合并由偶樣本序列和奇樣本序列恢復原始信號。(7.1.13/14)2023年11月26日機械工程學院機自所動態(tài)室127.1第二代小波變換原理當預測器系數(shù)為、更新器系數(shù)為時，基于插值細分原理的第二代小波變換重構(gòu)過程如圖7.1.4所示。圖7.1.4基于插值細分原理的第二代小波重構(gòu)恢復更新恢復預測合并2023年11月26日機械工程學院機自所動態(tài)室13第七章基于第二代小波變換的信號處理7.1第二代小波變換原理

7.2預測器和更新器7.3第二代小波包分析7.4冗余第二代小波變換

2023年11月26日機械工程學院機自所動態(tài)室147.2預測器和更新器7.2.1預測器系數(shù)計算方法

預測器系數(shù)的個數(shù)為，即。可得到高通濾波器系數(shù)與預測器系數(shù)之間的關系(7.2.1)

(7.2.2)(7.2.3)預測多項式的階數(shù)等價于小波的消失矩。采用個相鄰的偶樣本預測時，其對偶小波滿足如下條件(7.2.4)2023年11月26日機械工程學院機自所動態(tài)室157.2預測器和更新器7.2.1預測器系數(shù)計算方法

對于離散小波變換，對偶小波具有階消失矩，其對應的對偶等效濾波器系數(shù)序列具有相同的消失矩。(7.2.5)

將式(7.2.5)展開，寫成矢量形式如下

(7.2.6)

當時，式(7.2.6)可寫成如下矩陣展開

(7.2.7)2023年11月26日機械工程學院機自所動態(tài)室167.2預測器和更新器7.2.1預測器系數(shù)計算方法

式(7.2.7)可用簡式表示如下

(7.2.8)式(7.2.8)中，矩陣為一個的矩陣，其元素表示如下(7.2.9)其中，，且令。

由于等效高通濾波器僅與預測器系數(shù)有關，因此由式(7.2.9)就可以得到預測器系數(shù)。(7.2.3)2023年11月26日機械工程學院機自所動態(tài)室177.2預測器和更新器7.2.2更新器系數(shù)計算方法設在更新階段，更新器的個數(shù)為（，為正整數(shù)），預測器的個數(shù)為（，為正整數(shù)）。將和代入第二代小波重構(gòu)等效高通濾波器表達式，則得到重構(gòu)等效高通濾波器表達式如下(7.2.10)

式(7.2.10)中，為重構(gòu)等效高通濾波器系數(shù)。2023年11月26日機械工程學院機自所動態(tài)室187.2預測器和更新器7.2.2更新器系數(shù)計算方法設。與、的關系為(7.2.11)(7.2.12)當取其它值時，。與式(7.2.8)類似，得到如下關系式(7.2.13)式(7.2.13)中為一個維矩陣，其元素表示如下

(7.2.14)更新器系數(shù)作為未知變量可由式(7.2.13)計算得到。2023年11月26日機械工程學院機自所動態(tài)室197.2預測器和更新器7.2.3預測器和更新器系數(shù)特性（1）所有預測器系數(shù)之和為1，即；（2）所有更新器系數(shù)之和為，即；（3）當時，預測器系數(shù)為其對應更新器系數(shù)大小的兩倍，即（4）預測器和更新器系數(shù)具有對稱性，即（5） 預測器系數(shù)的個數(shù)和更新器系數(shù)的個數(shù)取不同值時，可以組合構(gòu)成新小波。2023年11月26日機械工程學院機自所動態(tài)室207.2預測器和更新器7.2.4第二代小波尺度函數(shù)和小波函數(shù)特性得到預測器、更新器系數(shù)后，通過對序列進行插值迭代運算就能得到第二代小波尺度函數(shù)和小波函數(shù)。圖7.2.1第二代小波尺度函數(shù)算法流程圖

圖7.2.2第二代小波小波函數(shù)算法流程圖

xe(n)=c(n)-U(d(n))xo(n)=d(n)+P(xe(n))x(2n)=xe(n)x(2n+1)=xo(n)issmooth?d=x)(xyEndYesNoInputc=[...,0,0,0,0,0,...]d=[...,0,0,1,0,0,...]xe(n)=c(n)-U(d(n))xo(n)=d(n)+P(xe(n))x(2n)=xe(n)x(2n+1)=xo(n)issmooth?c=x)(xfEndYesNoInputc=[...,0,0,1,0,0,...]d=[...,0,0,0,0,0,...]2023年11月26日機械工程學院機自所動態(tài)室217.2預測器和更新器7.2.4第二代小波尺度函數(shù)和小波函數(shù)特性當和，尺度函數(shù)和小波函數(shù)圖形如圖7.2.3所示。尺度函數(shù)和小波函數(shù)是緊支撐和對稱的。小波函數(shù)的形狀與沖擊信號波形非常相似，可提取振動波形中的特征分量。當和取不同值時，尺度函數(shù)和小波函數(shù)的支撐區(qū)間和光滑性發(fā)生變化，而其形狀相似。(a)尺度函數(shù)(b)小波函數(shù)2023年11月26日機械工程學院機自所動態(tài)室22第七章基于第二代小波變換的信號處理7.1第二代小波變換原理7.2預測器和更新器

7.3第二代小波包分析7.4冗余第二代小波變換

2023年11月26日機械工程學院機自所動態(tài)室237.3第二代小波包分析7.3.1第二代小波包分解和重構(gòu)算法在第二代小波變換的基礎上，構(gòu)造第二代小波包分解算法和重構(gòu)算法，包括以下步驟：將一個信號序列分成偶序列和奇序列。通過下列各式，計算得第二代小波包第l層分解的各個頻帶信號

……

其中，和的計算原理分別與式(7.1.3)和(7.1.7)相同。

2023年11月26日機械工程學院機自所動態(tài)室247.3第二代小波包分析7.3.1第二代小波包分解和重構(gòu)算法(3)第二代小波包重構(gòu)過程是將相應頻帶信號保留，而將其它頻帶信號置零，然后按照以下各式進行重構(gòu)。

……2023年11月26日機械工程學院機自所動態(tài)室257.3第二代小波包分析7.3.2滾動軸承損傷定量識別方法滾動軸承和齒輪發(fā)生損傷時，在其缺陷部位產(chǎn)生的沖擊脈沖激勵下，會出現(xiàn)振蕩衰減的脈沖響應信號。利用沖擊脈沖法（ShockPulseMethod，SPM）和包絡解調(diào)技術(shù)，可定量識別軸承等部件的損傷程度。SPM給出（分貝）的故障等級經(jīng)驗計算公式：(7.3.15)-分貝值，-軸轉(zhuǎn)速(r/min)；-內(nèi)徑(m)；-沖擊值(m/s2)。根據(jù)的如下值判斷軸承的運行狀態(tài)：

正常狀態(tài)，軸承工作狀態(tài)良好；輕微故障，軸承有早期損傷；嚴重故障，軸承已有明顯損傷。2023年11月26日機械工程學院機自所動態(tài)室267.3第二代小波包分析7.3.3工程應用機車是典型的大型復雜機電系統(tǒng)，滾動軸承是重要的機械部件。機車滾動軸承長期運行在惡劣的環(huán)境中，故障的危害性相當大。

電力機車輪對軸承2023年11月26日機械工程學院機自所動態(tài)室27TPL軌道交通－友好的交通工具2023年11月26日機械工程學院機自所動態(tài)室28TPL脫軌事故1998年6月3日，德國ICE884次高速列車輪箍發(fā)生破裂，引起列車脫軌撞橋事故造101人死亡，88人重傷，經(jīng)濟損失2億馬克2023年11月26日機械工程學院機自所動態(tài)室29

2005年1月6日凌晨2:30分，美國南卡拉羅拉州小鎮(zhèn)格拉尼特維爾，一輛運載氯氣的列車撞上了一輛停著的列車，共造成2人死亡至少200人受傷，其中13人傷勢嚴重，肇事貨運列車的４２節(jié)車廂中，有１６節(jié)脫軌，其中３節(jié)運載著氯氣。2023年11月26日機械工程學院機自所動態(tài)室302003年7月18日夜

6節(jié)車廂組成的特快列車

死傷：約60人地點：日本長崎2023年11月26日機械工程學院機自所動態(tài)室31

2005年1月7日意大利一列從北部維羅納開往中部博洛尼亞的旅客列車與一列貨運火車相撞，造成至少14人死亡，另有40多人受傷。這列載有近200人的列車行駛至博洛尼亞以北約25公里的克雷瓦爾科雷小鎮(zhèn)時，對面駛來的一列貨運火車相撞。2023年11月26日機械工程學院機自所動態(tài)室322003年9月1日

甘肅省定西市

20節(jié)油罐組成的貨車發(fā)生脫軌

造成隴海線中斷2023年11月26日機械工程學院機自所動態(tài)室33軸箱處斷裂：翻車!TPL列車運動失穩(wěn)和軌道不規(guī)則激振走行部位和軌道結(jié)構(gòu)失效操作失誤和自然災害2023年11月26日機械工程學院機自所動態(tài)室34

2003年9月至2004年10月，在浙贛線、石太線、京滬線等處，發(fā)生了4次因車軸疲勞斷裂和1次因車輪疲勞斷裂造成的貨運列車脫軌重大事故，直接與間接經(jīng)濟損失超過20億元人民幣。

2023年11月26日機械工程學院機自所動態(tài)室35電力機車走行部監(jiān)測診斷2023年11月26日機械工程學院機自所動態(tài)室36電力機車走行部輪對軸承診斷2023年11月26日機械工程學院機自所動態(tài)室37走行部輪對軸承診斷流程二代小波分解信號預處理系統(tǒng)振動信號混合智能診斷提取特征頻率dB值各頻帶信號Hilbert包絡解調(diào)第二代小波解調(diào)分析框圖2023年11月26日機械工程學院機自所動態(tài)室38輪對軸承混合智能診斷框架數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)信號預處理系統(tǒng)傳感器信號（振動、軸溫）模糊智能分類器1軸溫信息基于投票法的決策層融合混合智能診斷結(jié)果振動信號模糊智能分類器2提取4個時域特征模糊智能分類器4模糊智能分類器5預積分FFT經(jīng)驗模式分解模糊智能分類器3二代小波解調(diào)分析，8個頻域特征2023年11月26日機械工程學院機自所動態(tài)室39診斷案例1－外圈輕微擦痕（實驗臺測試）552732QT型電力機車輪對軸承早期外圈輕微擦痕（無手感）故障識別

早期外圈輕微擦痕（無手感）如圖所示。振動信號的采樣頻率為25.6k，軸承外圈故障特征頻率的計算值為60.8512Hz。外圈輕微擦痕早期外圈輕微擦痕（無手感）

2023年11月26日機械工程學院機自所動態(tài)室40診斷案例1－外圈輕微擦痕（實驗臺測試）在原始信號的解調(diào)譜中未發(fā)現(xiàn)對應的軸承外圈故障特征頻率60.8512Hz成分，而在第二代小波分解信號外圈特征譜中發(fā)現(xiàn)了與外圈故障損傷特征頻率相對應的頻率成分60.5859Hz（與外圈故障特征頻率計算值60.8512Hz接近）。原始信號解調(diào)譜

第二代小波分解信號解調(diào)譜振動加速度(g)振動加速度(g)頻率(Hz)頻率(Hz)2023年11月26日機械工程學院機自所動態(tài)室41診斷案例2－外圈嚴重剝離（頂輪測試）韶8電力機車輪對軸承外圈嚴重剝離故障（面積為53×30×2mm）識別軸承外圈嚴重剝離故障如圖所示。振動采樣頻率為25.6k，軸承外圈故障特征頻率為59.7689Hz。

外圈嚴重剝離故障兩處照片

2023年11月26日機械工程學院機自所動態(tài)室42診斷案例2－外圈嚴重剝離（頂輪測試）在第二代小波包分解信號外圈特征譜中發(fā)現(xiàn)了與外圈故障損傷特征頻率相對應的頻率成分59.5083Hz（與外圈故障特征頻率計算值59.7689Hz接近）。2023年11月26日機械工程學院機自所動態(tài)室43診斷案例3－外圈嚴重損傷（跟車測試）東風4D機車輪對軸承外圈嚴重損傷故障識別軸承外圈嚴重損傷故障如圖所示。車速53km/h，軸承外圈故障特征頻率為32.031Hz。軸承外圈嚴重損傷故障2023年11月26日機械工程學院機自所動態(tài)室44診斷案例3－外圈嚴重損傷（跟車測試）二代小波解調(diào)分析中，第5頻帶解調(diào)譜出現(xiàn)外圈故障特征頻率32.8110Hz對應的譜峰(70dB)。

dBf/Hz2023年11月26日機械工程學院機自所動態(tài)室45診斷案例4－外圈損傷（跟車測試）東風4D機車輪對軸承外圈損傷故障識別軸承外圈損傷故障如圖所示。車速53km/h，軸承外圈故障特征頻率為32.031Hz。外圈損傷故障2023年11月26日機械工程學院機自所動態(tài)室46診斷案例4－外圈損傷（跟車測試）二代小波解調(diào)分析中，第2頻帶解調(diào)譜出現(xiàn)外圈故障特征頻率32.8110Hz對應的譜峰(42dB)。dBf/Hz2023年11月26日機械工程學院機自所動態(tài)室47第七章基于第二代小波變換的信號處理7.1第二代小波變換原理7.2預測器和更新器7.3第二代小波包分析

7.4冗余第二代小波變換2023年11月26日機械工程學院機自所動態(tài)室487.4冗余第二代小波變換7.4.1冗余預測器和更新器的設計對預測器和更新器進行插值補零運算，獲得每層小波分解新的冗余預測器和冗余更新器；去掉剖分運算過程，直接利用新的冗余預測器和冗余更新器對信號進行分解和重構(gòu)。每次分解數(shù)據(jù)長度與原始數(shù)據(jù)長度一樣(冗余)；冗余預測器和冗余更新器（為冗余第2代小波的分解層數(shù)）的設計，是冗余第二代小波構(gòu)造的重要組成部分。2023年11月26日機械工程學院機自所動態(tài)室497.4冗余第二代小波變換7.4.1冗余預測器和更新器的設計設初始預測器系數(shù)和初始更新器系數(shù)分別為和，其中，。對和進行插值補零運算，就可以得到第層的，和，。第層可通過對第層的系數(shù)進行隔點插值補零得到。表示隔點補零插值算子第層可通過對第層的系數(shù)進行隔點插值補零得到。

表示隔點補零插值算子2023年11月26日機械工程學院機自所動態(tài)室507.4冗余第二代小波變換7.4.2冗余第二代小波分解與重構(gòu)過程構(gòu)造冗余第二代小波分解過程由兩部分組成：預測和更新。(1)預測

將信號序列中的每一個樣本通過冗余預測器，用相鄰的