2014中考數(shù)學一輪復習學案：第1講 實數(shù)

第1講實數(shù)【考綱要求】1．理解有理數(shù)、無理數(shù)和實數(shù)的概念，會用數(shù)軸上的點表示有理數(shù)．2．借助數(shù)軸理解相反數(shù)和絕對值的意義，會求一個數(shù)的相反數(shù)、倒數(shù)與絕對值．3．理解平方根、算術平方根、立方根的概念，會求一個數(shù)的算術平方根、平方根、立方根．4．理解科學記數(shù)法、近似數(shù)與有效數(shù)字的概念，能按要求用四舍五入法求一個數(shù)的近似值，能正確識別一個數(shù)的有效數(shù)字的個數(shù)，會用科學記數(shù)法表示一個數(shù)．5．熟練掌握實數(shù)的運算，會用各種方法比較兩個實數(shù)的大小.【命題趨勢】實數(shù)是中學數(shù)學重要的基礎知識，中考中多以選擇題、填空題和簡單的計算題的形式出現(xiàn)，主要考查基本概念、基本技能以及基本的數(shù)學思想方法．另外，命題者也會利用分析歸納、總結規(guī)律等題型考查考生發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力.【考點探究】考點一、實數(shù)的分類【例1】四個數(shù)－5，－0.1，eq\f(1,2)，eq\r(3)中為無理數(shù)的是()A．－5B．－0.1C．eq\f(1,2)D．eq\r(3)解析：因為－5是整數(shù)屬于有理數(shù)，－0.1是有限小數(shù)屬于有理數(shù)，eq\f(1,2)是分數(shù)屬于有理數(shù)，eq\r(3)開不盡方是無理數(shù)，故選D答案：D方法總結一個數(shù)是不是無理數(shù)，應先計算或者化簡再判斷．有理數(shù)都可以化成分數(shù)的形式．常見的無理數(shù)有四種形式：(1)含有π的式子；(2)根號內(nèi)含開方開不盡的式子；(3)無限且不循環(huán)的小數(shù)；(4)某些三角函數(shù)式．觸類旁通1在實數(shù)5，eq\f(3,7)，eq\r(2)，eq\r(4)中，無理數(shù)是()A．5B．eq\f(3,7)C．eq\r(2)D．eq\r(4)考點二、相反數(shù)、倒數(shù)、絕對值與數(shù)軸【例2】(1)－eq\f(1,5)的倒數(shù)是__________；(2)(－3)2的相反數(shù)是()A．6B．－6C．9D．－9(3)實數(shù)a，b在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡|a＋b|＋eq\r(b－a2)＝__________.解析：(1)－eq\f(1,5)的倒數(shù)為eq\f(1,－\f(1,5))＝－5；(2)因為(－3)2＝9,9的相反數(shù)是－9，故選D；(3)本題考查了絕對值，平方根及數(shù)軸的有關知識．由圖可知，a＜0，b＞0，|a|＞|b|，所以a＋b＜0，b－a＞0，原式＝－a－b＋b－a＝－2a.答案：(1)－5(2)D(3)－2a方法總結1．求一個數(shù)的相反數(shù)，直接在這個數(shù)的前面加上負號，有時需要化簡得出．2．解有關絕對值和數(shù)軸的問題時常用到字母表示數(shù)的思想、分類討論思想和數(shù)形結合思想．3．相反數(shù)是它本身的數(shù)只有0；絕對值是它本身的數(shù)是0和正數(shù)(即非負數(shù))；倒數(shù)是它本身的數(shù)是±1.觸類旁通2下列各數(shù)中，相反數(shù)等于5的數(shù)是()A．－5B．5C．－eq\f(1,5)D．eq\f(1,5)考點三、平方根、算術平方根與立方根【例3】(1)(－2)2的算術平方根是()A．2B．±2C．－2D．eq\r(2)(2)實數(shù)27的立方根是__________．解析：(1)(－2)2的算術平方根，即eq\r(－22)＝|－2|＝2；(2)27的立方根是eq\r(3,27)＝3.答案：(1)A(2)3方法總結1．對于算術平方根，要注意：(1)一個正數(shù)只有一個算術平方根，它是一個正數(shù)；(2)0的算術平方根是0；(3)負數(shù)沒有算術平方根；(4)算術平方根eq\r(a)具有雙重非負性：①被開方數(shù)a是非負數(shù)，即a≥0；②算術平方根eq\r(a)本身是非負數(shù)，即eq\r(a)≥0.2．(eq\r(3,a))3＝a，eq\r(3,a3)＝a.觸類旁通34的平方根是()A．2B．±2C．16D．±16考點四、科學記數(shù)法、近似數(shù)、有效數(shù)字【例4】年安徽省有682000名初中畢業(yè)生參加中考，按四舍五入保留兩位有效數(shù)字，682000用科學記數(shù)法表示為()A．0.69×106B．6.82×105C．0.68×106D．6.8×105解析：用科學記數(shù)法表示的數(shù)必須滿足a×10n(1≤|a|＜10，n為整數(shù))的形式；求近似數(shù)時注意看清題目要求和單位的換算；查有效數(shù)字時，要從左邊第1個非零數(shù)查起，到精確到的數(shù)為止.682000＝6.82×105≈6.8×105答案：D方法總結1．用科學記數(shù)法表示數(shù)，當原數(shù)的絕對值大于或等于1時，n等于原數(shù)的整數(shù)位數(shù)減1；當原數(shù)的絕對值小于1時，n是負整數(shù)，它的絕對值等于原數(shù)中左起第一位非零數(shù)字前零的個數(shù)．2．取一個數(shù)精確到某一位的近似數(shù)時，應對“某一位”后的第一個數(shù)進行四舍五入，而之后的數(shù)不予考慮．3．用科學記數(shù)法表示的近似數(shù)，乘號前面的數(shù)(即a)的有效數(shù)字即為該近似數(shù)的有效數(shù)字；而這個近似數(shù)精確到哪一位，應將用科學記數(shù)法表示的數(shù)還原成原來的數(shù)，再看最后一個有效數(shù)字處于哪一個數(shù)位上．觸類旁通4某種細胞的直徑是5×10－4毫米，這個數(shù)是()A．0.05毫米B．0.005毫米C．0.0005毫米D．0.00005毫米考點五、非負數(shù)性質的應用【例5】若實數(shù)x，y滿足eq\r(x－2)＋(3－y)2＝0，則代數(shù)式xy－x2的值為__________．解析：因為eq\r(x－2)≥0，(3－y)2≥0，而eq\r(x－2)＋(3－y)2＝0，所以x－2＝0,3－y＝0，解得x＝2，y＝3，則xy－x2＝2×3－22＝2.答案：2方法總結常見的非負數(shù)的形式有三種：|a|，eq\r(a)(a≥0)，a2，若它們的和為零，則每一個式子都為0.觸類旁通5若|m－3|＋(n＋2)2＝0，則m＋2n的值為()A．－4B．－1C．0D．4考點六、實數(shù)的運算【例6】計算：(1)2－1＋eq\r(3)cos30°＋|－5|－(π－2011)0.(2)(－1)2011－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－3＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos68°＋\f(5,π)))0＋|3eq\r(3)－8sin60°|.(1)分析：2－1＝eq\f(1,2)，cos30°＝eq\f(\r(3),2)，|－5|＝5，(π－2011)0＝1.解：原式＝eq\f(1,2)＋eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＋5－1＝eq\f(1,2)＋eq\f(3,2)＋5－1＝6.(2)分析：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－3＝(2－1)－3＝23＝8，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos68°＋\f(5,π)))0＝1，sin60°＝eq\f(\r(3),2)解：原式＝－1－8＋1＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(3\r(3)－8×\f(\r(3),2)))＝－8＋eq\r(3).點撥：(1)根據(jù)負整數(shù)指數(shù)冪的意義可把負整數(shù)指數(shù)冪轉化為正整數(shù)指數(shù)冪運算，即a－p＝eq\f(1,ap)(a≠0)．(2)a0＝1(a≠0)．方法總結提高實數(shù)的運算能力，首先要認真審題，理解有關概念；其次要正確、靈活地應用零指數(shù)、負整數(shù)指數(shù)的定義、特殊角的三角函數(shù)、絕對值、相反數(shù)、倒數(shù)等相關知識及實數(shù)的六種運算法則，根據(jù)運算律及順序，選擇合理、簡捷的解題途徑．要特別注意把好符號關．考點七、實數(shù)的大小比較【例7】比較2.5，－3，eq\r(7)的大小，正確的是()A．－3＜2.5＜eq\r(7)B．2.5＜－3＜eq\r(7)C．－3＜eq\r(7)＜2.5D．eq\r(7)＜2.5＜－3解析：由負數(shù)小于正數(shù)可得－3最小，故只要比較2.5和eq\r(7)的大小即可，由2.52＜(eq\r(7))2，得2.5＜eq\r(7)，所以－3＜2.5＜eq\r(7).答案：A方法總結實數(shù)的各種比較方法，要明確應用條件及適用范圍．如：“差值比較法”用于比較任意兩數(shù)的大小，而“商值比較法”一般適用于比較符號相同的兩個數(shù)的大小，還有“平方法”、“倒數(shù)法”等．要依據(jù)數(shù)值特點確定合適的方法．觸類旁通6在－6,0,3,8這四個數(shù)中，最小的數(shù)是()A．－6B．0C．3D．8【經(jīng)典考題】1．(2013黃石)－eq\f(1,3)的倒數(shù)是()A．eq\f(1,3)B．3C．－3D．－eq\f(1,3)2．(2013南京)下列四個數(shù)中，負數(shù)是()A．|－2|B．(－2)2C．－eq\r(2)D．eq\r(－22)3．(2013北京)首屆中國(北京)國際服務貿(mào)易交易會(京交會)于年6月1日閉幕，本屆京交會期間簽訂的項目成交總金額達60110000000美元．將60110000000用科學記數(shù)法表示應為()A．6.011×109B．60.11×109C．6.011×1010D．0.6011×10114．(2013南充)計算2－(－3)的結果是()A．5B．1C．－1D．－55．(2013樂山)計算：eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝__________.6．(2013重慶)計算：eq\r(4)＋(π－2)0－|－5|＋(－1)2012＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))－2.【模擬預測】1．下列各數(shù)中，最小的數(shù)是()A．0B．1C．－1D．－eq\r(2)2．若|a|＝3，則a的值是()A．－3B．3C．eq\f(1,3)D．±33．下列計算正確的是()A．(－8)－8＝0B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))×(－2)＝1C．－(－1)0＝1D．|－2|＝－24．如圖，數(shù)軸上A，B兩點對應的實數(shù)分別為1和eq\r(3)，若點A關于點B的對稱點為C，則點C所表示的實數(shù)是()A．2eq\r(3)－1B．1＋eq\r(3)C．2＋eq\r(3)D．2eq\r(3)＋15．(1)實數(shù)eq\f(1,2)的倒數(shù)是____．(2)寫出一個比－4大的負無理數(shù)__________．6．若將三個數(shù)－eq\r(3)，eq\r(7)，eq\r(11)表示在數(shù)軸上，其中能被如圖所示的墨跡覆蓋的數(shù)是__________．7．定義一種運算☆，其規(guī)則為a☆b＝eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)，根據(jù)這個規(guī)則，計算2☆3的值是__________．8．如圖，物體從點A出發(fā)，按照A→B(第1步)→C(第2步)→D→A→E→F→G→A→B→…的順序循環(huán)運動，則第2012步到達點________處．9．計算：|－2|＋(－1)2012－(π－4)0.參考答案【考點探究】觸類旁通1．C因為5是整數(shù)，eq\f(3,7)是分數(shù)，eq\r(4)＝2是整數(shù)．觸類旁通2．A因為5的相反數(shù)是－5，－eq\f(1,5)的相反數(shù)是eq\f(1,5)，eq\f(1,5)的相反數(shù)是－eq\f(1,5).觸類旁通3．B觸類旁通4．C因為0.05＝5×10－2,0.005＝5×10－3,0.0005＝5×10－4,0.00005＝5×10－5，故選C.觸類旁通5．B因為|m－3|≥0，且(n＋2)2≥0，又因為|m－3|＋(n＋2)2＝0，所以m－3＝0且n＋2＝0.所以m＝3，n＝－2，所以m＋2n＝3＋2×(－2)＝－1觸類旁通6．A因為根據(jù)正數(shù)大于0,0大于負數(shù)，正數(shù)大于負數(shù)，解答即可．【經(jīng)典考題】1．C∵－3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))＝1，∴－eq\f(1,3)的倒數(shù)是－3.2．CA中，|－2|＝2，是正數(shù)，故本選項錯誤；B中，(－2)2＝4，是正數(shù)，故本選項錯誤；C中，－eq\r(2)＜0，是負數(shù)，故本選項正確；D中，eq\r((－2)2)＝eq\r(4)＝2，是正數(shù)，故本選項錯誤．3．C因為科學記數(shù)法的形式為a×10n，用科學記數(shù)法表示較大的數(shù)，其規(guī)律為1≤a＜10，n是比原數(shù)的整數(shù)位數(shù)小1的正整數(shù)，所以60110000000＝6.011×1010.4．A原式＝2＋3＝5.5．eq\f(1,2)根據(jù)負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，得eq