(人教版)高中數(shù)學必修二(全冊)同步練習+單元檢測卷匯總

PAGE（人教版）高中數(shù)學必修二（全冊）同步練習+單元檢測卷匯總課后提升作業(yè)一棱柱、棱錐、棱臺的結構特征(45分鐘70分)一、選擇題(每小題5分，共40分)1.下列說法中正確的是()A.棱柱的面中，至少有兩個面互相平行B.棱柱中兩個互相平行的平面一定是棱柱的底面C.棱柱中一條側棱的長就是棱柱的高D.棱柱的側面一定是平行四邊形，但它的底面一定不是平行四邊形【解析】選A.棱柱的兩底面互相平行，故A正確；棱柱的側面也可能有平行的面(如正方體)，故B錯；立在一起的一摞書可以看成一個四棱柱，當把這摞書推傾斜時，它的側棱就不是棱柱的高，故C錯；由棱柱的定義知，棱柱的側面一定是平行四邊形，但它的底面可以是平行四邊形，也可以是其他多邊形，故D錯.2.四棱柱有幾條側棱，幾個頂點()A.四條側棱、四個頂點 B.八條側棱、四個頂點C.四條側棱、八個頂點 D.六條側棱、八個頂點【解析】選C.結合正方體可知，四棱柱有四條側棱，八個頂點.3.下列說法錯誤的是()A.多面體至少有四個面B.九棱柱有9條側棱，9個側面，側面為平行四邊形C.長方體、正方體都是棱柱D.三棱柱的側面為三角形【解析】選D.三棱柱的側面是平行四邊形，故D錯誤.4.如圖，將裝有水的長方體水槽固定底面一邊后傾斜一個小角度，則傾斜后水槽中的水形成的幾何體是()A.棱柱B.棱臺C.由一個棱柱與一個棱錐構成D.不能確定【解析】選A.根據(jù)棱柱的結構特征，當傾斜后水槽中的水形成了以左右(或前后)兩個側面為底面的四棱柱.5.(2016·鄭州高一檢測)如圖都是正方體的表面展開圖，還原成正方體后，其中兩個完全一樣的是()A.(1)(2) B.(2)(3) C.(3)(4) D.(1)(4)【解題指南】讓其中一個正方形不動，其余各面沿這個正方形的各邊折起，進行想象后判斷.【解析】選B.在圖(2)(3)中，⑤不動，把圖形折起，則②⑤為對面，①④為對面，③⑥為對面，故圖(2)(3)完全一樣，而(1)(4)則不同.【補償訓練】下列圖形經(jīng)過折疊可以圍成一個棱柱的是()【解析】選D.A，B，C中底面多邊形的邊數(shù)與側面數(shù)不相等.6.若棱臺上、下底面的對應邊之比為1∶2，則上、下底面的面積之比是()A.1∶2 B.1∶4 C.2∶1 D.4∶1【解析】選B.由棱臺的概念知，上、下兩底面是相似的多邊形，故它們的面積之比等于對應邊長之比的平方，故為1∶4.7.(2016·溫州高一檢測)在五棱柱中，不同在任何側面且不同在任何底面的兩頂點的連線稱為它的對角線，那么一個五棱柱的對角線的條數(shù)共有()A.20條 B.15條C.12條 D.10條【解析】選D.因為棱柱的側棱都是平行的，所以過任意不相鄰的兩條側棱的截面為一個平行四邊形，共可得5個截面，每個平行四邊形可得到五棱柱的兩條對角線，故共有10條對角線.8.(2015·廣東高考)若空間中n個不同的點兩兩距離都相等，則正整數(shù)n的取值()A.大于5 B.等于5C.至多等于4 D.至多等于3【解析】選C.正四面體的四個頂點是兩兩距離相等的，即空間中n個不同的點兩兩距離都相等，則正整數(shù)n的取值至多等于4.二、填空題(每小題5分，共10分)9.在正方體上任意選擇4個頂點，它們可能是如下各種幾何體的4個頂點，這些幾何體是________.(寫出所有正確結論的編號)①矩形；②不是矩形的平行四邊形；③有三個面為等腰直角三角形，有一個面為等邊三角形的四面體；④每個面都是等邊三角形的四面體；⑤每個面都是直角三角形的四面體.【解析】如圖：①正確，如圖四邊形A1D1CB為矩形；②錯誤，任意選擇4個頂點，若組成一個平面圖形，則必為矩形或正方形，如四邊形ABCD為正方形，四邊形A1BCD1為矩形；③正確，如四面體A1ABD；④正確，如四面體A1C1BD；⑤正確，如四面體B1ABD；則正確的說法是①③④⑤答案：①③④⑤10.(2016·天津高一檢測)一個棱柱有10個頂點，所有的側棱長的和為60cm，則每條側棱長為________cm.【解析】因為n棱柱有2n個頂點，又此棱柱有10個頂點，所以它是五棱柱，又棱柱的側棱都相等，五條棱長的和為60cm，可知每條側棱長為12cm.答案：12三、解答題(每小題10分，共20分)11.根據(jù)下面對幾何體結構特征的描述，說出幾何體的名稱.(1)由8個面圍成，其中2個面是互相平行且全等的六邊形，其他各面都是平行四邊形.(2)由5個面圍成，其中一個是正方形，其他各面都是有1個公共頂點的三角形.【解析】(1)根據(jù)棱柱的結構特征可知，該幾何體為六棱柱.(2)根據(jù)棱錐的結構特征可知，該幾何體為四棱錐.12.已知三棱柱ABC-A′B′C′，底面是邊長為1的正三角形，側面為全等的矩形且高為8，求一點自A點出發(fā)沿著三棱柱的側面繞行一周后到達A′點的最短路線長.【解析】將三棱柱側面沿側棱AA′剪開，展成平面圖形如圖，則AA″即為所求的最短路線.在Rt△AA1A″中，AA1=3，A1A所以AA″==.【延伸探究】本題條件不變，求一點自A點出發(fā)沿著三棱柱的側面繞行兩周后到達A′點的最短路線長.【解析】將兩個相同的題目中的三棱柱的側面都沿AA′剪開，然后展開并拼接成如圖所示，則AA″即為所求的最短路線.在Rt△AA1A″中，AA1=6，A1A″=8，

所以AA″===10.【能力挑戰(zhàn)題】如圖，在邊長為2a的正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點，沿圖中虛線將3個三角形折起，使點A，B，C重合，重合后記為點P.問：(1)折起后形成的幾何體是什么幾何體？(2)這個幾何體共有幾個面，每個面的三角形有何特點？(3)每個面的三角形面積為多少？【解析】(1)如圖，折起后的幾何體是三棱錐.(2)這個幾何體共有4個面，其中△DEF為等腰三角形，△PEF為等腰直角三角形，△DPE和△DPF均為直角三角形.(3)S△PEF=QUOTEa2，S△DPF=S△DPE=QUOTE×2a×a=a2，S△DEF=S正方形ABCD-S△PEF-S△DPF-S△DPE=(2a)2-QUOTEa2-a2-a2=QUOTEa2.關閉Word文檔返回原板塊溫馨提示：此套題為Word版，請按住Ctrl,滑動鼠標滾軸，調節(jié)合適的觀看比例，答案解析附后。關閉Word文檔返回原板塊。課后提升作業(yè)二圓柱、圓錐、圓臺、球、簡單組合體的結構特征(45分鐘70分)一、選擇題(每小題5分，共40分)1.正方形繞其一條對角線所在直線旋轉一周，所得幾何體是()A.圓柱 B.圓錐C.圓臺 D.兩個共底的圓錐【解析】選D.連BD交AC于O，則AC⊥BD.BC，AB繞直線AC旋轉各得一圓錐.【補償訓練】將圖①所示的三角形繞直線l旋轉一周，可以得到如圖②所示的幾何體的是()【解析】選B.由旋轉體的結構特征知，幾何體由上、下兩個同底的圓錐組成，因此只有B符合題意.2.如圖所示，是由等腰梯形、矩形、半圓、圓、倒三角形對接形成的平面軸對稱圖形，若將它繞軸l旋轉180°后形成一個組合體，下面說法不正確的是()A.該組合體可以分割成圓臺、圓柱、圓錐和兩個球體B.該組合體仍然關于軸l對稱C.該組合體中的圓錐和球只有一個公共點D.該組合體中的球和半球只有一個公共點【解析】選A.該組合體中有一個球和一個半球，故A錯誤.3.(2016·銀川高一檢測)圓錐的側面展開圖是直徑為a的半圓面，那么此圓錐的軸截面是()A.等邊三角形 B.等腰直角三角形C.頂角為30°的等腰三角形 D.其他等腰三角形【解析】選A.設圓錐底面圓的半徑為r，依題意可知2πr=π·QUOTE，則r=QUOTE，故軸截面是邊長為QUOTE的等邊三角形.4.如圖所示的簡單組合體，其結構特征是()A.兩個圓錐B.兩個圓柱C.一個棱錐和一個棱柱D.一個圓錐和一個圓柱【解析】選D.上面是圓錐，下接一個同底的圓柱.5.如圖所示的幾何體是由下面哪一個平面圖形旋轉而形成的()【解析】選A.該幾何體自上向下是由一個圓錐，兩個圓臺和一個圓柱構成，是由A中的平面圖形旋轉而形成的.6.過球面上任意兩點A，B作大圓，可能的個數(shù)是()A.有且只有一個 B.一個或無窮多個C.無數(shù)個 D.以上均不正確【解析】選B.當過AB的直線經(jīng)過球心時，經(jīng)過A，B的截面所得的圓都是球的大圓，這時可作無數(shù)個；當直線AB不過球心時，經(jīng)過A，B，O的截面就是一個大圓，這時只能作一個大圓.【補償訓練】正三棱錐內有一個內切球，經(jīng)過棱錐的一條側棱和高作截面，正確的圖是()【解析】選C.正三棱錐的內切球與各個面的切點為正三棱錐各面的中心，所以過一條側棱和高的截面必過該棱所對面的高線，故C正確.7.如圖所示的平面結構，繞中間軸旋轉一周，形成的幾何體形狀為()A.一個球體B.一個球體中間挖去一個圓柱C.一個圓柱D.一個球體中間挖去一個棱柱【解析】選B.外面的圓旋轉形成一個球，里面的長方形旋轉形成一個圓柱.8.如圖，各棱長都相等的三棱錐內接于一個球，則經(jīng)過球心的一個截面圖形可能是()A.①③ B.①② C.②④ D.②③【解析】選A.①正確，截面過三棱錐底面的一邊；②錯誤，截面圓內三角形的一條邊不可能過圓心；③正確，為截面平行于三棱錐底面；④錯誤，截面圓不可能過三棱錐的底面.二、填空題(每小題5分，共10分)9.(2016·濟寧高一檢測)一個半徑為5cm的球，被一平面所截，球心到截面圓心的距離為4cm，則截面圓面積為________cm2.【解析】設截面圓半徑為rcm.則r2+42=52，所以r=3.所以截面圓面積為9πcm2.答案：9π10.圓臺的上底面面積為π，下底面面積為16π，用一個平行于底面的平面去截圓臺，該平面自上而下分圓臺的高的比為2∶1，則這個截面的面積為________.【解析】如圖，把圓臺還原為圓錐，設截面☉O1的半徑為r，因為圓臺的上底面面積為π，下底面面積為16π，所以上底面的半徑為1，下底面的半徑為4，所以=QUOTE，設SO=x，SO2=4x，則OO2=3x，又OO1∶O1O2=2∶1，所以OO1=2x，在△SBO1中，QUOTE=，所以r=3.因此截面面積為9π.答案：9π三、解答題(每小題10分，共20分)11.如圖所示，梯形ABCD中，AD∥BC，且AD<BC，當梯形ABCD繞AD所在直線旋轉一周時，其他各邊旋轉圍成了一個幾何體，試描述該幾何體的結構特征.【解析】如圖所示，旋轉所得的幾何體是一個圓柱挖去兩個圓錐后剩余部分構成的組合體.12.已知圓錐的底面半徑為r，高為h，正方體ABCD-A1B1C1D1內接于圓錐，【解題指南】過正方體的一組對棱作圓錐的軸截面，將有關量放在平面圖形中，建立正方體的棱長與圓錐有關量的關系即可求解.【解析】過內接正方體的一組對棱作圓錐的軸截面，如圖所示.設圓錐內接正方體的棱長為x，則在軸截面中，正方體的對角面A1ACC1的一組鄰邊的長分別為x和x.因為△VA1C1∽△VMN，所以=.所以hx=2rh-2rx，所以x==.即圓錐內接正方體的棱長為.【能力挑戰(zhàn)題】如圖所示，已知圓錐SO中，底面半徑r=1，母線長l=4，M為母線SA上的一個點，且SM=x，從點M拉一根繩子，圍繞圓錐側面轉到點A.求：(1)繩子的最短長度的平方f(x).(2)繩子最短時，頂點到繩子的最短距離.(3)f(x)的最大值.【解析】將圓錐的側面沿SA展開在平面上，如圖所示，則該圖為扇形，且弧AA′的長度L就是圓O的周長，所以L=2πr=2π.所以∠ASM=×360°=×360°=90°.(1)由題意知繩子長度的最小值為展開圖中的AM，其值為AM=(0≤x≤4).所以f(x)=AM2=x2+16(0≤x≤4).(2)繩子最短時，在展開圖中作SR⊥AM，垂足為R，則SR的長度為頂點S到繩子的最短距離，在△SAM中，因為S△SAM=QUOTESA·SM=QUOTEAM·SR，所以SR==(0≤x≤4)，即繩子最短時，頂點到繩子的最短距離為(0≤x≤4).(3)因為f(x)=x2+16(0≤x≤4)是增函數(shù)，所以f(x)的最大值為f(4)=32.關閉Word文檔返回原板塊溫馨提示：此套題為Word版，請按住Ctrl,滑動鼠標滾軸，調節(jié)合適的觀看比例，答案解析附后。關閉Word文檔返回原板塊。課后提升作業(yè)三中心投影與平行投影空間幾何體的三視圖(45分鐘70分)一、選擇題(每小題5分，共40分)1.下列哪個實例不是中心投影()A.工程圖紙 B.小孔成像C.相片 D.人的視覺【解析】選A.根據(jù)中心投影的定義知道其為光線由一點發(fā)出來形成的投影，在這幾個選項中小孔成像、相片、人的視覺都是中心投影，只有工程圖紙是平行投影.2.一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體可以是()A.棱柱 B.棱臺 C.圓柱 D.圓臺【解題指南】本題考查的是幾何體的三視圖，在判斷時要結合三種視圖進行判斷.【解析】選D.根據(jù)幾何體的三視圖中正視圖與側視圖一致且為梯形，并且俯視圖是兩個圓，可知只有選項D合適，故選D.3.(2016·懷仁高二檢測)已知某一幾何體的正視圖與側視圖如圖所示，則在下列圖形中，可以是該幾何體的俯視圖的圖形有()A.①②③⑤ B.②③④⑤C.①②④⑤ D.①②③④【解析】選D.因幾何體的正視圖和側視圖一樣，所以易判斷出其俯視圖可能為①②③④，故選D.4.(2016·邢臺高二檢測)如圖，網(wǎng)格紙的各小格都是正方形，粗實線畫出的是一個幾何體的三視圖，則這個幾何體是()A.三棱錐 B.三棱柱C.四棱錐 D.四棱柱【解析】選B.根據(jù)三視圖分析可知，該幾何體是三棱柱.5.(2016·株洲高一檢測)已知某幾何體的正視圖和側視圖均如圖所示，給出下列5個圖形：其中可以作為該幾何體的俯視圖的圖形個數(shù)是()A.5個 B.4個 C.3個 D.2個【解析】選B.由正視圖和側視圖可知，幾何體可以為圓柱挖去一個小圓柱，圓柱挖去長方體，長方體挖去圓柱，長方體挖去直三棱柱，所以圖①②③⑤都可作俯視圖，圖④不能.6.如圖是一正方體被過棱的中點M，N和頂點A，D，C1的兩個截面截去兩個角后所得的幾何體，則該幾何體的正視圖為()【解析】選B.棱C1D看不到，故為虛線；棱AM可以看到，故為實線；顯然正視圖為B.7.(2016·上饒高二檢測)已知如圖所示的正方體ABCD-A1B1C1D1，點P，Q分別在棱BB1，DD1上，且=，過點A，P，Q作截面截去該正方體的含點A1的部分，則下列圖形中不可能是截去后剩下幾何體的正視圖的是()【解析】選A.當P，B1重合時，正視圖為選項B；當P到B點的距離比B1近時，正視圖為選項C；當P到B點的距離比B1遠時，正視圖為選項D，因此答案為A.8.已知點E，F(xiàn)，G分別是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱AA1，CC1，DD1的中點，點M，N，Q，P分別在線段DF，AG，BE，C1B1上.以M，N，Q，P為頂點的三棱錐P-【解析】選C.如圖(1)，俯視圖即為A，當M，N，Q，P分別為DF，AG，BE，C1B1中點時，俯視圖為B.如圖(2)，俯視圖即為D.不管P，Q，M，N在什么位置，俯視圖都不可能是一個正三角形，故選C.二、填空題(每小題5分，共10分)9.(2016·桂林高二檢測)如圖，E、F分別是正方體的面ADD1A1，面BCC1B1的中心，則四邊形BFD1E在該正方體的面上的正射影可能是________.(要求：【解析】因為正方體是對稱的幾何體，所以四邊形BFD1E在該正方體的面上的射影可分為：上下、左右、前后三個方向的射影，也就是在面ABCD，面ABB1A1，面ADD1A1上的射影，四邊形BFD1E在面ABCD和面ABB1A1上的射影相同，如圖②所示；四邊形BFD1E在該正方體對角面的ABC1D1內，它在面ADD1A1上的射影顯然是一條線段，如圖答案：②③【補償訓練】如圖，點O為正方體ABCD-A′B′C′D′的中心，點E為面B′BCC′的中心，點F為B′C′的中點，則空間四邊形D′OEF在該正方體的面上的正投影可能是________(填出所有可能的序號).【解題指南】根據(jù)平行投影的特點和正方體的性質，分別從正方體三個不同的角度來觀察正方體，得到三個不同的投影圖，逐個檢驗，得到結果.【解析】要畫出四邊形OEFD′在該正方體的各個面上的投影，只需畫出四個頂點O，E，F(xiàn)，D′在每個面上的投影，再順次連接就可得到在該面上的投影，并且在兩個相對面上的投影是相同的.在面ABCD和面A′B′C′D′上的投影是③；在面ADD′A′和面BCC′B′上的投影是②；在面ABB′A′和面DCC′D′上的投影是①.故答案為①②③.答案：①②③10.(2016·哈爾濱高二檢測)如圖，下列四個幾何體中，它們的三視圖(正視圖、俯視圖、側視圖)有且僅有兩個相同，而另一個不同的兩個幾何體是________.(1)棱長為2的正方體(2)底面直徑和高均為2的圓柱(3)底面直徑和高均為2的圓錐【解析】依題可知(1)中三視圖均是邊長為2的正方形.(2)正視圖與側視圖是邊長為2的正方形，俯視圖是直徑為2的圓.(3)正視圖與側視圖均是底邊長和高都為2的等腰三角形，俯視圖是直徑為2的圓.答案：(2)(3)三、解答題(每小題10分，共20分)11.(2016·德州高一檢測)已知某幾何體的三視圖(單位：cm)如圖所示，試畫出該幾何體.【解析】由三視圖可知該幾何體是一個長、寬、高分別為6，3，6的長方體在一頂角上去掉一個側棱長分別為4，3，4的三棱錐的多面體，如圖：12.用小立方體搭成一個幾何體，使它的正視圖和俯視圖如圖所示，搭建這樣的幾何體，最多要幾個小立方體？最少要幾個小立方體？【解析】由于正視圖中每列的層數(shù)即是俯視圖中該列的最大數(shù)字，因此，用的立方塊數(shù)最多的情況是每個方框都用該列的最大數(shù)字，即如圖①所示，此種情況共用小立方塊17塊，即最多要17塊.而搭建這樣的幾何體用小立方體個數(shù)最少的情況是每列只要有一個最大的數(shù)字，其他方框內的數(shù)字可減少到最少的1，即如圖②所示，這樣的擺法只需小立方塊11塊，即最少要11塊.關閉Word文檔返回原板塊溫馨提示：此套題為Word版，請按住Ctrl,滑動鼠標滾軸，調節(jié)合適的觀看比例，答案解析附后。關閉Word文檔返回原板塊。課后提升作業(yè)五柱體、錐體、臺體的表面積與體積(45分鐘70分)一、選擇題(每小題5分，共40分)1.某幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖是個半圓，則該幾何體的表面積為()A. B.π+ C.+ D.+【解析】選C.由三視圖可知該幾何體為一個半圓錐，底面半徑為1，高為，所以表面積S=QUOTE×2×+QUOTE×π×12+QUOTE×π×1×2=+.2.(2016·北京高考)某三棱錐的三視圖如圖所示,則該三棱錐的體積為()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.1【解析】選A.通過三視圖可還原幾何體為如圖所示的三棱錐,則通過側視圖得高h=1,底面積S=QUOTE×1×1=QUOTE,所以體積V=QUOTESh=QUOTE.3.(2016·太原高一檢測)如圖，正方體ABCD-A′B′C′D′的棱長為4，動點E，F(xiàn)在棱AB上，且EF=2，動點Q在棱D′C′上，則三棱錐A′-EFQ的體積()A.與點E，F(xiàn)的位置有關B.與點Q的位置有關C.與點E，F(xiàn)，Q的位置都有關D.與點E，F(xiàn)，Q的位置均無關，是定值【解析】選D.VA′-EFQ=VQ-A′EF=QUOTE×QUOTE×EF×AA′×A′D′，所以其體積為定值，與點E，F(xiàn)，Q的位置均無關.4.(2016·邯鄲高二檢測)已知某空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是()A.16 B.24 C.32 D.48【解析】選D.由三視圖知，該幾何體是一個四棱錐E-ABCD，底面ABCD是一個直角梯形，各邊長如圖所示，BC⊥AB，EB⊥底面ABCD，AB=6，所以由棱錐的體積公式得，V=QUOTE×QUOTE×(6+2)×6×6=48.5.(2016·山東高考)一個由半球和四棱錐組成的幾何體,其三視圖如圖所示.則該幾何體的體積為()A.QUOTE+QUOTEπ B.QUOTE+πC.QUOTE+π D.1+π【解析】選C.由三視圖可知,半球的半徑為,四棱錐底面正方形邊長為1,高為1,所以該組合體的體積=QUOTEπ·×QUOTE+QUOTE×1×1×1=QUOTE+π.6.某幾何體的三視圖如圖所示，則它的體積是()A.8-QUOTEπ B.8-QUOTEπ C.8-2π D.QUOTEπ【解析】選A.這個幾何體是一個棱長為2的正方體中挖去一個圓錐，這個圓錐的高為2，底面半徑為1，故這個幾何體體積為23-QUOTEπ×12×2=8-QUOTEπ.【延伸探究】本題條件不變，求該幾何體的表面積.【解析】這個幾何體是一個棱長為2的正方體中挖去一個圓錐，這個圓錐的高為2，底面半徑為1，可求得圓錐的母線l==.所以該幾何體的表面積為S表=5×22+22-π×12+π×1×=24-π+π=24+(-1)π.7.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為()A.180 B.200 C.220 D.240【解析】選D.由三視圖可知該幾何體為底面為梯形的直四棱柱.底面積為2×QUOTE×(8+2)×4=40，由三視圖知，梯形的腰為=5，梯形的周長為8+2+5+5=20，所以四棱柱的側面積為20×10=200，表面積為240.8.如圖為某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為()A.10+ B.10+C.6+2+ D.6++【解析】選C.由三視圖知四邊形ABCD為直角梯形，其面積為S1==3.三角形PAB為直角三角形，其面積為S2=QUOTE×2×1=1.三角形PAD面積為S3=QUOTE×2×2=2，PD=2，三角形PDC面積為S4=QUOTE×2×2=2.又PB=BC=，PC=2，作BE⊥PC于E，則BE===，所以三角形PBC的面積為S5=QUOTE×2×=，故表面積為S=S1+S2+S3+S4+S5=6+2+.二、填空題(每小題5分，共10分)9.(2016·寧波高二檢測)若如圖為某直三棱柱(側棱與底面垂直)被削去一部分后的直觀圖與三視圖中的側視圖、俯視圖，則其正視圖的面積為________，三棱錐D-BCE的體積為________.【解析】根據(jù)題意分析可知，正視圖為兩條直角邊分別是2，4的直角三角形，所以S=QUOTE×2×4=4，VD-BCE=VB-DCE=QUOTE×QUOTE×4×2×2=QUOTE.答案：4QUOTE10.(2015·天津高考)一個幾何體的三視圖如圖所示(單位：m)，則該幾何體的體積為________m3.【解析】由三視圖可知，該幾何體是中間為一個底面半徑為1，高為2的圓柱，兩端是底面半徑為1，高為1的圓錐，所以該幾何體的體積V=12×π×2+2×QUOTE×12×π×1=QUOTEπ(m3).答案：QUOTEπ三、解答題(每小題10分，共20分)11.(2016·鄭州高二檢測)若某幾何體的三視圖(單位：cm)如圖所示，(1)求此幾何體的表面積.(2)求此幾何體的體積.【解析】(1)由題意知，該幾何體是一個組合體，上邊是長方體，長為4cm，寬為4cm，高為2cm，下邊是一個四棱臺，上底邊長為4cm，下底邊長為8cm，高是3cm，四棱臺的斜高為=，則該幾何體的表面積S=4×4+4×2×4+8×8+(4+8)×÷2×4=(112+24)cm2.(2)該幾何體的體積V=4×4×2+QUOTE(42+82+4×8)×3=144(cm3).12.如圖所示，在長方體ABCD-A′B′C′D′中，用截面截下一個棱錐D′-A′DC，求棱錐D′-A′DC的體積與剩余部分的體積之比.【解析】設AB=a，AD=b，DD′=c，則長方體ABCD-A′B′C′D′的體積V=abc，因為V三棱錐D′-A′DC=V三棱錐C-A′DD′，又S△A′DD′=QUOTEbc，且三棱錐C-A′DD′的高為CD=a.所以V三棱錐C-A′DD′=QUOTES△A′DD′·CD=QUOTEabc.則剩余部分幾何體的體積V剩=abc-QUOTEabc=QUOTEabc.故V三棱錐D′-A′DC∶V剩=QUOTEabc∶QUOTEabc=1∶5.【一題多解】已知長方體可以看成側棱垂直于底面的四棱柱ADD′A′-BCC′B′，設它的底面ADD′A′面積為S，高為h，則它的體積為V=Sh.因為V三棱錐D′-A′DC=V三棱錐C-A′DD′，而棱錐C-A′DD′的底面面積為QUOTES，高為h，因此棱錐C-A′DD′的體積VC-A′DD′=QUOTE×QUOTESh=QUOTESh.余下的體積是Sh-QUOTESh=QUOTESh.所以棱錐C-A′DD′，即棱錐D′-A′DC的體積與剩余部分的體積之比為QUOTESh∶QUOTESh=1∶5.【能力挑戰(zhàn)題】如圖，正三棱錐O-ABC的底面邊長為2，高為1，求該三棱錐的體積及表面積.【解析】由已知條件可知，正三棱錐O-ABC的底面△ABC是邊長為2的正三角形，經(jīng)計算得底面△ABC的面積為.所以該三棱錐的體積為QUOTE××1=.設O′是正三角形ABC的中心.由正三棱錐的性質可知，OO′⊥平面ABC.延長AO′交BC于D，連接OD，得AD=，O′D=.又因為OO′=1，所以正三棱錐的斜高OD=.故側面積為3×QUOTE×2×=2.所以該三棱錐的表面積為+2=3，因此，所求三棱錐的體積為，表面積為3.關閉Word文檔返回原板塊溫馨提示：此套題為Word版，請按住Ctrl,滑動鼠標滾軸，調節(jié)合適的觀看比例，答案解析附后。關閉Word文檔返回原板塊。課后提升作業(yè)六球的體積和表面積(30分鐘60分)一、選擇題(每小題5分，共40分)1.(2016·杭州高二檢測)把球的表面積擴大到原來的2倍，那么體積擴大到原來的()A.2倍 B.2倍 C.倍 D.倍【解析】選B.設原球的半徑為R，表面積擴大2倍，則半徑擴大倍，體積擴大2倍.2.將棱長為2的正方體削成一個體積最大的球，則這個球的體積為()A.π B. C.π D.4π【解析】選B.根據(jù)題意知，此球為正方體的內切球，所以球的直徑等于正方體的棱長，故r=1，所以V=QUOTEπr3=QUOTEπ.3.如果一個球的外切圓錐的高是這個球的半徑的3倍，則圓錐的側面積和球的表面積之比為()A.4∶3 B.3∶1 C.3∶2 D.9∶4【解析】選C.作圓錐的軸截面，如圖，設球半徑為R，則圓錐的高h=3R，圓錐底面半徑r=R，則l==2R，所以===QUOTE.【延伸探究】本題條件不變，求圓錐的體積與表面積之比.【解析】設球的半徑為R，則圓錐的高為h=3R，圓錐底面半徑r=R，所以===QUOTE.4.已知某球的大圓周長為c，則這個球的表面積是()A. B. C. D.2πc2【解析】選C.設球的半徑為r，則2πr=c，所以r=，所以球的表面積為S=4πr2=4π·=.5.(2015·全國卷Ⅰ)圓柱被一個平面截去一部分后與半球(半徑為r)組成一個幾何體，該幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示.若該幾何體的表面積為16+20π，則r=()A.1 B.2 C.4 D.8【解析】選B.由正視圖和俯視圖知，該幾何體是半球與半個圓柱的組合體，圓柱的底面半徑與球的半徑都為r，圓柱的高為2r，其表面積為QUOTE×4πr2+πr×2r+πr2+2r×2r=5πr2+4r2=16+20π，解得r=2.6.把半徑分別為6cm，8cm，10cm的三個鐵球熔成一個大鐵球，這個大鐵球的半徑為()A.3cm B.6cm C.8cm D【解析】選D.由QUOTEπR3=QUOTEπ·63+QUOTEπ·83+QUOTEπ·103，得R3=1728，檢驗知R=12.7.(2016·上饒高二檢測)空間幾何體的外接球，理解為能將幾何體包圍，幾何體的頂點和弧面在此球上，且球的半徑要最小.若如圖是一個幾何體的三視圖，則該幾何體的外接球的表面積為()A. B. C. D.【解析】選A.該幾何體是一個圓柱和一個正方體的組合體，作出該幾何體與其外接球的軸截面如圖所示：則R2=x2+1=(2-x)2+，解得：x=QUOTE，R2=x2+1=，故該幾何體的外接球的表面積S=4πR2=π.8.(2014·湖南高考)一塊石材表示的幾何體的三視圖如圖所示，將該石材切削、打磨，加工成球，則能得到的最大球的半徑等于()A.1 B.2 C.3 D.4【解題提示】先由三視圖畫出直觀圖，判斷這個幾何體是底面是邊長為6，8，10的直角三角形，高為12的水平放置的直三棱柱，底面的內切圓的半徑就是得到的最大球的半徑.【解析】選B.由三視圖畫出直觀圖如圖，判斷這個幾何體是底面邊長為6，8，10的直角三角形，高為12的水平放置的直三棱柱，直角三角形的內切圓的半徑為r==2，這就是得到的最大球的半徑.二、填空題(每小題5分，共10分)9.(2016·廣州高一檢測)已知高與底面直徑之比為2∶1的圓柱內接于球，且圓柱的體積為500π，則球的體積為________.【解析】設圓柱的底面半徑為r，則高為4r，由題意知πr2·4r=500π，則r=5，設球的半徑為R，則R2=r2+4r2=125，所以R=5，故V球=QUOTEπ×(5)3=答案：10.已知三棱錐A-BCD的所有棱長都為，則該三棱錐的外接球的表面積為________.【解析】如圖，構造正方體ANDM-FBEC.因為三棱錐A-BCD的所有棱長都為，所以正方體ANDM-FBEC的棱長為1.所以該正方體的外接球的半徑為.易知三棱錐A-BCD的外接球就是正方體ANDM-FBEC的外接球，所以三棱錐A-BCD的外接球的半徑為.所以三棱錐A-BCD的外接球的表面積為S球=4π=3π.答案：3π三、解答題11.(10分)某組合體的直觀圖如圖所示，它的中間為圓柱形，左右兩端均為半球形，若圖中r=1，l=3，試求該組合體的表面積和體積.【解析】兩半球的表面積為S1=4πr2=4π，圓柱的側面積為S2=2πrl=2π×1×3=6π，故該組合體表面積為4π+6π=10π，兩半球的體積為V1=QUOTEπr3=QUOTEπ，圓柱的體積為V2=πr2·l=π×12×3=3π，故該幾何體的體積為V1+V2=QUOTEπ+3π=π.【補償訓練】1.有三個球，第一個球內切于正方體的六個面，第二個球與這個正方體的各條棱相切，第三個球過這個正方體的各個頂點，若正方體的棱長為a，求這三個球的表面積.【解析】(1)正方體的內切球球心是正方體的中心，切點是六個面(正方形)的中心，經(jīng)過四個切點及球心作截面，如圖(1)，所以有2r1=a，r1=QUOTE，所以S1=4π=πa2.(2)球與正方體各棱的切點在每條棱的中點，過球心作正方體的對角面得截面，如圖(2)，所以有2r2=a，r2=a，所以S2=4π=2πa2.(3)正方體的各個頂點在球面上，過球心作正方體的對角面得截面，如圖(3)，所以有2r3=a，r3=a，所以S3=4π=3πa2.2.有一個倒圓錐形容器，它的軸截面是一個正三角形，在容器內放一個半徑為r的鐵球，并注入水，使水面與球正好相切，然后將球取出，求這時容器中水的深度.【解析】由題意知，圓錐的軸截面為正三角形，如圖所示為圓錐的軸截面.根據(jù)切線性質知，當球在容器內時，水深為3r，水面的半徑為r，則容器內水的體積為V=V圓錐-V球=QUOTEπ·(r)2·3r-QUOTEπr3=QUOTEπr3，而將球取出后，設容器內水的深度為h，則水面圓的半徑為h，從而容器內水的體積是V′=QUOTEπ··h=QUOTEπh3，由V=V′，得h=r，即容器中水的深度為r.關閉Word文檔返回原板塊溫馨提示：此套題為Word版，請按住Ctrl,滑動鼠標滾軸，調節(jié)合適的觀看比例，答案解析附后。關閉Word文檔返回原板塊。單元質量評估(二)(第二章)(120分鐘150分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求)1.(2016·蚌埠高二檢測)已知兩條相交直線a，b，a∥平面α，則b與平面α的位置關系是()A.b?平面αB.b⊥平面αC.b∥平面αD.b與平面α相交，或b∥平面α【解析】選D.直線a顯然不可能在平面α內，平行與相交都有可能，故選D.2.下列敘述中，正確的是()A.四邊形是平面圖形B.有三個公共點的兩個平面重合C.兩兩相交的三條直線必在同一個平面內D.三角形必是平面圖形【解析】選D.A中四邊形可以是空間四邊形；B中兩個相交平面的交線上有無數(shù)個公共點；C中若三條直線有一個公共點，可得三條直線不一定在一個平面內，故A，B，C不正確，D正確.3.(2016·浙江高考)已知互相垂直的平面α,β交于直線l.若直線m,n滿足m∥α,n⊥β,則()A.m∥l B.m∥n C.n⊥l D.m⊥n【解題指南】根據(jù)線、面垂直的定義判斷.【解析】選C.由題意知,α∩β=l,所以l?β,因為n⊥β,所以n⊥l.4.(2016·銀川高一檢測)空間四邊形ABCD中，若AB=AD=AC=CB=CD=BD，則AC與BD所成角為()A.30° B.45° C.60° D.90°【解析】選D.取AC中點E，連接BE，DE，因為AB=AD=AC=CB=CD=BD，所以AC垂直于BE，也垂直于DE，所以AC垂直于平面BDE，因此AC垂直于BD.5.如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，A.C1D1⊥B1C B.BD1⊥C.BD1∥B1C D.∠ACB1=60【解析】選C.因為C1D1⊥平面B1C，B1C?平面B所以C1D1⊥B1C所以A選項正確；由于AC⊥平面BDD1，所以BD1⊥AC，B選項正確；因為三角形AB1C所以∠ACB1=60°，即D選項正確.由于BD1與B1C6.(2016·鞍山高一檢測)設α，β是兩個不同的平面，l是一條直線，以下命題正確的是()A.若l⊥α，α⊥β，則l?βB.若l∥α，α∥β，則l?βC.若l⊥α，α∥β，則l⊥βD.若l∥α，α⊥β，則l⊥β【解析】選C.若l⊥α，α⊥β，則l?β或l∥β，故A不正確；若l∥α，α∥β，則l?β或l∥β，故B不正確；若l⊥α，α∥β，則l⊥β，故C正確；若l∥α，α⊥β，則l⊥β或l?β或l∥β，故D不正確.7.(2016·衡水高二檢測)如圖所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BC=AC，AC1⊥A1B，M，N分別是A1B1，AB的中點，給出下列結論①C1M⊥平面A1ABB1，②A1B⊥NB1，③平面AMC1⊥平面CBA1，A.0 B.1 C.2 D.3【解析】選D.①因為在直三棱柱ABC-A1B1C1中，所以平面A1B1C1⊥平面ABB1A1，因為BC=AC，所以B1C1=A1C1，又因為M為A1B1的中點，所以C1M⊥A1B1，因為平面A1B1C1∩平面ABB1A1=A1B1，所以C1M⊥平面ABB1A1，故①正確；②由①知，C1M⊥A1B，又因為AC1⊥A1B，C1M∩AC1=C1，所以A1B⊥平面AMC1，所以A1B⊥AM，因為M，N分別是A1B1，AB的中點，所以ANB1M是平行四邊形，所以AM∥NB1，因為A1B⊥AM，所以A1B⊥NB1，故②正確；③由②知A1B⊥平面AMC1，又因為A8.如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，線段B1D1上有兩個動點E，F(xiàn)，且EF=QUOTE，則下列結論中錯誤的是()A.AC⊥BEB.EF∥平面ABCDC.三棱錐A-BEF的體積為定值D.△AEF的面積與△BEF的面積相等【解析】選D.A.由題意及圖形知，AC⊥面DD1B1B，故可得出AC⊥BE，此命題正確，不符合題意；B.EF∥平面ABCD，由正方體ABCD-A1B1C1D1故有EF∥平面ABCD，此命題正確，不符合題意；C.三棱錐A-BEF的體積為定值，由幾何體的性質及圖形知，三角形BEF的面積是定值，A點到面DD1B1B的距離是定值，故可得三棱錐A-BEF的體積為定值，此命題正確，不符合題意；D.由圖形可以看出，B到線段EF的距離與A到EF的距離不相等，故△AEF的面積與△BEF的面積相等不正確，故D是錯誤的.9.如圖，ABCD-A1B1C1D1為正方體，A.BD∥平面CB1D1B.AC1⊥BDC.AC1⊥平面CB1D1D.異面直線AD與CB1所成的角為60°【解析】選D.由于BD∥B1D1，易知BD∥平面CB1D1；連接AC，易證BD⊥面ACC1，所以AC1⊥BD；同理可證AC1⊥B1C，因為BD∥B1D1，所以AC1⊥B1D1，所以AC1⊥平面CB1D1；對于選項D，因為BC∥AD，所以∠B1CB即為AD與CB1所成的角，此角為45°10.在四面體ABCD中，已知棱AC的長為，其余各棱長都為1，則二面角A-CD-B的余弦值為()A.QUOTE B.QUOTE C. D.【解析】選C.因為AC=，其余各棱長均為1，故AB⊥BC，AD⊥DC，取CD，AC的中點分別為E，F(xiàn)，連接EF，BF，BE，則EF∥AD，所以EF⊥CD.且EF=QUOTEAD=QUOTE，BF=QUOTEAC=，BE⊥CD，且BE=，所以∠FEB為二面角A-CD-B的平面角，在△BEF中，BE2=BF2+EF2，所以△BEF為直角三角形，所以cos∠FEB===.11.(2016·全國卷Ⅰ)平面α過正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點A,α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABB1AA. B. C. D.QUOTE【解析】選A.如圖所示:因為α∥平面CB1D1,所以若設平面CB1D1∩平面ABCD=m1,則m1∥m.又因為平面ABCD∥平面A1B1C1D1結合平面B1D1C∩平面A1B1C1D1=B1D所以B1D1∥m1,故B1D1∥m.同理可得:CD1∥n.故m,n所成角的大小與B1D1,CD1所成角的大小相等,即∠CD1B1的大小.而B1C=B1D1=CD1(均為面對角線),因此∠CD1B1=QUOTE,即sin∠CD1B1=.12.一個多面體的直觀圖、正視圖、側視圖、俯視圖如圖，M，N分別為A1B，B1C1下列結論中正確的個數(shù)有()①直線MN與A1C②MN⊥BC.③MN∥平面ACC1A1④三棱錐N-A1BC的體積為=QUOTEa3.A.4個 B.3個 C.2個 D.1個【解析】選B.由三視圖可知，該幾何體是底面為等腰直角三角形且側棱與底面垂直的三棱柱.取邊BC中點E，連ME，NE，則ME∥A1C，NE∥C1C，故平面MNE∥平面ACC1A1，故MN∥平面ACC1A1，所以直線MN與A1C相交錯誤，故③正確，①錯誤.因為三棱柱ABC-A1B1C1的底面是等腰直角三角形且側棱垂直于底面，故BC⊥平面MNE，所以MN⊥BC，②正確.==QUOTE×a×QUOTE×a×a=QUOTEa3，故④正確.所以②③④正確.二、填空題(本大題共4個小題，每小題5分，共20分.把答案填在題中的橫線上)13.如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別是棱C1D1，C1C①直線AM與直線C1C相交②直線AM與直線DD1異面；③直線AM與直線BN平行；④直線BN與直線MB1異面.其中正確結論的序號為________(填入所有正確結論的序號).【解析】由異面直線判定定理知：①直線AM與直線CC1異面；②直線AM與直線DD1異面；④直線BN與直線MB1異面，因為直線BN與直線AE平行(E為DD1的中點)，所以③直線AM與直線BN異面.答案：②④14.如圖所示，已知矩形ABCD中，AB=3，BC=a，若PA⊥平面ABCD，在BC邊上取點E，使PE⊥DE，則滿足條件的E點有兩個時，a的取值范圍是________.【解析】由題意知：PA⊥DE，又PE⊥DE，PA∩PE=P，所以DE⊥面PAE，所以DE⊥AE.易證△ABE∽△ECD.設BE=x，則=，即=QUOTE.所以x2-ax+9=0，由Δ>0，解得a>6.答案：a>615.如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各邊都相等，點M是PC上的一動點，當點M滿足________時，平面MBD⊥平面PCD(只要填寫一個你認為正確的即可).【解題指南】可以證明BD⊥PC，因此只需確定M的位置，使BM⊥PC即可.(DM⊥PC也可).【解析】因為四邊形ABCD的邊長相等，所以四邊形ABCD為菱形，所以AC⊥BD，又因為PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD，所以BD⊥平面PAC，所以BD⊥PC.若PC⊥平面BMD，即PC垂直于平面BMD中兩條相交直線，所以當BM⊥PC時，PC⊥平面BMD，所以平面PCD⊥平面BMD.答案：BM⊥PC(其他合理即可)16.(2016·成都高二檢測)如圖，正方形BCDE的邊長為a，已知AB=BC，將△ABE沿BE邊折起，折起后A點在平面BCDE上的射影為D點，則翻折后的幾何體中有如下描述：①AB與DE所成角的正切值是；②AB∥CE；③VB-ACE的體積是QUOTEa2；④平面ABC⊥平面ADC；⑤直線EA與平面ADB所成角為30°.其中正確的有________.(填寫你認為正確的序號)【解析】由題意，AB=BC，AE=a，AD⊥平面BCDE，AD=a，AC=a，①由于BC∥DE，所以∠ABC(或其補角)為AB與DE所成角.因為AB=a，BC=a，AC=a，所以BC⊥AC，所以tan∠ABC=，故①正確；②由圖象可知AB與CE是異面直線，故②錯誤.③VB-ACE的體積是QUOTES△BCE×AD=QUOTE×QUOTEa3=QUOTEa3，故③錯誤；④因為AD⊥平面BCDE，BC?平面BCDE，所以AD⊥BC，因為BC⊥CD，AD∩CD=D，所以BC⊥平面ADC，因為BC?平面ABC，所以平面ABC⊥平面ADC，故④正確；⑤連接CE交BD于F，則EF⊥BD，因為平面ABD⊥平面BDE，所以EF⊥平面ABD，連接AF，則∠AFE為直線AE與平面ABD所成角，在△AFE中，EF=a，AE=a，所以sin∠EAF==QUOTE，則∠EAF=30°，故⑤正確.答案：①④⑤三、解答題(本大題共6個小題，共70分，解答時寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)17.(10分)已知，正方體ABCD-A1B1C1D1中，點E，F(xiàn)分別為D1C1，C1B1AC∩BD=P，A1C1∩EF=Q.求證：(1)D，B，E，F(xiàn)四點共面.(2)若A1C交平面BDEF于點R，則P，Q，【證明】(1)連接B1D1.因為E，F(xiàn)分別為D1C1，C1B1的中點，所以EF∥B1D1，又因為B1D1∥所以EF∥BD，所以EF與BD共面，所以E，F(xiàn)，B，D四點共面.(2)因為AC∩BD=P，所以P∈平面AA1C1同理，Q∈平面AA1C1因為A1C∩所以R∈平面AA1C1所以P，Q，R三點共線.18.(12分)(2016·菏澤高一檢測)如圖，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，側面AA1C1C是菱形，AC1與A(1)求證：OE∥平面BCC1B1.(2)若AC1⊥A1B，求證：AC1⊥BC.【解析】(1)連接BC1，因為側面AA1C1C是菱形，AC1與A1C交于點O，所以O為AC1的中點，又因為E是AB的中點，所以OE∥BC1，因為OE?平面BCCBC1?平面BCC1B1，所以OE∥平面BCC1B1.(2)因為側面AA1C1C是菱形，所以AC1⊥A1C，因為AC1⊥A1B，A1C∩A1C?平面A1BC，A1B?平面A1BC，所以AC1⊥平面A1BC，因為BC?平面A1BC，所以AC1⊥BC.19.(12分)如圖，已知四邊形ABCD和BCEG均為直角梯形，AD∥BC，CE∥BG，且∠BCD=∠BCE=90°，平面ABCD⊥平面BCEG，BC=CD=CE=2AD=2BG.(1)求證：EC⊥CD.(2)求證：AG∥平面BDE.【證明】(1)由平面ABCD⊥平面BCEG，平面ABCD∩平面BCEG=BC，CE⊥BC，CE?平面BCEG，所以EC⊥平面ABCD，又CD?平面ABCD，故EC⊥CD.(2)在平面BCEG中，過G作GN⊥CE交BE于M，連接DM，則由已知知，MG=MN，MN∥BC∥DA，且MN=AD=QUOTEBC，所以MG∥AD，MG=AD，故四邊形ADMG為平行四邊形，所以AG∥DM，因為DM?平面BDE，AG?平面BDE，所以AG∥平面BDE.20.(12分)(2016·泰安高一檢測)如圖，PA⊥平面ABC，AE⊥PB，AB⊥BC，AF⊥PC，PA=AB=BC.(1)求證：平面AEF⊥平面PBC.(2)求二面角P-BC-A的大小.【解題指南】(1)要證平面AEF⊥平面PBC，可通過證明AE⊥平面PBC得出，而要證AE⊥平面PBC，已有AE⊥PB，則證出BC⊥AE即可，后者利用BC⊥平面PAB可以證出.(2)由(1)知，BC⊥平面PAB，∠PBA就是二面角P-BC-A的平面角，易知為45°.【解析】(1)因為PA⊥平面ABC，又BC?平面ABC，所以PA⊥BC，又AB⊥BC，AB與PA相交于點A，所以BC⊥平面PAB，又AE?平面PAB，所以BC⊥AE，又AE⊥PB，而PB與BC相交于點B，所以AE⊥平面PBC，又AE?平面AEF，故平面AEF⊥平面PBC.(2)由(1)知，BC⊥平面PAB，PB?平面PAB，所以PB⊥BC，又AB⊥BC，所以∠PBA就是二面角P-BC-A的平面角，在Rt△PAB中，因為PA=AB，所以∠PBA=45°，即二面角P-BC-A的大小為45°.21.(12分)(2016·北京高考)如圖,在四棱錐P-ABCD中,PC⊥平面ABCD,AB∥DC,DC⊥AC.(1)求證:DC⊥平面PAC.(2)求證:平面PAB⊥平面PAC.(3)設點E為AB的中點,在棱PB上是否存在點F,使得PA∥平面CEF?說明理由.【解析】(1)因為PC⊥平面ABCD,DC?平面ABCD,所以PC⊥DC.又因為DC⊥AC,PC∩AC=C,PC,AC?平面PAC,所以DC⊥平面PAC.(2)因為AB∥DC,DC⊥平面PAC,所以AB⊥平面PAC.又因為AB?平面PAB,所以平面PAB⊥平面PAC.(3)取PB中點F.連接CE,EF,CF.因為E為AB中點,所以PA∥EF.又因為PA?平面CEF,EF?平面CEF,所以PA∥平面CEF.因此,當F為PB中點時,PA∥平面CEF.22.(12分)如圖，已知直角梯形ACDE所在的平面垂直于平面ABC，∠BAC=∠ACD=90°，∠EAC=60°，AB=AC=AE.(1)在直線BC上是否存在一點P，使得DP∥平面EAB？請證明你的結論.(2)求平面EBD與平面ABC所成的銳二面角θ的余弦值.【解析】(1)線段BC的中點就是滿足條件的點P.證明如下：取AB的中點F，連接DP，PF，EF，則FP∥AC，F(xiàn)P=QUOTEAC， 取AC的中點M，連接EM，EC，因為AE=AC且∠EAC=60°，所以△EAC是正三角形，所以EM⊥AC.所以四邊形EMCD為矩形，所以ED=MC=QUOTEAC.又因為ED∥AC，所以ED∥FP且ED=FP，所以四邊形EFPD是平行四邊形，所以DP∥EF，而EF?平面EAB，DP?平面EAB，所以DP∥平面EAB.(2)過C作CG∥AB，過B作BG∥AC，CG∩BG=G，連接GD.因為ED∥AC，所以ED∥BG，所以B，E，D，G四點共面，所以平面EBD與平面ABC相交于BG，因為CD⊥AC，平面ACDE⊥平面ABGC，所以CD⊥平面ABGC，又因為BG?平面ABGC，所以BG⊥CD，又BG⊥GC，CD∩GC=C，所以BG⊥平面CDG，所以BG⊥DG，所以∠DGC是平面EBD與平面ABC所成的銳二面角θ，設AB=AC=AE=a，則GC=AB=a，DC=EM=a，所以GD==a，所以cosθ=cos∠DGC==.關閉Word文檔返回原板塊溫馨提示：此套題為Word版，請按住Ctrl,滑動鼠標滾軸，調節(jié)合適的觀看比例，答案解析附后。關閉Word文檔返回原板塊。課后提升作業(yè)七平面(30分鐘60分)一、選擇題(每小題5分，共40分)1.下列敘述正確的是()A.若P∈α，Q∈α，則PQ∈αB.若P∈α，Q∈β，則α∩β=PQC.若AB?α，C∈AB，D∈AB，則CD∈αD.若AB?α，AB?β，則A∈α∩β且B∈α∩β【解析】選D.點在直線或平面上，記作A∈l，A∈α，直線在平面內記作AB?α或l?α，故D正確.2.下面說法中(其中A，B表示點，a表示直線，α表示平面)：①因為A?α，B?α，所以AB?α；②因為A∈α，B∈α，所以AB∈α；③因為A?a，a?α，所以A?α；④因為A?α，a?α，所以A?a.其中正確的說法的序號是()A.①④ B.②③ C.④ D.③【解析】選C.點在平面上，用“∈”表示，不能用“?”表示，故①不正確；AB在α內，用“?”表示，不能用“∈”表示，故②不正確；由A?a，a?α，不能得出A?α，故③不正確；由A?α，a?α，知A?a，故④正確.3.下列說法中正確的個數(shù)為()①三角形一定是平面圖形；②若四邊形的兩對角線相交于一點，則該四邊形是平面圖形；③圓心和圓上兩點可確定一個平面；④三條平行線最多可確定三個平面.A.1 B.2 C.3 D.4【解析】選C.由公理2可知①正確；因為兩對角線相交，故可確定一平面，故②正確；當圓上兩點與圓心共線時，不能確定平面，故③錯誤；每兩條平行線可確定一個平面，故最多可確定3個平面，④正確.4.已知A，B是點，a，b，l是直線，α是平面，如果a?α，b?α，l∩a=A，l∩b=B，那么下列關系中成立的是()A.l?α B.l∈αC.l∩α=A D.l∩α=B【解析】選A.因為l∩a=A，a?α，所以A∈α，又l∩b=B，b?α，所以B∈α，故l?α.5.用符號語言表示下列語句，正確的個數(shù)是()(1)點A在平面α內，但不在平面β內：A?α，A?β.(2)直線a經(jīng)過平面α外的點A，且a不在平面α內：A∈a，A?α，a?α.(3)平面α與平面β相交于直線l，且l經(jīng)過點P：α∩β=l，P∈l.(4)直線l經(jīng)過平面α外一點P，且與平面α相交于點M：P∈l，l∩α=M.A.1 B.2 C.3 D.4【解析】選B.(1)錯誤，點A和平面的關系應是A∈α，A?β，(4)錯誤，缺少P?α，(2)(3)正確.6.(2016·青島高一檢測)一條直線和直線外三個點最多能確定的平面?zhèn)€數(shù)是()A.4 B.6 C.7 D.10【解析】選A.當直線外這三點不共線且任意兩點的連線不平行于該直線時，確定的平面?zhèn)€數(shù)最多為4個.【誤區(qū)警示】本題易選C.產(chǎn)生錯誤的原因是先在已知直線上任取2點，這樣共5點構成一個四棱錐，這樣4個側面，兩個對角面，一個底面共7個，將條件作了轉換，由原來的一條直線轉換成兩個點.7.如圖所示，平面α∩平面β=l，點A∈α，點B∈α，且點C∈β，點C?l.又AB∩l=R，設過A，B，C三點的平面為γ，則β∩γ是()A.直線AC B.直線BCC.直線CR D.以上均錯【解析】選C.由C，R是平面β和γ的兩個公共點，可知β∩γ=CR.8.(2016·成都高一檢測)在空間四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA上分別取E，F(xiàn)，G，H四點，如EF與HG交于點M，那么()A.M一定在直線AC上B.M一定在直線BD上C.M可能在直線AC上，也可能在直線BD上D.M既不在直線AC上，也不在直線BD上【解析】選A.如圖，因為EF∩HG=M，所以M∈EF，M∈HG，又EF?平面ABC，HG?平面ADC，故M∈平面ABC，M∈平面ADC，所以M∈平面ABC∩平面ADC=AC.二、填空題(每小題5分，共10分)9.AB，AD?α，CB，CD?β，E∈AB，F(xiàn)∈BC，G∈CD，H∈DA，若直線EH與FG相交于點P，則點P必在直線________上.【解析】P∈EH，EH?α，故P∈α，同理P∈β，而α∩β=BD，所以P∈BD.答案：BD10.若直線l與平面α相交于點O，A，B∈l，C，D∈α，且AC∥BD，則O，C，D三點的位置關系是__________.【解析】如圖，因為AC∥BD，所以AC與BD確定一個平面，記為β，則α∩β=CD，因為l∩α=O，所以O∈α，又O∈AB?β，所以O∈β，所以O∈CD.故O，C，D共線.答案：共線三、解答題11.(10分)如圖，△ABC與△A1B1C1不全等，且A1B1∥AB，B1C1∥BC，C1A1∥CA.求證：AA1，BB1，CC1【證明】如圖所示，因為A1B1∥AB，所以A1B1與AB確定一平面，記為平面α.同理，將B1C1與BC所確定的平面記為平面β，C1A1與CA所確定的平面記為平面γ易知β∩γ=C1C又△ABC與△A1B1C1所以AA1與BB1相交，設交點為P，P∈AA1，P∈BB1.而AA1?γ，BB1?β，所以P∈γ，P∈β，所以P在平面β與平面γ的交線上.又β∩γ=C1C，所以P∈C1所以AA1，BB1，CC1交于一點.【補償訓練】如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是B1C1和D1C1的中點，P，Q分別為EF和BD的中點，對角線A1C與平面EFDB交于H點，求證：P【證明】EF∥DB，確定平面BF，?P∈平面BF.同理，Q∈平面BF，所以P，H，Q∈平面BF，A1C1∥AC，確定平面A1P∈A1C1，Q∈AC，H∈A1所以P，H，Q∈平面A1C根據(jù)公理3，P，H，Q三點一定在平面BF與平面A1C關閉Word文檔返回原板塊溫馨提示：此套題為Word版，請按住Ctrl,滑動鼠標滾軸，調節(jié)合適的觀看比例，答案解析附后。關閉Word文檔返回原板塊。課后提升作業(yè)八空間中直線與直線之間的位置關系(30分鐘60分)一、選擇題(每小題5分，共40分)1.(2016·杭州高二檢測)正方體AC1中，E，F(xiàn)分別是邊BC，C1D的中點，則直線A1B與直線EF的位置關系是()A.相交 B.異面 C.平行 D.垂直【解析】選A.如圖所示，連接CD1，則CD1與C1D的交點為點F，由正方體可得四邊形A1BCD1是平行四邊形，在平行四邊形A1BCD1內，E，F(xiàn)分別是邊BC，CD1的中點，所以EF∥BD1，所以直線A1B與直線EF相交.2.若空間中四條兩兩不同的直線l1，l2，l3，l4滿足l1⊥l2，l2∥l3，l3⊥l4，則下列結論一定正確的是()A.l1⊥l4B.l1∥l4C.l1與l4既不垂直也不平行D.l1與l4的位置關系不確定【解題指南】由于l2∥l3，所以l1與l4的位置關系可以通過同垂直于一條直線的兩條直線加以判斷.【解析】選D.因為l2∥l3，所以l1⊥l2，l3⊥l4實質上就是l1與l4同垂直于一條直線，所以l1⊥l4，l1∥l4，l1與l4既不垂直也不平行都有可能成立，但不是一定成立，故l1與l4的位置關系不確定.3.空間四邊形的兩條對角線相互垂直，順次連接四邊中點的四邊形一定是()A.空間四邊形 B.矩形C.菱形 D.正方形【解析】選B.如圖，易證四邊形EFGH為平行四邊形.又因為E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點，所以EF∥AC，又FG∥BD，所以∠EFG或其補角為AC與BD所成的角，而AC與BD所成的角為90°，所以∠EFG=90°，故四邊形EFGH為矩形.4.(2016·青島高一檢測)已知在正方體ABCD-A1B1C1D1中(如圖)，l?平面A1B1C1D1，且l與B1C1A.l與AD平行B.l與AD不平行C.l與AC平行D.l與BD垂直【解析】選A.假設l∥AD，則由AD∥BC∥B1C1，知l∥B1C1，這與l與B1C15.(2016·濟寧高一檢測)如圖，E，F(xiàn)是AD上互異的兩點，G，H是BC上互異的兩點，由圖可知，①AB與CD互為異面直線；②FH分別與DC，DB互為異面直線；③EG與FH互為異面直線；④EG與AB互為異面直線.其中敘述正確的是()A.①③ B.②④ C.①④ D.①②【解析】選A.AB與平面BCD交于B點，且B?CD，故AB與CD互為異面直線，故①正確；當H點落在C或F落在D點上時，F(xiàn)H與CD相交；當H落在B或F點落在D上時，F(xiàn)H與DB相交，故②錯誤；FH與平面EGD交于F點，而F?EG，故EG與FH互為異面直線，故③正確；當G落在B上或E落在A上時，EG與AB相交，故④錯誤.6.如圖，在空間四邊形ABCD中，AD=BC=2，E，F(xiàn)分別為AB，CD的中點，EF=，則AD與BC所成的角為()A.30° B.60°C.90° D.120°【解析】選C.取AC的中點G，連接EG，F(xiàn)G，則EGQUOTEBC，F(xiàn)GQUOTEDA.所以△EGF的三邊是EF=，EG=1，F(xiàn)G=1，所以EF2=EG2+FG2，所以△EGF為直角三角形，∠EGF=90°，即為AD與BC所成的角.7.如圖，正四棱臺ABCD-A′B′C′D′中，A′D′所在的直線與BB′所在的直線是()A.相交直線B.平行直線C.不互相垂直的異面直線D.互相垂直的異面直線【解析】選C.若A′D′與B′B共面，則A′B′也在此平面內，因A′B′與B′B相交，其確定的平面為ABB′A′，故A′D′?平面ABB′A′與ABCD-A′B′C′D′為四棱臺矛盾，故A′D′與B′B異面.又因為四邊形BCC′B′是等腰梯形，所以BB′與B′C′不垂直，因B′C′∥A′D′.即BB′與A′D′不垂直.8.(2016·成都高一檢測)在正方體ABCD-A′B′C′D′中，點P在線段AD′上運動，則異面直線CP與BA′所的θ角的取值范圍是()A.0<θ< B.0<θ≤C.0≤θ≤ D.0<θ≤【解析】選D.如圖，連接CD′，則異面直線CP與BA′所成的角θ等于∠D′CP，由圖可知，當P點與A點重合時，θ=，當P點無限接近D′點時，θ趨近于0，由于是異面直線，故θ≠0.【補償訓練】在三棱柱ABC-A′B′C′中，AA′⊥面ABC，若∠BAC=90°，AB=AC=AA′，則異面直線BA′與C′A所成的角等于()A.30° B.45° C.60° D.90°【解題指南】可將該直三棱柱補成一個正方體，通過連線，將異面直線所成的角轉化為同一平面內相交直線所成的角.【解析】選C.由原來的三棱柱補成一個正方體ABDC-A′B′D′C′，因為AC′∥BD′，所以∠A′BD′即為異面直線BA′與C′A所成的角，因為△A′BD′為正三角形，所以∠A′BD′=60°.二、填空題(每小題5分，共10分)9.a，b，c是空間中的三條直線，下面給出四個命題：①若a∥b，b∥c，則a∥c；②若a與b相交，b與c相交，則a與c相交；③若a?平面α，b?平面β，則a，b一定是異面直線；④若a，b與c成等角，則a∥b.其中正確的命題是________(只填序號).【解析】由公理4知①正確；當a與b相交，b與c相交時，a與c可以相交、平行，也可以異面，故②不正確；a?α，b?β，并不能說明a與b“不同在任何一個平面內”，故③不正確；當a，b與c成等角時，a與b可以相交、平行，也可以異面，故④不正確.答案：①10.(2016·廣州高一檢測)如圖，正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱長(包括底面邊長)都是2，E，F(xiàn)分別是AB，A1C1的中點，則EF與側棱C1C【解析】如圖，取AC的中點G，連接FG，EG，則FG∥C1C，F(xiàn)G=C1C，EG∥BC，EG=QUOTEBC，故∠EFG即為EF與C1C所成的角(或補角)，在Rt△EFG中，cos∠EFG===.答案：三、解答題11.(10分)已知A是△BCD外的一點，E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點，(1)求證：直線EF與BD是異面直線.(2)若AC⊥BD，AC=BD，求EF與BD所成的角.【解析】(1)假設EF與BD不是異面直線，則EF與BD共面，從而DF與BE共面，即AD與BC共面，所以A，B，C，D在同一平面內，這與A是△BCD外的一點相矛盾.故直線EF與BD是異面直線.(2)取CD的中點G，連接EG、FG，則EG∥BD，所以相交直線EF與EG所成的角，即為異面直線EF與BD所成的角.在Rt△EGF中，由EG=FG=QUOTEAC，求得∠FEG=45°，即異面直線EF與BD所成的角為45°.【補償訓練】如圖所示，四邊形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD=∠FAB=90°，BCQUOTEAD，BEQUOTEFA，G，H分別為FA，F(xiàn)D的中點.(1)證明：四邊形BCHG是平行四邊形.(2)C，D，F(xiàn)，E四點是否共面？為什么？【解析】(1)由已知FG=GA，F(xiàn)H=HD，可得GHQUOTEAD.又BCQUOTEAD，所以GHBC，所以四邊形BCHG為平行四邊形.(2)由BEQUOTEAF，G為FA的中點知，BEFG，所以四邊形BEFG為平行四邊形，所以EF∥BG.由(1)知BGCH，所以EF∥CH，所以EF與CH共面.又D∈FH，所以C，D，F(xiàn)，E四點共面.關閉Word文檔返回原板塊溫馨提示：此套題為Word版，請按住Ctrl,滑動鼠標滾軸，調節(jié)合適的觀看比例，答案解析附后。關閉Word文檔返回原板塊。課后提升作業(yè)九空間中直線與平面之間的位置關系平面與平面之間的位置關系(45分鐘70分)一、選擇題(每小題5分，共40分)1.(2016·菏澤高一檢測)已知直線a在平面α外，則()A.a∥αB.直線a與平面α至少有一個公共點C.a∩α=AD.直線a與平面α至多有一個公共點【解析】選D.因為a在平面α外，所以a∥α或a∩α=A，所以直線a與平面α至多有一個公共點.2.(2016·成都高一檢測)已知直線l和平面α，若l∥α，P∈α，則過點P且平行于l的直線()A.只有一條，不在平面α內B.有無數(shù)條，一定在平面α內C.只有一條，且在平面α內D.有無數(shù)條，不一定在平面α內【解析】選C.過直線l和點P作一平面β與α相交于m，因為l∥α，所以l與α無公共點，所以l與m無公共點，又l?β，m?β，故l∥m，又m?α，即m是過點P且平行于l的直線.若n也是過P且與l平行的直線，則m∥n，這是不可能的.故C正確.3.若直線l不平行于平面α，且l?α，則()A.α內的所有直線與l異面B.α內不存在與l平行的直線C.α內存在唯一的直線與l平行D.α內的直線與l都相交【解析】選B.因為l不平行于α，且l?α，故l與α相交，記l∩α=A.假設平面α內存在直線a∥l，過A在α內作b∥a，則b∥l，這與b∩l=A矛盾，故在α內不存在與l平行的直線.4.(2016·成都高一檢測)下列說法中，正確的個數(shù)是()(1)平面α與平面β，γ都相交，則這三個平面有2條或3條交線.(2)如果a，b是兩條直線，a∥b，那么a平行于經(jīng)過b的任何一個平面.(3)直線a不平行于平面α，則a不平行于α內任何一條直線.(4)如果α∥β，a∥α，那么a∥β.A.0 B.1 C.2 D.3【解析】