2022-2023學(xué)年山東省泰安市東平高級(jí)中學(xué)高三數(shù)學(xué)試題質(zhì)量檢測(cè)試題卷

2022-2023學(xué)年山東省泰安市東平高級(jí)中學(xué)高三數(shù)學(xué)試題質(zhì)量檢測(cè)試題卷

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。

2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。

3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。

4.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知函數(shù)/(x)=sin2&x—Gsin工xcos巳x,則/⑴+/⑵+...+/(2020)的值等于()

444

A.2018B.1009C.1010D.2020

2,函數(shù)/(x)的圖象如圖所示，則它的解析式可能是()

A.=MB./(x)=2^(|x|-l)

C./(x)=|ln|x||D.f^x)=xex-\

3.如圖，在ZVU3C中，點(diǎn)。為線段AC上靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)，點(diǎn)P為線段BQ上靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)，則PA+PC=

I257|1027

A.-BA+-BCB.-BA+-BCC.-BA+—BCD.-BA+-BC

33999999

4.設(shè)點(diǎn)A,B,C不共線，則“(43+4(7)_13(7”是“卜@=卜4"()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分又不必要條件

5.為得到二二一二-三的圖象，只需要將二一二:二二的圖象()

A.向左平移二個(gè)單位B.向左平移泠單位

C.向右平移二個(gè)單位D.向右平移三個(gè)單位

6.如圖，A5=2是圓。的一條直徑，為半圓弧的兩個(gè)三等分點(diǎn)，則A8-(AC+AO)=()

/

5

A.-B.4c.2D.1+百

2

1]]

9

7.已知〃_[犬+]公，=Jcosxdx由程序框圖輸出的S為（）

00

1開蛤1

/箱入產(chǎn)N/

<^>^>—

JL―

/輸率/?~1

1n]

7t

A.1B.0c.-D.In2

2

8.已知向量AB=（3,2）,AC=（5,-1）,則向量AB與BC的夾角為（）

A.45°B.60°C.90°D.120°

9.在等差數(shù)列{%}中，若生=4,%=8,則%=（）

A.8B.12C.14D.10

10.已知R為實(shí)數(shù)集，A={X|X2-1<0},B=則A（38）=（）

A.{x|-l<x<0}B.{x|0<x<l}C.{x|-l<x<0}D.{x|-l<x<0g!a=1}

11.高斯是德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家,近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號(hào),用其名字命名的“高斯函數(shù)”為:設(shè)xeR,

用國(guó)表示不超過工的最大整數(shù)，則丁=［可稱為高斯函數(shù)，例如：［-0.5］=—1,=已知函數(shù)

f(x)=4"T_3.21+4<0<x<2),則函數(shù)y=［/(%)］的值域?yàn)?)

「13、

A.B.1—1,0,1}C.{-1,0,1,2}D.{0,1,2}

22__

12.設(shè)片，4分別是橢圓￡=+二=13〉。>0)的左、右焦點(diǎn)，過尸2的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，且AK-AH=0,

a'b~

AF2^2F2B,則橢圓E的離心率為()

23叵V7

343~T

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.執(zhí)行右邊的程序框圖，輸出的T的值為.

15.已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體外接球的表面積是.

式

16.已知AABC內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為。，b,c.。=4,b=瓜,A=—?jiǎng)tcos2B=

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）設(shè)函數(shù)/（X）=|2X+4+|2X-3|.

（1）當(dāng)。=1時(shí)，求不等式/（x）W6的解集；

（2）若不等式/（x）24恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

18.（12分）在四邊形ABCP中，AB=BC=&NP=1,PA=PC=2；如圖，將B4c沿AC邊折起，連結(jié)心,

使PB=PA,求證：

（1）平面A8C_L平面PAC；

（2）若尸為棱AB上一點(diǎn)，且AP與平面Pb所成角的正弦值為且，求二面角產(chǎn)一PC—A的大小.

4

19.（12分）如圖，己知圓「1：》2+（丫一］）=/（r>0）和雙曲線「2：%2-,=1（。>0）,記口與），軸正半軸、X軸

負(fù)半軸的公共點(diǎn)分別為A、B,又記心與心在第一、第四象限的公共點(diǎn)分別為C、

（1）若r=2,且3恰為小的左焦點(diǎn)，求心的兩條漸近線的方程；

（2）若r=2,且AC+AO=（〃?,-5）,求實(shí)數(shù)加的值；

（3）若3恰為心的左焦點(diǎn)，求證：在x軸上不存在這樣的點(diǎn)P，使得41Tpe=2.019.

20.（12分）為迎接2022年冬奧會(huì),北京市組織中學(xué)生開展冰雪運(yùn)動(dòng)的培訓(xùn)活動(dòng)，并在培訓(xùn)結(jié)束后對(duì)學(xué)生進(jìn)行了考核.記

X表示學(xué)生的考核成績(jī)，并規(guī)定X285為考核優(yōu)秀.為了了解本次培訓(xùn)活動(dòng)的效果，在參加培訓(xùn)的學(xué)生中隨機(jī)抽取了

30名學(xué)生的考核成績(jī)，并作成如下莖葉圖：

50116

6?0I33458

7112367778

8112459

900123*

(I)從參加培訓(xùn)的學(xué)生中隨機(jī)選取1人，請(qǐng)根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，估計(jì)這名學(xué)生考核優(yōu)秀的概率；

(II)從圖中考核成績(jī)滿足Xe[80,89]的學(xué)生中任取2人，求至少有一人考核優(yōu)秀的概率；

(HI)記尸3〈X。)表示學(xué)生的考核成績(jī)?cè)趨^(qū)間[a,可的概率，根據(jù)以往培訓(xùn)數(shù)據(jù)，規(guī)定當(dāng)薩卜1".5時(shí)

培訓(xùn)有效.請(qǐng)根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，判斷此次中學(xué)生冰雪培訓(xùn)活動(dòng)是否有效，并說明理由.

21.(12分)已知函數(shù)/(x)=x---Inx.

⑴若〃x)=x—J—lnx在%=%,%(%產(chǎn)%)處導(dǎo)數(shù)相等，證明：/a)+〃w)>3—21n2；

(2)若對(duì)于任意Ze(fU),直線丫=履+人與曲線y=/(x)都有唯一公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù))的取值范圍.

22.(10分)已知/(x)=k+l|+|x+3].

(1)解不等式f(x)<6；

(2)若a,上c均為正數(shù)，且/(a)+/?+c=10,求/+》2+02的最小值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、C

【解析】

首先，根據(jù)二倍角公式和輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，根據(jù)所求函數(shù)的周期性，得到其周期為4,然后借助于三角函

數(shù)的周期性確定其值即可.

【詳解】

解：/(x)=sin2—x-V3sin—xcos—x.

444

」(1-cos。)-立sin。

2222

=-sin(-^x+—)4-^,

.?./(x)=-si嗎1+令+g，

T/—_2_7—tA4

???/(x)的周期為一乃一，

2

/⑴=￥，〃2)=1，〃3)=￥，〃4)=0,

/(1)+/(2)+/(3)+/(4)=2,

.,?/(1)+/(2)++/(2020)

=505x[/(l)+/(2)+/(3)+/(4)]

=505x2

=1010.

故選：c

【點(diǎn)睛】

本題重點(diǎn)考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、三角恒等變換等知識(shí)，掌握輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵，屬于

中檔題.

2,B

【解析】

根據(jù)定義域排除C,求出“1)的值，可以排除。，考慮了(-100)排除A.

【詳解】

根據(jù)函數(shù)圖象得定義域?yàn)镽,所以。不合題意；

。選項(xiàng)，計(jì)算/(l)=e-l,不符合函數(shù)圖象；

對(duì)于A選項(xiàng)，/(-100)=9999x2°°與函數(shù)圖象不一致；

8選項(xiàng)符合函數(shù)圖象特征.

故選：B

【點(diǎn)睛】

此題考查根據(jù)函數(shù)圖象選擇合適的解析式，主要利用函數(shù)性質(zhì)分析，常見方法為排除法.

3、B

【解析】

PA+PC=BA—BP+BC-BP=BA+BCBQ,將8Q=6A+AQ=6A+gAC,AC=BC_8A代入化簡(jiǎn)即

可.

【詳解】

PA+PC=BA-BP+BC-BP=BA+BC'BQ

_,2

=BA+BC--(BA+AQ)

^-BA+BC--x-AC

333

1257

=-BA+BC——(BC-BA)=-BA+-BC.

3999

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查平面向量基本定理的應(yīng)用，涉及到向量的線性運(yùn)算、數(shù)乘運(yùn)算，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，是一道中檔題.

4、C

【解析】

利用向量垂直的表示、向量數(shù)量積的運(yùn)算，結(jié)合充分必要條件的定義判斷即可.

【詳解】

由于點(diǎn)A,B,。不共線，貝！J

(AB+AC)J.=(AB+AC).BC=0o(AB+AC).(AC-AB)=AC?-6=00AC?=癡="

|AB|=|AC|?；

故"(AB+AC)_LBC”是“|A@=k。卜的充分必要條件.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查充分、必要條件的判斷，考查向量垂直的表示，考查向量數(shù)量積的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

5、D

【解析】

;=sin(2x--)=sm[2(x--)]_

試題分析：因?yàn)?6,所以為得到二=刖(二二一亍的圖象，只需要將二:$：二二的圖象向

右平移W單位；故選D.

考點(diǎn)：三角函數(shù)的圖像變換.

6、B

【解析】

連接CO、OD,即可得到NC4B=NOOB=60°，AC=1,再根據(jù)平面向量的數(shù)量積及運(yùn)算律計(jì)算可得;

【詳解】

解：連接CD、OD,

C,。是半圓弧的兩個(gè)三等分點(diǎn)，:.CD//AB,且AB=2CD,ZCAB=/DOB=66

所以四邊形4。。。為棱形，

ACMB=AC.|AB|cosABAC=lx2x1=l

A網(wǎng)AC+AO)=AB?AC+AC+-AB=AB.2AC+-A3

\2J_\2,

12

^2AC.AB+-AB.

2

=2xl+-x22=4

2

故選：B

e

【點(diǎn)睛】

本題考查平面向量的數(shù)量積及其運(yùn)算律的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

7、D

【解析】

n

1|]2￡

試題分析：M=\=ln(x+l)|=ln2,-fcosxdx-sinx|2-1,所以M<N,所以由程序框圖輸出

"+i0io

的S為ln2.故選D.

考點(diǎn)：1、程序框圖；2、定積分.

8、C

【解析】

求出BC=AC—AB=(2,—3),進(jìn)而可求AB-BC=3x2+2x(—3)=0,即能求出向量夾角.

【詳解】

解：由題意知，BC=AC-AB=(2,—3).則Afi.8C=3x2+2x(—3)=()

所以ABL5C，則向量A8與8c的夾角為90°.

故選:C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算，考查了數(shù)量積的坐標(biāo)表示.求向量夾角時(shí)，通常代入公式cosb)=而進(jìn)行計(jì)算.

9、C

【解析】

將4，%分別用4和d的形式表示，然后求解出q和Q的值即可表示的.

【詳解】

設(shè)等差數(shù)列{%}的首項(xiàng)為q,公差為d,

a,+d=4,

則由%=4,%=8,得<解得q=2,d=2,

q+3d=8,

所以%=q+6"=14.故選C.

【點(diǎn)睛】

本題考查等差數(shù)列的基本量的求解，難度較易.已知等差數(shù)列的任意兩項(xiàng)的值，可通過構(gòu)建4和4的方程組求通項(xiàng)公式.

10、C

【解析】

求出集合A,B,,由此能求出A?B).

【詳解】

R為實(shí)數(shù)集，A={x|f-啜D}={x|-1茂1},B={x|-S)={x|0<x1),

X

.,?8={X|K,0或1},

「.A-(d*)={x|-啜k0}.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查交集、補(bǔ)集的求法，考查交集、補(bǔ)集的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

11,B

【解析】

利用換元法化簡(jiǎn)/（X）解析式為二次函數(shù)的形式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得/（X）的取值范圍，由此求得>=[f（x）]的

值域.

【詳解】

4”12

因?yàn)?（無）=4、弓_3.2*+4（0<》<2），所以丁=三一32+4=萬（2'）-32+4,令=t（l<r<4）,貝!J

42

1,13

/⑺=2產(chǎn)-3/+4（l<r<4）,函數(shù)的對(duì)稱軸方程為，=3,所以/（。而1,=/（3）=-5，/?）2=八1）=5,所以

一（'2'所以尸"（切的值域?yàn)閧T，°，l}.

故選：B

【點(diǎn)睛】

本小題考查函數(shù)的定義域與值域等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生分析問題，解決問題的能力，運(yùn)算求解能力，轉(zhuǎn)化與化歸思想,

換元思想，分類討論和應(yīng)用意識(shí).

12、C

【解析】

根據(jù)表示出線段長(zhǎng)度，由勾股定理，解出每條線段的長(zhǎng)度，再由勾股定理構(gòu)造出凡c關(guān)系，求出離心率.

【詳解】

AF2=2F2B

設(shè)BF?=x,則A居=2x

由橢圓的定義，可以得到A耳=2a—2x,86=2a-x

-

AFtAF2=0,.-AFtrAF2

在RfA耳8中，有（2a—2x）2+（3x）2=（2a—x）2,解得彳=區(qū)

-2。-4a

AB然=~^~

在RtZVU花中，有得J+（T=（2C）2

整理得二=3,.?*=￡=如

a29a3

故選C項(xiàng).

【點(diǎn)睛】

本題考查幾何法求橢圓離心率，是求橢圓離心率的一個(gè)常用方法，通過幾何關(guān)系，構(gòu)造出。關(guān)系，得到離心率.屬于

中檔題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

11

13、—

6

【解析】

初始條件〃=1,7=1,〃<3成立方；

1]3

運(yùn)行第一次：T=1+\xdx=1+—=—,〃=2,〃<3成立；

Jo乙22乙

Q?O111

運(yùn)行第二次：T=一+[x1dx=—+-=一，"=3,九<3不成立；

2J236

輸出T的值：?.結(jié)束

所以答案應(yīng)填：工.

6

考點(diǎn)：1、程序框圖；2、定積分.

14、-1

【解析】

先求/（4）,再根據(jù)/（4）的范圍求出/[/（4）]即可.

【詳解】

由題可知"4）=log,4=2,

故/[〃4）]=〃2）=22_5=T.

故答案為：一1.

【點(diǎn)睛】

本題考查分段函數(shù)函數(shù)值的求解，涉及對(duì)數(shù)的運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題.

15、67r

【解析】

先由三視圖在長(zhǎng)方體中將其還原成直觀圖，再利用球的直徑是長(zhǎng)方體體對(duì)角線即可解決.

【詳解】

由三視圖知該幾何體是一個(gè)三棱錐，如圖所示

長(zhǎng)方體對(duì)角線長(zhǎng)為萬丁工=6，所以三棱錐外接球半徑「為手，故所求外接球的

表面積S=4"一=6n.

故答案為：6萬.

【點(diǎn)睛】

本題考查幾何體三視圖以及幾何體外接球的表面積，考查學(xué)生空間想象能力以及基本計(jì)算能力，是一道基礎(chǔ)題.

7

16、—

16

【解析】

利用正弦定理求得角5,再利用二倍角的余弦公式，即可求解.

【詳解】

4_V6

由正弦定理得正一sin8,

T

,?372皿_1o18_7

..sinB=----，cos28—1—2x—.

86416

7

故答案為：—.

16

【點(diǎn)睛】

本題考查了正弦定理求角，三角恒等變換，屬于基礎(chǔ)題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1){x|-l<x<2}(2)(-oo,-7]i[l,+oo)

【解析】

(1)利用分段討論法去掉絕對(duì)值，結(jié)合圖象，從而求得不等式/(x)<6的解集；

⑵求出函數(shù)“X)的最小值，把問題化為了(xL24,從而求得。的取值范圍.

【詳解】

(1)當(dāng)4=1時(shí),

所以不等式/(X)<6的解集為{x|-l<x<2}.

(2)等價(jià)于|2X+“|+|2X—3|N4,

M|2x+a|+|2x-3|>|?+3|,

故/(x)24等價(jià)于|"+3|24,

所以。+3"或a+34-4,

即QN1或。4一7,

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為(9，一刀［1,+8).

【點(diǎn)睛】

本題考查含有絕對(duì)值的不等式解法、不等式恒成立問題，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、分類討論思想，考查邏

輯推理能力、運(yùn)算求解能力，難度一般.

18、(1)證明見詳解；(2)5

6

【解析】

(1)由題可知，等腰直角三角形ABC與等邊三角形PAC,在其公共邊4C上取中點(diǎn)。，連接0B、0P,可得

OB1AC,OP±AC,可求出OP=JJ.在△0P3中，由勾股定理可證得OP_L0B,結(jié)合OPcAC=。，可證明

OB，平面PAC.再根據(jù)面面垂直的判定定理，可證平面ABC1平面PAC.

(2)以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。一孫z,由點(diǎn)尸在線段上，設(shè)4尸=〃*8(0〈加<1),

得出。尸的坐標(biāo)，進(jìn)而求出平面PFC的一個(gè)法向量”.用向量法表示出AP與平面PCE所成角的正弦值，由其等于

旦,解得〃.再結(jié)合。8為平面PAC的一個(gè)法向量，用向量法即可求出”與。8的夾角，結(jié)合圖形，寫出二面角

4

產(chǎn)一PC—A的大小.

【詳解】

TT

證明：(1)在AR4c中，PA=PC=2,ZP=-

3

.?.△P4C為正三角形，且AC=2

在ABC中，AB=BC=y/2

ABC為等腰直角三角形，且AB_L3C

取AC的中點(diǎn)。，連接()5,0。

OBVAC,OPYAC

OB=\,OP=y/3,PB=PA=2,

:.PB2OB2+OP2,

：.OPLOB

OPAC=O,AC,OPu平面PAC

.?.05,平面PAC

OBu平面ABC

..平面ABC_L平面PAC

(2)以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。-孫z,則

A(0,-1,0),8(1,0,0),C(0,l,0)/(0,0,石)，

A5=(l,l,0),AP=(0,l,a，

CP=(0,-l,V3),C4=(0,-2,0),

設(shè)AF=mAB{0<機(jī)<1).貝!JCF=CA+AF=(w,m-2,0)

設(shè)平面PFC的一個(gè)法向量為"=(x,y,z).則

n-CF=O

n-CP=Q

twc+y（m-2）=0

廠1=石上百

令y=6,解得Sm

z=1

.??〃=（午3G,i）

4尸與平面PFC所成角的正弦值為B,

4

〃?”273_y/3

?'而:、戶2工彳

Vm

整理得3m2+4/n-4=0

2.

解得機(jī)=］或m=一2（含去）

.?.〃=（2百,石,1）

又OB為平面PA.C的一個(gè)法向量

./語n-OB6

..COS（H,OB）=|—n---r=—

卜闞2

本題考查了線面垂直的判定，面面垂直的判定，向量法解決線面角、二面角的問題，屬于中檔題.

19、（1）y=+j2x；（2）m=V10+2V5+710-275；（2）見解析.

2

【解析】

（1）由圓的方程求出8點(diǎn)坐標(biāo)，得雙曲線的C,再計(jì)算出〃后可得漸近線方程；

（2）設(shè)C（西,凹）,。（X2，%），由圓方程與雙曲線方程聯(lián)立，消去x后整理，可得%+%，

PC+尸￡>=（與+W，y+%-6）,由AC+4O=（九一5）先求出/?,回代后求得坐標(biāo)，計(jì)算機(jī)=%+/；

,3o2h2

（3）由已知得。2=一/一］,設(shè)。（芯,弘）,。（尤2，%），由圓方程與雙曲線方程聯(lián)立，消去X后整理，可解得“=絲,

4r

%=-寺，求出片=5+1=*+1,從而可得|AC|=2,由41TpeW|AC=2,可知滿足要求的尸點(diǎn)不存

在.

【詳解】

⑴由題意圓方程為V+（y—l）2=4,令>=0得》=±6，工8（—6,0）,即c=JL，b=J7與7=斥1=0，

a=l,??.漸近線方程為y=±&x.

(2)由⑴圓方程為F+(y—l)2=4,A(0,3),

x2+(y-l)2=4

222

設(shè)。（國(guó),凹）,。（*2，）2）>由，,y1得，(。2+1)/-2by-2b=0(*),

2b2lb2

X+%=言，必看一百

AC+AD=(x,y—3)+(毛,％-3)=(不+/，Y+%-6)=(加,—5),

,2b2

所以y+%-6=-5,即f--6=—5,解得人=1,

廳+1

方程（*）為2>2一2丁一2=0,即y—1=0,>=上2叵，代入雙曲線方程得爐=i+yVC,D*

24

第一、四象限，點(diǎn),%2=710-2^

2

：.m=x\f=匹屈國(guó)逅

2

(3)由題意A(O,』r),B(-^-r,O)>c=^~r，b~-c2—a2--r2-\,r>?叢-

22243

設(shè)。（西，凹）,。（工2，%）

，2r,3,

得：/+1+(>一])2-，=0,+-仍-y+)-廠b-=0,

由。2+1=3產(chǎn)得3產(chǎn),2一仍2一/=0,解得,=竺.,%=-也

44r~3r

2_犬一破1

玉=5+1=尸+1'

所以|AC『=x：+（y-|r）2"+（?r）2一一彳尸）也

Zr2人1丁r2r2r2

|AC|=2,

\PA\-\PC\<\AC\=2,當(dāng)且僅當(dāng)P,AC三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立，

軸上不存在點(diǎn)尸，使得|必一|「。|=2.019.

【點(diǎn)睛】

本題考查求漸近線方程，考查圓與雙曲線相交問題.考查向量的加法運(yùn)算，本題對(duì)學(xué)生的運(yùn)算求解能力要求較高，解

題時(shí)都是直接求出交點(diǎn)坐標(biāo).難度較大，屬于困難題.

73

20,（I）—（II）-（ni）見解析

305

【解析】

（I）根據(jù)莖葉圖求出滿足條件的概率即可；

（n）結(jié)合圖表得到6人中有2個(gè)人考核為優(yōu)，從而求出滿足條件的概率即可；

X—85

（ni）求出滿足f二41的成績(jī)有16個(gè)，求出滿足條件的概率即可.

【詳解】

解：（I）設(shè)這名學(xué)生考核優(yōu)秀為事件A,

由莖葉圖中的數(shù)據(jù)可以知道，30名同學(xué)中，有7名同學(xué)考核優(yōu)秀,

7

所以所求概率P（A）約為二

<n)設(shè)從圖中考核成績(jī)滿足Xe[80,89]的學(xué)生中任取2人，

至少有一人考核成績(jī)優(yōu)秀為事件B,

因?yàn)楸碇谐煽?jī)?cè)赱80,89]的6人中有2個(gè)人考核為優(yōu)，

所以基本事件空間。包含15個(gè)基本事件，事件3包含9個(gè)基本事件,

93

所以2(5)=百=《

Iy_QCI

(HI)根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，滿足一77^K1的成績(jī)有16個(gè)，

X—853」>0.5

所以P<1

1073015

所以可以認(rèn)為此次冰雪培訓(xùn)活動(dòng)有效.

【點(diǎn)睛】

本題考查了莖葉圖問題，考查概率求值以及轉(zhuǎn)化思想，是一道常規(guī)題.

21、(I)見解析(II)Z?>-ln2

【解析】

(1)由題X>0,/'(x)=l+：—由f(X)在X=X1,X2(X/X2)處導(dǎo)數(shù)相等，得到/'(%)=/'(%2)=加，得

11,八

-------F1—〃7=。

匯X

111八’

-------+1-機(jī)=0

由韋達(dá)定理得一+—=1,由基本不等式得X]+7=%,w>24也，得王,々>4,由題意得

X\X2,

11

/'(玉)+/(%2)=玉/_1(刃工2)—1，令1=玉?工2>4,貝IjA1A2_仙(%]4)_]=/_1皿_1,令

g(r)=r-lnr-l(t>4),,利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能證明g?)>g(4)=3-21n2.

⑵由〃6=米+.得一”一；一^一"，令他)「一；—,

XX

利用反證法可證明證明〃(x)<1恒成立.

由對(duì)任意丘(7U),〃(》)=%只有一個(gè)解，得〃(X)為(0,+8)上的遞增函數(shù)，.“(X)=七+1nx+匕-110得

V7X2

22

b>----lnx+1,令/7?(x)=-----lnx+l(x>0),由此可求/?的取值范圍..

XX

【詳解】

⑴/'(力=1+二」

XX

[11八

----------F1—〃2二。

令/'&)=/'(々)=加，得，;;

—；-------1-1—m=0

x2x2

11?

由韋達(dá)定理得一+—=1

X]x2

即X]+%2=%?％2>2,尢]%2，得工|.工2〉4

(J1)