2021年湖南省各市各區(qū)數學中考模擬試題分類匯編 圖形的變化解答（一）

2021年湖南省各市各區(qū)數學中考模擬試題分類匯編:

圖形的變化解答（一）

1.（2021?醴陵市模擬）如圖，正方形ABCD中，P是對角線AC上的一個動點（不與A、

C重合），連結BP,繞點B順時針旋轉90°至IJ8Q,連結QP交于點E,QP延

長線與邊交于點F.

（1）連結C。，求證：AP=CQ；

（2）若正方形的邊長為4,且PC=3AP,求線段PQ的長.

2.（2021?邵陽縣模擬）如圖，RtZ\ABC中，ZACB=90Q.以BC為直徑作。。交43于

點。，過點。作的切線OE交AC于點E,連接OE.

（1）求證：EO//AB；

（2）若A8=10,￡>￡=4,求。。的直徑.

3.（2021?醴陵市模擬）脫貧攻堅工作讓老百姓過上了幸福的生活.如圖①是醴陵市政府給

某貧困戶新建的房屋，如圖②是房屋的側面示意圖，它是一個軸對稱圖形，對稱軸是房

屋的高AB所在的直線.為了測量房屋的高度，在地面上C點測得屋頂A的仰角為37°,

此時地面上C點、屋檐上E點、屋頂上4點三點恰好共線，繼續(xù)向房屋方向走4〃,到達

點。時，又測得屋檐E點的仰角為45°,房屋的頂層橫梁EF=10機，EF//CB,AB交

EF于點G（點C,D,8在同一水平線上）.（參考數據：sin37°^0.6,cos37°弋0.8,

tan37°七0.75）

（1）求屋頂到橫梁的距離AG：

（2）求這棟房屋高AB.

圖①

4.（2021?岳陽二模）如圖是某戶外看臺的截面圖，長15機的看臺AB與水平地面AP的夾

角為35°,與AP平行的平臺BC長為2〃?，點F是遮陽棚。E上端E正下方在地面上的

一點，測得A尸=2.3.，在擋風墻C。的點。處測得點E的仰角為26。，求遮陽棚OE

的長（計算結果精確到十分位）.（參考數據：sin35°40.57,cos35°~0.82,sin26°

弋0.44,cos26°弋0.90)

5.（2021?隆回縣二模）如圖（1）是某住戶窗戶上方安裝的遮陽篷，要求設計的遮陽篷既

能最大限度地遮擋夏天炎熱的陽光，又能最大限度地使冬天溫暖的陽光射入室內.圖（2）

是根據住戶要求設計的垂直于墻面4C的遮陽篷CD,已知夏至當天的太陽光線DA與遮

陽篷C3的夾角最大（NAOC=77.44°）；冬至當天的太陽光線。B與遮陽篷CD的夾

角最小（N2￡>C=30.56。），窗戶48的高度為2m.求CD的長.（結果精確到0.1〃?,

參考數據：sin30.56°-0.51,cos30.56°g0.86,tan30.56°*0.59,sin77.44°~0.98,

cos77.44°-0.22,tan77.44°仁4.49）

圖⑴圖⑵

6.（2021?益陽模擬）如圖，某興趣小組用無人機進行航拍測高，無人機從1號樓和2號樓

的地面正中間B點垂直起飛到高度為50米的A處，測得1號樓頂部E的俯角為60°,

測得2號樓頂部廠的俯角為45。.已知1號樓的高度為20米，2號樓的高度是多少米？

（結果保留根號）.

60*7^45*

1

號

樓

5

7.（2021?株洲模擬）如圖甲，兩個不全等的等腰直角三角形OAB和OCD疊放在一起,

并且有公共的直角頂點O.

（1）在圖甲中，你發(fā)現(xiàn)線段AC、8。的數量關系是,直線AC.BD相交成度

角；

（2）將圖甲中的AAOB繞點。順時針旋轉90。，在圖乙中作出旋轉后的△AO8；

（3）將圖甲中的△AOB繞點。順時針旋轉一個銳角，得到圖丙，這時（1）中的兩個結

論是否成立？作出判斷，并說明理由.若△AOB繞點。繼續(xù)旋轉更大的角度時，結論仍

然成立嗎？作出判斷，不必說明理由.

8.（2021?婁底模擬）釣魚島歷來就是我們中國的固有領土，是神圣不可侵犯的！如圖是釣

魚島中某個島礁上的斜坡AC,我海監(jiān)船在海面上與點C距離200米的。處，測得島礁

頂端A的仰角為26.6。，以及該斜坡坡度是1：1,求該島礁的高4&

（結果取整數,參考數據：sin26.6°-0.45,cos26.6°g0.89,tan26.6°-0.50）

9.（2021?天心區(qū)一模）數學課上，老師布置了一道尺規(guī)作圖題：如圖1,已知直線/和/

直線外一點D,用直尺和圓規(guī)作過點D且與直線/平行的直線.

小姝的作法是:

①在直線/上任取兩點A、B；②以。為圓心，AB長為半徑作圓??；③以B為圓心，DA

為半徑作圓弧，兩段圓弧交于點C；④連接C￡>,則直線即為直線/的平行線.

（1）根據小姝的作法，請你證明直線CO〃直線/；

（2）在第（1）問條件下，如圖2,在線段C。上取一點E,連接8E并延長交AO的延

長線于P,連接AE、BD交于點M,連接PM并延長交CO于F,交AB于G.

①求證：GB#

②求△PAG與△PGB的面積之比.

p

圖2

10.（2021?邵陽縣模擬）如圖，某住宅小區(qū)A地的學生到學校B地上學，原來需要繞行C

地，沿折線A-C-B方可到達.當地政府為了緩解學生路途上學時的交通壓力，修建了

一條從A地到B地的筆直公路.已知N4=45°,ZB=30°,8c=4千米，請問公路修

建后，從小區(qū)A地到學校B地可以少走多少千米？（參考數據：如七1.41,我~1.73）

11.（2021?攸縣模擬）如圖，小明和小麗都住在株洲市天元區(qū)“恒大御景天下”小區(qū).其

中，小明家住在60機高的A樓里，小麗家住B樓里，B樓坐落在A樓的正北面，且兩樓

相距2a同，已知當地“秋分日”上午9時整太陽光線與水平面的夾角為30°.

（1）上午9時整A樓落在B樓上的影子有多長？

（2）如果當天太陽光線與水平面的夾角每小時增加10度，那么在什么時間A樓的影子

剛好不落在8樓上？

GH

12.（2021?茶陵縣模擬）如圖為某單位地下停車庫入口處的平面示意圖，如圖，在司機開

車經過坡面即將進入車庫時，在車庫入口的上方8c處會看到一個醒目的限高標志,

現(xiàn)已知圖中2C高度為0.5m,A8寬度為9m,坡面的坡角為30°.

（1）根據圖（1）求出入口處頂點C到坡面的鉛直高度CD.

（2）圖（2）中，線段CE為頂點C到坡面AO的垂直距離，現(xiàn)已知某貨車高度為3.9米，

請判斷該車能否進入該車庫停車？（百-1.7,精確到01米）

圖①圖②

13.（2021?天心區(qū)一模）如圖所示，平面直角坐標系X。），的正方形網格中，每個小正方形

的邊長都是1,△ABC頂點都在網格線的交點上，點8坐標為（-3,0）,點C坐標為

（-2,2）.

（1）畫出△ABC向右平移4個單位的圖形△Ai&G；

（2）畫出△4BC關于x軸的對稱圖形△42&C2；

（3）寫出點A繞B點順時針旋轉90°對應的點的坐標.

14.(2021?開福區(qū)模擬)如圖，在四邊形ABCO中，NABC=90°,AB=BC=BD=近,

BELAD,BFLCD,垂足為E,F,AC交BF,BE分別于點G,H.

(1)求NEBF的度數；

(2)求證：△ABGsMHB；

(3)若CG=/,求tanNHGB的值.

15.（2021?懷化模擬）為確保我市水庫平安渡汛，水利部門決定對某水庫大壩進行加固，

加固前大壩的橫截面是梯形ABC2如圖所示，已知迎水坡面AB的長等于10“米，坡

角NB=60°,背水坡面CQ的坡度為1：1.5,加固后的大壩截面為梯形ABE。，QE的

坡度為1：2.

（1）求CE的長.

（2）已知被加固的大壩長為100米，求需要被填的土石方約為多少立方米？

16.（2021?婁星區(qū)模擬）為積極響應黨中央號召，推進鄉(xiāng)村振興，某地區(qū)對A、B兩地間

的公路進行改建，如圖，A、8兩地間有一座山，汽車原來從A地到5地需要途徑C地

沿折線ACB行駛，現(xiàn)開通隧道后，汽車可直接沿直線AB行駛，已知AC=40千米，/A

=30°,ZB=45°.

（1）開通隧道前，汽車從A到B地大約要走多少千米？

（2）開通隧道后，汽車從A到B地大約可以少走多少千米？（結果精確到0.1千米，參

考數據：料-1.41，73^1.73）.

17.（2021?雨花區(qū)模擬）某地下車庫入口處安裝了“兩段式欄桿”，如圖1所示，點A是

欄桿轉動的支點，點E是欄桿兩段的連接點.當車輛經過時，欄桿AE尸升起到如圖2所

示的位置，圖3是其示意圖（不計欄桿寬度），其中EF//BC,ZAEF=143°,

AB=4E=1.3米，請問一輛2.3米高的小貨車能否從此進入地下車庫？說明理由.

（參考數據：sin370-0.60,cos37°-0.80,tan37°—0.75）

18.（2021?岳陽一模）一次小組合作探究課上，老師將兩個正方形按如圖所示的位置擺放

（點E、A、￡＞在同一條直線上），發(fā)現(xiàn)且

小組討論后，提出了下列三個問題，請你幫助解答：

（1）將正方形AEFG繞點A按逆時針方向旋轉（如圖1）,還能得到BE=OG嗎？若能，

請給出證明；若不能，請說明理由；

（2）把背景中的正方形分別改成菱形AEF和菱形ABCD,將菱形AEFG繞點A按順時

針方向旋轉（如圖2）,試問當/E4G與N8A。的大小滿足怎樣的關系時，背景中的結

論BE=QG仍成立？請說明理由；

⑶把背景中的正方形分別改寫成矩形AEFG和矩形ABCQ,且繪華?絡，AE=2a,

AGAD3

AB=2b,將矩形AEFG繞點A按順時針方向旋轉（如圖3）,連接DE,BG.試求DE2+BG2

的值（用Chh表示）.

設了信號發(fā)射塔，如圖所示.小茜為了知道發(fā)射塔的高度，從地面上的一點A測得發(fā)射

塔頂端。點的仰角是45°,測得發(fā)射塔底部C點的仰角是30°.請你幫小茜計算出信

號發(fā)射塔QC的高度.（結果精確到01米，百-1.732）

20.（2021?張家界模擬）如圖所示，某建筑物樓頂有信號塔EF,某數學活動小組要測量信

號塔斯的高度，他們借助測角儀和皮尺進行了實地測量.點A,D,C,8在同一條直

線上，在C點時剛好能看到信號塔的最高點F,測得仰角/ACF=60°,測得AC長為9

米.在B點剛好能看到信號塔的最低點E,測得仰角NB=30°,測得BC長為12米.求

信號塔EF的高度（結果保留根號）.

參考答案

1.【解答］解：如圖，過點于

(1)由題意得：PB=QB，NPBQ=N2+N3=90°.

?.?四邊形A8C。是正方形，

：.AB=CB,NA8C=N1+N2=9O°.

在△APB和△CQB中，

'AB=CB,

<Z1=Z3,

BP=BQ.

.?.△ABP絲△CBQ(SAS).

：.AP=CQ.

(2)由(1)知：/ABC=90。，AB=CB.

在RtzMBC中，NA8C=90°,

?*-AC=7AB2+BC2=V42+42=W2?

又：PC=34P,

：.AC=AP+PC=AP+3AP=4AP=4^.

：.AP=42-

?；四邊形ABC。是正方形，

：.ZPAM=45Q.

：PAMAB于M,

；.NPMA=NPMB=90°.

：.ZAPM=180°-ZAMP-ZPAM=180°-90°-45°=45°

：.ZPAM=ZAPM

：.AM=PM.

在RtZXAPM中，ZAMP=90°,

：.AP2=AM2+PM2.

2AM亞產.

：.AM=PM=\.

-AM=4-1=3.

在RtZSPMB中，NPMB=90。,

BP=7PM2+MB2=V32+I2=VTO-

：.PB=QB=^.

在Rt△尸8Q中，NPBQ=90°,

PQ=VPB2-H3B2=7（V10）2+（^）2=2V5-

：BC為。。的直徑，

/.ZBDC=90°,

AZADC=90°,

AZCDE+ZADE=90°,

VZACB=90°,

.?.CE為。。的切線，

又...QE是。。的切線，

：.ED=EC,

：.ZCDE=ZDCE,

又,.?N￡）CE+NA=90°,

：.ZA^ZADE,

：.DE=AEf

CE=AEf

又???05=0C,

JOE//AB；

（2）解：由（1）可知DE=C￡=AE=4,

???AC=8,

VAB=10,

?*-BC=VAB2-AC2=V102-82=6>

即。。的直徑為6.

3.【解答】解：(1)???房屋的側面示意圖是一個軸對稱圖形，對稱軸是房屋的高4B所在

的直線，EF//BC,

：.AG±EF,EG^—EF=5(m),NAEG=NACB=37°,

2

在RtZ\AGE中，tan/4EG=tan37°=始弋0.75,

EG

二AG七5X0.75=3.75(w)；

答：屋頂到橫梁的距離AG約為3.75m；

(2)過E作E”J_CB于〃，如圖②所示：

則BG=EH,

設EH=xm,

在RtAED”中，ZEHD=90°,NEDH=45°,

EH

\'tanZEDH=—=tan45°=1,

DH

：.DH=EH=xmf

在RtZ\ECH中，ZEHC=90°,ZECH=37°,

EH3

VtanZFC/7=—=tan37°^0.75=—,

CH4

4

CH=-xm,

3

■:CH-DH=CD=4m,

4

—x-x=4,

3

解得:x=12,

:,BG=EH=12(m),

：.AB=AG+BG=12+3.75=15.75(m),

答：房屋的高A3約為15.75%

4.【解答】解：過點B作于”，過。作。G，E尸于G.

則/BHA=NOGE=90°,

由題意得：A8=15相，NA=35°,ZEDG=26°,

在RtZ\BAH中，A，=AB?cos35°g15X0.82=12.3(加)，

：.FH=AH-AF=12.3-2.3=10(m),

GD=FH+BC=10+2=12(m),

在Rt^EGO中，cosNEZ)G=歿=cos26°-0.90,

DE

：.DE=—四丁?加上-七13.3(m)

Cos260.9

答：遮陽棚￡>E的長約為13.3m.

為△ADC中，—=tanZADC,

CD

.\AC=4A9xm,

Rt^BDC中,—=tanZBDC,

CD

BC=O.59x/72,

AB=2mf

/.4.49x-0.59x=2,

解得x=0.51.

答：CD的長約為0.51m.

6.【解答］解：過點E作EGLA5于G,過點尸作于H,

貝IJ四邊形ECBG,48。尸是矩形,

：.EC=GB=2Q,HB=FD,

為CO的中點，

:"EG=CB=BD=HF,

由已知得：NE4G=90°-60°=30°,ZAF/7=45°.

在RtZMEG中，AG=A8-GB=50-20=30（米），

.\￡G=AG?tan30o=30X。如（米），

*o1

在中，尸?tan45。=10遍（米），

：.FD=HB=AB-AH=（50-10-73）（米）.

答：2號樓的高度為（50-10?）米.

60y\45°

2

G0

1T1

樓

號

樓

CBD地面

7.【解答】解：（1）和△OCO為等腰直角三角形,

?：OA=OB,OC=OD,NAO8=/COL>=90°,

：.OC-OA=OD-OB,

即AC=BD；

VZAOB=90°,

.?.直線AC、8。相交成90度的角；

故答案為相等；90；

（2）如圖乙，ZVIOB為所作；

圖乙

（3）圖丙，（1）中的兩個結論成立.

理由如下：延長C4交8。于“，交0。于P,如圖丙,

'：/\OAB和△0C￡>為等腰直角三角形，

■：OA=OB,OC^OD,NAOB=/COD=90°,

ZAOC+ZAOD=ZAOD+ZDOB,

:"C0A=4D0B,

在△AOC和△30。中，

rOA=OB

<ZAOC=ZBOD>

OC=OD

.?.△AOC絲△BOO(SAS),

：.AC=BD,ZOCA=ZODB,

ZOPC=ZPDH,

:.NPHD=/POC=90°,

即直線AC、BD相交成90度的角；

若△AOB繞點。繼續(xù)旋轉更大的角度時，結論仍然成立.

8.【解答】解：；斜坡坡度是1：1,

：.AB：BC=1：1,

故可設AB=BC=x米，

在RtZ\4￡>8中，ND=26.6°,BD=(200+x)米，

，tan26.6°=---=0.50,

x+200

解得：x=200(米)，

答：該島礁的高4B為200米.

9.【解答】(1)證明：連接BC.由作圖過程可知：fiC=AD,AB=DC,

???四邊形ABCD為平行四邊形.

J.CD//AB,即直線C3〃直線1；

(2)①證明：：C￡)〃AB,

.DF^FMEF=FM

,?福一而'GA"MG"

.DFEF

??旗前

②解：-：CD//AB,

:.XPDFsXPAG,△PEFsAPBG,

.DF_PFEF_PF

"AG"PG"GB'PG

.DFEF

AGBG

DFEF

由①得GB"GA

?DF.DF_EF.EF

**AG^GB'BG"^GA

.GB_AG22

AG=GB,BPAG=GB,

：.AG=GB,

.?.△PAG與△PGB等底同高，

：./\PAG與APGB的面積相等，

...△PAG與ArGB的面積之比為1.

10.【解答】解：（1）過點C作A8的垂線CQ,垂足為Q,

在直角△8CE）中，ABLCD,BC=4千米，

.?.CD=8C?sin30。=4X—=2（千米），

2

8￡>=BC?cos30。=4X堂=2?（千米），

在直角△ACD中，AD=CD=2（千米），

AC=.史。=加以>=2&（千米），

sin45

：.AB=AD+DB=（2+2?）（千米），

從A地到景區(qū)B旅游可以少走：

AC+BC-AB

=2揚4-（2+2晶）

=2+2圾-2畬

弋2+2X1.41-2X1.73

=1.36（千米）.

答：從4地到景區(qū)B旅游可以少走1.36千米.

c

11.【解答】解：（1）如圖，過點。作。E，CG于點E,

在RtZ\CE￡>中，

tanZCDE--,即CE=Z)￡?tan30°=20?X返=20O),

DE"J3

故。尸=EG=CG-CE=60-20=40(m)，

即上午9時整A樓落在B樓上的影子長為40m.

（2）當A樓的影子剛好不落在B樓上時，太陽光線與水平面的夾角剛好是NCFG.

=M，

.?.NCFG=60°,

又60。-30°

10°-3

即在當天正午12時整（或正午），4樓的影子剛好不落在，B樓上.

12.【解答】解：(1)在Rt^ABO中，ZBAZ)=30°,AB=9m,

BD=AB*tanZBAD=9X4=3?(,篦)，

：.CD=BD-BC=3V3-0.5?^4.6(m),

答：點C到坡面的鉛直高度CD約為46”；

(2)在RtZ\C￡>E中，ZCDE=60°,CD=(3b-0.5)m,

：.CE~CD'smZCDE~(3遍-0.5)乂亨=微-4七4.1(/"),

V4.1>3.9,

,該車能進入該車庫停車.

13.【解答】解：(1)如圖，△A8|G即為所求作.

(2)如圖，232c2即為所求作.

(3)點4繞8點順時針旋轉90°對應的點A'的坐標(1,2).

14.【解答】(1)解：-：AB=BD=BC,BELAD,BFLCD,

：.ZEBD=—ZABDZDBF=—ZDBC

2f2f

VZABC=90°,

:?/EBF=NEBD+NDBF=L(NABO+/O8C)=—ZABC=45°；

22

(2)證明：ZABC=90°,

；.NBAG=NBCH=45°,

VZAGB=ZCBG^ZBCG=ZCBG+45°,ZCBH=ZCBG^ZBEF=ZCBG+450,

??.NAGB=NCBH,

：.△ABGs/\CHB；

(3)解：作3K_LAC于K,

,:AB=BC=?,NABC=90。,

，Ac=7AB2+BC2=2,

?；BK_LAC,

：.AK=CK=\,

：.BK=—AC=\,

2

15.【解答】解：（1）作AFLBC于尸，于H,

則四邊形AF4。為矩形，

：.AF=DH,AD=FH,

在RtZ\ABF中，AB=10技?，NB=60°,

則AF=AB?sin8=15（米），BF=AB?cosB=5?（米），

；.Z）H=15米，

；坡面8的坡度為1：1.5,OE的坡度為1：2,

：.CH=22.5（米）,EH=30（米）,

:.CE=EH-CH=1.5（米），

答：CE的長為7.5米；

（2）需要被填的土石方=^X7.5X15X100=5625（立方米），

2

答：需要被填的土石方約為5625立方米.

16.【解答】解：（1）如圖，過點C作AB的垂線CC,垂足為D

,JABLCD,AC=40千米，ZA=30°,ZB=45°.

：.BD=CD=—AC=20千米，

2

.?.BC=加C￡）=20M（千米），

.?.AC+BC=40+20圾心40+1.41X20=68.2（千米）.

，開通隧道前，汽車從A地到B地大約要走68.2千米；

（2）'：AD=AC*cos30°=40X號=20“（千米），

.?.8Q=CC=^AC=40X上=20（千米），

22

AAB^AD+BD=20yf^-20^20X1.73+20=54.6（千米）.

汽車從A地到B地比原來少走的路程為：

AC+BC-AB=6S.2-54.6=13.6（千米）.

,開通隧道后，汽車從A地到B地大約可以少走13.6千米.

17.【解答］解：如圖，過點A作BC的平行線AG,過點E作EHL4G于H,

則NEHG=N”EF=90°.

3___F

4（^\

B0------------------C

圖3

VZAEF=143°,

AZA