江蘇專用2018版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第三章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用3.2導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第3課時導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的綜合問題課件理

§3.2導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第3課時導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的綜合問題課時作業(yè)題型分類深度剖析內(nèi)容索引題型分類深度剖析題型一導(dǎo)數(shù)與不等式有關(guān)的問題命題點1解不等式例1設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，f(2)＝0，當x>0時，有<0恒成立，那么不等式x2f(x)>0的解集是____________________.答案解析(－∞，－2)∪(0，2)又φ(2)＝0，∴當且僅當0<x<2時，φ(x)>0，此時x2f(x)>0.又f(x)為奇函數(shù)，∴h(x)＝x2f(x)也為奇函數(shù).故x2f(x)>0的解集為(－∞，－2)∪(0，2).命題點2證明不等式例2(2023·全國丙卷)設(shè)函數(shù)f(x)＝lnx－x＋1.(1)討論f(x)的單調(diào)性；解答由題設(shè)，f(x)的定義域為(0，＋∞)，f′(x)＝

－1，令f′(x)＝0，解得x＝1.當0<x<1時，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增；當x>1時，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減.(2)證明：當x∈(1，＋∞)時，1<<x；證明由(1)知，f(x)在x＝1處取得最大值，最大值為f(1)＝0.所以當x≠1時，lnx<x－1.故當x∈(1，＋∞)時，lnx<x－1，(3)設(shè)c>1，證明：當x∈(0，1)時，1＋(c－1)x>cx.證明由題設(shè)c>1，設(shè)g(x)＝1＋(c－1)x－cx，當x<x0時，g′(x)>0，g(x)單調(diào)遞增；當x>x0時，g′(x)<0，g(x)單調(diào)遞減.又g(0)＝g(1)＝0，故當0<x<1時，g(x)>0.所以當x∈(0，1)時，1＋(c－1)x>cx.命題點3不等式恒成立或有解問題解答幾何畫板展示函數(shù)的定義域為(0，＋∞)，令f′(x)＝0，得x＝1；當x∈(0，1)時，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增；當x∈(1，＋∞)時，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減.(2)如果當x≥1時，不等式f(x)≥恒成立，求實數(shù)k的取值范圍.解答所以h(x)≥h(1)＝1，所以g′(x)>0，所以g(x)為單調(diào)增函數(shù)，所以g(x)≥g(1)＝2，故k≤2.所以實數(shù)k的取值范圍是(－∞，2].引申探究此題(2)中，假設(shè)改為存在x0∈[1，e]，使不等式f(x)≥成立，求實數(shù)k的取值范圍.解答(1)利用導(dǎo)數(shù)解不等式的思路一個含f′(x)的不等式，可得到和f(x)有關(guān)的函數(shù)的單調(diào)性，然后可利用函數(shù)單調(diào)性解不等式.(2)利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的方法證明f(x)<g(x)，x∈(a，b)，可以構(gòu)造函數(shù)F(x)＝f(x)－g(x)，如果F′(x)<0，那么F(x)在(a，b)上是減函數(shù)，同時假設(shè)F(a)≤0，由減函數(shù)的定義可知，x∈(a，b)時，有F(x)<0，即證明了f(x)<g(x).(3)利用導(dǎo)數(shù)解決不等式的恒成立問題的策略①首先要構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，進而得出相應(yīng)的含參不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍.②也可別離變量，構(gòu)造函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.思維升華跟蹤訓(xùn)練1(2023·福建)函數(shù)f(x)＝lnx－.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；解答證明(2)證明：當x＞1時，f(x)＜x－1；令F(x)＝f(x)－(x－1)，x∈(0，＋∞).當x∈(1，＋∞)時，F(xiàn)′(x)＜0，所以F(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞減，故當x＞1時，F(xiàn)(x)＜F(1)＝0，即當x＞1時，f(x)＜x－1.(3)確定實數(shù)k的所有可能取值，使得存在x0＞1，當x∈(1，x0)時，恒有f(x)＞k(x－1).解答由(2)知，當k＝1時，不存在x0＞1滿足題意.當k＞1時，對于x＞1，有f(x)＜x－1＜k(x－1)，那么f(x)＜k(x－1)，從而不存在x0＞1滿足題意.當k＜1時，令G(x)＝f(x)－k(x－1)，x∈(0，＋∞)，由G′(x)＝0，得－x2＋(1－k)x＋1＝0.當x∈(1，x2)時，G′(x)＞0，故G(x)在(1，x2)內(nèi)單調(diào)遞增.從而當x∈(1，x2)時，G(x)＞G(1)＝0，即f(x)＞k(x－1).綜上，k的取值范圍是(－∞，1).題型二利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點問題例4(2023·揚州模擬)設(shè)函數(shù)f(x)＝xex－asinxcosx(a∈R，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)).(1)當a＝0時，求f(x)的極值；解答幾何畫板展示當a＝0時，f(x)＝xex，f′(x)＝ex(x＋1)，令f′(x)＝0，得x＝－1.列表如下：x(－∞，－1)－1(－1，＋∞)f′(x)－0＋f(x)

↘極小值

↗(2)假設(shè)對于任意的x∈[0，]，f(x)≥0恒成立，求a的取值范圍；解答①當a≤0時，由于對于任意x∈[0，]，有sinxcosx≥0，所以f(x)≥0恒成立，即當a≤0時，符合題意；②當0<a≤1時，因為f′(x)＝ex(x＋1)－acos2x≥e0(0＋1)－acos0＝1－a≥0，所以函數(shù)f(x)在[0，]上為增函數(shù).所以f(x)≥f(0)＝0，即當0<a≤1時，符合題意；③當a>1時，f′(0)＝1－a<0，設(shè)f′(α)＝0，其中α是f′(x)＝0中最接近x＝0的零點.所以f(x)在(0，α)上為減函數(shù)，此時f(x)<f(0)＝0，即當a>1時，不符合題意.綜上所述，a的取值范圍是(－∞，1].(3)是否存在實數(shù)a，使得函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，)上有兩個零點？假設(shè)存在，求出a的取值范圍；假設(shè)不存在，請說明理由.解答當a>1時，f′(x)＝ex(x＋1)－acos2x.令g(x)＝ex(x＋1)－acos2x，那么g′(x)＝ex(x＋2)＋2asin2x，且當x∈(0，x0)時，f′(x)<0；即函數(shù)f(x)在(0，x0)上單調(diào)遞減，當x∈(0，x0)時，f(x)<f(0)＝0，即f(x)在(0，x0)上無零點；綜上所述，不存在實數(shù)a，使得函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，)上有兩個零點.利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根(函數(shù)的零點)的策略研究方程的根或曲線的交點個數(shù)問題，可構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)的零點個數(shù)問題.可利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、最值、單調(diào)性、變化趨勢等，從而畫出函數(shù)的大致圖象，然后根據(jù)圖象判斷函數(shù)的零點個數(shù).思維升華跟蹤訓(xùn)練2(2023·南通模擬)函數(shù)f(x)＝a＋lnx(a∈R).(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；解答當x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：(2)試求f(x)的零點個數(shù)，并證明你的結(jié)論.解答所以此時函數(shù)f(x)的零點個數(shù)為0.當a≤0時，從而當a≤0時，函數(shù)f(x)的零點個數(shù)為1；題型三利用導(dǎo)數(shù)研究生活中的優(yōu)化問題例5某商場銷售某種商品的經(jīng)驗說明，該商品每日的銷售量y(單位：千克)與銷售價格x(單位：元/千克)滿足關(guān)系式y(tǒng)＝＋10(x－6)2，其中3<x<6，a為常數(shù).銷售價格為5元/千克時，每日可售出該商品11千克.(1)求a的值；解答(2)假設(shè)該商品的本錢為3元/千克，試確定銷售價格x的值，使商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大.解答由(1)可知，該商品每日的銷售量為所以商場每日銷售該商品所獲得的利潤為＝2＋10(x－3)(x－6)2，3<x<6.從而，f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]＝30(x－4)(x－6).于是，當x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：x(3，4)4(4，6)f′(x)＋0－f(x)單調(diào)遞增極大值42單調(diào)遞減由上表可得，當x＝4時，函數(shù)f(x)取得極大值，也是最大值.所以，當x＝4時，函數(shù)f(x)取得最大值且最大值等于42.答當銷售價格為4元/千克時，商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大.利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題的四個步驟(1)分析實際問題中各個量之間的關(guān)系，列出實際問題的數(shù)學(xué)模型，寫出實際問題中變量之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝f(x).(2)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′(x)，解方程f′(x)＝0.(3)比較函數(shù)在區(qū)間端點和使f′(x)＝0的點的函數(shù)值的大小，最大(小)者為最大(小)值；假設(shè)函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)只有一個極值點，那么該極值點就是最值點.(4)回歸實際問題作答.思維升華解答解得－40<x<6.因為1<x<14，所以1<x<6.設(shè)該商品的月銷售額為g(x)，由g′(x)>0，得x<8，所以g(x)在[6，8)上是增函數(shù)，在(8，14)上是減函數(shù)，(2)記需求量與供給量相等時的價格為均衡價格，假設(shè)該商品的均衡價格不低于每噸6百元，求實數(shù)a的取值范圍.解答因為a>0，所以f(x)在區(qū)間(1，14)上是增函數(shù)，假設(shè)該商品的均衡價格不低于6百元，那么函數(shù)f(x)在區(qū)間[6，14)上有零點，答假設(shè)該商品的均衡價格不低于每噸6百元，實數(shù)a的取值范圍是(0，].典例(16分)設(shè)f(x)＝

＋xlnx，g(x)＝x3－x2－3.(1)如果存在x1，x2∈[0，2]使得g(x1)－g(x2)≥M成立，求滿足上述條件的最大整數(shù)M；(2)如果對于任意的s，t∈[，2]，都有f(s)≥g(t)成立，求實數(shù)a的取值范圍.

一審條件挖隱含審題路線圖系列標準解答審題路線圖(1)存在x1，x2∈[0，2]使得g(x1)－g(x2)≥M↓(正確理解“存在〞的含義)[g(x1)－g(x2)]max≥M↓挖掘[g(x1)－g(x2)]max的隱含實質(zhì)g(x)max－g(x)min≥M↓求得M的最大整數(shù)值(2)對任意s，t∈[，2]都有f(s)≥g(t)↓(理解“任意〞的含義)f(x)min≥g(x)max↓求得g(x)max＝1＋xlnx≥1恒成立↓別離參數(shù)aa≥x－x2lnx恒成立↓求h(x)＝x－x2lnx的最大值a≥h(x)max＝h(1)＝1↓a≥1返回解(1)存在x1，x2∈[0，2]使得g(x1)－g(x2)≥M成立，等價于[g(x1)－g(x2)]max≥M. [2分]g(x)max＝g(2)＝1.那么滿足條件的最大整數(shù)M＝4. [7分]所以a≥1，即實數(shù)a的取值范圍是[1，＋∞). [16分]返回課時作業(yè)12345678910111.函數(shù)f(x)＝(x－1)2(x－2)2的極大值是____.答案解析∵f(x)＝(x－1)2(x－2)2，令f′(x)＝0，得可能的極值點x1＝1，x2＝

，x3＝2.當x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：∴f′(x)＝2(x－1)(2x－3)(x－2).12345678910112.曲線y＝x2＋alnx(a>0)上任意一點處的切線的斜率為k，假設(shè)k的最小值為4，那么此時切點的坐標為________.答案解析(1，1)函數(shù)y＝x2＋alnx(a＞0)的定義域為{x|x＞0}，當且僅當x＝1時，“＝〞成立，將x＝1代入曲線方程得y＝1，故所求的切點坐標是(1，1).1234567891011答案解析(0，1]12345678910114.假設(shè)商品的年利潤y(萬元)與年產(chǎn)量x(百萬件)的函數(shù)關(guān)系式：y＝－x3＋27x＋123(x>0)，那么獲得最大利潤時的年產(chǎn)量為____百萬件.答案解析3y′＝－3x2＋27＝－3(x＋3)(x－3)，當0<x<3時，y′>0；當x>3時，y′<0.故當x＝3時，該商品的年利潤最大.12345678910115.(2023·南京質(zhì)檢)直線x＝t分別與函數(shù)f(x)＝ex＋1的圖象及g(x)＝2x－1的圖象相交于點A和點B，那么AB的最小值為_________.答案解析4－2ln2由題意得，AB＝|ex＋1－(2x－1)|＝|ex－2x＋2|，令h(x)＝ex－2x＋2，那么h′(x)＝ex－2，所以h(x)在(－∞，ln2)上單調(diào)遞減，在(ln2，＋∞)上單調(diào)遞增，所以h(x)min＝h(ln2)＝4－2ln2>0，即AB的最小值是4－2ln2.12345678910116.函數(shù)f(x)＝ 假設(shè)|f(x)|≥ax，那么a的取值范圍是_________.答案解析[－2，0]1234567891011①由(1)得x(x－2)≥ax在區(qū)間(－∞，0]上恒成立.當x＝0時，a∈R；當x<0時，有x－2≤a恒成立，所以a≥－2.故a≥－2.②由(2)得ln(x＋1)－ax≥0在區(qū)間(0，＋∞)上恒成立，設(shè)h(x)＝ln(x＋1)－ax(x>0)，1234567891011當a≤0時，h′(x)>0，故h(x)為增函數(shù)，所以h(x)>h(0)＝0恒成立；所以h(x)<h(0)＝0恒成立，顯然不符合題意；1234567891011當0<a<1時，對于給定的一個確定值a，總可以至少找到一個x0>0，滿足h(x0)＝ln(x0＋1)－ax0<0成立.故a≤0.由①②可知a的取值范圍是[－2，0].12345678910117.假設(shè)函數(shù)f(x)＝ax2＋4x－3在[0，2]上有最大值f(2)，那么a的取值范圍是____________.答案解析[－1，＋∞)f′(x)＝2ax＋4，由f(x)在[0，2]上有最大值f(2)，那么要求f(x)在[0，2]上單調(diào)遞增，那么2ax＋4≥0在[0，2]上恒成立.當a≥0時，2ax＋4≥0恒成立；當a<0時，要求4a＋4≥0恒成立，即a≥－1.∴a的取值范圍是[－1，＋∞).12345678910118.(2023·蘇州模擬)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足：f(x)＋f′(x)>1，f(0)＝4，那么不等式exf(x)>ex＋3(其中e為自然對數(shù)的底數(shù))的解集為__________.答案解析設(shè)g(x)＝exf(x)－ex(x∈R)，那么g′(x)＝exf(x)＋exf′(x)－ex＝ex[f(x)＋f′(x)－1]，∵f(x)＋f′(x)>1，∴f(x)＋f′(x)－1>0，∴g′(x)>0，∴y＝g(x)在定義域上單調(diào)遞增，∵exf(x)>ex＋3，∴g(x)>3，∴g(x)>g(0)，∴x>0.(0，＋∞)又∵g(0)＝e0f(0)－e0＝4－1＝3，12345678910119.函數(shù)f(x)＝ax3－3x2＋1，假設(shè)f(x)存在唯一的零點x0且x0>0，那么a的取值范圍是____________.答案解析(－∞，－2)當a＝0時，f(x)＝－3x2＋1有兩個零點