淺談泛函分析控制學科的運用

研究生課程總結淺談泛函分析在控制學科的運用姓名：班級：學號：一、寫在前面：學生所學專業(yè)為控制科學與工程，開學初選課之際，結合個人興趣和老師的意見，選了現(xiàn)代數(shù)學基礎（《應用泛函分析》）作為其中一門數(shù)學學位課，另外也選修了《線性系統(tǒng)理論》和《非線性控制》這兩門專業(yè)課。選課之際，同學們紛紛以泛函難學為由避之不及，但是數(shù)學作為科研和工程實踐中必不可少的重要工具，我認為再硬的骨頭也要啃下來。在半學期的接觸和學習下，我漸漸地覺得泛函并沒有想象中那么晦澀。一是因為難度大，沒把握自學掌握，所以上課專心聽講，生怕漏掉什么，二是結合專業(yè)課程的學習，發(fā)現(xiàn)本專業(yè)中的理論和實踐中泛函分析得到了很廣泛的運用（最優(yōu)解的逼近，非線性控制中輸入輸出穩(wěn)定性的研究等），故在數(shù)學學習的過程中能夠有所結合具體學科運用，反而覺得有趣。借著老師布置的報告作業(yè)，自己也梳理一下泛函與專業(yè)之間的聯(lián)系，并通過查閱相關資料，對泛函能有更深刻的了解，希望在以后的學習當中能夠運用好這個工具。本文主要從以下幾點進行說明：結合個人所學和參考文獻，談談泛函分析與控制理論的聯(lián)系；結合第四章所學內(nèi)積空間中的投影定理談談其在最優(yōu)逼近的應用結合第二章所學度量空間的Banach壓縮映像原理和不動點的概念簡單談談在方程求解中的應用；二、泛函分析與控制：泛函分析（FunctionalAnalysis）是現(xiàn)代數(shù)學的一個分支，隸屬于分析學，其研究的主要對象是函數(shù)構成的空間。何謂“泛函分析”？根據(jù)關肇直先生給出的定義：是研究無窮維線性空間上的泛函數(shù)與算子理論的一門分析數(shù)學。無窮維線性空間是描述具無限多自由度的物理系統(tǒng)的數(shù)學工具。因此，泛函分析是定量地研究諸如連續(xù)介質(zhì)力學、電磁場理論等一類具有無窮多自由度的物理系統(tǒng)的有力工具?？刂瓶茖W與工程是一門研究控制的理論、方法、技術及其工程應用的學科。它是20世紀最重要的科學理論和成就之一，控制科學以控制論、信息論、系統(tǒng)論為基礎，研究各領域內(nèi)獨立于具體對象的共性問題，即為了實現(xiàn)某些目標，應該如何描述與分析對象與環(huán)境信息，采取何種控制與決策行為。那泛函分析與控制專業(yè)的聯(lián)系在哪？根據(jù)《控制論與科學方法論》中談到，所謂的控制，便是研究確定事物發(fā)展的可能性空間，并通過一定的人為干預把可能性空間鎖定或者縮小到期望的范圍。如室內(nèi)溫度控制，室溫的可能性空間在某個區(qū)間內(nèi)，在各種因素作用下會在可能性空間中運動變化，而把溫度控制在指定溫度或指定溫度范圍內(nèi)，就是通過人為干預，把室溫變化的可能性空間縮小在指定范圍內(nèi)（如18°—22°），這邊是控制的基本思想?？刂评碚摰难芯繉ο笫窍到y(tǒng)，所謂的控制是指對系統(tǒng)的控制。對系統(tǒng)的研究，主要有研究系統(tǒng)狀態(tài)的運動規(guī)律和改變這種運動規(guī)律的可能性和方法，建立和揭示系統(tǒng)結構、參數(shù)、行為和性能之間的關系，既是對系統(tǒng)進行分析和綜合，以按照期望的性能和方式對系統(tǒng)進行控制。然而，不管對系統(tǒng)進行分析還是綜合，首要前提就是建立起系統(tǒng)的數(shù)學模型（如表征系統(tǒng)輸入輸出關系的傳遞函數(shù)、表征系統(tǒng)內(nèi)部信息的狀態(tài)空間描述等），對系統(tǒng)的主要屬性進行數(shù)學描述，利用適當?shù)臄?shù)學工具對系統(tǒng)屬性間的關系進行定量描述和分析。隨著控制理論的發(fā)展，所用的數(shù)學工具也隨著變化。可以說，具體學科的發(fā)展為數(shù)學的發(fā)展提供了素材，而數(shù)學的發(fā)展，也為具體學科的發(fā)展提供了更為有力的工具?？刂瓶茖W作為具體的工程科學，基本的研究對象是自然界的物理系統(tǒng)。所謂物理系統(tǒng)（包括社會經(jīng)濟系統(tǒng)）的自由度，是指用于完全描述系統(tǒng)行為的一組無關量的個數(shù)。經(jīng)典的數(shù)學分析是與經(jīng)典力學的成就密切相關的，主要用來描述和分析物質(zhì)作有限自由度連續(xù)運動的各種特性。在此，主要研究一元函數(shù)或多元函數(shù)的性態(tài)，諸如單調(diào)性、連續(xù)性、可微性和可積性等，對連續(xù)函數(shù)建立了各種微積分運算。數(shù)學的抽象把三維立體空間中向量的概念，推廣到任意有限維線性空間；同時把力學中簡單的坐標變換，推廣到一般的線性變換，并且由此引出矩陣對線性變換的表示，以及矩陣的運算等，這些都是線性代數(shù)的研究內(nèi)容。常微分方程理論討論集中參數(shù)對象連續(xù)運動過程的數(shù)學描述，以及運動軌線即微分方程解的存在性與唯一性問題，而且討論連續(xù)運動過程的穩(wěn)定性問題，并給出自由運動或受迫運動中運動軌線的求解方法，這種運動也只具有限多自由度，在電學理論和經(jīng)典控制原理中，一種廣泛適用的頻域分析方法要求把函數(shù)的定義域由實數(shù)擴展到復數(shù)，而復變函數(shù)論則是專門討論復變函數(shù)性態(tài)的數(shù)學分支，它給包括Fourier變換和Laplace變換在內(nèi)的各種頻域分析方法，提供了堅實的理論基礎。同樣，電學理論和經(jīng)典調(diào)節(jié)原理的對象，一般也只具有限多自由度。而如今現(xiàn)代控制理論，已經(jīng)由研究單個特定函數(shù)作用于系統(tǒng)時所產(chǎn)生的行為，擴展到研究一類函數(shù)作用于系統(tǒng)時可能產(chǎn)生的行為。這樣的一類函數(shù)或稱函數(shù)類、函數(shù)空間同樣具無限多自由度。而定義于其上的泛函數(shù)或算子，則可用來描述系統(tǒng)的行為或其中的各種關系。泛函分析正為控制理論的進一步研究提供了有力的工具。首先要把有限維向量空間的概念，推廣到一般線性空間，包括由函數(shù)類形成的無限維線性空間，接著要討論一類在元素間定義了距離的集合，稱為“度量空間”。在度量空間中，才有可能定義點序列的收斂，并由此引出點集的某此拓撲概念，同時還討論定義于其上的泛函數(shù)與算子的某些性質(zhì)。一類特殊的度量空間稱為“賦范線性空間”，它兼有線性空間的代數(shù)結構和賦范數(shù)的拓撲結構，是用以描述具無限多自由度運動過程的一般數(shù)學工具。而在賦范線性空間中，又有一類更接近有限維空間（歐氏空間）特性的無限維線性空間，稱為“內(nèi)積空間”，其上定義了內(nèi)積，類似歐氏空間上向量間的標量積，從而可以引入向量間的夾角、向量直交等概念。對各種抽象空間的研究，是泛函分析的研究內(nèi)容之一。其次要把有限維空間上的線性變換推廣到一般度量空間上的算子理論，特別是賦范線性空間上的線性算子理論。事實上，相當廣泛的一類實際系統(tǒng)，都可以用某些抽象空間，以及存在于這些空間上的算子描述。算子理論，特別是線性算子理論，這是泛函分析的主要研究內(nèi)容。算子的性態(tài)，諸如連續(xù)性、有界性、緊性和閉性等，又是算子理論研究的重點。算子方程求解及線性算子的能解性研究，給各種代數(shù)方程和微分方程求解，以及控制系統(tǒng)綜合等，提供了理論基礎。對偶空間和伴隨模型算子的研究，是算子理論的一個主要組成部分。在算子理論中，還要把矩陣特征值的概念，推廣到一般線性算子的譜特性。事實上，泛函分析確實在控制領域得到了廣泛的應用：包括抽象系統(tǒng)的描述與分析、系統(tǒng)穩(wěn)定性與魯棒性分析、泛函優(yōu)化與最優(yōu)控制，以及控制問題的數(shù)值計算等。因為控制理論中幾乎所有的問題，都可以用泛函分析中有關空間和算子的術語來描述，而泛函分析嚴謹廣博的理論體系，對所研究問題的歸屬有明確的規(guī)定，同時可以向研究者提供解決問題的途徑。例如我們在《線性系統(tǒng)理論》中學到的系統(tǒng)能控性和能觀性之間的對偶關系，利用泛函中對偶空間和伴隨算子的理論，可以解釋控制理論中幾乎所有的對偶定理，而這些定理的發(fā)現(xiàn)，大多也是數(shù)學結論直接演繹的結果?？刂评碚撍芯康膯栴}，可以概括為系統(tǒng)分析、系統(tǒng)綜合、建模和優(yōu)化。系統(tǒng)分析，包括系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析、能控能觀性分析、魯棒性分析等，主要是分析用以描述系統(tǒng)行為的算子的特性。傳統(tǒng)的分析方法是實用的，但只限于某些特定的系統(tǒng)類型。例如傳統(tǒng)的頻域分析法只限于討論單輸入單輸出的線性定常系統(tǒng)。而泛函分析所提供的分析方法，有可能對包括多輸入多輸出的線性時變系統(tǒng)、分布參數(shù)系統(tǒng)，以及某些類型的非線性系統(tǒng)進行統(tǒng)一的處理，從而獲得更加一般的結論。所以，學習本課程要求理論聯(lián)系實際，既要認真聽課，同時完成大量的作業(yè)聯(lián)系，掌握堅實的理論基礎；又要結合專業(yè)體會理論對專業(yè)的指導作用，盡可能地把理論應用于解決實際問題。又如系統(tǒng)的綜合，包括控制器和補償器的設計等，使系統(tǒng)得以鎮(zhèn)定或獲得某種性能，這是分析的逆問題。傳統(tǒng)的綜合方法不僅費時費事，而且解決問題的范圍比較狹窄?，F(xiàn)代的綜合方法傾向于構造能用計算機實現(xiàn)的某些算法。迭代算法或遞推算法的收斂性分析，以及閉環(huán)控制的穩(wěn)定性分析等，只有借助于泛函分析所提供的工具，才有可能使問題得以解決。系統(tǒng)建模和系統(tǒng)的最優(yōu)控制，一般是在某些約束條件下，對某個泛函指標進行優(yōu)化的問題，這更是泛函分析研究范圍內(nèi)的問題。三、內(nèi)積空間中投影定理在最佳逼近中的應用在工程與科學實踐中，常常遇到函數(shù)的近似計算問題，如果問題涉及的空間為內(nèi)積空間，則函數(shù)的最佳逼近問題與投影定理密切相關，只要逼近子空間是完備的，則求最佳逼近的元素，就相當于求投影。如果在連續(xù)函數(shù)空間中，討論的范數(shù)不由內(nèi)積導出，如Ca,b中采用定義（點到集合的距離）設X是度量空間,M是X的非空子集,x是X中的一點,稱,為點x到M的距離,記為在賦范線性空間中極小化向量定理：設X是Hilbert空間，M∈X是一個凸閉集，則X中任何元素x在M上存在唯一最佳逼近元。投影定理：設X為內(nèi)積空間，M是X的完備子空間，則?x∈X，必在M上存在唯一的投影，即對每個x∈，?x0∈M,z∈如在R3空間中尋找一個向量（x1,x2,x3），使得F(x1,x2,x3)=02π(et-(x1+x2t+xt2))dt達到最小。運用投影定理，令F(x1,x2,x3)=et-(x1+x2t+x3令M=span{1,t,t2},x=et,則M是X的完備子空間。有極小化向量定理可知，x在M上存在唯一最佳逼近元u，設et-u分別于M的基底1、t、teee三個方程求出三個未知數(shù)分別為：x1,x2,x3即為所求向量。四、Banach壓縮映像原理和不動點在方程求解中的應用在工程中，許多問題常常歸結為各種函數(shù)方程的求解問題，如代數(shù)方程，微分方程，積分方程，泛函方程等。不動點理論和壓縮映像原理為方程解的存在性、唯一性的討論和迭代估算提供了有力的工具。不動點理論是關于方程的一種一般理論。數(shù)學里到處要解方程,諸如代數(shù)方程、微分方程、函數(shù)方程等等，種類繁多，形式各異。但是它們常能改寫成?(x)=x的形狀，這里x是某個適當?shù)目臻gΧ中的點，?是從Χ到Χ的一個映射，把每一點x移到點?(x)。方程?(x)=x的解恰好就是在?這個影射之下被留在原地不動的點,故稱不動點。于是,解方程的問題就化成了找不動點這個幾何問題。不動點理論研究不動點的有無、個數(shù)、性質(zhì)與求法。不動點結合壓縮映像，可以分析解的唯一性，并由Banach壓縮映像原理可以通過迭代的方法估算方程解。不動點和壓縮映像定義：設X是度量空間，映射T：X→X，若x*?X滿足Tx*=x*，則稱x*是T的一個不動點，若存在aBanach壓縮映像原理：設X為完備度量空間，T：X→X是壓縮映像，則T在X上存在唯一的不動點。如方程f(x)=0的求解，令x=x-f(x)，構造算子：T：x→x-f(x)，則求解方程問題轉化為求解算子T的不動點問題。如果能夠找出一個壓縮映像T，把方程求