《泛函分析》課程標(biāo)準(zhǔn)

PAGEPAGE5《泛函分析》課程標(biāo)準(zhǔn)英文名稱：FunctionalAnalysis課程編號：407012010適用專業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)分?jǐn)?shù)：4一、課程性質(zhì)泛函分析屬于數(shù)學(xué)一級科下的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)二級學(xué)科，在數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)培養(yǎng)方案中學(xué)科專業(yè)教育平臺中專業(yè)方向課程系列的一門限選課程。二、課程理念1、培育理性精神，提高數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)研究數(shù)學(xué)本身的內(nèi)在規(guī)律，是整個數(shù)學(xué)學(xué)科的基礎(chǔ)，它在數(shù)學(xué)學(xué)科其他領(lǐng)域、物理學(xué)、工程及社會科學(xué)中都有著廣泛的應(yīng)用?！斗汉治觥氛n程是數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)本科學(xué)生的專業(yè)課程之一，是數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)、實變函數(shù)等基礎(chǔ)課程的后繼課程，是研究生學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，。它不僅在數(shù)學(xué)學(xué)科占有十分重要的地位，而且在其他學(xué)科領(lǐng)域也有廣泛的應(yīng)用，掌握泛函分析的方法對學(xué)生更好地理解基礎(chǔ)課程的理論將有很大的益處。該課程培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力、邏輯推理能力，體現(xiàn)知識、能力和素質(zhì)的統(tǒng)一，符合應(yīng)用型人才培養(yǎng)的目標(biāo)要求。2、良好的學(xué)習(xí)狀態(tài)，提高綜合解題能力本課程面對的是數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)四年級的學(xué)生。學(xué)生剛剛結(jié)束教育實習(xí)，準(zhǔn)備考研的學(xué)生進(jìn)入緊張復(fù)習(xí)階段，另一部分學(xué)生開始準(zhǔn)備找工作?！斗汉治觥愤@門課內(nèi)容比較抽象，課時又少，所以，如何讓學(xué)生安保持良好的學(xué)習(xí)狀態(tài)，是本門課要面對的一個重要問題，也是學(xué)生要面對的一個具體問題。需要師生共同努力去正確面對才能順利完成本門課的教學(xué)任務(wù)。為學(xué)習(xí)研究生課程和現(xiàn)代數(shù)學(xué)打下必要的基礎(chǔ)；進(jìn)一步提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。3、內(nèi)容由淺入深本課程的框架結(jié)構(gòu)是根據(jù)教學(xué)對象和教學(xué)任務(wù)來安排的：“度量空間”泛函分析的基本概念之一，十分重要。首先，引入度量空間的概念，并在引入度量的基礎(chǔ)上定義了度量空間中的極限、稠密集、可分空間、連續(xù)映照、柯西點列、完備度量空間，對于一般的度量空間，給出了度量空間的完備化定理，并證明了壓縮映照原理。然后，在度量空間上定義線性運算并引入范數(shù)，就得到線性賦范空間以及巴拿赫空間。在賦范空間上定義線性算子及線性泛函，并討論相關(guān)性質(zhì)。第三步，在線性賦范空間上定義內(nèi)積，可以得到內(nèi)積空間和希爾伯特空間的定義，在內(nèi)積空間上引入正交以及投影的概念，并建立起相應(yīng)的幾何學(xué)，還要討論希爾伯特空間上的算子，特別是自伴算子、酉算子、正常算子的一些初步性質(zhì)。最后，介紹巴拿赫空間中的四個著名定理：Hahn-Banach泛函延拓定理，一致有界性定理,逆算子定理和閉圖像定理，這些定理充分顯示了泛函分析的威力及其廣泛應(yīng)用。4、理論聯(lián)系實際，拓展學(xué)生知識面在教學(xué)過程中，主要把握以下幾點：將先進(jìn)的教學(xué)思想和教學(xué)理念貫穿到課程的內(nèi)容和體系；強(qiáng)化數(shù)學(xué)思想方法、加強(qiáng)學(xué)生分析解決問題能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)，讓學(xué)生接受現(xiàn)代的、新的觀念，以啟迪學(xué)生的創(chuàng)新思維；準(zhǔn)確把握課程定位，培養(yǎng)學(xué)生掌握扎實的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、嚴(yán)密的邏輯思維能力以及應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力，同時為學(xué)生向科研型理論型人才發(fā)展留下充足的空間。課堂教學(xué)提倡啟發(fā)式，采用各種現(xiàn)代化的教學(xué)手段，有些內(nèi)容舉一些數(shù)學(xué)分析中的例子使學(xué)生容易理解泛函分析的抽象理論等。教師通過應(yīng)用信息技術(shù)手段，可以使得授課內(nèi)容信息量大，學(xué)生更能深入泛函分析的內(nèi)容。要求學(xué)生做到：將書上的基本知識點吃透，注意咬文嚼字；注意抽象思維能力和邏輯思維能力，要求會做一些理論證明；要求在上課時認(rèn)真聽講，完成課上訓(xùn)練和課堂作業(yè)．課下能夠查閱相關(guān)文獻(xiàn)，了解相關(guān)結(jié)論。5、深化考核方式的改進(jìn)，確保教學(xué)質(zhì)量本課程主要采用課內(nèi)外結(jié)合的學(xué)習(xí)方式，即課堂上以教師講授為主，課下以學(xué)生實踐為主，通過學(xué)習(xí)使學(xué)生掌握泛函分析基本思想，加深對數(shù)學(xué)知識的理解，達(dá)到學(xué)生能力培養(yǎng)的目標(biāo)，同時為今后學(xué)習(xí)提供必要的理論基礎(chǔ)。通過本課程的考核，使學(xué)生比較系統(tǒng)地了解與掌握度量空間和線性賦范空間、有界線性算子和線性連續(xù)泛函、內(nèi)積空間和巴拿赫空間、巴拿赫空間中的基本定理的基本概念、基本性質(zhì)，提高抽象思維能力，為今后學(xué)習(xí)打下必要的基礎(chǔ)，并能在較高的理論水平的基礎(chǔ)上處理數(shù)學(xué)分析等課程的有關(guān)內(nèi)容。在教學(xué)過程中應(yīng)要求學(xué)注意聯(lián)系數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的基礎(chǔ)課程；要充分利用泛函分析的方法進(jìn)行證明；注意培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用泛函分析能力，提高證明的能力。三、課程目標(biāo)本課程既要注重講授基本的理論和知識，更要重視對學(xué)生的邏輯思維能力的培養(yǎng)和提高?？偰繕?biāo)通過介紹本課程，使學(xué)生了解本課程的性質(zhì)、地位及研究的主要范圍、研究方法與該學(xué)科的進(jìn)展；引導(dǎo)學(xué)生自覺、主動學(xué)習(xí)，改變被動式學(xué)校的方式，使學(xué)生掌握泛函分析的基本知識和基本理論；通過訓(xùn)練學(xué)生對一些結(jié)論的證明，使學(xué)生具備較強(qiáng)的抽象思維能力、邏輯推理能力，從而形成嚴(yán)格而精確的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。2、分目標(biāo)序號內(nèi)容單元知識目標(biāo)能力目標(biāo)文化素養(yǎng)目標(biāo)01度量空間和線性賦范空間要求學(xué)生掌握度量空間和線性賦范空間的基本內(nèi)容，熟練地進(jìn)行相關(guān)的各種證明。培養(yǎng)學(xué)生熟練的理論證明能力、邏輯思維能力。提高學(xué)生學(xué)習(xí)的自覺性、主動性，改變被動式學(xué)習(xí)的方式。02有界線性算子和線性連續(xù)泛函要求學(xué)生掌握建有界線性算子和線性連續(xù)泛函的基本概念和方法。培養(yǎng)學(xué)生運用泛函分析方法和知識解決實際問題的能力。培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)密的邏輯思維能力，良好的數(shù)學(xué)語言表達(dá)能力及熟練而準(zhǔn)確的計算能力。03內(nèi)積空間和巴拿赫空間要求學(xué)生掌握內(nèi)積空間及希爾伯特空間的基本概念和性質(zhì)，并能夠中作簡單證明。培養(yǎng)學(xué)生具備運用代數(shù)方法解決幾何問題的能力和空間想象能力。培養(yǎng)學(xué)生敏銳地發(fā)現(xiàn)問題、主動地提出問題，積極地尋求解決問題的方法的科學(xué)精神。04巴拿赫空間中的基本定理要求掌握學(xué)生巴拿赫空間中的四個著名定理，理解它們的證明，并能夠應(yīng)用這些定理解決問題。培養(yǎng)學(xué)生提出問題的能力和體驗科學(xué)研究的過程，增強(qiáng)學(xué)生的問題意識、質(zhì)疑意識和探究意識。培養(yǎng)學(xué)生的科研素質(zhì)和創(chuàng)新能力，培養(yǎng)學(xué)生的寫作能力。四、課程內(nèi)容根據(jù)課程特點，本課程內(nèi)容劃分為四個教學(xué)單元，每一單元的內(nèi)容進(jìn)一步劃分為基礎(chǔ)性內(nèi)容、提高性內(nèi)容、拓展性內(nèi)容三部分。第一單元度量空間和線性賦范空間基礎(chǔ)性內(nèi)容度量空間的概念和常見例子、度量空間中的極限、稠密集、可分空間、連續(xù)映照、柯西點列、完備度量空間、度量空間的完備化定理、壓縮映照原理、線性空間、線性賦范空間和巴拿赫空間的基本概念。提高性內(nèi)容在具體空間上定義度量，應(yīng)用壓縮映照原理解決具體問題。拓展性內(nèi)容文化素質(zhì)拓展：泛函分析發(fā)展簡史。知識拓展：把具體度量空間完備化。第二單元有界線性算子和線性連續(xù)泛函基礎(chǔ)性內(nèi)容有界線性算子、線性連續(xù)泛函、線性算子空間、共軛空間。提高性內(nèi)容廣義函數(shù)大意。拓展性內(nèi)容文化素質(zhì)拓展：巴拿赫代數(shù)簡單知識。知識拓展：簡單度量空間的共軛空間。第三單元內(nèi)積空間和巴拿赫空間基礎(chǔ)性內(nèi)容內(nèi)積空間的基本概念、投影定理、Bessel不等式及相關(guān)定理、Riesz定理、自伴算子、酉算子、正常算子。提高性內(nèi)容重要定理的證明方法。拓展性內(nèi)容文化素質(zhì)拓展：泛函分析中著名數(shù)學(xué)家簡介。知識拓展：應(yīng)用本章定理證明一些相關(guān)結(jié)論。第四單元巴拿赫空間中的基本定理1、基礎(chǔ)性內(nèi)容Hahn-Banach泛函延拓定理、C[a,b]的共軛空間、共軛算子、綱定理、一致有界性定理、強(qiáng)收斂、弱收斂、一致收斂、逆算子定理和閉圖像定理2、提高性內(nèi)容四個著名定理的證明方法。3、拓展性內(nèi)容文化素質(zhì)拓展：專業(yè)方向最新動態(tài)介紹。知識拓展：四個著名定理的具體應(yīng)用。五、課程實施1、學(xué)時安排泛函分析是數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)課。每周安排4課時，共11周44課時，一個學(xué)期完成，根據(jù)教學(xué)要求，安排4-6節(jié)課時的討論教學(xué)及習(xí)題課，其他以集中講授為主。為使教學(xué)效果達(dá)到比較理想的水平，讓學(xué)生進(jìn)行有目的的課外學(xué)習(xí)。教師的實踐性內(nèi)容安排有作業(yè)、小論文、課外閱讀資料等。具體安排如下：內(nèi)容單元章次學(xué)時分配總學(xué)時理論講授討論教學(xué)學(xué)時第一單元度量空間和線性賦范空間第六章16142第二單元有界線性算子和線性連續(xù)泛函第七章440第三單元內(nèi)積空間和巴拿赫空間第八章14122第四單元巴拿赫空間中的基本定理第九章1091合計443952、教學(xué)建議(1）教學(xué)組織與形式教學(xué)班是主要教學(xué)組織，班級授課是教學(xué)的主要組織形式。根據(jù)泛函分析課程的特點，盡可能多講些習(xí)題的證明；另外充分利用習(xí)題課課時，靈活組織學(xué)生進(jìn)行有利于培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題與解決問題的能力的各種教學(xué)活動。（2）教學(xué)方法和手段eq\o\ac(○,1)本課程的教學(xué)要貫徹理論聯(lián)系實際的原則。通過對本課程內(nèi)容的系統(tǒng)分析、講解及訓(xùn)練，使學(xué)生掌握本課程的基本概念，基本理論，基本技能與方法。并通過綜合訓(xùn)練，進(jìn)一步使學(xué)生掌握運用基礎(chǔ)知識綜合處理數(shù)學(xué)理論問題，建立數(shù)學(xué)模型，解決實際問題的能力。eq\o\ac(○,2)本課程采用講授法與討論法相結(jié)合的教學(xué)方式，鼓勵學(xué)生積極參與教學(xué)活動，充分發(fā)揮學(xué)生的主觀能動性，調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，變被動學(xué)習(xí)為主動獲取。eq\o\ac(○,3)運用網(wǎng)絡(luò)，將教學(xué)內(nèi)容中那些比較前沿的內(nèi)容，通過網(wǎng)絡(luò)，讓學(xué)生了解最新相關(guān)知識。eq\o\ac(○,4)借評講作業(yè)、課堂提問及每次課后輔導(dǎo)的機(jī)會，對學(xué)生進(jìn)行學(xué)習(xí)方法的指導(dǎo)。（3）能力培養(yǎng)方案為了培養(yǎng)學(xué)生分析問題解決問題的能力，在教學(xué)中要注重學(xué)生對于理論的興趣和自我學(xué)習(xí)的能力，提高學(xué)生的理論思維能力。首先，以教師講授為主，講授基本的知識與概念，但同時也要盡可能啟發(fā)學(xué)生的思維，調(diào)動學(xué)生的積極性。其次，注重討論、研究、問題式教學(xué)。要求教師根據(jù)教學(xué)中的重點、難點設(shè)計問題或討論的話題，組織學(xué)生課堂討論，或課后研究，提交書面總結(jié)，然后教師再進(jìn)行歸納總結(jié)。再次，除布置的課后作業(yè)以外，結(jié)合重點內(nèi)容布置若干小論文題目，讓學(xué)生自己查閱文獻(xiàn)分析問題，培養(yǎng)論文寫作能力。最后，鼓勵學(xué)生自學(xué)。自學(xué)不等于放任，自學(xué)要與檢查、督促、輔導(dǎo)結(jié)合起來。3、學(xué)業(yè)考核與評定《泛函分析》為考查課程。本課程每學(xué)期結(jié)束安排閉卷考試。本課程在命題上應(yīng)充分體現(xiàn)開放性、靈活性。采用百分制評分，平時成績：20分（包括考勤、作業(yè)等），期末成績：80分（試卷成績的80%），即期末總成績=試卷成績*80%+平時成績。考核類型分三類：識記、理解、綜合運用。試題類型為選擇、填空、判斷、計算、證明等。填空題與選擇題或判斷題約占40％，計算題和證明題約占60%。試卷滿分為100分，考試時間為120分鐘。六、教材選用與參考書目1、建議教材本課程近些年